Investigacion de operaciones II

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO POLITÉCNICO SANTIAGO MARINO
EXTENSIÓN MATURÍN
ALUMNO: GONZALEZ RYDER
Maturin, Febrero 2017

2. LÍNEAS DE ESPERADEFINICIONES, CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES.
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección
de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera
particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el
comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y
el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información,
junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la
capacidad de servicio apropiada.

3. TEORIA DE COLAS
 Una cola es una línea de espera
 La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas
de líneas de espera particulares
 El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de
servicio apropiada
 Existen muchos sistemas de colas distintos
 Algunos modelos son muy especiales
 Otros se ajustan a modelos más generales
 Otros se pueden tratar a través de la simulación

4. ESTRUCTURA BÁSICA DE UN
MODELO DE COLAS
Los clientes que requieren un servicio se generan a través de una fuente de entrada o
población. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a la cola
En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el
servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio (orden de llegada,
aleatorio, prioridades)
Después, se otorga el servicio requerido por el cliente mediante el mecanismo de servicio,
caracterizado por el número de canales paraderos o servidores y por el tiempo de servicio,
tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su término. El tiempo
de servicio puede tener una distribución exponencial, degenerada o gamma

5. ESTRUCTURA BASICA DE UN
MODELO DE COLAS
Fuente de
Entrada Cola
Mecanismo
de Servicio
Clientes servidosClientes
Sistema de Colas

6. ALGUNOS MODELOS DE COLAS
1) Modelo simple con un solo servidor
2) Sistema de colas en serie (trámites en serie)
3) Sistema de colas simple multiservidor
XXXX XXXX XXXX S
Entrada Cola Servidor Salida
XXX XXX XXX XXX XXXS S
S
S
S
S
XXXXXX XXXXXX
XX
XX
XX

7. ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS
• Fuente de Entrada:
• Tiempo entre Llegadas:
• Tamaño de las Colas:
• Tiempo de Servicio:
• Disciplina de Servicio
• Servidor (es)
• Clientes
Puede ser finita (máquinas en un servicio de
reparación) o infinita (llamadas telefónicas)
Es el arribo de clientes, puede ser
probabilístico o determinístico
Puede ser finito o infinito
Describe la prestación del servicio que el
servidor le da
al cliente. Puede ser
determinístico o probabilístico

8. IMPORTANCIA DE LA TEORÍA DE COLAS
EN LAS OPERACIONES
La teoría de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de
colas, es una técnica útil para diseñar la capacidad del proceso de operaciones,
puesto que provee de información muy útil para decidir el nivel apropiado de
prestación del servicio para las instalaciones

9. COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE
COLAS
Es diferente en cada una de las etapas del sistema. Matemáticamente es difícil
plantear modelos en los inicios y términos de atención del sistema, es más simple
plantearlos cuando el sistema alcanza un estado estable, el que se da si en todos los
estados:
Estado
Estable
Entradas al
Sistema
Salidas
al Sistema
=
Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas al sistema no son iguales a las
salidas del sistema, entonces no se ha alcanzado el estado estable

10. Población Cola
Mecanismo
de Servicio
Clientes
servidosClientes
Sistema de Colas
ESTRUCTURA BÁSICA DE UN
MODELO DE COLAS
Lq , Wq
L , W

(clientes / tiempo)
1

(tiempo / clientes)
Poisson Exp

11. PROCESO DE NACIMIENTO O MUERTE
 La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas
(llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de
acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de
probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la
teoría de colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al
sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El
estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes
que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte
describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general,
dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde
sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema.

12. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de
nacimiento y muerte son las siguientes:
 SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad
actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es
exponencial con parámetro (n=0,1,2,….).
 SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad
actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de
servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).
 SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo
que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la
suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son
mutuamente independientes.

13. 2.4 MODELOS DE POISSON
 Es una distribución discreta empleada con mucha
frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un
sistema de colas
 Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica
y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial
para tasas de llegadas altas.

14. • Su forma algebraica es:
• Donde:
–P(k) : probabilidad de k llegadas por
unidad de tiempo
– : tasa media de llegadas
–e = 2,7182818…
!
)(
k
e
kP
k 
 


15.  GRAFICA: DISTRIBUCION DE POISSON
Llegadas por unidad de
tiempo
0
P

16. 2.4.1 UN SERVIDOR
Ejemplo : (Un supermercado )
Supóngase un supermercado grande con muchas
cajas de salida, en donde los clientes llegan para
que les marquen su cuenta con una tasa de 90
por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay
poco intercambio entre las líneas, puede tratarse
este problema como 10 sistemas separados de
una sola línea, cada uno con una llegada de 9
clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12
por hora y considerando M/M/1, evalúe el
sistema.

17. Solución:
Interpretación de resultados: El cliente promedio espera
15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un
poco más de dos clientes en la línea o tres en el
sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20
minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y
finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o
más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas

18. 2.4.2 MULTIPLES SERVIDORES
Ejemplo:
Considérese la biblioteca de una universidad cuyo
personal está tratando de decidir cuántas copiadoras o
fotocopiadoras debe de instalar para uso de los
estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que
puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe
cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se
piensa que no deben tener que esperar más de dos
minutos en promedio. Si el número promedio de copias
que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántas
copiadoras se deben instalar?.

19. Solución:
¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es
cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto,
entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por
minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para pagar,
cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro
comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo
para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a
0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos
pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por
hora, o 1 por minuto.
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

20. 2.5 ANALISIS DE COSTOS El análisis de costo es simplemente, el proceso de
identificación de los recursos necesarios para llevar a cabo
la labor o proyecto del voluntario. El análisis de costo
determina la calidad y cantidad de recursos necesarios.
Entre otros factores, analiza el costo del proyecto en
términos de dinero. Con frecuencia, los voluntarios
suponen que cuentan con los recursos necesarios y que el
costo es tan bajo que no es necesario realizar el análisis.
Sin embargo puede ocurrir que, una vez que el proyecto
esté marchando los voluntarios se den cuenta de que los
utensilios, el equipo, los materiales y la mano de obra
especializada que se requiere para completarlo no están
disponibles.
 El análisis de costo no sólo ayuda a determinar el costo del
proyecto y su mantenimiento sino que también sirve para
determinar si vale o no la pena llevarlo a cabo.

21. COSTOS DE UN SISTEMAS DE COLAS
1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al
esperar
 Representa el costo de oportunidad del tiempo
perdido
 Un sistema con un bajo costo de espera es
una fuente importante de competitividad
2. Costo de servicio: Es el costo de operación del
servicio brindado
 Es más fácil de estimar
 El objetivo de un sistema de colas es
encontrar el sistema del costo total mínimo