4. PRESIΓN EN UN PUNTO
Se sabe que la presiΓ³n es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de Γ‘rea y que
la presiΓ³n en cualquier punto de un fluido es la misma en todas las direcciones,
con la misma magnitud, tomΓ‘ndose como una cantidad escalar. Esto se puede
demostrar cuando se toma un elemento de fluido en forma de cubo y se le aplican
presiones en su superficie tal como se muestra en la figura:
π1
ππ¦
ππ§
π3 π4
ππ₯
π π2 ππ€ = πππβ
Por la segunda ley de Newton:
Para π3 π π4
β β πΉπ¦ = 0
0 = π3 ππ₯ππ§ β π4 ππ₯ππ§
π3 = π4 = πβ²
Para π2 π¦ π1
7. es grande debido a la compresiΓ³n que ejerce gran cantidad de peso lΓquido sobre
un cuerpo sumergido.
Se puede decir que la aceleraciΓ³n de la gravedad varΓa con la altura; desde el
nivel del mar hasta grandes alturas la gravedad tiende a cambiar un poco, pero el
cambio es tan pequeΓ±o que suele despreciarse y no se toma en cuenta.
MANOMETRO
El manΓ³metro es un instrumento usado para medir presiones pequeΓ±as, consta de
un tubo en U que puede contener variedad de fluidos como agua, aceite, alcohol,
mercurio, etc.
El manΓ³metro de la figura mide la presiΓ³n en un tanque con un lΓquido en el
manΓ³metro de densidad π, una altura π y la columna del mismo abierta a la
atmosfera, aquΓ la presiΓ³n contenida en el tanque se calcula con la siguiente
ecuaciΓ³n:
π2 = π ππ‘π + πππ
EJEMPLO
Se usa un manΓ³metro para medir la presiΓ³n en un tanque. El fluido que se utiliza
es mercurio cuya densidad especΓfica es 13.6 y la elevaciΓ³n de la columna del
manΓ³metro es de 60ππ, tal como se muestra en la figura. Si la columna del
manΓ³metro estΓ‘ abierta a la atmΓ³sfera, determine la presiΓ³n absoluta del tanque.
Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
11. π ππ‘π = πππ
π ππ‘π = (13600ππ/πΒ³) (9.807π/π Β²) (0.7π)
π ππ‘π = 93362.64ππ = 93.362πππ
INTRODUCCION A LA ESTATICA DE FLUIDOS
La estΓ‘tica de fluidos estudia los gases y los lΓquidos en equilibrio o reposo. A
diferencia de los lΓquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tanto
el estudio de ambos filudos presentan algunas caracterΓsticas diferentes; el
estudio de los fluidos lΓquidos se llama hidrostΓ‘tica y el estudio de los gases se
llama aerostΓ‘tica. Por tener un movimiento uniforme en sus planos adyacentes la
estΓ‘tica de fluidos no tiene movimiento relativo u otras fuerzas que traten de
deformarlo. El esfuerzo normal es la fuerza que actΓΊa de forma perpendicular al
cuerpo.
La estΓ‘tica de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actΓΊan sobre cuerpos
flotantes o sumergidos. Es utilizada como principio de construcciΓ³n de muchas
obras de ingenierΓa, como presas, tΓΊneles submarinos, entre otros.
FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
SUMERGIDAS
Una compuerta de un observatorio marino o una pared de un tanque de
almacenamiento de lΓquidos, son ejemplos de superficies sumergidas. Estas
superficies quedan sometidas a presiones constantes β« πππ΄ = πβ« ππ΄ = ππ΄
que se distribuyen a lo largo de su superficie como fuerzas paralelas que
aumentan conforme a su profundidad, por lo que es necesario hallar su centro de
presiΓ³n, que es la magnitud de la fuerza aplicada a dicha superficie. El otro lado
de estas superficies, por lo general, estΓ‘ expuesto a la atmosfera, por lo que la
ecuaciΓ³n de la presiΓ³n dentro del fluido es:
π = π ππ‘π + πππ β π = πππ
Se considera una placa sumergida totalmente en un lΓquido como se muestra en la
figura.
14. EJEMPLO
Para el caso mostrado en la figura determinar la fuerza hidrostΓ‘tica resultante y el
punto exacto donde se ejerce dicha fuerza sobre la superficie.
SoluciΓ³n:
El Γ‘rea de la superficie triangular es:
π΄ = (π Γ π)/2 = (4 Γ 9)/2 = 18
1 1
El centroide del triΓ‘ngulo es: 3 π = 3 9 = 3
πππππ = πππ = 1025ππ π3 Γ 9.807 π π 2 Γ 13 = 130664 π π2
πΉ π = πππππ Γ π΄
πΉ π = 130664.9 π π2 Γ 18π2 = 2351969.1π
ππ 3 4 Γ 93
πΌ π₯π₯ = = = 81π4
36 36
ππ
π¦π = = 26π
π ππ 30Β°
πΌ π₯π₯ 81π4
π¦ π = π¦π + = 26π + = 26.173π
π¦π Γ π΄ 26π Γ 18π2
15. FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE CURVAS SUMERGIDAS
La manera mas fΓ‘cil de obtener la fuerza hidrostΓ‘tica resultante πΉ π para
superficies curvas sumergidas es determinar la fuerza horizontal πΉ π y la fuerza
vertical πΉπ£ cada una por separado.
Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
En la figura se muestran todas las fuerzas que intervienen sobre la superficie
curva sumergida. El cuerpo sumergido proyecta dos superficies planas (una
horizontal y otra vertical), para las cuales se les hace el anΓ‘lisis de fuerzas
hidrostΓ‘ticas, ademΓ‘s del peso del propio cuerpo. Es decir, la superficie vertical es
la proyecciΓ³n de la superficie curva en un plano vertical. Lo mismo es para la
proyecciΓ³n horizontal. A esto se le aplica la tercera ley de newton (acciΓ³n fuerza).
πΉ π = πΉπ₯
πΉπ£ = πΉπ¦ + π€
Se tiene en cuenta que en la fuerza vertical πΉπ£ , πΉπ¦ + π€ se suman si actΓΊan en la
misma direcciΓ³n, pero se restan si ejercen su fuerza en sentido contrario.
16. La magnitud de la fuerza hidrostΓ‘tica resultante es:
πΉπ = πΉ π 2 + πΉπ£ 2
El Γ‘ngulo que forma con la horizontal es:
πΉπ£
π = tanβ1
πΉπ
Se localiza el punto de acciΓ³n de la πΉ π cuando la proyecciΓ³n de πΉ π π¦ πΉπ£ se
interceptan.
La soluciΓ³n de ejercicios de esta Γndole se hace mΓ‘s fΓ‘cil si se consideran los
siguientes pasos:
1. CΓ‘lculo de la fuerza horizontal:
ο· Determinar el Γ‘rea proyectada horizontalmente A.
ο· Determinar la distancia desde el centroide hasta la superficie libre π π .
ο· Calcular la presiΓ³n promedio en el centroide π πππππππ = π0 + πππ π
ο· Calcular fuerza horizontal, πΉ π = π ππππππππ β π΄
π¦π
ο· Calcular π¦ π , π¦π =
π ππ π
2. CΓ‘lculo de fuerza vertical.
πΉπ£ = πΉπ¦ + π€
πΉπ¦ = π ππππππππ β π΄ πππππ§πππ‘ππ
3. CΓ‘lculo de la fuerza resultante.
πΉπ = πΉ π 2 + πΉπ£ 2
4. Calcular el Γ‘ngulo de inclinaciΓ³n.
πΉπ£
π = tanβ1
πΉπ
EJEMPLO
La superficie sumergida en agua es la cuarta parte de un cΓrculo con un radio de
15 π y una longitud de 150π. Calcular la fuerza hidrostΓ‘tica que se ejerce sobre la
superficie curva y determinar su lΓnea de acciΓ³n.
18. FLOTACION Y ESTABILIDAD
Principio de ArquΓmedes
Desde hace mΓ‘s de 2200 aΓ±os el principio de ArquΓmedes es utilizado por el
hombre. Cuando un cuerpo es introducido (sin importar su geometrΓa)
completamente en un fluido de densidad conocida se le puede conocer su
volumen midiendo la perdida aparente en peso de este. En conclusiΓ³n
ArquΓmedes planteΓ³:
Β¨todo cuerpo sumergido en un lΓquido experimenta un empuje ascensional igual al
peso del lΓquido que desalojaΒ¨.
Con este principio surgen los conceptos de flotabilidad y flotaciΓ³n.
Flotabilidad: es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobre
un cuerpo colocado en el.
Estabilidad: se conoce como la propiedad que tiene un cuerpo para regresar a su
posiciΓ³n original luego de haber sido inclinado con respecto a su eje.
Al observar la flotabilidad de varios objetos cuyo material de constituciΓ³n son
diferentes, cada uno presenta caracterΓsticas diferentes. Como es el caso de los
objetos constituidos por madera, plΓ‘stico u otros materiales ligeros, que flotan en
el agua. Esto permite apreciar que el fluido donde se encuentran inmersos ejerce
una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo. Esta fuerza que tiende a empujar el
cuerpo hacia la superficie se denomina fuerza de flotaciΓ³n πΉ π΅ . La fuerza de
flotaciΓ³n esta asociada a la presiΓ³n de un fluido y esta a su profundidad. Para el
caso se considera una placa sumergida en un fluido con una densidad ππ , un
espesor h, una distancia s y un Γ‘rea A.
Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
20. π ππ’πππ < π π = el cuerpo flota
π ππ’πππ > π π = el cuerpo se hunde hasta el fondo.
π ππ’πππ = π π = el cuerpo se suspende, permaneciendo en reposo en cualquier
punto del fluido donde se deje.
EL HIDROMETRO
Para determinar las densidades relativas de los lΓquidos se usa el hidrΓ³metro,
instrumento que usa el principio de flotaciΓ³n.
Fuente: MecΓ‘nica de los fluidos. VΓctor L. Streeter, BenjamΓn Wylie
Como el lΓquido de la figura (a) es agua el hidrΓ³metro flota en equilibrio:
π = π π πβ π π’π
π = πππ π πππ ππππΓ³πππ‘ππ
π π = ππππ ππππ πππ πππ’πππ
π = ππππ£ππππ
β π π’π = π£πππ’πππ π π’πππππππ
21. En la imagen a el hidrΓ³metro marca 1 en la parte superior que coincide con la
superficie del agua. Esto indica la unidad de la gravedad especΓfica del fluido, en
este caso es 1.
Cuando el hidrΓ³metro flota en otro lΓquido, la ecuaciΓ³n de equilibrio se transforma
en:
(β π π’π β ββ π π’π )π ππ π = π
βππ π’π = πβπ
Como se tienen dos ecuaciones para π, se igualan y se despeja βπ:
π π πβ π π’π = (β π π’π β ββ π π’π )π ππ π
β π π’π = (β π π’π β πβπ)π
β π π’π
= β π π’π β πβπ
π
β π π’π
πβπ = β π π’π β
π
β π π’π β π π’π
βπ = β
π ππ
β π π’π (π β 1)
βπ =
ππ
Con esta diferencia de alturas se puede determinar densidades relativas para
diferentes fluidos.
EJEMPLO
Se desea calcular la densidad de un fluido, para ello se utiliza un hidrΓ³metro que
previamente se sumerge en agua y marca un altura de 15 cm desde el fondo del
tubo hasta la superficie del liquido, indicando el nivel, el cual se marca. Luego se
introduce el liquido de densidad desconocida y se observa que la marca a
ascendido 0.8 cm por arriba de la superficie libre. Determinar la densidad del
fluido. El hidrΓ³metro es de forma cilΓndrica, tiene 1 cm de diΓ‘metro y no posee
marcas de divisiΓ³n a su costado.
22. Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
SoluciΓ³n:
En agua, π = π π€ ππ π€ π΄
En el lΓquido desconocido, π = π π ππ π π΄
Se igualan los dos pesos:
π π€ ππ π€ π΄ = π π ππ π π΄
π π€ π π€ = ππ π π
ππ€ ππ€
ππ =
ππ
ππ
1000 Γ 0.15π
ππ = π3
0.15π β 0.008π
ππ
π π = 1056.338
π3
25. Y π producen un par de rectificaciΓ³n que hace al cuerpo regresar a su orientaciΓ³n
original. De esta manera el cuerpo es estable.
El metacentro (ππ) es el punto de intersecciΓ³n del eje vertical de un cuerpo
cuando se encuentra en su posiciΓ³n de equilibrio y la recta vertical que pasa por la
nueva posiciΓ³n del centro de flotabilidad cuando el casco, en este caso, estΓ‘
girado ligeramente.
Para saber si un cuerpo flotante es estable se calcula la posiciΓ³n de su
metacentro. La distancia del metacentro al centro de flotabilidad, se denota con
(ππ΅), calculΓ‘ndose a partir de la siguiente ecuaciΓ³n:
πΌ
ππ΅ =
ππ
πΌ = Volumen desplazado del fluido.
π π = MΓnimo momento de inercia de una secciΓ³n horizontal del cuerpo, tomada en
la superficie del fluido.
Si la distancia ππ΅ coloca al metacentro por encima del centro de gravedad el
cuerpo es estable.
FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO RΓGIDO
Cuando los fluidos son transportados, por ejemplo en contenedores, la aceleraciΓ³n
hace que el fluido se mueva hacia la parte posterior, formΓ‘ndose una nueva
superficie libre que no es horizontal. Cada partΓcula del fluido adquiere la misma
aceleraciΓ³n y la masa del fluido se comporta como un cuerpo rΓgido. Al fluido no
tener deformaciΓ³n no se presenta ningΓΊn esfuerzo cortante.
Para analizar lo que sucede dentro del fluido, este se analiza por medio de un
elemento rectangular diferencial del fluido con lados ππ₯, ππ¦, ππ§.
27. La fuerza neta superficial que actΓΊa sobre el elemento en la direcciΓ³n π es la
diferencia entre las fuerzas de presiΓ³n que actΓΊan sobre las caras superior e
inferior.
ππ ππ§ ππ ππ§
πΏπΉπ ,π§ = πβ ππ₯ππ¦ β πβ ππ₯ππ¦
ππ§ 2 ππ§ 2
ππ
πΏπΉπ ,π§ = β ππ₯ππ¦ππ§
ππ§
Lo mismo ocurre en las direcciones π π¦ π.
ππ
πΏπΉπ ,π₯ = β ππ₯ππ¦ππ§
ππ₯
ππ
πΏπΉπ ,π¦ = β ππ₯ππ¦ππ§
ππ¦
La fuerza superficial neta que actΓΊa sobre el elemento es:
πΏπΉπ = πΏπΉπ ,π₯ π + πΏπΉπ ,π¦ π + πΏπΉπ ,π§ π
ππ ππ ππ
πΏπΉπ = β ππ₯ππ¦ππ§π β ππ₯ππ¦ππ§π β ππ₯ππ¦ππ§π
ππ₯ ππ¦ ππ§
ππ ππ ππ
πΏπΉπ = ππ₯ππ¦ππ§ β πβ πβ π
ππ₯ ππ¦ ππ§
ππ ππ ππ
πΏπΉπ = β π+ π+ π ππ₯ππ¦ππ§
ππ₯ ππ¦ ππ§
πΏπΉπ = ββ πππ₯ππ¦ππ§ β π = ππππππππ‘π ππ ππππ πππ.
Sobre el elemento de fluido actΓΊa su propio peso en direcciΓ³n π negativa, se
denota con πΏπΉ π΅,π :
πΏπΉ π΅,π = βππΏπ = βππππ₯ππ¦ππ§
πΏπΉ π΅,π = βππΏππ = βππππ₯ππ¦ππ§π
La fuerza total que actΓΊa sobre el elemento es:
πΏπΉ = πΏπΉπ + πΏπΉ π΅ = ββ πππ₯ππ¦ππ§ β ππππ₯ππ¦ππ§π
πΏπΉ = β β π + πππ ππ₯ππ¦ππ§
28. Como πΏπΉ = πΏπ β π = πππ₯ππ¦ππ§ β π, se sustituye en la segunda ley de newton;
β β π + πππ ππ₯ππ¦ππ§ = πππ₯ππ¦ππ§ β π
β π + πππ ππ₯ππ¦ππ§ = βπ πΈπ. πππ£ππππππ‘π ππ ππ’ππππ ππππππ ππ πππ’ππππ
Se puede expresar en forma vectorial como:
ππ ππ ππ
π+ π+ π + πππ = βπ ππ₯π + ππ¦π + ππ§π
ππ₯ ππ¦ ππ§
Al igualar cada vector unitario se obtienen las ecuaciones de fluidos en
aceleraciΓ³n:
ππ
= βππ π₯
ππ₯
ππ
= βππ π¦
ππ¦
ππ
= βπ π + π π§
ππ§
CASO ESPECIAL 1. FLUIDOS EN REPOSO
Cuando los fluidos se mueven en una trayectoria recta a velocidad constante o
estΓ‘n en reposo, la aceleraciΓ³n es cero en cualquier componente por lo que las
ecuaciones quedan asΓ:
ππ
=0
ππ₯
ππ
=0
ππ¦
ππ
= βππ
ππ§
La expresiΓ³n queda de la siguiente manera:
ππ = βππππ§
Se integra entre dos puntos: π0 y π.
π = π0 β πππ§ πππ’πππΓ³π πππππππ
29. CASO ESPECIAL 2. CAIDA LIBRE DE UN CUERPO DE FLUIDO
Cuando se deja caer un cuerpo este acelera bajo la influencia de la gravedad. Si
despreciamos la resistencia que ofrece el aire, la aceleraciΓ³n del cuerpo es igual a
la gravedad y en direcciΓ³n horizontal la aceleraciΓ³n es cero. Las ecuaciones
quedan asΓ:
ππ₯ = 0 ππ¦ = 0 π π§ = βπ
ππ
=0
ππ₯
ππ
=0
ππ¦
ππ
= βπ π β π = 0
ππ§
Si por el contrario se invierte la direcciΓ³n del movimiento acelerando en direcciΓ³n
vertical, pero hacia arriba, entonces π π§ = +π , entonces:
ππ
=0
ππ₯
ππ
=0
ππ¦
ππ
= βπ π + π = β2ππ
ππ§
π = π0 β 2πππ§
30. ACELERACION SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA
Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
Al considerar el grΓ‘fico se observa que cuando un fluido contenido en un
recipiente se somete a una aceleraciΓ³n el fluido se desplaza hacia la parte
posterior formando una superficie libre diferente. Al no existir movimiento en la
direcciΓ³n π¦ entonces π π¦ = 0 . Las ecuaciones para el movimiento se reducen a:
ππ
= βππ π₯
ππ₯
ππ
=0
ππ¦
ππ
= βπ π + π π§
ππ§
Estas ecuaciones indican que la presiΓ³n es independiente de π¦. La presiΓ³n
diferencial total de π = π π₯, π§ es:
ππ ππ
ππ = ππ₯ + ππ§
ππ₯ ππ§
31. ππ = βππ π₯ ππ₯ β π π + π π§ ππ§ π = ππππ π‘πππ‘π
Para una densidad constante, la diferencia de presiones entre dos puntos 1 y 2 en
el fluido:
π2 π₯2 π§2
ππ = βππ π₯ ππ₯ β βπ π + π π§ ππ§
π1 π₯1 π§1
π2β π1 = βππ π₯ π₯2 β π₯1 β π π + π π§ π§2 β π§1
Al tomar π1 = origen, entonces π₯ = 0, π¦ = 0, donde la presiΓ³n es π0 y el punto π2
como cualquier punto en el fluido.
La variaciΓ³n de la presiΓ³n se expresa:
π2 = π1 β ππ π₯ π₯ β π π + π π§ π§
π = π0 β ππ π₯ π₯ β π π + π π§ π§ π0 = πππππππππ πππππππ
π = ππ’ππππ’πππ ππ’ππ‘π ππ ππ πππ’πππ
El ascenso o descenso de las superficie libre se calcula al hacer tanto 1 como 2
sobre la superficie libre.
Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
32. π2 = π1 , entonces:
π2 β π1 = βππ π₯ π₯2 β π₯1 β βπ π + π π§ π§2 β π§1
0 = βππ π₯ π₯2 β π₯1 β π π + π π§ π§2 β π§1
π π + ππ§ π§2 β π§1 = βπππ₯ π₯2 β π₯1
ππ₯
π§2 β π§1 = βπ§ π = β π₯ +π₯
π + ππ§ 2 1
AquΓ π§ π es la proyecciΓ³n vertical de la superficie libre del fluido. Las superficies de
presiΓ³n constantes, isobaras, se obtienen al hacer ππ = 0.
ππ = βππ π₯ ππ₯ β π π + π π§ ππ§
ππ§ ππ πππππ ππ₯
=β = ππππ π‘πππ‘π
ππ₯ π + ππ§
ππ§ = ππ§ ππ πππππ
Las pendientes de las isobaras son:
ππ§ ππ πππππ ππ₯
ππππππππ‘π = =β = βπ‘πππ
ππ₯ π + ππ§
ππ₯
π‘πππ =
π + ππ§
EJEMPLO
Un recipiente que contiene agua es transportado en direcciΓ³n horizontal, la
superficie libre forma un Γ‘ngulo de 17Β° con respecto a la horizontal. Calcular la
aceleraciΓ³n del recipiente y cual es la altura sobre el nivel en reposo que se
levanta el fluido cuando este se somete a una aceleraciΓ³n.
33. Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
ππ₯
π‘ππππ =
π + ππ§
ππ§ = 0
π
π‘πππ 17Β° π = π π₯ π π₯ = 2.999 π 2
Luego:
βπ§ π
π‘ππππ =
2.5π
35. no existe relaciΓ³n con el Γ‘ngulo π, por lo que se desprecia; por ello la presiΓ³n
depende del radio y de altura z. AdemΓ‘s, la aceleraciΓ³n tangencial π π es igual a
cero y π π§ tambien es cero.
Considerando lo anterior las ecuaciones del movimiento rotacional son:
ππ ππ ππ
= βπππ2 =0 = βππ
ππ ππ ππ§
La diferencial de presiΓ³n es:
ππ ππ
ππ = ππ + ππ§
ππ ππ§
ππ = πππ2 ππ β ππππ§
Para obtener la ecuaciΓ³n de las superficies de presiΓ³n constante (isobara), se
procede igual que en el caso anterior.
Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
A saber ππ = 0 π¦ π§ = π§ ππ πππππ
ππ = πππ2 ππ β ππππ§
0 = πππ2 ππ β ππππ§
πππ§ = ππ2 ππ
ππ§ ππ πππππ ππ2
=
ππ π
36. Integrando se obtiene la ecuaciΓ³n para las superficies de presiΓ³n constante.
π§2 π2
ππ2
ππ§ ππ πππππ = ππ
π§1 π1 π
π2 2
π§2 β π§1 ππ πππππ = π π + π1
2π 2β 1
π2β π1 = π
π§2 β π§1= π§ ππ πππππ
π2 π 2
π§ ππ πππππ = + π1
2π
Por la ecuaciΓ³n anterior se deduce que las superficies de presiΓ³n constante son
paraboloides. Al hacer π = 0,
π§ ππ πππππ 0 = π1 = π π
π π es la distancia que hay desde la superficie libre al fondo del recipiente, como
siempre va a existir liquido π§ π nunca va a ser igual a cero a menos que no exista
lΓquido. La ecuaciΓ³n para la superficie libre se transforma en:
π2 π 2
π§π = + ππ
2π
AquΓ π§ π es la distancia desde la superficie libre hasta el fondo del tanque a lo largo
del eje de rotaciΓ³n.
El volumen formado por la superficie libre se puede determinar conociendo un
elemento de cascaron cilΓndrico de radio π, altura π§ π y espesor ππ.
38. Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
De la grΓ‘fica se obtiene:
π2 π 2
π π = π0 β
4π
π2 π 2 π2 π 2
π§π β = π0 β
2π 4π
π2 π 2 π2 π 2
π§ π = π0 β +
4π 2π
π2 π 2 + 2π2 π 2
π§ π = π0 β
4π
π2 2
π§ π = π0 β π β 2π 2
4π
La altura mΓ‘xima vertical se da en el borde cuando π = π y la diferencia mΓ‘xima
en las alturas entre el borde y el centro de la superficie se obtiene al evaluar π§ π en
π = π y π = 0 y se calcula la diferencia. La altura mΓ‘xima es igual a:
π2 2
π§ π = π0 β π β 2π 2
4π
π2 2
π§ π = π0 β π β 2π 2
4π
40. ππ2 2 2
π2β π1 = π2 β π1 β ππ π§2 β π§1
2
Al tomar π1 como el origen, π = 0 y π§ = 0 ;π1 = π0 ; π2 se toma como cualquier punto
en el fluido.
ππ2 2
π£ππππππΓ³π ππ ππ ππππ πΓ³π π = π0 + π β πππ§
2
EJEMPLO
Se hace girar un tanque cilΓndrico de diΓ‘metro 2.5 π con agua a 15 πππ. La
presiΓ³n en el centro de la superficie del fondo es de 100 πππ. Calcular la presiΓ³n
en el borde de la superficie del fondo.
Fuente: MecΓ‘nica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala