Enseñanza lúdica matemática

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE 2010 - 2011“MEJORES MAESTROS, MEJORES ALUMNOS”5025390-537210-280035-537210 COMPONENTE: DISEÑO CURRICULAR NACIONAL ESPECÍFICOÁREA MATEMÁTICA MÓDULO 229495782388 -754380129540 Juan Portal PizarroESPECIALISTA RESPONSABLEUniversidad Nacional De CajamarcaEL MUNDO MÁGICO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA INTRODUCCION La importancia de las herramientas cuantitativas en el desarrollo del pensamiento lógico matemático, requiere que el docente de educación primaria desarrolle capacidades, habilidades, métodos y algoritmos de cálculo cuya base es la matemática, por lo que se hace necesario darle énfasis a través de esta área, la comprensión, análisis de un conjunto de contenidos y estrategias matemáticas que ayudan y proporcionan elementos necesarios para la toma de decisiones y desarrollar el pensamiento creativo y crítico La matemática siempre ha sido considerada una área de importancia vital en el currículo escolar, tanto por su contribución al desarrollo cognitivo del niño, como por la funcionalidad que poseen la mayoría de los aprendizajes en la vida adulta o por proporcionar un instrumento para el posterior desarrollo de otras áreas. Uno de los objetivos de esta área es analizar, por un lado, las dificultades que presenta el área, por las que cierto número de niños llegan a manifestar un considerable retraso, con la consiguiente inadaptación y fracaso que ello supone. Por otra parte, se revisan los principales tipos de deficiencias del aprendizaje de la matemática, y su implicación en el área, con especial atención al diseño de estrategias de actuación en el aula que permitan una progresiva incorporación o aproximación de los alumnos con dificultades en el aprendizaje de esta área de los demás alumnos. Teniendo en cuenta esto, se realizará y compartirá estrategias para desarrollar en el aula y de esta manera hacer una matemática lúdica y significativa. El presente módulo abarca los siguientes ejes temáticos: Desarrollo del pensamiento Lógico Matemático. Proceso de construcción de la noción del número: Cardinal y ordinal; lectura y escritura de números naturales: Valor posicional. Establecimiento de relaciones: Ordenamiento y sucesiones. TEMAS TRANSVERSALES Comprensión lectoraComprensión literal Comprensión inferencial Comprensión critica Educación inclusiva e interculturalidadEducación inclusiva, interculturalidad, identidad y pertenencia a su comunidad. Desarrollo personal, formación ética, valores y orientación educativaLa ética en el contexto del desarrollo humano, emociones morales compartimiento ético, razonamiento moral, identidad moral. Equidad de género. APRENDIZAJES ESPERADOS Maneja el sustento teórico y las estrategias metodológicas del área de Matemática en el nivel de educación primaria. Conoce el proceso de maduración del pensamiento lógico matemático y los conceptos y destrezas básicas que se proponen en el currículo de Educación Primaria, con las dificultades intrínsecas que conllevan. Fomentar la capacidad crítica, innovadora e investigadora, base de la formación permanente del profesorado. ENFOQUE DEL ÁREA DE MATEMÁTICA EN EDUCACIÓN PRIMARIA En la Educación Primaria, el área de matemática, mediante un enfoque cognitivo, social y cultural, busca dotar a los estudiantes de una cultura matemática que les proporcione recursos para toda la vida, lo que implica brindarles oportunidades de aprendizaje que estimulen el desarrollo de su pensamiento Lógico, permitiendo de esta manera realizar elaboraciones mentales para comprender el mundo y actuar en él. Esta concepción tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la enseñanza y el aprendizaje de la matemática: Existe una interacción profunda entre la realidad y la matemática. Es necesario tener en cuenta la experiencia y la manipulación de los objetos, es decir el apoyo permanente de lo real, sin abandonar las intuiciones de nuestra mente, contribuye al establecimiento de relaciones y conceptualizaciones matemáticas. La formalización rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio superior. Los procesos del pensamiento matemático son el centro de la Educación Matemática. Se debe propiciar en los estudiantes el desarrollo de procesos del pensamiento antes que el acopio de contenidos. La matemática es, sobre todo, saber hacer. La matemática brinda la posibilidad de tener un vínculo particular con la verdad. Permite usar el conocimiento como medio para fundamentar el trabajo realizado. Los estudiantes pueden validar sus realizaciones. Los factores afectivos son importantes en el desarrollo del pensamiento matemático. Es preciso tener en cuenta la importancia de la motivación y buscar por diversos medios, el desarrollo del sentimiento estético y el placer lúdico que la matemática es capaz de proporcionar; así como el desarrollo de valores. Los fracasos de muchos estudiantes tienen su origen en experiencias iniciales destructivas de sus propias potencialidades. La matemática tiene un carácter profundamente humano, el cual debería hacerla asequible, dinámica, interesante y atractiva a los estudiantes. Las tecnologías de la información y la comunicación, están empezando a influir fuertemente en la orientación de la educación matemática desde los primeros grados de escolaridad. Lo más importante de la utilización de herramientas tales como las calculadoras y las Tecnologías de la Información, para apoyar el trabajo escolar, es el desarrollo de los procesos del pensamiento antes que la ejecución de ciertas rutinas que se refieren solo al manejo de las máquinas. Según el Diseño Curricular Nacional, en el área de matemática del nivel primario manifiesta: “…el desarrollo del pensamiento matemático y el razonamiento lógico adquieren significativa importancia en la educación básica, permitiendo al estudiante estar en capacidad de responder a los desafíos que se le presentan, planteando y resolviendo con actitud analítica los problemas de su realidad. La matemática forma parte del pensamiento humano y se va estructurando desde los primeros años de vida en forma gradual y sistemática, a través de las interacciones cotidianas. Los niños observan y exploran su entorno inmediato y los objetos que lo configuran, estableciendo relaciones entre ellos cuando realizan actividades concretas de diferentes maneras: utilizando materiales, participando en juegos didácticos y en actividades productivas familiares, elaborando esquemas, gráficos, dibujos, entre otros Ser competente matemáticamente supone tener habilidad para usar los conocimientos con flexibilidad y aplicarlos con propiedad en diferentes contextos. Desde su enfoque cognitivo, la matemática permite al estudiante construir un razonamiento ordenado y sistemático. Desde su enfoque social y cultural, le dota de capacidades y recursos para abordar problemas, explicar los procesos seguidos y comunicar los resultados obtenidos” DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO ¿QUÉ ES EL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO? Entendemos por pensamiento lógico matemático al conjunto de procesos mentales a través de los cuales se establecen relaciones entre objetos, situaciones, conceptos, que permitan estructurar la realidad. El pensamiento lógico matemático está formado por una red de relaciones, dicho de otra forma, el conocimiento construido por el educando forma estructuras organizadas y la red de relaciones entre los objetos o hechos que el educando crea constantemente es lo que forma el pensamiento lógico matemático. El pensamiento lógico matemático se emplea para procesar información seleccionada, desarrollando ideas basándose en la alta probabilidad matemática, permitiéndonos desarrollar comportamientos automáticos, esto implica que la información no tenga que analizarse cuidadosamente todo el tiempo, lo cual nos ahorra tiempo. En resumen, podemos afirmar que el pensamiento lógico matemático es la capacidad que tiene una persona para construir relaciones entre las propiedades de los objetos, elaborar contenidos matemáticos (signos, símbolos, ideas, nociones o conceptos) resolver problemas basados en el razonamiento. En consecuencia, esta forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de las operaciones mentales o cognitivas tales como: observar, identificar, relacionar, discriminar, interpretar, argumentar, analizar, inferir, etc. El razonamiento debemos atenderlo como la capacidad de pensar reflexivamente, ordenar ideas con respecto a un concepto o planteamiento, demostrar con argumentos sólidos nuestro punto de vista, demostrar una secuencia o una conclusión. Para Piaget, el pensamiento lógico matemático es el aglutinamiento que unifica toda la cognición. PROCESO DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Se sustenta y deriva de los estudios y propuestas de Dienes, así como de las investigaciones de Piaget, consiste básicamente en tener en cuenta que el aprendizaje de la matemática debe ir desde lo intuitivo, experimental, concreto hasta lo gráfico y representativo, para finalmente recién llegar a la parte formal y abstracta de la matemática, que es la elaboración de conceptos y símbolos y su debida aplicación a la resolución de problemas. Es una metodología eminentemente activa e inductiva, puesto que va de lo concreto a lo abstracto y del ejemplo a la teoría. ETAPA INTUITIVO - CONCRETA: Aquí el alumno, en su relación, sensoperceptual con su entorno internaliza las primeras relaciones, que serán la base para las relaciones matemáticas. Juegos libres: Es la acción directa, se inicia con la manipulación de materiales concretos para reconocer sus características y sus relaciones, de acuerdo a sus intereses y necesidades. Juegos estructurados: Consiste en establecer y comprender reglas y secuencias, que más tarde se convertirán en normas y algoritmos. Los materiales deben servir solamente de apoyo para que los alumnos desarrollen su pensamiento y aprendan luego a razonar en forma abstracta. ETAPA GRÁFICO – REPRESENTATIVA: Es el segundo nivel llamado también icónico, aquí es donde se realiza las primeras representaciones de los juegos y actividades de la etapa anterior. Son el camino a las primeras abstracciones. ETAPA CONCEPTUAL – SIMBÓLICA: Es el más alto nivel del edificio matemático. Es el manejo de constructos matemáticos. Aquí los niños son guiados para construir los conceptos matemáticos. Se define signos (letras u objetos) a los que arbitrariamente se les atribuye determinadas propiedades. Se aplican los conceptos elaborados a la solución de situaciones problemáticas contextualizadas. ETAPAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO EN EL AULA.JUEGOS LIBRESColorear figurasClasificar, ordenarAgrupar objetos Interpretar reglas Reconocer criterios Construcciones Manipulaciones Desplazamientos JUEGOSDiagramas, fechas Cuadros doble entrada Código, tablasModelización Interpretar esquemas ETAPA INTUITIVO CONCRETAJUEGOS ESTRUCTURADOSREPRESENTACIÓN DE ACTIVIDADES Y JUEGOSUSO DE CONCEPTOS Y SÍMBOLOS Formar conceptosManejar fórmulas Tablas numéricas Ejercicio escrito y oral Solución de problemasInvención de problemas Utilización de conceptos, teorías, leyes y principiosETAPA GRÁFICO REPRESENTATIVAETAPA CONCEPTUAL SIMBÓLICA El pensamiento lógico matemático se construye siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histórica, existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial, que en matemática es de tipo INTUITIVO CONCRETO; el pensamiento racional que es GRÁFICO REPRESENTATIVO y el pensamiento lógico, que es de naturaleza CONCEPTUAL O SIMBÓLICA. El siguiente esquema nos muestra dicho proceso: Cognición Capacidad de: Aprender a aprenderAprender a pensarAprender a hacer Aprender a vivirAprender a serMetacognición DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICOETAPA CONCEPTUAL SIMBÓLICAAprender la realidad que nos rodea a través de nociones, conceptos, teorías, leyes, principios, símbolos, etc. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO RACIONALETAPA GRÁFICO REPRESENTATIVAAprender la realidad a través de sus diversas formas y maneras de representarla y graficarla como un medio elemental de razonamiento. Aprender la realidad a través de diversas sensaciones, es decir, mediante la información que nos proporcionan los sentidos. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO SENSORIALETAPA INTUITIVO CONCRETA Para poder aprender nociones abstractas o generalizaciones teóricas del tipo que abundan en matemática, es necesario que se hayan configurado en el cerebro humano, las estructuras mentales que hagan posible su asimilación, acomodación y conservación. Es indispensable, en consecuencia, que el mediador y el facilitador del aprendizaje verifique si las personas que aprenden poseen dichas estructuras mentales, antes de iniciar una sesión de matemática. De lo contrario, es necesario realizar las manipulaciones, clasificaciones, construcciones, análisis y agrupaciones necesarias con material objetivo o concreto, para luego pasar a las representaciones gráficas y de allí, finalmente, a las formalizaciones que caracterizan a la matemática. De nada sirve obviar estos procesos. Existe la ventaja, sin embargo, de que el cerebro humano no tiene una edad límite para crear sus estructuras mentales. En matemática nunca será tarde, entonces para volver a ser niños y desarrollar nuestra capacidad de aprender a aprender a partir de “hacer cosas”. Es importante indicar que en el debate (desequilibrio – reequlibrio cognoscitivo) de los distintos puntos de vista entre los alumnos, es donde se construye el pensamiento lógico. El niño aprende a pensar autónomamente, desde dentro de su pensamiento y no desde nuestra enseñanza, desde fuera. Así vamos comprendiendo aquello que tantas veces menciona el orientador “Los niños aprenden buenas actitudes (autonomía moral) y buen desarrollo de su pensamiento lógico (autonomía intelectual) en unas relaciones socio – afectivas adecuadas: “Constructivismos socio-afectivo” y definitivamente el aprendizaje significativo. En este sentido el docente debe convertirse en un mediador, guía, orientador y problematizador. El desarrollo del pensamiento lógico matemático, al igual que cualquier otra forma del desarrollo del pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadie nace siendo poseedor de él. Por ejemplo, nadie nace con la capacidad de razonar, comunicarse matemáticamente y de resolver problemas. Todo se aprende. Sin embargo, este aprendizaje puede ser un proceso fácil o difícil, en la medida del uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas. Algunos aspectos importantes que el docente debe saber sobre la enseñanza de las matemáticas Deberá mantener una actitud que propicie el desarrollo del pensamiento del niño, que se puede resumir en lo siguiente: Mantener un clima de confianza. Para que el niño/a se pueda desenvolver en las distintas actividades, con espontaneidad dentro de un clima seguro y afectuoso. Dar explicaciones precisas. El hecho de que los niños sean pequeños no debe impedir dar explicaciones verdaderas sobre las dudas que ellos nos manifiestan. Se debe explicar el por qué de las cosas. Motivación. Dar sentido concreto a las actividades, ayudará al niño a tener más interés hacia las experiencias que le harán progresar. Estar atento y considerar las preguntas. Debemos estar atentos a los niños cuando experimentan en sus actividades para poder guiarlos en la resolución de ellas, que cada uno conseguirá por caminos a veces distintos. Dar respuesta a sus preguntas será una actitud fundamental para que progresen. Ser paciente. Cada niño tiene un ritmo distinto en su proceso de maduración y desarrollo, por ello deberemos ser pacientes ante las distintos tiempos de resolución de las actividades. Para desarrollar el pensamiento lógico matemático en los niños es preciso considerar los siguientes espacios dentro del aula: Espacios para armar, desarmar y construir: este espacio permite hacer construcciones, armar y separar objetos, rodarlos, ponerlos unos encima de otros, mantener el equilibrio, clasificarlos, jugar con el tamaño y ubicarlos en el espacio. Espacios para realizar juegos simbólicos, representaciones e imitaciones: este espacio debe ser un lugar para estimular el juego simbólico y cooperativo, además de ser un lugar que le permita al niño representar experiencias familiares y de su entorno. Espacios para comunicar, expresar y crear: en edad preescolar conviene apoyar las conversaciones, intercambios, expresiones de emociones, sentimientos e ideas. Por lo tanto, el aula debe estar equipada de materiales interesantes, con el propósito de desarrollar todos los medios de expresión (dibujo, pintura y actividades manuales). Espacios para jugar al aire libre: este se refiere al ambiente exterior destinado para el juego al aire libre, al disfrute y esparcimiento. Este espacio permite construir las nociones: adentro, afuera, arriba, abajo, cerca, lejos estableciendo relación con objetos, personas y su propio cuerpo. Espacios para descubrir el medio físico y natural: al niño de los primeros grados de educación primaria le gusta explorar y hacer preguntas acerca de los eventos u objetos que le rodean. Por tal motivo, hace uso de sus sentidos para conocer el medio exterior y comienza a establecer diferencias y semejanzas entre los objetos y por ende los agrupa y ordena. Estas nociones son la base para desarrollar el concepto de número, es por ello, que se deben proporcionar materiales y objetos apropiados que les permitan a los niños agrupar, ordenar, seriar, jugar con los números, contar, hacer comparaciones, experimentar y estimar. Además de espacios adecuados, el niño deberá disponer de materiales para manipular y experimentar, pues su tipo de pensamiento requiere sobre todo presencia de materiales concretos tales como: 􀂃 Material diverso para seriar, agrupar, separar. 􀂃 Material para asimilar formas geométricas, bloques lógicos, Tangram. 􀂃 Para la orientación espacial, ladrillos, picas, conos, aros, tubos. 􀂃 Material de desecho variado, y de fabricación propia. 􀂃 Para la asimilación de las bases de numeración, y sistema de numeración decimal son de especial interés el material multibase, las regletas Cuissenaire. El desarrollo del pensamiento lógico incluye una serie de periodos, y los Primeros Grados de educación Primaria se sitúa en el Estadio de las operaciones concretas, en el subestadio del pensamiento preoperacional. Por lo cual las actividades, contenidos, y métodos deberán ser acordes a este tipo de pensamiento de nuestros alumnos/as. El desarrollo del pensamiento lógico matemático se realiza de una forma continua, en la cual cada uno de nuestros alumnos lleva un ritmo distinto de maduración y aprendizaje. Es muy importante que la actitud del docente sea acorde con las características del pensamiento de los alumnos de esta edad, que fomente una actitud de confianza en si mismos, que respeta las diferencias individuales, que propicie la motivación, y un clima adecuado en la clase. Es necesario para el desarrollo de este aspecto del pensamiento de nuestros alumnos que en la disposición de nuestras aulas haya lugares y materiales apropiados a las características del niño de Educación Primaria, que propicien las actividades que conllevarán a la maduración en los procesos del pensamiento lógico matemático de nuestros alumnos y alumnas. Algunas cosas importantes que su niño debe saber sobre las matemáticas Usted también puede ayudar a su alumno a aprender matemáticas al ofrecerle consejos sobre cómo abordar las matemáticas. Su niño desarrollará mayor seguridad en su capacidad matemática si comprende los siguientes puntos importantes: Los problemas pueden ser resueltos en varias maneras. Aunque en la mayoría de los problemas matemáticos hay sólo una respuesta correcta, puede haber varias maneras de encontrarla. El aprender matemáticas es más que encontrar la respuesta correcta; también es un proceso para resolver problemas y aplicar lo que se ha aprendido anteriormente a nuevos problemas. A veces las respuestas incorrectas también son útiles. La precisión siempre es importante en las matemáticas. Sin embargo, a veces usted podrá usar una respuesta incorrecta para ayudar a su alumno a resolver cómo cometió un error. Analizar las respuestas incorrectas puede ayudar a su niño a comprender los conceptos fundamentales del problema y ayudarle a aplicar sus destrezas de razonamiento para encontrar la respuesta correcta. Pida que su niño le explique cómo resolvió un problema matemático. Su explicación le puede ayudar a descubrir si necesita ayuda con destrezas de cálculo, como sumar o restar, o con los conceptos necesarios para resolver el problema. ¡Arriésgate! Ayude a su alumno a tomar riesgos. Ayúdele a valorar el intento de resolver un problema, aunque sea difícil. Dele tiempo para explorar distintos métodos para resolver un problema difícil. Mientras trabaja, ayúdelo a hablar sobre lo que está pensando. Esto le ayudará a reforzar sus destrezas matemáticas y a poder razonar y resolver problemas independientemente Es importante poder hacer matemáticas “en tu cabeza.” Las matemáticas no se hacen sólo con papel y lápiz. Hacer problemas matemáticos “en tu cabeza” (matemáticas mentales) es una destreza valiosa que nos es útil al hacer cálculos rápidos de los precios en las tiendas, restaurantes y gasolineras. Hágale saber a su niño que al usar las matemáticas mentales, sus destrezas se fortalecerán. A veces está bien usar una calculadora para resolver problemas matemáticos. Está bien usar calculadoras para resolver problemas matemáticos de vez en cuando. Se utilizan con mucha frecuencia y saberlas usar correctamente es muy importante. La idea es no permitir que su niño se excuse con la actitud, “No necesito saber matemáticas tengo una calculadora.” Ayude a su alumno a entender que para usar calculadoras correcta y eficientemente, necesitará fuertes fundamentos en operaciones matemáticas de otra manera, ¿cómo sabrá si la respuesta que le da la calculadora es razonable? DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA El sentido numérico y su desarrollo Desde los niveles de inicial uno de los objetivos básicos de la educación matemática será el desarrollo progresivo del quot;
sentido numéricoquot;
, entendido como quot;
una buena intuición sobre los números y sus relacionesquot;
, que debe desarrollarse gradualmente como resultado de explorar los números, usarlos en una variedad de contextos, y relacionarlos entre sí, superando el limitado aprendizaje de los algoritmos tradicionales. quot;
El sentido numérico se concibe como una forma de pensar, por consiguiente no es una quot;
lecciónquot;
en el currículum de la matemática, sino una manera de aproximarse al trabajo con los números en el aulaquot;
. La comprensión y dominio de los números naturales pone en juego muchas ideas, relaciones y destrezas, por lo que podemos considerarlo como un aprendizaje complejo, que no se desarrolla de manera simple y automática. Con la expresión ‘sentido numérico’ hacemos referencia al complejo de nociones y relaciones que configuran el ‘sistema de los números naturales’. Incluye, por tanto, su origen en las actividades humanas de contar y ordenar colecciones de objetos, los instrumentos materiales inventados para dicha actividad, las operaciones y relaciones que se establecen entre ellas para la solución de problemas prácticos, y el propio sistema lógico deductivo que organiza, justifica y estructura todos sus elementos. El dominio intuitivo, flexible y racional de los números que caracteriza la apropiación del sentido numérico por parte del sujeto se inicia en el nivel Inicial, con las actividades de clasificación y ordenación de colecciones (uso de relaciones “más que”, “menos que”, “igual”,...), el aprendizaje de la secuencia numérica hasta la decena, y continúa desarrollándose en los niveles escolares posteriores trabajando con números más grandes, fracciones, decimales, porcentajes, etc. El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas El número natural surge como respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿qué lugar ocupa este elemento dentro de un conjunto ordenado? Se construye, por tanto, alrededor de su significado como cardinal y ordinal y para ello es necesario contar. Pero esto exige a su vez la memorización de tramos de la sucesión numérica cada vez más amplios. Además, se necesita también estar en condiciones de recitar cualquier tramo de la sucesión numérica para saber cuáles son los números anterior y posterior a uno dado y para desarrollar técnicas orales de suma y resta. La memorización de la sucesión de palabras numéricas puede conseguirse por medio de situaciones de recitado o de recuento. Pero el recuento empieza siempre desde uno y no permite consolidar tramos altos de la sucesión. Por ejemplo, para aprender que después del novecientos noventa y nueve viene el mil no podemos contar desde uno, tendremos que recitar la sucesión numérica desde un novecientos y pico. Hay que tener en cuenta, además, que las dificultades mayores se encuentran en los cambios de decena, centena, millar, etc., por lo que es necesario ejercitarse en tramos de la sucesión que contengan alguno de estos cambios. En el dominio del recitado de las palabras numéricas el alumno puede encontrarse en alguno de los niveles siguientes: - Nivel cuerda. El alumno es capaz de recitar un trozo de la sucesión numérica por evocación. El sonido de lo que está diciendo trae encadenados los sonidos siguientes, pero el niño no separa una palabra de otra. Este conocimiento verbal no puede aplicarse al recuento al no distinguir donde acaba una palabra y empieza otra. - Nivel cadena irrompible. El niño sólo es capaz de recitar la sucesión numérica si empieza por el uno, pero ahora ya diferencia las distintas palabras numéricas. En este nivel ya se pueden asumir tareas de recuento. - Nivel cadena rompible. Aquí el alumno es capaz de quot;
romperquot;
la cadena comenzando a recitar a partir de un número distinto del uno. - Nivel cadena numerable. El niño es capaz, comenzando desde cualquier número, de contar un número determinado de palabras, deteniéndose en la que corresponda. Por ejemplo, contar cinco números a partir del ocho y decir el número final, el trece. Desde este dominio se afrontan con bastantes garantías la realización de las operaciones básicas del cálculo. - Nivel cadena bidireccional. Es el máximo dominio al que se puede llegar. Supone las destrezas del nivel anterior aplicadas al recitado de la sucesión numérica hacia delante o hacia atrás. Contar bien desde el número a, b números hacia atrás, tardando aproximadamente el mismo tiempo que hacia delante, es el tipo de tarea que define al alumno que ha alcanzado este nivel de dominio de la sucesión numérica. Aunque estos niveles definen una progresión en el aprendizaje del recitado de la sucesión numérica, hay que entender que no todos los niños pasan por todos esos niveles y también que un mismo niño puede tener un nivel de dominio de un cierto tramo numérico y otro nivel distinto para otro tramo numérico. Es decir, un niño puede estar en un nivel de quot;
cadena numerablequot;
en el tramo del uno al diez y en un nivel de quot;
cadena irrompiblequot;
en el tramo del diez al veinte. El aprendizaje de las palabras numéricas se va haciendo por tramos progresivos que se suelen consolidar en el siguiente orden: primero las palabras uno, dos y tres, después el tramo del uno al cinco seguido del tramo del cinco al diez. En fases posteriores los niños van consolidando los siguientes tramos: del diez al veinte, del veinte al cincuenta, del cincuenta al cien, del cien al doscientos, del doscientos al quinientos, del quinientos al mil, del mil al diez mil, del diez mil al cien mil, del cien mil al millón, del millón en adelante. PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DE LA NOCIÓN DE NÚMERO. CARDINAL Y ORDINAL El aprendizaje del recuento y del significado del número como cardinal y ordinal Los distintos estados de conocimiento de los niños sobre el significado del número pueden resumirse como sigue: - Percepción temprana de cardinales. Los niños pequeños, de primer grado, son capaces de reconocer el cardinal de conjuntos de uno a tres o cuatro elementos sin necesidad de contar. El cardinal es percibido globalmente por simple inspección visual del conjunto. En cambio, cuando se trata de cardinales mayores, los niños ya no saben decirlos correctamente porque eso exige contar y en esta etapa no tienen asumidos los principios en los que se basa dicha técnica. - Percepción prioritaria de ordinales. Esta etapa corresponde a niños con edades entre tres y cinco años. Ahora los niños ya asumen algunos de los principios que permiten efectuar un recuento. En concreto, el principio del orden estable (las palabras numéricas deben decirse siempre en el mismo orden, empezando por el uno y sin omitir ninguna) y el de la correspondencia uno a uno (cada objeto del conjunto contado debe recibir una palabra numérica y sólo una)1. La práctica del recuento pone de manifiesto el sentido ordinal del número por cuanto la palabra numérica que se adjudica a cada objeto es su ordinal. Sin embargo, en esta fase no se asume el principio de cardinalidad, es decir, los niños no entienden que el último ordinal sea, al mismo tiempo, el cardinal de todo el conjunto. Para ellos, la respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay?, consiste en la enumeración de todos los objetos de la colección. - Percepción prioritaria de cardinales. En esta etapa, los niños, asumen el principio de cardinalidad (la última palabra de un recuento indica, no sólo el ordinal del último elemento señalado, sino también el cardinal del conjunto) con lo que pueden responder correctamente a la pregunta ¿cuántos hay? después de haber efectuado un recuento. Pero al centrar su atención en los cardinales sufren una cierta regresión respecto a los ordinales y aparecen, por ejemplo, dificultades al obtener un ordinal. Se niegan a detener el recuento en el elemento en cuestión, ya que tienen muy claro el principio de la correspondencia uno a uno y pretenden adjudicar palabras numéricas a todos los elementos del conjunto. También tienen dificultades para reinterpretar un cardinal como ordinal, es decir, una vez que han dicho que diecisiete es el número de elementos de un cierto conjunto, les resulta difícil volver a entenderlo como el ordinal del último elemento señalado. Esto les impide, entre otras cosas, adoptar técnicas de contar a partir de uno de los sumandos para obtener una suma. Una buena concepción del número como cardinal y ordinal supone asumir la doble condición de cada palabra de un recuento como ordinal de un elemento y, a la vez, cardinal de los elementos contados hasta ese momento. Esto permite interpretar las palabras de un recuento numérico, bien como ordinales, bien como cardinales, en función del problema que haya que resolver. En lo que se refiere a la técnica de contar, los errores que se observan pueden clasificarse en: - Errores de recitado. Errores ligados a un recitado incorrecto de la sucesión numérica, consistentes en: saltarse palabras numéricas, decirlas en otro orden, repetirlas, introducir palabras no numéricas, etc. Pueden deberse a que el niño no tiene asumido el principio del orden estable o a una memorización incorrecta del tramo numérico que recita. - Errores de coordinación. Errores ligados a la falta de coordinación entre la emisión de la palabra y el señalamiento del objeto. Por ejemplo, el niño dice quot;
cuatroquot;
señalando dos objetos o dice quot;
dos tresquot;
señalando un único objeto. Pueden deberse al desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno, al hecho de no saber donde empiezan y acaban las distintas palabras numéricas (nivel cuerda del recitado) o a una falta de coordinación entre la emisión vocal y el movimiento de la mano. - Errores de partición. Errores asociados al hecho de quot;
no llevar la cuentaquot;
, es decir, de no distinguir correctamente lo ya contado de lo que falta por contar. Consisten en volver a contar un objeto ya contado o dejar objetos sin contar. Se producen por desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno o por una defectuosa puesta en práctica del mismo, debida al desconocimiento o mala utilización de las técnicas auxiliares del recuento (técnicas de diseño de un camino, marcado, separación o realización de una partición) El aprendizaje del orden numérico El orden numérico se construye alrededor de situaciones de comparación: comparación entre ordinales para decidir quién va antes y comparación entre cardinales para decidir a qué conjunto le sobran o faltan elementos cuando construimos parejas con un elemento de cada conjunto. Decimos que cinco es menor que ocho porque si un elemento es el quinto estará antes o será anterior en el tiempo al octavo (significado del orden entre ordinales). También decimos que cinco es menor que ocho porque si emparejamos cinco tazas con ocho platos quedarán platos sin taza (significado del orden entre cardinales). Esta última definición también lleva implícita la idea de que todos los conjuntos que tienen el mismo cardinal pueden emparejarse sin que quede ningún elemento sin pareja. El orden numérico tanto en su sentido ordinal como cardinal es asumido muy pronto por los niños. En el caso de orden entre ordinales, el éxito a la hora de ordenar dos números va ligado a la memorización del tramo de la secuencia numérica que los incluye. El niño capaz de recitar del uno al diez ya puede decir, por ejemplo, que quot;
el seis va antes que el nuevequot;
. Sin embargo, ese mismo niño puede no saber que quince es menor que diecisiete si no tiene memorizado el tramo del diez al veinte. La memorización de tramos cada vez más amplios de la sucesión numérica permite a los niños ampliar las parejas de números susceptibles de ser ordenadas. Finalmente, la familiarización con las reglas de formación de las palabras numéricas junto con el conocimiento de la escritura del número, conduce a los niños a asumir las reglas formales del orden numérico: Un número es menor que otro si tiene menos cifras. Si dos números tienen el mismo número de cifras, será menor aquel que tenga menor la cifra de orden superior. Si las cifras de orden superior coinciden, se examinan las cifras de orden siguiente hasta encontrar algún caso en que no coincidan y entonces se aplica la regla b. En cuanto al sentido cardinal del orden, en un primer momento los niños son capaces de percibir globalmente si en un conjunto hay más elementos que en otro, siempre que esa diferencia sea apreciable por simple inspección visual. Sin embargo, el establecimiento del orden entre los cardinales de dos conjuntos por medio del emparejamiento (construcción de parejas que contengan un elemento de cada conjunto) o del recuento no es una habilidad temprana; de hecho, hay niños de seis y siete años que, en esas condiciones, tienen dificultades para decidir qué conjunto tiene más o menos elementos. A este respecto es esclarecedor el comportamiento de los niños en la llamada experiencia de la conservación del número propuesta por Jean Piaget. Consiste en lo siguiente: - Se le presentan aun niño un número reducido de objetos, por ejemplo, entre seis y nueve fichas azules puestas en fila. A continuación, el entrevistador le pide al niño que ponga tantas fichas rojas como fichas azules hay, una ficha roja por cada ficha azul. Una vez que el niño ha emparejado cada ficha azul con una ficha roja, el entrevistador le pregunta si hay el mismo número de fichas azules que de fichas rojas. Si el niño dice que sí, el entrevistador modifica la fila de fichas rojas dejando una mayor distancia entre dos fichas. De esa manera, la fila de fichas rojas ocupa más espacio que la de fichas azules. Después de eso, se pregunta al niño si ahora sigue habiendo las mismas fichas azules que rojas. En la resolución de esta tarea los niños se comportan de las siguientes maneras: - Algunos no saben colocar un número de fichas rojas igual al de fichas azules. No conocen la técnica de emparejamiento ni tampoco se les ocurre contar. Son niños que pueden tener una percepción global de dónde hay más o menos elementos, pero que no usan la correspondencia uno a uno para comparar cardinales. - Otros son capaces de colocar un número de fichas rojas igual al de azules, están seguros de que los dos cardinales son iguales, pero cuando el entrevistador modifica una de las filas haciendo que ocupe más espacio dicen que en esa fila hay más fichas. Se trata de niños que son capaces de usar una técnica de emparejamiento para comparar cardinales de conjuntos, pero en cuanto visualmente ese emparejamiento desaparece dejan de verlo y vuelven a una comparación global basada en la percepción visual de que uno de los conjuntos ocupa más espacio. - Por último, tenemos a los niños que a pesar de la modificación espacial efectuada por el entrevistador siguen afirmando que los dos conjuntos de fichas tienen el mismo número porque quot;
no se ha puesto ni quitado ninguna fichaquot;
. En este caso, los niños no sólo son capaces de usar la correspondencia uno a uno entre conjuntos para comparar cardinales, sino que siguen quot;
viéndolaquot;
, aunque físicamente haya desaparecido, y no se dejan distraer por consideraciones de otro orden. Lo más sorprendente de esta experiencia es que ha puesto de manifiesto que prácticamente todos los niños pequeños son quot;
no conservadoresquot;
y que es necesario esperar a que tengan alrededor de siete años para que acepten mayoritariamente que el número de fichas sigue siendo el mismo. Una última consideración a tener en cuenta es que la tarea de ordenar dos números es muy diferente de la de ordenar tres o más números. De hecho, se ha observado que niños que son capaces de ordenar tres números de dos en dos no son capaces de ordenarlos a base de decir cual es el menor, el mediano y el mayor. En una fase posterior se da también el caso de que, una vez ordenados ciertos números, el niño es incapaz de introducir en el lugar adecuado un número que se le ha dado posteriormente. El aprendizaje del sistema escrito de numeración El aprendizaje del sistema escrito de numeración se desarrolla en dos etapas: la de la lectura y escritura de las cifras (números del O al 9) y la de la lectura y escritura de números de dos o más cifras, lo que supone asumir las reglas de representación de números propias de un sistema posicional de base diez. En lo que se refiere a las cifras, los niños deben aprender a reconocerlas y a escribirlas siguiendo el sentido de recorrido oportuno. Para las personas diestras los sentidos de recorrido más adecuados son los siguientes: 148590163195 Los errores más frecuentes que se observan en el trabajo de los niños son: - Errores de inversión de la grafía. Algunos niños confunden el 6 y 9; otros escriben 558165148590 - Errores caligráficos. La mala caligrafía puede llevar a un niño a confundir sus propias cifras cuando tiene que volver a leerlas. Se puede confundir el 1 con el 2, el 3 con el 5, el 6 o el 9 con el 0, etc. - Errores de recorrido. Es frecuente que los niños se acostumbren a escribir las cifras siguiendo recorridos anómalos. Esto contribuye a empeorar la caligrafía y, además, puede fomentar los errores de inversión ya comentados y la escritura de derecha a izquierda, en vez de izquierda a derecha, lo que crea problemas cuando hay que escribir números de varias cifras. En cuanto al valor de posición de las cifras, diversas experiencias muestran que la comprensión que tienen los niños de ese convenio es muy limitada, incluso cuando llevan ya mucho tiempo escribiendo números de varias cifras. A continuación vamos a describir dos de esas experiencias SECUENCIA SUGERIDA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA NOCIÓN DE NÚMERO Evaluar la CONSERVACIÓN de número. Recolectar objetos del entorno. Agrupar-clasificar objetos con criterios dados por los alumnos. (trabajo intuitivo-concreto con material no estructurado). Agrupar- clasificar objetos con criterios dados por el profesor. Clasificaciones con material concreto estructurado en el aula como los “bloques lógicos” Los caracoles lógicos, los carricitos lógicos, los gallitos lógicos, etc. Comparar conjuntos. Clasificaciones con material concreto estructurado: Bloques Lógicos de Vygotski y Dienes. Comparación de conjuntos. Seriaciones, orden e inclusión jerárquica. Trabajo con cuantificadores, por ejemplo: Hay más bloques amarillos que bloques redondos (circulares), etc. Construir la noción de relación de TANTOS COMO, por ejemplo: hay TANTOS bloques rojos, COMO bloques azules. Relaciones de orden. Habiendo construido la relación de tantos como habremos construido la noción de CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA, habremos llegado a la de NÚMERO como una determinada clase de correspondencia biunívoca entre dos conjuntos disjuntos. Construcción de la noción de cardinalidad o de tantos elementos por conjunto. Establecimiento de la serie numérica (Sistema Numérico) Al emprender un estudio de los niños, es importante recordar que estas tareas de conservación ejemplifican solamente un área del pensamiento lógico y que únicamente representan un punto de partida conveniente. Aquí describimos las diferentes tareas para la diagnosis de conservación en forma detallada para las entrevistas con niños y se examine los niveles de pensamiento que se reflejan en sus respuestas. Aún cuando difieren las edades promedio para llevar adelante labores específicas, si se comparan las culturas orientales y las no orientales, por ejemplo, encontraremos diferencias sorprendentes entre las edades consignadas para tal o cual trabajo con niños suizos y norteamericanos. A pesar de que la secuencia de desarrollo permanece igual, muchos son los estudios que muestran que los niños norteamericanos logran el punto culminante de su desarrollo a una edad posterior a la pensada. Esta discrepancia de criterios es producto del sorprendentemente bajo porcentaje de gente que cuenta razonamiento operativo formal, calculado para la población adulta norteamericana. “Conservar el número quiere decir pensar que la cantidad permanece igual cuando se ha variado la colocación espacial de los objetos” USANDO LAS TAREAS DE CONSERVACIÓN PARA EVALUAR EL NIVEL DE PENSAMIENTO INFANTIL Todas las tareas de conservación son parecidas. Todas ellas abarcan cuatro fases, tal como se ilustra a continuación. Establecimiento de la equivalencia: Antes de introducir cualquier transformación, es esencial que el niño se dé cuenta de que los objetos originales son equivalentes. Nótese que el niño puede estar involucrado para establecer, así como para juzgar, la equivalencia. Si el niño es incapaz de establecer la equivalencia, puede usted decidir que su tarea ha terminado. Uno de los materiales es transformado: Uno de los objetos es transformado o vuelto a arreglar enfrente del niño; el otro no se toca, para comparar. Enfoque la atención del niño hacia el cambio diciente: “Ahora fíjate en lo que hago”. El niño juzga otra ve la equivalencia: Asegúrese de que el niño es capaz de retener la propiedad examinada a pesar de las apariencias preguntando: “¿La cantidad de agua es la misma en cada vaso o uno de ellos tiene más?”. El niño justifica su respuesta: Preguntas tales como: “¿Cómo sabes?, ¿qué te hace pensar así?”, animan al niño a dar una razón. Recomendaciones importantes: Evite cualquier comentario verbal que pueda sugerir al niño cómo llegar a la respuesta correcta. No lo dirija durante su explicación. Anime al niño a extenderse en su respuesta preguntando: “¿Qué más puedes decir acerca de que … es igual?”. Esta información adicional puede darle una segunda variación de su tarea, una que le permitirá seguir la línea del pensamiento infantil. Esté preparado para un cambio en la tarea y determine la consistencia del pensamiento infantil. La tarea ilustrada arriba puede variarse cambiando la forma del segundo recipiente o la cantidad de ellos. Repita las preguntas, con otras palabras, cuando el niño parezca no entender sus significados. Utilice el vocabulario del niño siempre que sea posible para transmitir sus intenciones. Preséntele el problema en forma de una historieta; esto facilita la comunicación. Use una contrasugerencia para verificar la fuerza de convicción del niño. “El otro día una niña me dijo que…” “¿Qué piensas tú acerca de eso?”. LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES Consideraciones didácticas en relación con la enseñanza y el aprendizaje del número y la numeración. Los análisis precedentes nos han mostrado que, a lo largo de los años, se han llevado a cabo propuestas didácticas diferentes para introducir en la escuela estos conocimientos matemáticos. Antes de proponer otros modelos, estimamos conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones didácticas: El número y la numeración son objetos culturales, utilizados cotidianamente en el medio familiar y social. Es ingenuo no tener esto en cuenta en la enseñanza y hacer como si el niño no conociera absolutamente nada relacionado con el dominio numérico al llegar a la escuela. Debemos tener en cuenta los saberes previos de los alumnos, enriquecer sus prácticas iníciales y sus procedimientos primitivos en torno al número y a su designación. Para diseñar el proceso de enseñanza, no podemos servirnos únicamente a la definición matemática de número natural y de las reglas del algoritmo de “contar”, tenemos necesidad de determinar un conjunto de situaciones que permita a los niños, desde los primeros niveles educativos, encontrar las “razones de ser” del número y la numeración. Será preciso, pues, estudiar formalmente las funciones del número y de la numeración, y así construir un conjunto de situaciones donde la cardinación y la numeración jueguen una función y tengan significación. Si bien, en matemáticas, números y numeración son objetos bien distintos (el número no depende del modo como lo designamos), creemos sin embargo, que esta distinción no es suficiente para considerar las funciones específicas de cada uno de ellos en la enseñanza de modo aislado. No podemos pensar que el número pueda aprenderse en los primeros niveles escolares independientemente de la numeración. Estudios de epistemología y didáctica de las matemáticas como los de El Bouazzaoui (1995), pone de manifiesto cómo las nociones de números y numeración están íntimamente ligadas. Las relaciones entre números y numeración son dialécticas. La numeración nos permite hablar de los números y representarlos, en consecuencia, debe hacerlo de una forma cómoda, eficaz y económica. Su función es designar (enunciar y escribir) los números y modernizar las propiedades de los números. Así pues, no consideramos adecuado hablar “a priori” de funciones de la numeración y del número de forma independiente. Por ello, consideramos necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado e idóneo del número junto con la numeración. Las situaciones que pueden dar significación al número y la numeración serán aquellas que den respuesta a la pregunta: ¿Para qué tenemos necesidad del número y de su designación? En los primeros niveles de escolaridad, consideraremos fundamental proponer a los alumnos situaciones que les permitan construir con sentido las funciones del número y de la numeración. Las funciones esenciales del número en estos niveles son: Medir una colección: asignar un número natural a una colección Producir una colección: operación inversa a la anterior. Ordenar una colección: asignar una determinada posición a los elementos de una colección. La numeración, a su vez, constituye un medio que permite: Expresar la medida de una colección: 5 galletas Con este medio de expresión podremos resolver problemas en los cuales sea necesario: Verificar la conservación de una colección: dada una única colección en dos momentos diferentes o en dos posiciones diferentes, de terminar si se trata de la misma colección. Administrar una colección: a partir de una determinada colección podemos dar cuenta de los cambios que ha sufrido en el transcurso de un cierto tiempo. Se trata de relatarlos adecuadamente. Algo parecido al pastor de un rebaño de ovejas que debe saber cuántas ovejas le han sido confiadas, cuántas han muerto, cuántas han nacido, etc. Mientras han estado a su cargo. Recordar una cantidad: recordar en un instante t2 una cantidad que conocíamos o bien una cantidad de la que disponíamos en un instante t1 (t1 < t2). Recordar una posición: Permite evocar el lugar de un objeto en una sucesión ordenada. Reproducir una cantidad: construir una colección coordinable a una colección dada, en presencia de esta última. Comparar dos colecciones: A y B desde l punto de vista de la cantidad de objetos que tiene cada una. Repartir una cantidad: llevar a cabo la división o reparto de una colección en colecciones equipotentes (o no). Anticipar los resultados de una operación: Se trata de anticipar la acción concreta, es decir de construir una solución que nos pueda dispensar incluso de la manipulación de los objetos reales, bien sea por pensar incluso de la manipulación de los objetos reales, bien sea por que los objetos no están disponibles, bien porque son demasiado numerosos y sería costosísima su manipulación. La designación del número nos permite también tener la posibilidad de anticipar resultados en el caso de situaciones no presentes o incluso no realizadas (es decir, simplemente evocadas), pero de las que disponemos de ciertas informaciones. Producir una colección: la designación del número nos permite producir una colección de cardinal dado. Sería la operación inversa de medir una colección. Conviene distinguir la reproducción de una colección de su producción. La primera se hace en referencia a una colección que sería, de algún modo, el modelo a copiar. La segunda se hace a partir de un número dado: “dame 5 galletas”. El poder producir la colección supone el conocimiento de este nombre (“5”) como modo de designación del cardinal de dicha colección. Ordenar una colección: la Designación de los objetos de una colección por medio de los ordinales (primero, segundo, tercero, etc.) nos permite controlar el orden de la misma y determinar con precisión el lugar ocupado por cualquier objeto. Basándonos en las funciones anteriores, señalaremos, para los primeros grados de primaria, algunos grandes tipos de problemas que permiten dar sentido a los procedimientos numéricos y a las designaciones orales o escritas de los números utilizados. En referencia a estos tipos de problemas podremos construir diferentes situaciones didácticas para proponerlas a los alumnos. Materiales concretos para la enseñanza del sistema posicional Aquí se presentan varias actividades para introducir el sistema posicional de los números. La idea central tiene dos partes: • enseñar a agrupar • enseñar a denotar o nombrar esos agrupamientos. Por ese motivo varias actividades proponen máquinas que agrupen y máquinas que ponen nombre o intercambian por fichas que denotan grupos. Veámoslo así, por ejemplo, una decena es un grupo de 10 y por lo tanto el número 32 corresponde a tres grupos y dos unidades sueltas. Es decir los 30 se agrupan en tres grupos. Luego se les asigna 3 fichas de decenas y se lo escribe de esta forma: 3D. Así 32 termina escribiéndose como 3D 2U, es decir: 3 decenas y 2 unidades. Sugerimos hacer las máquinas agrupadoras, las canjeadoras y los robots de cartón e implementar con estas máquinas versiones en concreto de estas actividades. Esta actividad se puede reforzar con visitas a salones de juego para la familia y niños en los que se ganan tikets y luego se introducen en una máquina que los cuenta y genera a cambio una papeleta en la que viene anotado el número de tikets. Las primeras tres actividades que planteamos para este tipo de conceptos son quot;
Agrupación en Decenas y Unidadesquot;
, quot;
Agrupa y coloca argollas en Ábacoquot;
y “¿Cuáles son lo mismo?”. Aquí los alumnos podrán practicar directamente la noción de agrupación y de nombrar los grupos de diez como decenas. Luego están las actividades quot;
Máquinas Agrupadoras Iquot;
, quot;
Máquinas Agrupadoras IIquot;
y quot;
Máquinas Agrupadoras IIIquot;
. Estas actividades introducen al estudiante en la noción de máquina u operador, y en particular al operador de agrupar y contar decenas y unidades. Finalmente, las actividades quot;
Máquinas Agrupadoras con Centenasquot;
son similares a las anteriores pero agregando centenas. Agrupación en Decenas y Unidades Pinta amarilla la caja con menos bolitas ¿Cuántas tiene? ___D ____U Pinta naranja la caja siguiente con menos bolitas ¿Cuántas tiene? ___D ____U Pinta azul la caja con más bolitas ¿Cuántas tiene? ___D ____U ¿Cuántas bolitas hay fuera de las cajas? ___D ____U A esta actividad, el docente le puede agregar variantes, de acuerdo al nivel de avance de sus alumnos, así mismo inventando una historia con objetos para cada caja con bolitas. Agrupa y coloca argollas en Abaco Cuenta y agrupa en decenas y unidades las bolitas, y dibuja las argollas en las columnas correspondientes: ¿Cuántas bolitas hay en la primera lista? ___D ___U ¿Cuántas bolitas hay en la segunda lista? ___D ___U ¿Cuántas bolitas hay en la tercera lista? ___D ___U ¿Cuántas bolitas hay en total? ___D ___U ¿Cuáles son lo mismo? Une con líneas de un mismo color los iguales. Al final suma todo. En las actividades en donde interviene el ábaco, es muy necesario que los alumnos construyan sus propios ábacos, de esa manera estamos realizando la matemática de manera concreta, gráfica y simbólica. Máquinas Agrupadoras I Celyna tiene 2 máquinas, la máquina que agrupa pelotas en decenas y la máquina que a decenas de pelotas las canjea por fichas. D 312991598425335915123825 Si se le echan 3 pelotas a la máquina que agrupa entonces ¿qué sale?____ Si se le echan veinte pelotas a la máquina que agrupa entonces ¿qué sale? Si se le echan 23 pelotas a la máquina que agrupa entonces ¿qué sale? __ Si se le echan veinte pelotas a la máquina que agrupa y luego se usa la otra máquina para canjear, entonces ¿cuántas fichas D y cuántas pelotas sueltas se obtienen? _____ D ____ U Usted estimado docente puede realizar ejercicios con sus alumnos de acuerdo al nivel de avance de los mismos. Máquinas Agrupadoras II A continuación se muestra un sistema de 3 pasos que produce números. Llena tú la columna derecha. Máquinas Agrupadoras III Saca de una urna un montón de pelotas, dibújalas arriba a la izquierda y llena el proceso completo. Saca otro montón dibújalas arriba a la derecha y completa la columna derecha. Máquinas Agrupadoras con Centenas I Isi tiene dos máquinas. La izquierda agarra chocolates sueltos y los mete de a 10 en cajas. La derecha agarra cajas y las mete de a 10 en un baúl. Pinta amarilla la máquina que mete una decena de chocolates en una caja. Pinta roja la máquina que mete una decena de cajas en un baúl. Si hay 45 chocolates, ¿Cuántas cajas y cuántos baúles se producen? ____ Si hay 500 chocolates, ¿Cuántas cajas y cuántos baúles se producen? ___ Después de un largo día se fabricaron en la mañana 4 baúles llenos y 3 cajas. En la tarde se fabricaron 4 baúles y 8 cajas. ¿Cuántos chocolates se produjeron en el día? Estimado docente al igual que los ejemplos anteriores, proponer otros que despierten la curiosidad, el ingenio y la creatividad del alumno para graficar y dar respuesta a los problemas Máquinas Agrupadoras con Centenas II Celyna tiene dos máquinas. La izquierda agarra chocolates sueltos y los mete de a 10 en cajas. La derecha agarra cajas y las mete de a 10 en un baúl. Si cada chocolate cuesta una moneda de 10 pesos: ¿Cuánto cuesta una caja de chocolates? _________ ¿Cuánto cuesta un baúl de chocolates? _________ ¿Cuánto cuestan 10 baúles de chocolates? __________ Cada chocolate superpoderoso cuesta 30 pesos. Entonces: ¿Cuánto cuesta una caja de chocolates superpoderosos?__________ ¿Cuánto cuesta un baúl de chocolates superpoderosos? __________ ¿Cuánto cuestan 10 baúles de chocolates superpoderosos? _________ ESTABLECIMIENTO DE RELACIONES. ORDENAMIENTO Y SUCESIONES ORDEN DE INFORMACIÓN Imaginemos un hermoso día. Sol radiante. A lo lejos observamos a una escultural dama parada en una esquina; esta chica, causa una gran impresión en Don Juan, quien quedó anonadado. Sin querer (o quizás queriendo) detuvo su auto de una forma brusca. Esta imprudente parada ocasionó una colisión de 5 autos en hilera; el pobre de Don José fue el segundo en chocar. Don kevin arruinó las luces traseras del auto de Don Lucho; el auto de Don Paco no estaba asegurado. Aunque este sea un hecho ficticio, nos motiva a determinar el orden en que chocaron los autos. Para esto la solución sería muy sencilla. Demos a cada auto un número de orden del 1 al 5, siendo: El número 1 el de Don Juan pues él se detuvo Don José fue el segundo en chocar; por lo tanto él será el número 3, pues; El número 2 es el primero en chocar. Como Don Kevin arruinó las luces traseras de Don Lucho, entonces son autos seguidos; por lo tanto la única opción sería que fueran los números 4 y 5 respectivamente; Entonces el auto de Don Paco será el número 2. Siendo esto cierto, entonces el orden correcto de izquierda a derecha sería: Don Juan – Don Paco – Don José – Don Lucho – Don Kevín Ahora, si utilizas, tu habilidad e ingenio podrás resolver el problema y quizás lo hagas de una manera más corta. Existen diferentes tipos de estos ejercicios como: Ordenamiento horizontal, ordenamiento vertical, creciente y decreciente o lateral, ordenamiento circular, ordenamiento por posición de datos. ORDENAMIENTO HORIZONTAL. Los problemas de ordenamiento horizontal son fáciles de identificar, pues nos presentarán elementos ordenados de la siguiente manera: IZQUIERDADERECHASINIESTRADIESTRAOESTEESTEOCCIDENTEORIENTE Ejemplos de aplicación: Juan José a la derecha de Kevin KevinJuan José Juan José a la izquierda de Kevin Juan JoséKevin KevinJuan JoséJuan José junto y a la derecha de Kevin KevinJuan JoséJuan José junto y a la izquierda de Kevin Juan José se sienta a dos sitios de Kevin. Juan JoséKevinJuan JoséKevin Juan José se sienta en el extremo izquierdo, y Kevin a tres sitios de él. Juan JoséKevin Juan José está adyacente a Kevin y Celina Juan JoséKevinCelinaJuan JoséCelinaKevin Ejemplo 1. Se ubican en un estante (misma hilera) los libros de aritmética, algebra, física y química. Sabiendo que: El libro de química está a la izquierda del libro de aritmética y a la derecha del libro de algebra. El de física no está a la izquierda dl libro de aritmética. De derecha a izquierda, el tercer libro es de: Físicab) Aritmética c)Geometría d) Química e) Algebra Resolución: Según el dato Nº 1 QuímicaAlgebraAritméticaDERECHAIZQUIERDA Según el dato Nº 2 AritméticaFísicaDERECHANo izquierda De ambas informaciones obtenemos: AlgebraQuímicaAritméticaFísica Respuesta: El libro que está en tercer lugar de derecha a izquierda es: Química Alternativa: d ORDENAMIENTO VERTICAL Los problemas de “Ordenamiento Vertical” son fáciles de identificar, se debe tener en cuenta que: ARRIBAALTOABAJOBAJOCAROBARATO Ejemplo de aplicación: Juan José está a tres pisos de Kevin (en un edificio de cuatro pisos) Juan JoséKevinKevinJuan José Ejemplo 2 Las familias López, Paredes, Valenzuela y Sánchez, viven en un edificio de 4 pisos, cada una en un piso diferente: Si: Los Sánchez viven arriba de los Valenzuela. Los Paredes viven tres pisos más arriba que los López. ¿Quién vive en el segundo piso? a) Paredesb) Sánchez c) López d) Portal e) Valencia Resolución: Según el primer dato tenemos: SánchezValenzuelaNo indica si viven adyacentes Según el segundo dato se tiene: ParedesLópezTres pisos más arriba Ordenando ambos datos ParedesSánchezValenzuelaLópez Respuesta: En el segundo piso vive la familia Valenzuela. Alternativa: e ORDENAMIENTO CRECIENTE Y DECRECIENTE O LATERAL En estos problemas encontraremos elementos relacionados de mayor a menor o de más a menos. Para estos problemas debemos tener en cuenta lo siguiente: “A” no es mayor que “B” Equivale a decir: “A” puede ser menor o igual que “B” “A” no es menor que “B” Equivale a decir: “A” puede ser mayor o igual que “B” Erika es mayor que Jessica Erika > Jessica o Jessica < Erika. Erika es menor que Jessica Erika < Jessica o Jessica > Erika. Erika no es menor que Jessica Erika ≥ Jessica Erika > Jessica o Erika = Jessica Erika no es mayor que Jessica Erika ≤ Jessica Erika < Jessica o Erika = Jessica Erika es menor que Jessica, pero mayor que Rosmery Rosmery <Erika < Jessica o Jessica < Erika < Rosmery Erika es menor que Jessica, y esta menor que Rosmery Erika < Jessica y Jessica < Pilar Equivale a: Erika < Jessica < Pilar Ejemplo 3. Miguel Ángel es mayor que Vanessa, Alejandra es mayor que Henry y éste es mayor que Vanessa. Si Alejandra y Miguel Ángel son Mellizos, ¿Cuál de los siguientes enunciados son verdaderos? Henry es mayor que Alejandra. Vanessa es mayor que Alejandra. Miguel Ángel es mayor que Henry. Alejandra es mayor que Vanessa a) I y IV b) I y III c) II y IV d) I y II e) III y IV Resolución: Utilizando el siguiente quema: DATO I MayorMenorMiguel ÁngelVanessaMiguel Ángel es mayor que Vanessa Miguel Ángel y Alejandra tienen la misma edadMayorMenorMiguel ÁngelVanessaAlejandra es mayor que Henry y éste mayor que VanessaAlejandraHenry DATO II Comprobando el valor de verdad de los enunciados tenemos FalsoII) FalsoIII) VerdaderoIV) Verdadero Respuesta: Diremos que solo son verdad III y IV. Alternativa e ORDENAMIENTO CIRCULAR En estos casos los elementos estarán ordenados de manera que formen una figura cerrada. FEDCBAFrente a “A” o diametralmente opuestoA la derecha de “A” están “C” y “E”Junto y a la izquierda de “A” está “B” Debemos tener en cuenta lo siguiente: Ejemplo 4 Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular con cuatro asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: Juan José esta a la derecha de Kevin. Carlos está a la derecha de Juan José Freddy siempre llega tarde a las reuniones. Quienes están ubicados frente a frente a) Kevin y Juan Joséb) Kevin y Carlosc) Kevin y Freddy d) Juan José y Carlose) Freddy y Carlos Resolución: Según el primer dato tenemos Juan JoséKevin Juan JoséCarlos Según el segundo dato tenemos: Juan JoséKevinCarlosFreddy Luego se tiene: Respuesta: Están frente a frente Kevin y Carlos. Alternativa B ORDENAMIENTO EN TABLAS El mejor procedimiento para resolver estos problemas en donde se nos pide relacionar diversos datos entre sí, como pueden ser personas con su ocupación, gustos, deportes, lugar donde viven, donde estudian, etc; es haciendo un cuadro de doble entrada en el cual se irá marcando las deducciones que se va haciendo. Es recomendable buscar en primer lugar, aquella premisa que nos da una información que se pueda colocar directamente Ejemplo 5 Luis, Miguel y Alberto tienen diferentes aficiones y son hinchas de diferentes equipos de fútbol (Universitario, Alianza Lima y Cristal) en literatura (Novela, Poesía y Periodismo). Licores (Gin Pisco y Cerveza) y cigarrillos (Ducal, Winston y Premier) Se sabe que: Miguel no simpatiza con la “U” Al socio del Cristal le gusta el Pisco. El que fuma Ducal es periodista. El de la “U” toma cerveza Luis disfruta como juega el Cristal o lee a Bécquer. Alberto fuma Winston. Uno de ellos fuma Premier. El hincha del “Alianza Lima” trabaja en el “Expreso” Identificar los gustos de cada una de las personas. Resolución: Se elabora los siguientes cuadros de doble entrada FútbolLicorUALCristalGinPiscoCervezaMiguel LuisAlberto LiteraturaCigarrillosNove.PoesPerDucalPremierWinstonMiguel LuisAlberto En primer lugar analizamos la parte con relación al fútbol, veamos: En (1): Miguel no es hincha de la U En (5): Luis es hincha de Cristal De acuerdo a lo analizado, el cuadro queda de esta manera FútbolLicorUALCristalGinPiscoCervezaMiguel NOLuisSIAlberto Aplicando la regla tenemos: FútbolUALCristalMiguel NOSINOLuisNONOSIAlbertoSINONO De este cuadro deducimos que: Alberto es hincha de la U Miguel es hincha de Alianza Lima Luis es hincha de Cristal. En segundo lugar, analizamos la parte con relación a licores; veamos: De (2): Al socio de del Cristal le gusta Pisco, esto quiere decir que a Luis le gusta pisco. De (4): el de la “U”, toma cerveza, esto quiere decir que Alberto le gusta cerveza. De acuerdo a lo analizado, el cuadro con relación a licor, queda así: LicorGinPiscoCervezaMiguel LuisSIAlbertoSI Aplicando la regla obtenemos LicorGinPiscoCervezaMiguel SINONOLuisNOSINOAlbertoNONOSI De este cuadro deducimos que: A Miguel le gusta Gin. A Luis le gusta Pisco. A Alberto le gusta Cerveza. En tercer lugar, analizamos la parte con relación a literatura, veamos: De (5): Luis disfruta cuando juega Cristal o lee a Bécquer, esto quiere decir que Luis es aficionado a la poesía ya que Bécquer fue un poeta. De (8): El hincha del Alianza trabaja en el diario “Expreso”, esto quiere decir que Miguel (hincha del Alianza) es aficionado al periodismo. De acuerdo a lo analizado, el cuadro con relación a la literatura, queda así: LiteraturaNovelaPoesíaPeriodismoMiguel SILuisSIAlberto Aplicado la regla obtenemos LiteraturaNovela.PoesíaPeriodismoMiguel NONOSILuisNOSINOAlbertoSINONO De este cuadro deducimos que: A Alberto le gusta la novela A Luis le gusta la Poesía. A Miguel le gusta el periodismo. En cuarto lugar analizamos la parte relacionada con cigarrillos, veamos: De (3): El que fuma Ducal es periodista, esto quiere decir que a Miguel (periodista) le gusta Ducal. De (6): Alberto fuma Winston. De acuerdo a lo analizado, el cuadro con relación a cigarrillos, queda así: CigarrillosDucalPremierWinstonMiguel SILuisAlbertoSI Aplicando la regla obtenemos: CigarrillosDucalPremierWinstonMiguel SINONOLuisNOSINOAlbertoNONOSI De este cuadro deducimos que: A Miguel le gusta Ducal. A Luis le gusta Premier. A Alberto le gusta Winston. Luego, concluimos diciendo que: Alberto es hincha de la “U” y le gusta cerveza, la novela y fuma Winston Miguel es hincha de Alianza Lima, le gusta el Gin, el periodismo y fuma Ducal. Luis es hincha de Cristal, le gusta el pisco, la poesía y fuma Premier. EJERCICIOS PROPUESTOS En un edificio de 4 pisos viven las familias: Villanueva, Pizarro Castañeda y Portal cada familia vive en un piso La Familia Villanueva vive un piso más arriba que la familia Pizarro, La familia Castañeda mas arriba que la familia Portal, la familia Villanueva vive mas abajo que la familia Portal. En que piso vive la familia Castañeda? a)1b)2c)3d)4e) 5 Cuatro amigos: Tony, Rudy, Roberto Y Martín, practican un curso diferente cada uno. Tony quiere practicar álgebra en lugar de trigonometría Rudy le pide prestado su libro de aritmética a Martín. Roberto no sabe geometría ¿Qué curso practica Rudy? ¿Quién practica álgebra? a) Aritmética – Tony b) Geometría – Martín c) Trigonometría – Roberto d) Aritmética – Martín e) Geometría – Roberto Seis amigos juegan casinos alrededor de una mesa redonda. Luis no esta sentado al lado de Enrique ni de José Fernando no está al lado de Gustavo ni de Pedro, el cuál está a la derecha de enrique ¿Quién está sentado a la izquierda de Enrique? a) Pedrob) Joséc) Gustavod) Luise) Fernando Cuatro amigos: Jorge, Luis, Pablo y Mario, practican cada uno un deporte diferente, Sabiendo que: Jorge quisiera jugar básquet en lugar de fútbol Luis le pide prestadas sus paletas de frontón a Mario. Pablo no sabe nadar ¿Qué deporte practica Luis? ¿Quién practica básquet? Natación – Mario Básquet – Luis Natación – Pablo Básquet – Pablo Frontón – Luis Si: El palto no es más alto que el nogal El manzano no es más bajo que el nogal El nogal no es más alto que el manzano. El nogal es el más alto. El manzano es el más alto. El pero no es más alto que el manzano El palto es el más bajo. El manzano no es más alto que el palto. La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y. ¿Qué ciudad tiene más habitantes: a) XB) Yc) Wd) Z e) f.d. Cuatro amigas viven en la misma calle. Si sabemos que: Denise vive a la izquierda de Ursula. La casa de Ursula queda junto a la derecha de Wendy. Wendy vive a la izquierda de María. ¿Quién vive a la izquierda de las demás? a) Wendyb) Ursulac) Maríad) Denisee) No se puede definir Seis amigos (A, B, C, D, E, F) Están sentados en una fila de asientos libres juntos. si se sabe que: B está junto y a la izquierda de C. D esta a la derecha de B y a la izquierda de E E esta junto y a la izquierda de F. A está a la izquierda de C. ¿Quién ocupa el cuarto lugar si los sentamos de izquierda a derecha? a)Ab)Cc)Bd)Fe)D Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente. Si sabemos que: Hugo se sienta junto y a la derecha de Pablo. Carlos no se sienta junto a Pablo. Enrique les contó lo entretenido que está. Podemos afirmar: Enrique y Hugo se sientan juntos Pablo y Enrique no se sientan juntos. No es cierto que Enrique y Hugo no se sientan juntos. Carlos se sienta junto y ala derecha Enrique. Hugo se sienta junto y a la izquierda de Carlos. Tres hombres: A, B y C y tres mujeres: D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente, de modo que dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. Cuáles de las siguientes son verdaderas. A no se sienta frente a E. C no se sienta frente a B. F no se sienta frente a D. Sólo I Sólo II. Sólo I y III Todas. Ninguna de las anteriores. BIBLIOGRAFÍA Broitman, Claudia. 1998La enseñanza de la división en el primer ciclo. (Revista En el Aula Nº 6. Ministerio de Cultura y Educación; Colombia BROUSSEAU N. 2002“Teoría de la didáctica de la matemática” Editorial Paidós. México Camous, Henry. 1995 Problemas y juegos con la matemática. Editorial gedisa Barcelona España Coll César. 1994El constructivismo en el aula. Editorial Graó Di Blasi; Illuzi; Acevedo. 2000 Un espacio a su medida para la reflexión Matemática. UNSAM. México Dienes, Z. P y Golding, E. W. 1984Los primeros pasos en Matemática. Editorial Teide Gálvez, Grecia y otros. Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones.; Editorial. Paidós, Buenos. Aires. Argentina El Bouazzaoui, H. 1995Estudio de la enseñanza de la numeración en la escolaridad. Universidad de Bordeaux 1995

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