El documento describe cómo calcular el área bajo una curva de velocidad para determinar la distancia recorrida entre dos puntos de tiempo. Explica dividir el intervalo en subintervalos iguales, aproximar la velocidad en cada subintervalo y sumar estas aproximaciones para obtener la distancia total. Al hacer que el número de subintervalos tienda a infinito, se obtiene el valor exacto de la distancia recorrida de 12 2/3 metros.

1. Matemáticas
1111
Tema 55
Área bajo una curva
Ejemplo
Un objeto se mueve con velo-
cidad v ( )t t t= +2
como se
observa en la figura.
¿Cuál es la distancia recorrida
desde t = 1 hasta t = 3?
Solución
El problema se reduce a encontrar el área bajo la curva de la figura,
comprendida en el intervalo [a, b] = [1, 3].
Empezaremos con una aproximación dividiendo el intervalo [1, 3]
en n subintervalos de igual longitud: t
b a
n n
=
−
= 2 , mediante los
puntos ti
, i = 0,1, 2, …, n.
Los puntos ti
para un intervalo [a, b], están dados por
t a i
b a
ni = +
–
.
Para el intervalo [1, 3], t
i
ni = +1
2
.
v (t)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
−1
v (t) =t 2
+ t
t
1
a = t0 b = tn
t1 ti ...t2
v ( )t t t
i
n
i
n
i
ni i i= + = +  + + = +2
2
1
2
1
2
1
4
++ + +  = +
4
1
2
2
2
2
i
n
i
n
v ( )t t t
i
n
i
n
i
ni i i= + = +  + + = +2
2
1
2
1
2
1
4
++ + +  = + +
4
1
2
2
6 42
2
2
2
i
n
i
n
i
n
i
n
Por tanto, la distancia recorrida en los n subintervalos es:
i
n
i
n
n
i
n
i
n n n
i
n= =
∑ ∑+ + = + +
1
2
2
3
1
2
4 12 8 4 1 12 8
33
1
2
1i
n
i
n
i
= =
∑ ∑ =
Cada valor de n nos da una aproximación a la distancia recorri-
da, por ello, el valor exacto de la distancia recorrida se obtiene
haciendo que n → ∞:
Pensamiento variacional
La distancia recorrida en cada subintervalo está dada por:
Al evaluar ti
en la función velocidad v ( )t t t= +2
, tenemos:
s t t
i
n
i
n n n
i
n
i
i= = + + = + +v ( ) 2
6 4 2 4 12 82
2 2
2
nn3
lím
n
n
n
n n
n→ ∞
+
+
+
+ +
= + ×4
6 1 4
3
1 2 1
4 6 12
( ) ( )( )
++ × =4
3
2 38
3
lím
n
n
n
n n
n→ ∞
+
+
+
+ +
= + ×4
6 1 4
3
1 2 1
4 6 12
( ) ( )( )
++ × =4
3
2 3
3
lím
n
n
n
n n
n→ ∞
+
+
+
+ +
= + ×4
6 1 4
3
1 2 1
4 6 12
( ) ( )( )
++ × = ≈4
3
2 38
3
12 67, m
1
Podemos observar que con n = 100 la diferencia de 1 respecto al
valor exacto es 0,1.