Ecuaciones
parametricas
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Ingeniería de sistemas
Barcelona-Edo. Anzoátegui
-Materia: MATEMATICA III
-Sección: “A”
Nombres:
Juan Ordaz C.I:30.132.423

Introducción
Hasta ahora hemos estudiado curvas en un plano
descritas mediante una ecuación cartesiana. Es decir,
hasta ahora, los puntos de una curva han estado
especificados por una ecuación en coordenadas
rectangulares.
Esta no es la única forma de especificar una curva en
un plano. En este cuaderno estudiaremos otra forma de
describir una curva en el plano, mediante un par de
ecuaciones, llamadas ecuaciones paramétricas.
A continuación veremos que son las ecuaciones
paramétricas

Ecuaciones Parametricas
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una
curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar
la posición y la velocidad de un móvil.
Puede describirse una hélice con la ecuación
paramétrica .Al variar el valor de t, se obtienen los
distintos puntos de la curva.
Descripción
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos
variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones
respectivamente) son consideradas como variables
independientes, mientras que la restante es la variable
dependiente, con el valor de esta siendo equivalente al de la
imagen de la función cuando los restantes valores son sus
parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto
cualquiera(x,y) equivale a la expresión (x,f(x))

Curvas Notables
Elipse
Circunferencia
Las ecuaciones paramétricas a menudo
describen bellas figuras.

Generalidades del
algebra vectorial.
Que es el algebra vectorial?
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones
lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con
áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de
operaciones, gráficas computacionales, entre otras
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una
curva o superficie en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada
coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
Que son las ecuaciones paramétricas?

Geométricamente: Los vectores son representados por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números
reales son definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente: La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números,
llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica
porque se utiliza un sistema de coordenadas.
Axiomáticamente Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de
coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
Un Vector es un segmento de línea que con dirección y sentido, representa una magnitud física,
forma parte fundamental de la Geometría, su representación grafica consiste en una flecha, cuya
punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En estudios matemáticos avanzados, el
vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la resolución de
problemas en las que se busca la representación numérica y grafica de una función.
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un
punto y su extremo en el otro.
Los vectores se clasifican en libres, deslizantes, fijos, unitarios, concurrentes, opuestos,
colineales, paralelos, coplanares, esta es la clasificación más generalizada que reconocen las
matemáticas como ciencia exacta y que de forma primaria estudia estos elementos de medición,
sobre un espacio abstracto en el cual se establecen las medidas entre un punto y otro.

Grafica de
ecuaciones
paramétricas.
PARAMETRIZACION
• Representar una función en R2 (o R3) como una
función vectorial, el proceso es el siguiente:
• Selecciona un parámetro, por ejemplo: t.
• Reemplaza el parámetro en una de las variables,
por ejemplo: x.
• Establece la relación, sí existe, entre la primera
variable (x) y la segunda variable, por ejemplo: y.
• Deja la última variable, por ejemplo y, en términos
de las dos anteriores.

El plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema.
• Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas
perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas,
ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de
manera vertical y, representado con la letra Y.
Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas.

Transformar las
ecuaciones paramétricas
a las cartesianas.!

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Mercury is the closest planet to the
Sun and the smallest one in the
Solar System—it’s only a bit larger
than the Moon
Venus has a beautiful name, is
the second planet from the Sun
and its atmosphere is extremely
poisonous
Mercury Venus

Longitud de
arco en
ecuaciones
paramétricas.
Una curva se considera parametrizada por las siguientes ecuaciones: 𝑥 𝑡
= 𝑡3 − 𝑡 𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡2 Si dejamos que t varíe de -1,5 a 1,5, la curva
resultante se ve así:
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral
de la forma ∫ (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 Los términos dx y dy representan el
pequeño cambio en los valores de x e y desde el principio hasta el final
del segmento.
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma
paramétrica; es decir, cuando x y y son funciones de una nueva variable,
el parámetro t. Para poder usar la integral de longitud de arco, primero
calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en
términos de dt. 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 dt Sustituye estas
expresiones en la integral y factoriza el término 𝑑𝑡2 fuera del radical.
MODULO, DIRECCION Y SENTIDO DE UN VECTOR Modulo: El
módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
Dirección: La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace
con una línea horizontal Sentido: Se indica mediante una punta de
flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la
línea de acción se dirige el vector.

Ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una
partícula en movimiento. Ejemplo:

Comparar la grafica de ecuaciones paramétricas con la grafica
de la ecuación cartesiana.
Con frecuencia consideramos una curva en el plano como una línea trazada sobre un papel, tal como
puede ser una línea recta, una curva parabólica o una circunferencia. Nos preguntamos ahora, ¿como
podemos describir (analíticamente) una curva en el plano? Es evidente que debemos indicar de alguna
manera los puntos por donde pasa, los puntos que forman la curva. En algunos casos, podemos usar
para ello las coordenadas cartesianas de los puntos P(x, y) de la curva, expresando y como una función
de x y = F(x), por ejemplo y = 1 + 𝑥2
, o x como una función de y x = G(y), por ejemplo x = cos2 y , o dar
una relación entre x e y que defina implícitamente a una variable en términos de la otra H(x, y) = 0, por
ejemplo 𝑥2
+ 𝑦2
−16 = 0. Hay curvas que se representan mas fácilmente mediante otro sistema de
coordenadas [por ejemplo, r = 2 cos θ usando coordenadas polares]. Algunas curvas se describen mejor
cuando las coordenadas x e y están dadas en términos de una tercera variable t llamada parámetro [x =
f(t) e y = g(t), recordarlas ecuaciones paramétricas de una recta en el plano vistas en la Sección 5.1 de
la Guía 1]. Podemos, también, indicar cada punto de una curva haciendo uso de la asociación de P con
el punto final del vector =−−→OP ubicado en posición canónica. En esta guía discutiremos la forma
paramétrica de describir curvas, mediante una representación vectorial.

Curvas paramétricas
Imaginemos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, describe un
camino como el representado por la curva de la Figura 1. Si bien notamos que esta curva no puede ser
descripta
Figura 1: Curva en el plano
por una ecuación de la forma y = F(x) (¿por que?), sabemos
que las coordenadas x e y de la posición de la partícula
dependen del instante de tiempo t. Por lo tanto existirán
funciones f y g de la variable (o parámetro) t, tales que x = f(t)
e y = g(t). Este par de ecuaciones, que muchas veces es una
forma conveniente para describir una curva, se llama
ecuaciones paramétricas de la curva en el plano:
x = f(t)
y = g(t)
Cada valor de t determina un punto (x; y) en el plano.
Cuando t varia (en un intervalo de números reales), el punto
(x; y) = (f(t); g(t)) se mueve generando una curva en el
plano.

EJEMPLO 1: Las ecuaciones parametricas
x = 𝑡2
- 2t
y = t + 1
con t real, definen una curva plana. Describir y graficar la curva para los
siguientes casos: a) si t ∈ (-∞;+∞); b) si t ∈ [0; 4].
En este ejemplo tenemos f(t) = 𝑡2
− 2t, g(t) = t
+ 1.
a) A cada valor del parámetro t ∈ R, le
corresponde un punto sobre la curva. Por
ejemplo, para t = 0 se tiene x = f(0) = 0 e y =
g(0) = 1, o sea que el punto de la curva
correspondiente a t = 0 es (0; 1). Podemos así
evaluar x e y para varios valores del
parámetro, por ejemplo asignar a t los valores
-2, -1, 1, 2, 3, 4, y luego situar los puntos (x; y)
= (f(t); g(t)) en el plano. Si unimos estos puntos
para producir una curva continua obtenemos la
Figura 2(a), en la que las echas indican el
sentido en el que se van generando los puntos
de la curva a medida que t aumenta su valor
(indique el valor de t que corresponde a cada
punto marcado en la curva). Figura

Figura 2: Ejemplo 1. (a) El parámetro t adopta cualquier valor real. (b) El parámetro t varia en [0; 4].
Observando la figura, parece que la curva trazada fuera una parábola. ¿Como podemos comprobarlo?
Una forma es reescribir las ecuaciones parametricas de la curva usando (solo) coordenadas
cartesianas, esto es, buscar una relación entre x e y, sin el parámetro t. Para ello debemos eliminar t
en las ecuaciones dadas. En este ejemplo es posible hacerlo, por ejemplo despejando t = y 􀀀 1 de la
segunda ecuación y luego sustituyendo en la primera ecuación. Esto da:
x =𝑡2
− 2𝑡 = (𝑦 − 1)2
− 2 𝑦 − 1 = 𝑦2
− 4𝑦 + 3
y así vemos que la curva descripta por las ecuaciones parametricas dadas es
la parábola x+1 = (y-2)2
, de eje horizontal y vértice en (-1; 2), con las ramas
que abren hacia la derecha.
b) Si t ∈ [0; 4], la correspondiente curva es la parte de la parábola x = 𝑦2
-4y + 3 que empieza en el
punto que corresponde al valor t = 0 del parámetro, o sea A(0; 1), y termina en el punto que
corresponde a t = 4, esto es en B(8; 5), como se muestra en la Figura 2(b). La echa señala el sentido
de recorrido de la curva cuando el parámetro aumenta su valor desde t = 0 hasta t = 4.
Consideremos ahora un objeto que se mueve en el espacio, describiendo un camino imaginario
representado por una curva en el espacio. Habrá entonces tres funciones del tiempo, f, g y h, que
nos permitirán escribir las coordenadas de la posición de la partícula en cada instante t mediante
las siguientes ecuaciones parametricas:

x = f(t)
y = g(t) t ∈ R
z = h(t)
Observemos que para cada t, el punto P(f(t); g(t); h(t) es el punto-posición de la partícula en el tiempo
t. Luego podemos definir el vector que va de O a P, para cada t (ver Figura 3). Esto sugiere que una
curva paramétrica podría ser descripta mediante una función que a cada valor del parámetro t le
asigne el vector𝑃𝑂 = f(t) {+g(t) +h(t) k, esto es, mediante una función con valores vectoriales. En el
caso de una curva en el plano, se tiene 𝑃𝑂 = f(t) { + g(t) |.

Figura 3: Cuando el parámetro t varia en [a; b], el punto final del vector ~ 𝑟(t) genera
una curva en el espacio.
Ahora bien, >que es una función con valores vectoriales? Sabemos que una función en
general, es una regla que asigna a cada elemento del dominio un único elemento de su rango
o imagen. El caso de una función vectorial es uno de los temas de estudio en Análisis II.
Veremos mas adelante que la representación vectorial permite estudiar con facilidad el
movimiento de un objeto en función del tiempo, caracterizando la variación temporal del
desplazamiento, la velocidad y aceleración.

Bibliografía
https://www.youtube.com/watch?v=UVqs1dat91g
https://www.youtube.com/watch?v=9c_Auawm-6o
https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/ecsparam/ec
spm_intro.html
https://es.scribd.com/doc/188441576/ecuaciones-parametricas
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica

Anexos