1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial “ Andrés Eloy Blanco”
Integrante: José Colombo
CI: 31.111.539
Sección: 0104
Unidad: Matemática.
2. Conjuntos:
Los conjuntos numéricos son las categorías en las que se clasifican los números, en
función de sus diferentes características. Por ejemplo, si tienen o no una parte decimal,
o si poseen un signo negativo delante.
Los conjuntos numéricos son, en otras palabras, los tipos de números que las personas
tenemos a nuestra disposición para realizar operaciones, tanto cotidianas como a un
nivel más sofisticado (por parte de ingenieros o científicos, por ejemplo).
Todos los números que existen se clasifican en los conjuntos siguientes:
1. Números naturales : Se representa con la letra N, y son todos los números
que sirven para contar. N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… }.
2. Números cardinales: Se representa con la letra N*, y son idénticos a los
naturales, sólo que se ha agregado el cero 0. N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… }.
3. Números racionales: Se representa con la letra Q, y son todos los números en
la forma a/b, es decir, todas las fracciones positivas y negativas; y el cero 0. Q =
{… – ¾, – ½, – ¼, 0, ¼, ½, ¾,… }.
4. Números Fraccionarios: Se representa con la letra Q+ y son todas las fracciones
positivas. Q+ = { ¼, ½, ¾,… }.
5. Números irracionales: Se representa con la letra I, y son todos los números
decimales infinitos no periódicos. Cada uno tiene un símbolo que le define,
como π = 3.141592….
6. Números Enteros: Se representa con la letra Z, y contiene todos los números
positivos y negativos, que son múltiplos de 1. Z = { … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… }.
7. Números Reales: Se representa con la letra R, y contiene a los racionales y a los
irracionales. R = { … –10, –5, –½, –¼, 0, √2, π… }.
8. Números imaginarios: Se representa con la letra i y contiene las raíces
cuadradas de los números negativos. Su unidad es √–1. El número i = √–1. Por
tanto, i2 = –1.
9. Números complejos: Se representa con la letra C. Son aquellos que tienen una
parte de número real y otra parte de número imaginario, por lo que también se
clasifican como números imaginarios.
3. Hay otros conjuntos que no se incluyen en esta clasificación oficial, y que vale la pena
considerar:
10. Números Romanos: provienen de la cultura romana, y se valen de letras para
representar cantidades. { I, II, III, IV, V, VI, … }.
11. Números decimales: representan números positivos o negativos que tienen una
parte entera y una porción más, escrita con cifras después de un punto decimal
que le separa de la parte entera. { -0.2, -0.1, 1.1, 1.2, … }.
12. Números ordinales: indican la posición de un elemento dentro de una sucesión
ordenada. { 1º, 2º, 3º, 4º,… }.
13. Números partitivos: son la forma escrita de las fracciones (1/4 un cuarto, 1/2
un medio...)
4. Operaciones con Conjuntos:
En matemáticas, álgebra de conjuntos es el estudio de las operaciones básicas que
pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación.
UNIÓN DE CONJUNTOS
Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o
de B, es decir:
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que
son elementos de A y de B, es decir:
5. Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y
C = {a, t, u, v}.
Encuentre:
Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se
tiene que:
Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo
anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.
Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se
tiene que:
6. Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo
anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:
Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.
En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:
A – B = {a} y B – A = {d, e}.
Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto
7. En el diagrama de Ven la diferencia simétrica está representada por las regiones menos
oscuras. (Lo que no tienen en común).
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}.
Entonces
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado
por todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a
U. Simbólicamente se expresa:
Ejemplos:
a) Sean U = {m, a, r, t, e } y A = {a, e }
Su complemento de A es: A' = {m, t, r}
b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a }
Determinado por extensión tenemos
U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }
Su complemento es: A' = {r, t, m, c}
8. Números Reales:
Los Números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y
pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Los números naturales:
Na=1, 2, 3, 4, 5, 6,7...sigue hasta infinito.
Enteros:
E= -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7…y sigue hasta infinito.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real.
9. Desigualdad:
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre
dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien
menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada
con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas
diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor
número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es
mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas
posibles en los cinco siguientes:
▪ Desigual a: ≠
▪ Menor que: <
▪ Menor o igual que: ≤
▪ Mayor que: >
▪ Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría
que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de
“a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y
“a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es
excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b”
pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las
expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.
10. Ejemplo:
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos
miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el
otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se
cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
Propiedades:
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades: Si los miembros
de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo
de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 >
9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de
sentido:
Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia de
sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de
sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
11. 5. Valor Absoluto:
Valor Absoluto:
El valor absoluto de un numero real es la magnitud de este, independientemente del
signo que le preceda.
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el
signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben
cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto
de x:
Ejemplos:
|x|=x si x≥ 0
12. Desigualdades con el valor Absoluto:
Una de desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | un | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
ejemplo
Resuelve la desigualdad para x: | 5 + 5x | - 3> 2.
Solución
Aísle la expresión de valor absoluto sumando 3 a ambos lados de la desigualdad;
=> | 5 + 5x | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
=> | 5 + 5x | > 5.
Ahora resuelva las "versiones" positivas y negativas de la desigualdad de la siguiente
manera;
13. Asumiremos símbolos de valor absoluto resolviendo la ecuación de la manera normal.
=> | 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5.
=> 5 + 5_x_> 5
Resta 5 de ambos lados
5 + 5x (- 5)> 5 (- 5) 5x> 0
Ahora, divide ambos lados entre 5
5x / 5> 0/5
x> 0.
Por tanto, x> 0 es una de las posibles soluciones.
Para resolver la versión negativa de la desigualdad de valor absoluto, multiplique el
número del otro lado del signo de desigualdad por -1 e invierta el signo de desigualdad:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x <- 5 => 5 + 5x <-5 Restar 5 de ambos lados => 5 + 5x (−5) <−5
(- 5) => 5x <−10 => 5x / 5 < −10/5 => x <−2.
x> 0 ox <−2 son las dos posibles soluciones a la desigualdad. Alternativamente,
podemos resolver | 5 + 5x | > 5 usando la fórmula:
(Los valores dentro de las barras de valor absoluto) <- (El número en el otro lado) O
(Los valores dentro de las barras de valor absoluto)> (El número en el otro lado).
Ejercicios de Desigualdades:
Ejemplos:
1) -5x > 20
5x < -20
x< -20% 5
x < -4
el problema es que vamos a pasar a dividir es negativo esto tiene una recomendación si
al final de un ejercicio la (x) está acompañada de un numero negativo lo que debe hacer
o lo que aconsejo es multiplicar toda la ecuación por (-1) ¿Qué quiere decir multiplicar
toda la ecuación Por (-1)? Es cambiar los signos de todos, entonces aquí es donde entra
el cambio, si yo cambio todos los signos quiere decir cambiar el (-) cambiar a (+) del 20
pero también cambiar el (>), como la (x) está acompañada de un positivo simplemente
ese 5 que está multiplicando pasa a dividir, en esto es lo que debemos tener mucho
cuidado cuando la (x) este acompañada de un numero negativo al final el signo debe
cambiar.
