Cálculo

1. Universidad Fermín Toro
Departamento de Formación General
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Cabudare Edo – Lara
Identidades Impropias
Jonathan Lucena
26.800.408

2. Integrales Impropias

3. Definición
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral
definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración
se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una
integral definida es impropia cuando la función integrando de la
integral definida no es continua en todo el intervalo de integración.
También se pueden dar ambas situaciones.
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4. • También se puede definir integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o
a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.
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• Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x≥ ≥ a. Si existe
f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:
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• f (x) dx = f (x) dx
• Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).
• De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y
• f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.
• Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir de x = 1.
• dx = dx = = - (- 1) = 1 u.a.
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5. • Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no
acotada en a. Si existe f (x) dx, definimos:
• f (x) dx= f (x) dx
• Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.
• Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos
el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
• ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1.
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6. Tercera especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los
extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del
intervalo de integración.
Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una
de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los
pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea
convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie
tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.
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7. Integrales

11. Integrales Impropias de Primera Especie

15. Integrales Impropias de Segunda Especie