O documento discute o Teorema de Pitágoras, apresentando os elementos de um triângulo retângulo e duas demonstrações do teorema. A primeira demonstração usa quatro triângulos semelhantes, enquanto a segunda se baseia na semelhança entre três triângulos construídos a partir de um triângulo retângulo original. O documento também motiva o teorema com problemas geométricos resolvidos usando a relação a2 + b2 = c2.

1. O Teorema de Pitágoras e algumas considerações Trigonometria

2. Elementos de um Triângulo Retângulo O triângulo retângulo possui um ângulo de 90 graus (ângulo reto), dois outros ângulos agudos (isto é, cujas medidas são inferiores a 90 graus), o lado oposto ao ângulo reto, a hipotenusa (que é o maior lado do triângulo retângulo), e os dois outros lados que são chamados catetos.

3. Há muito tempo, os escribas da Suméria já conheciam uma importante relação entre os comprimentos dos catetos e o comprimento da hipotenusa: a2+b2 = c2 Essa relação é chamada Teorema de Pitágoras, pois através de algumas especulações atribui-se a demonstração deste Teorema ao famoso filósofo grego, Pitágoras, que o fez através da comparação de áreas. Teorema de Pitágoras c a b

4. Motivação Seguem alguns problemas que serviram de motivação aos Matemáticos da Índia dos séculos XI e XII para a aplicação do Teorema de Pitágoras: Um pavão pousou no topo de uma coluna em cuja base há um buraco de cobra. Vendo a cobra a uma distância da coluna igual a 30, o pavão avançou para ela em linha reta, alcançando-a antes que chegasse à cova. Se a coluna tem 10 de altura e o pavão e a cobra percorrem distâncias iguais, a que distância da cova eles se encontraram? Nas duas margens de um rio crescem duas palmeiras. A altura de uma é 30 e da outra é 20, e entre os dois troncos há uma distância de 50. Na copa de cada palmeira há um pássaro. De repente, os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície do rio, entre as duas palmeiras. Eles partem e alcançam o peixe ao mesmo tempo. Se os pássaros percorreram a mesma distância, a que distância do tronco da palmeira menor surgiu o peixe?

5. Demonstração do Teorema de Pitágoras Existem cerca de 367 demonstrações diversas para o Teorema de Pitágoras. Aqui estão selecionadas duas das mais simples e de fácil compreensão: Para uma primeira demonstração vamos nos remeter à figura decorrente de uma demonstração apresentada por ZhõubìSuànjing. Um chinês cujos escritos remontam à dinastia Hàn (206 aC - 220 dC) e sobrevivem até os dias atuais: Para isso consideremos quatro triângulos semelhantes ao da figura abaixo:

6. Demonstração 1

7. Demonstração 2 O teorema Pitágoras afirma que em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos lados menores - os catetos - é igual ao quadrado da medida do maior lado - a hipotenusa. Para mostrar isso, vamos nos remeter a uma figura que é atribuída à Baskara, onde os triângulos ABC, DBA e DAC são semelhantes.

8. a/b = b/n ( ABC semelhante ao ACD), disso temos: b2= a.n a/c = c/m ( ABC semelhante ao ABD), disso temos: c2= a.m Sabendo que m+n = a e somando, temos que: b2+ c2 = a(m+n) = a2 Continuação da demonstração 2