Se explica sobre la naturaleza y presentación de demonstraciones matemáticas, tomando como ejemplos varias propiedades de triángulos equiláteros.

1. Unas cuantas características de los
triángulos equiláteros
(Con una introducción breve a las técnicas para hacer
demostraciones matemáticas)
Durante la clase previa, algunos de Uds. me hicieron dos preguntas impor-
tantes:
 ¿Es posible desarrollar fórmulas para áreas y volúmenes de objetos a
través de la geometría?
 ¿Cómo se puede saber si una fórmula para (por ejemplo) el área de un
triángulo es cierto para todo tipo de triángulo?
La segunda pregunta es especialmente buena, porque va directamente al
corazón de las matemáticas, y de la realidad misma. Hay una rama de la
filosofía que se llama la epistemología que se dirige a cuestiones de esta
índole. No tenemos espacio aquí para dar a esta pregunta la atención que
se merece, pero podemos, con provecho, tratar algunas de las ideas genera-
les. ¿Por qué no hacerlo al desarrollar fórmulas para varias de las caracte-
rísticas de los triángulos equiláteros?
En cuanto a las suposiciones comunes en las demostra-
ciones matemáticas…
Muchos alumnos se sorprenden al saber que todas las matemáticas se fun-
damentan en suposiciones, a las más de las cuales se les dan nombres
impresionantes como “postulados” y “axiomas”. La verdad es que no es po-
sible razonar sin partir de ciertas suposiciones. Como mínimo, uno debe
suponer su propia existencia.
Para desarrollar fórmulas para las áreas y los volúmenes de formas y fi-
guras geométricas, es necesario suponer mucho más. Primero, se supone
que estos objetos “existen” en cierto sentido. (Véase la nota al margen acer-
ca del realismo e idealismo.) Se apoya también en suposiciones, la idea que
características como longitudes, áreas, y volúmenes pueden ser expresa-
dos, con sentido, por medio de números. Amén de la idea que estas caracte-
rísticas son relacionadas por medio de operaciones matemáticas. (Omito los
detalles.)
Nuestras experiencias diarias demuestran, innegablemente, que la arit-
mética y la geometría pueden, con bastante precisión, predecir lo que en
verdad sucede en el mundo de objetos materiales. Sin embargo—y es nece-
sario enfatizarlo—estas experiencias no demuestran que las suposiciones
son correctas. Solo demuestran que sí, éstas nos llevan a predicciones que
coinciden, con cierta precisión, con lo que realmente sucede. También, es
necesario enfatizar que no es—y nunca será—posible sostener que predic-
ción alguna coincida perfectamente con lo que sucedió. Solo es posible aco-
tar la imprecisión del ajuste de nuestras predicciones a lo sucedido.
Bueno, esto, también es tema importante, pero para otra ocasión. De
vuelta al tema principal del presente, al desarrollar fórmulas debemos procu-
rar enunciar claramente nuestras suposiciones, a menos que estemos segu-
ros de que nuestros lectores las conocen bien. Al no hacerlo, nos arriesga-
mos cometer errores y provocar malentendidos. Para facilitar la comunica-
Dos Doctrinas
Relevantes,
de la Filosofía
El realismo defiende la existen-
cia de objetos reales indepen-
dientes de la conciencia, y acce-
sibles a la capacidad de conoci-
miento. O, en otras palabras,
sostiene la existencia de un
“mundo real” de cosas que
existen independiente de que
existan, o no, personas que las
observen.
La mayoría de los científicos
toman por cierto el realismo, sin
reconocer que están involucra-
das, cuestiones primordiales.
En cambio, el idealismo
sostiene que la idea es el princi-
pio de ser, y que el mundo es, en
cierto sentido, una creación
mental.

2. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
2 de 10
ción, los matemáticos las ponen nombres a las suposiciones más usadas.
Por ejemplo, las siguientes “reglas”:
La regla de la especificación universal
Ésta parece obvia, pero sí, es necesario declararla abiertamente. Para
nuestros fines, esta “regla” declara que si todos los objetos de una clase
tienen ciertas características, entonces cada uno de los objetos de la
clase las tiene. Por ejemplo,
 Todos los seres humanos son mortales. Tomás es ser hu-
mano. Por lo tanto, Tomás es mortal.
 Todos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos iguales.
Este triángulo es equilátero:
Por lo tanto, sus tres ángulos son iguales.
1
La regla de la generalización universal
No es fácil comunicar, por medio de palabras, el significado de esta re-
gla. Para nuestros fines, dice que si se puede demostrar que una fórmu-
la es cierta para un objeto elegido en forma arbitraria de una clase, en-
tonces la fórmula es cierta para todo objeto que le pertenece a la clase.
Bueno, por supuesto la frase elegido en forma arbitraria nos ocasiona cierta
inquietud. La mejor forma de aclarar lo que ésta significa, es por emplear
ambas de estas reglas en una demostración. En el caso presente, en el
desarrollo de fórmulas para propiedades de triángulos equiláteros.
El desarrollo de fórmulas para propiedades de triángulos
equiláteros
Al comenzar a trabajar cualquier problema matemático, es bueno preguntar-
nos
¿Qué es lo que queremos?
2
Es de notarse que nadie nos está obligando a hacer nada: hemos decido
investigar las propiedades de triángulos equiláteros por iniciativa nuestra, y
por motivos exclusivamente nuestros. Entonces, podemos examinar cuales-
quiera propiedades que nos interesen, y que—a nuestras luces—valgan la
pena investigar.
1
¿Puede Ud. explicar por qué sus tres ángulos, además de ser iguales, deben medir
60°?
2
Esta sugerencia viene de mi libro favorito, de matemáticas: Como razonar matemá-
ticamente, por J. Mason, L. Burton, y K. Stacey. Es publicado por Editorial Trillas
(ISBN-10: 607171544X, ISBN-13: 978-6071715449).

3. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
3 de 10
Entonces, ¿Qué tal si desarrollamos una ecuación que comunique la re-
lación entre la altura de un triángulo equilátero, y la longitud de sus lados? O
sea, nuestra respuesta sería
Queremos una ecuación que comunique la relación entre la altura de un
triángulo equilátero, y la longitud de sus lados.
¿Cómo comenzaremos?
Un consejo bueno es
Siempre y cuando se trabaja un problema matemático, trazar un
diagrama que le ayude a visualizar lo que esté en juego.
3
Bueno. Tracemos un triángulo rectángulo:
Ahora bien, en cuanto al término “la altura de un triángulo equilátero: ¿a cuál
propiedad específica se refiere? El glosario de matemáticas que viene en el
currículo Matemáticas Diarias
4
lo define bien:
Porque los tres lados de un triángulo equilátero son iguales, también lo
son las alturas con respecto a sus lados opuestos correspondientes. (¿Por
3
Una sugerencia atribuida a Alan Schoenfeld de la University of California, Berkeley
4
Obra sin título: disponible en línea en
https://www.mheonline.com/assets/wg_download/em/g6_spanish_srb_glosario.pdf
(consultada 12 noviembre 2014). © 1998 Everyday Learning Corporation.
¿Qué es lo que que-
remos?
Queremos una ecuación que
comunique la relación entre la
altura de un triángulo equilá-
tero, y la longitud de sus
lados.

4. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
4 de 10
qué?) Entonces, para no seguir ciegamente la costumbre de etiquetar de “la
base” al lado inferior del triángulo, ¿por qué no usar el lado AC?
Ahora, volvamos a nuestra pregunta:
¿Qué es lo que queremos?
Nuestra respuesta fue
Queremos una ecuación que comunique la relación entre la altura de un
triángulo equilátero, y la longitud de sus lados.
Gracias a nuestro diagrama, ya podemos expresarlo de modo más específi-
co:
Queremos una ecuación que comunique la relación entre las longitudes
de los segmentos 𝐵𝐷̅̅̅̅ y (por ejemplo) 𝐴𝐵̅̅̅̅.
Al parecer, nos han servido bien, los consejos de Schoenfeld y de Mason,
Burton, y Stacey. Para seguir adelante, seguimos otro consejo suyo:
Pregúntese, “¿Qué puedo usar?”
5
Por ejemplo, se podría agregarle otra línea a un diagrama. Un punto dé-
bil mío es que con frecuencia, no me ocurre hacer tal cosa. Otra idea que
suele resultar provechosa es usar un conjunto de símbolos para representar
longitudes, áreas, o cualquiera otra cantidad que juegue en el problema.
Hagámoslo ahora:
5
Traducción tomada prestada de la versión en español de la obra de Mason, Burton,
y Stacey. El original en inglés dice el equivalente de “¿Qué puedo introducir?”, en el
sentido de “poner en uso”.

5. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
5 de 10
Al resolver cualquier tipo de problema, es imprescindible seguir un tecer
consejo bueno:
Pregúntese, “¿Qué sabemos?”
Por uno, sabemos que el punto D divide parte al segmento 𝐴𝐶̅̅̅̅ en mitades.
Agreguémosle esta información al diagrama:
Admás, sabemos que ADB y CDB son triángulos rectángulos. También,
que el Teorema de Pitágoras se verifica para todos los triángulos
rectángulos. Por lo tanto, este Teorema se verifica para ADB y CDB. Por
motivos de brevedad, diremos que 𝐴𝐵̅̅̅̅ es la hipotenusa del ADB, por lo que
(𝐵𝐷)2
+ (𝐴𝐷)2
= (𝐴𝐵)2
. (1)
Ahora, sustituimos AB por a, BD por h, y AD por
a
2
en la Ecuación (1), para
obtener
(ℎ)2
+ (
𝑎
2
)
2
= (𝑎)2
.
Defínanse:
a = La longitud de los lados del triángulo
ABC. Por ejemplo, la longitud de 𝐴𝐵̅̅̅̅.
h = La longitud de 𝐵𝐷̅̅̅̅.
¿Cómo sabemos que el
punto D divide parte al
segmento 𝐀𝐂̅̅̅̅ en mitades, y
que los triángulos ADB
y CDB son triángulos
rectángulos?
Éstas son preguntas muy buenas.
No las responderemos aquí, pero
sería bueno investigarlas fuera
de la clase.

6. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
6 de 10
Hagamos una pausa para reconocer que ya hemos obtenido lo que
queremos. Es decir, ya tenemos una ecuación que comunica la relación
entre la altura (h) del trángulo rectángulo, y la longitud de sus lados (a). Sin
embargo, deberíamos procurar simplificar la ecuación. Por ejemplo, por
combinar los términos en los cuales aparece la variable a:
(ℎ)2
+ (
𝑎
2
)
2
= (𝑎)2
.
(ℎ)2
+ (
𝑎
2
)
2
− (
𝑎
2
)
2
= (𝑎)2
− (
𝑎
2
)
2
ℎ2
= 𝑎2
−
𝑎2
4
ℎ2
=
3
4
𝑎2
.
Esta versión es más o menos satisfactoria, pero se puede simplifarcla más
todavía, por sacar la raíz cuadrada de ambos lados:
√ℎ2 = √
3
4
𝑎2,
ℎ = 𝑎
√3
2
, o equivalentemente, ℎ =
𝑎√3
2
.
Por fin tenemos lo que queremos, y en una forma conveniente. Para
comprobar nuestra fórmula (a saber, la ℎ = 𝑎
√3
2
), deberíamos medir a en
nuestro diagrama, usar nuestra fórmula para calcular h, y comparar el
resultado del cálculo con la medida verdadera de h.
También, debemos investigar si nuestra fórmula tiene lógica. Por
ejemplo, ¿cómo cambia la altura cuando el triángulo se hace más grande?
Obviamente, la altura se incrementa conforme se incrementa el tamaño del
triángulo. Pero, ¿es esto lo que nuestra fórmula predice? En cambio, si el
triángulo se disminuiera hasat convertirse en un punto, la altura sería cero.
¿Nuestra fórmula lo predice?
Les prometí que en el curso de desarrollar nuestra fórmula, veríamos
cómo emplear La regla de la generalización universal y La regla de la espe-
cificación universal. La verdad es que las usamos sin mencionarlas. Yo de-
bería no haberlo hecho. Entonces, ahora presentaré un desarrollo mejorado,
señalando dónde se ha empleado las dos reglas. Solo es necesario agregar-
le unos cuantos comentarios al desarrollo ya presentado. En la tabla que
sigue, los comentarios en cursivas azules son explicativos; no son parte
del desarrollo mismo.
Siempre busquen cómo compro-
bar cualquiera formula que
desarrollen.
Por fin, verán dónde usamos
La regla de la generaliza-
ción universal y La regla de
la especificación universal.

7. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
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Desarrollo mejorado
Comentarios explicativos para cada paso
del desarrollo mejorado
Sea T, arbitrario, un
triángulo equilátero.
En otras palabras, “Imagine un triángulo equilátero
cualquier, y llamarlo ‘T’”.
Sea a la longitud de los
lados de T.
Aquí, se usa La regla de la especificación universal
varias veces. Como se suele hacer, no decimos que
estamos usándola, sino la usamos y ya.
Hay ciertas propiedades que todos los triángulos las
tienen. Por ser un triángulo equilátero, T las tiene
también.
Una de las propiedades que nos permite hacer la
declaración a la izquierda, es que los lados de un
triángulo equilátero son segmentos que tienen la
misma longitud.
A su vez, todos los segmentos de línea tienen ciertas
propiedades. Por lo tanto, los lados de T las tienen.
Una de estas propiedades es que se puede expresar la
longitud de un segmento en la forma de un número
no negativo.6
IMPORTANTE: No suponemos nada más acerca de
T o a. Sobre todo, aparte de que a≥0, no suponemos
nada acerca del valor de a.
(Aquí vienen todas la
declaraciones que nos
llevaron a la fórmula
ℎ = 𝑎
√3
2
.)
De nuevo, usamos La regla de la especificación uni-
versal sin mencionarla.
Como todos los números no negativos, al a se le puede
efectuar la multiplicación, división, etc.
Porque T fue un triángu-
lo equilátero arbitrario,
podemos concluir que
nuestra fórmula es cierta
para todos los triángu-
los equiláteros.
(Fin del desarrollo.)
Nos permite hacer esta declaración, La regla de la
generalización universal. Acerca de T, supusimos que
tiene las propiedades que tienen todos los triángulos
equiláteros, y ninguna más. Se demostró que por
tener nuestro triángulo rectángulo arbitrario estas
propiedades, y ninguna más, forzosamente deber
verificarse que
𝒉 = 𝒂
√𝟑
𝟐
.
Por lo tanto, es correcto concluir que esta fórmula se
verifica para todos los triángulos equiláteros.
Desafortunadamente, los libros de texto—aun los avanzados—suelen
omitir mencionar el uso de La regla de la generalización universal. Por lo
tanto, los más de los alumnos nunca se enteran de que sí, podemos sacar
conclusiones como aquella que acabamos de presentar. Tampoco—y mu-
cho menos—lo que es necesario hacer en nuestros desarrollos y demostra-
ciones para poder emplear esta tan valiosa regla.
6
Por otro lado, cada número puede ser representado como un segmento de cierta
longitud. Por lo tanto, para cada número no negativo x, existe (¡al menos en nuestras
mentes!) un triángulo equilátero cuyos lados tienen dicha longitud. A los alumnos, se
suele presentar estos conceptos como obvios, pero son realmente sutiles, y los ma-
temáticos no lograron fundamentarlos rigurosamente hasta los medios del Siglo XIX.
Para la conveniencia
del lector, se presen-
tan de nuevo:
La regla de la especifica-
ción universal
Si todos los objetos de una
clase tienen ciertas caracterís-
ticas, entonces cada uno de los
objetos de la clase las tiene.
y
La regla de la generaliza-
ción universal
Si se puede demostrar que una
fórmula es cierta para un
objeto elegido en forma arbi-
traria de una clase, entonces
la fórmula es cierto para todo
objeto que le pertenece a la
clase.

8. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
8 de 10
Supe de esta regla cuando estudiaba— ¡a la edad de 50 años!—cómo
hacer demostraciones formales. Sin embargo, creo que se la puede enseñar
con éxito, a los alumnos del nivel primario.
Bueno, a esas alturas hemos visto que la geometría sí, se puede usar
para desarrollar ecuaciones (“fórmulas”) que expresen la relación entre las
características de una figura. Además, hemos visto
 Cómo se puede “saber” que una fórmula es cierta para todas las
figuras del tipo que nos interesa.
 Que al decir que lo “sabemos”, nos apoyamos en una suposi-
ción, la cual se llama La regla de la generalización universal.
Para atar cabos sueltos, pongamos de relieve que nuestro desarrollo de
la ecuación
ℎ = 𝑎
√3
2
se realizó con apego a todos los rituales y costumbres del extraño pueblo
que se denomina de Matemáticos. Por lo tanto, podemos agregarle, al cuer-
po de propiedades comunes a todos los triángulos equiláteros, esta relación
entre la altura y los lados. Así que en el futuro, al tener que encontrar la altu-
ra de un triángulo equilátero dado, por ejemplo éste…
podremos decir, “Todos los triángulos equiláteros cuentan con la propiedad
de que su altura —con respecto a cualquier de sus tres lados—es
√3
2
veces
la longitud de sus lados. Entonces, dicha relación se verifica para nuestro
triángulo. Por lo tanto, la altura de nuestro triángulo es de
5 metros por
√3
2
.
O sea, es de aproximadamente 4.33 metros. (¡Compruébelo!)
Una cosa de debe enfatizarse en cuanto a esta fórmula (y todos las de-
más) es que es una constancia de una relación entre números. Concreta-
mente, nos cuenta que el número que expresa la altura de un triángulo equi-
látero es
√3
2
veces el número que expresa la longitud de sus lados. Por lo
tanto, si sabemos la altura de un triángulo equilátero, y queremos saber la
longitud de sus lados, solo es necesario despejar al a en nuestra fórmula.
Por ejemplo, siguiendo los pasos abajo presentados:
Longitud de los lados: 5 metros

9. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
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ℎ = 𝑎
√3
2
𝑎
√3
2
= ℎ (Cometo menos errores si la incógnita está en el lado izquierdo.)
𝑎
√3
2
√3
2
=
ℎ
√3
2
𝑎 = ℎ (
2
√3
)
𝑎 = ℎ (
2
√3
) [
√3
√3
]
𝑎 = ℎ (
2√3
√3∙√3
)
𝑎 = (
2√3
3
) ℎ .
Fíjense que no tuvimos que “partir de cero” para desarrollar esta ecuación.
Es decir, no tuvimos que volver a analizar nuestro triángulo arbitrario T. Ha-
biendo desarrollado la fórmula
ℎ = 𝑎
√3
2
,
y habiendo dicho que a y h son números no negativos, fue lícito trasformar
nuestra formula de cualquiera manera que nos diera en gana, con tal que
nuestros pasos respetaran las propiedades de los números y de la igualdad.
De hecho es lo que hicimos para trasformar la ecuación que obtuvimos di-
rectamente del Teorema de Pitágoras,
(ℎ)2
+ (
𝑎
2
)
2
= (𝑎)2
,
para obtener una versión más conveniente:
ℎ = 𝑎
√3
2
.
Ahora debemos comprobar que 𝑎 = (
2√3
3
) ℎ. Entonces, por favor que mi-
dan la altura y los lados del triángulo equilátero presentado a continuación
(ver, por favor, la página que sigue), para saber si coincide el valor de h cal-
culado a partir de la fórmula, con la medida de h.
¿Verdad que la longitud de los
lados es
𝟐√𝟑
𝟑
veces la altura?

10. Algunas de las propiedades de los triángulos equiláteros
10 de 10
Fin