LABERINTOS DE DISCIPLINAS DEL PENTATLÓN OLÍMPICO MODERNO. Por JAVIER SOLIS NO...
Ajuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICO
1. Jaime J. Velastegui T.
INGENIERO GEÓGRAFO 1
POLIGONACION
Cálculos de una poligonal en 2D abierta de 𝑛 lados, y encerrada entre dos líneas
bases conocidas al inicio y al final.
FIGURA 1. Poligonal topográfica
Para esta tarea se requieren medir 𝑛 lados 𝑟𝑖 y 𝑛 + 1 ángulos 𝛼𝑖 horizontales para
luego realizar los cálculos de ajuste.
Cálculo de los azimuts en función de los ángulos 𝛼𝑖 medidos en sentido horario
(a la derecha):
𝐴 𝑍1 = 𝐴 𝑍𝐵 + 𝛼1 − 2 ∗ 180,
𝐴 𝑍2 = 𝐴 𝑍𝐵 + 𝛼1 + 𝛼2 − 3 ∗ 180,
…
𝐴 𝑍𝑄
𝐶
= 𝐴 𝑍𝐵 + ∑ 𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 − (𝑛 + 1) ∗ 180.
El azimut calculado 𝐴 𝑍𝑄
𝐶
debe ser igual al azimut fijo 𝐴 𝑍𝑄 por lo que se obtiene la
condición de cierre angular:
𝑊𝑎 = 𝐴 𝑍𝑄
𝐶
− 𝐴 𝑍𝑄 = 𝐴 𝑍𝐵 + ∑ 𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 − (𝑛 + 1) ∗ 180 − 𝐴 𝑍𝑄 ,
Según el desarrollo de Taylor para los términos de primer grado y para
correcciones pequeñas 𝑑𝛼𝑖 de los ángulos observados tenemos:
0 = 𝑊𝑎 + ∑
𝜕(𝑊𝑎)
𝜕𝛼 𝑖
𝑑𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 , es la ecuación de cierre angular:
∑ 𝑑𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 = −𝑊𝑎 (1)
Cálculo de las coordenadas (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖) de los vértices 𝑖 de la poligonal en función
de los ángulos y distancias medidas:
𝑋1 = 𝑋𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍1),
𝑋2 = 𝑋𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍1) + 𝑟2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍2),
…
𝑋 𝑃
𝐶
= 𝑋𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖),
2. Jaime J. Velastegui T.
INGENIERO GEÓGRAFO 2
𝑋 𝑃
𝐶
= 𝑋 𝑃 , la coordenada calculada 𝑋 𝑃
𝐶
debe ser igual a la coordenada de
llegada 𝑋 𝑃 y se obtiene la ecuación de cierre para 𝑋:
𝑊𝑋 = 𝑋 𝑃
𝐶
− 𝑋 𝑃 = 𝑋𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖) − 𝑋 𝑃, luego la ecuación de condición
queda:
0 = 𝑊𝑋 +
𝜕(𝑊𝑋)
𝜕𝛼
𝑑𝛼 +
𝜕(𝑊𝑋)
𝜕𝑟
𝑑𝑟
(∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼1
𝑛
𝑖=1 + (∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼2
𝑛
𝑖=2 + ⋯ + 𝑟𝑛 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑛) 𝑑𝛼 𝑛 +
∑ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖)𝑑𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗= −𝑊𝑋, (2)
Calculando para 𝑌 se obtiene:
𝑌1 = 𝑌𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍1),
𝑌2 = 𝑌𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍1) + 𝑟2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍2),
…
𝑌𝑃
𝐶
= 𝑌𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍𝑖),
𝑌𝑃
𝐶
= 𝑌𝑃 , la coordenada calculada 𝑌𝑃
𝐶
debe ser igual a la coordenada de
llegada 𝑌𝑃 y se obtiene la ecuación de cierre para 𝑌:
𝑊𝑌 = 𝑌𝑛
𝐶
− 𝑌𝑃 = 𝑌𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑖) − 𝑌𝑃, luego la ecuación de condición queda:
0 = 𝑊𝑌 +
𝜕(𝑊𝑌)
𝜕𝛼
𝑑𝛼 +
𝜕(𝑊𝑌)
𝜕𝑟
𝑑𝑟
−(∑ 𝑟𝑖 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼1
𝑛
𝑖=1 − (∑ 𝑟𝑖 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼2
𝑛
𝑖=2 − ⋯ − 𝑟𝑛 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑛) 𝑑𝛼 𝑛 +
∑ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍𝑖)𝑑𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 = −𝑊𝑌, (3)
Una condición más que debe cumplirse en esta tarea es que el área 𝑆 del
triangulo 𝛥𝐴𝑃𝑃 𝐶
debe ser nula.
FIGURA 2. Condición de área nula
2𝑆 = [
𝑋 𝑃
𝐶
𝑌𝑃
𝐶
1
𝑋 𝑃 𝑌𝑃 1
𝑋𝐴 𝑌𝐴 1
]
2𝑆 = (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ 𝑋 𝑃
𝐶
− (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ 𝑌𝑃
𝐶
+ 𝑋 𝑃 ∗ 𝑌𝐴 − 𝑋𝐴 ∗ 𝑌𝑃
Luego la condición de área nula será:
4. Jaime J. Velastegui T.
INGENIERO GEÓGRAFO 4
Sistema matricial conformado por 5 ecuaciones de condición con 2𝑛 + 1
incógnitas para 𝑛 + 1 ángulos 𝛼𝑖 y 𝑛 distancias 𝑟𝑖 medidos.
Ahora nos queda por calcular las correcciones 2𝑛+1 𝑉1, según el principio de los
mínimos cuadrados para observaciones condicionadas:
𝑉 𝑇
𝑃𝑉 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜