Dimensionamento de Sapatas de Fundação

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
UNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIA
Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III
NOTAS DE AULA

SAPATAS DE FUNDAÇÃO

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP
Agosto/2012

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os
procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento”.
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao
aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.
Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas.

SUMÁRIO

1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................1
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO ...............................................................................................1
1.3 TIPOS DE SAPATAS ........................................................................................................1
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ........................................................................................3
2. SAPATAS ISOLADAS............................................................................................................3
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ ......................................................................4
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL.............................................................................5
2.2.1 Sapatas Rígidas ...........................................................................................................5
2.2.2 Sapatas Flexíveis .........................................................................................................6
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.....................................................................6
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA .................................................................................................................................7
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ..............................................7
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB).......................................................8
2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70..................................................................................9
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ....................................................................9
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................................10
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão..........................................................................13
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................14
2.5.5 Força Cortante Limite ...............................................................................................16
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO ..........................................................................................16
2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante .........................................................................18
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C..................................................................................................................19
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção ........................................................................................................20
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...............................................................21
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...........................................................................................29
2.9 MÉTODO DAS BIELAS .................................................................................................29
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...........................................................................33
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS.............................................34
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...............................................................................34
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ............................................................................36
2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor....................40
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA ..............................48
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA..................................54
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥
5d 56
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível....................................................................................57
3. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................62
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME ...........................................64
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ......................65
3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...............................................................67
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................69

3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL..........................................................69
4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................74
5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM
SAPATAS.......................................................................................................................................75
6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................76
6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...............................................................................................78
6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO.........................................78
6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO ..........................................81
6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA ......................................................81
6.5 EXEMPLO 8 ....................................................................................................................83
6.6 TAREFA...........................................................................................................................90
6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ..........................................................90
7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................92
8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................95
8.1 SAPATA RETANGULAR...............................................................................................95
8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..................................................................98
8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL.......................................................................100
8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ....................................................101
8.5 EXEMPLO 9 ..................................................................................................................102
9. QUESTIONÁRIO ................................................................................................................111
10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................112

UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 1

1. DEFINIÇÕES

As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010.

1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL

A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como:
“elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a
base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à
fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.”
Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de
dimensionamento geométrico e de calculo estrutural.

1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO

Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado,
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego
de armadura especialmente disposta para esse fim.”

1.3 TIPOS DE SAPATAS

Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou
excêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).

h=cte h = var

Figura 1 – Sapata isolada.

Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de
pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2).

parede

sapata OU

Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede.


Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapata
combinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada como
alternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena.

A

VR
P1 P2

PLANTA A

Viga de
rigidez

ELEVAÇÃO CORTE AA

Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação).

Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de um
ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às
fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das
cargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletor
resultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga de
equilíbrio” (VE), Figura 4.

sapata 1 sapata 2

VA

Viga alavanca (VA)

Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio.


A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conforme
alguns casos indicados na Figura 5.

Viga
VB
baldrame
(VB)

VB

Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.

1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS

“A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o
solo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com
terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve
ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivos
sugeridos para as sapatas.
h / 3
h0 ≥ 
20 cm

3 a 10 cm
α

>3
1
h
h0

Lastro de concreto simples
( ≥ 5cm, fck ≥ σsolo, rocha)

Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.

α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).

2. SAPATAS ISOLADAS

Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de
aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação


entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modo
que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.

Se cA = cB :

A – ap = B – bp

A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB)

A

CB
bp
B

CB
CA ap CA

Figura 7 – Notação para a sapata isolada.

2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ

Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:

ap Pilar
(A - a p )
Sapata rígida: h≥
3

(A - a p )
h

Sapata flexível: h <
3
A

Figura 8 – Altura h da sapata.

com: h = altura da sapata (Figura 8);
A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção;
ap = dimensão do pilar na direção do lado A.

Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,
segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares.


ap Pilar

Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando:

0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º)

h
β
tg β = h / c
C
Balanço

Figura 9 – Ângulo β e balanço c.

A sapata será considerada flexível se:

tg β < 0,5

tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto
resiste a σt .

2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
(NBR 6118/03, 22.4.2)

2.2.1 Sapatas Rígidas

São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações.

a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuída
na largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente nas
larguras A e B da sapata (Figura 10).

Sapata
rígida
As B

A As A

Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada.

b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por tração
diagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).
Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.


Seção a ter compressão
verificada (item 19.5.3.1
da NBR6118)
σI

σII

Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.

2.2.2 Sapatas Flexíveis

São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis são
utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03).

a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12);
b) há a necessidade da verificação à punção.

N

p

M
(variável)

Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.

2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO

As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características das
cargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.
(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos).
A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se
a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). A
NBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobre
rocha.


Rígida Flexível

distribuiçao
Areia admitida Areia

distribuição
real

Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.

A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana a
distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações
mais detalhadas a respeito.”

2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA

A area de apoio da sapata pode ser estimada como:

1,05 N 1,1N
Ssap = ou Ssap =
σsolo σsolo

onde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções

Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se:

A = 2cA + ap

B = 2cB + bp

Com cA = cB , fica:

A – B = ap – bp

Ssap
Ssap = A ⋅ B → A =
B

Ssap
− B = a p − bp
B

Multiplicando por B:

(
Ssap − B 2 = a p − b p B )
1 1
B=
2
(bp − a p + )
4
bp − a p ( )2 + Ssap


A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm no
caso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos
(sobrado).
A

CB
bp
B

CB
CA ap CA

Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.

2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB)

Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:
A
≤ 3,0
B

Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se:

A
=R → A = B⋅ R
B

Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2

Ssap
B= , com A e B múltiplos de 5 cm.
R
A
CB
bp
B

CB

CA ap CA

Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.


2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70

O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com:

h
c ≤ 2h e c≥
2
h
ou seja: ≤ c ≤ 2h
2
h
Se c < → bloco de fundação.
2

C C

h

Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.

Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a
superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).

M("pequeno") M("grande")

(LN fora da
N seção) N

Distribuição admitida para
quando existirem tensões de
tração na base da sapata x
Superfície
plana

Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.

2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior

Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção de
referência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e se
encontra internamente ao pilar (Figura 18).

d1 = d ≤ 1,5cA ap CA
0,15 ap
d1

S1A
A

Figura 18 – Seção de referência S1 .


O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre a
seção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.

S1

σ2
σ1

Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .

No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se as
características geométricas da seção de referência S1.
O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a
relação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.

2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada

Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na
Figura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb :

A − ap B − bp
cA = = cB =
2 2
ap
0,15 bp
xB

S1B
bp
B

0,15ap
CB

S1A

CA xA

A

N

S1A

p

Figura 20 – Notações e seção de referência S1 .


Pressão da sapata no solo:

1,05 N
p=
A.B

onde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem ser
adotados.

As distâncias xA e xB são:

xA = cA + 0,15ap

xB = cB + 0,15bp

Áreas de referência nas duas direções (Figura 21):
A1A = xA B

A1B = xB A
xA
A1B

xB
B

A1A
A

Figura 21 – Áreas de referência.

Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22):

R1A = p . xA . B

R1B = p . xB . A

p

R1A
S1A
xA

Figura 22 – Resultante da pressão no solo.

Momento fletor em cada direção:


2
xA xA
M1A = R 1A ⇒ M1A = p . B
2 2

2
xB xB
M1B = R 1B ⇒ M1B = p . A
2 2

No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o
cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Se
considerar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd .

A'c

LN

As

Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).

Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:

2
b w d1
Kc = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks encontra-se βx , o domínio e Ks
Md

com bw = A ou B.

Md
As = Ks ≥ As,mín
d1

Simplificadamente também pode-se fazer:

Md
As = ≥ As,mín
0,85d1 . f yd

Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída
na largura da sapata.
A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas
extremidades.

Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:

a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):

2B
A armadura é calculada como sendo: A s
A+B


B Armadura

ap

bp
B

A

Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ ap + 2h.

b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):

A armadura é calculada como sendo: A s
(
2 a p + 2h )
A + a p + 2h
ap + 2h

ap Armadura
bp
B

A

Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.

2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão

1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir da
seção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é o
comprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.

C>h
h

lb

h

Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h.


2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada na
vizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir da
extremidade retilínea da barra (Figura 27).

C<h

lb

h
Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.

2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada

No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção de
referencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2
da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.
A

S2A C2B

S2B
2
d
bp
B

45°

d
ap 2 C2A

N
d
h

d2A
h0

p

C2A
A

Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata.


com:
 h − h0 
d 2 A = d 1 −  < 1,5c 2A
 A −ap 
 

 h − h0 
d 2 B = d 1 −  < 1,5c 2 B
 B − bp 
 

No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura
29).
C
B

S 2A na face do pilar

Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).

A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.

A

45°

ap
b p+ d
b2A
B

bp

S2A

N
d
d2A ≤ 1,5 C2A

d
2 C2A

Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A .


Com relação às dimensões A e B da sapata:

b2A = bp + d

b2B = ap + d

2.5.5 Força Cortante Limite

Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valores
seguintes:

1,5
Vd,lim = b 2 ⋅ d 2 ρ ⋅ f ck , para fck em kN/cm2;
γC

0,474
Vd ,lim = b 2 ⋅ d 2 ρ ⋅ f ck , para fck em MPa.
γC

com: Vd,lim em kN;
γc = coeficiente de segurança do concreto;
b2 e d2 em cm;
ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :

AS
ρ= ≤ 0,01 (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);
b2 ⋅ d2

As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .

Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.

Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição não
ocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.

NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade para
resolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:

Vd
d novo = d
Vd ,lim

2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO

A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 -
“Dimensionamento de lajes à punção”.
A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31.

d
tg α = , fazendo α = 27°
x

d d
tg 27 º = → x= ≅ 2d
x 0,51


pilar
superfície de ruptura de
uma laje por efeito de
As- punção

d
α = 25º a 30º x
laje

Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.

“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais
superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica
(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de
compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra as
superfícies críticas C e C’.

2d 2d 2d

C C C
Borda livre

C'

C'
C'
B. livre

C
2d
B. livre

C'

Figura 32 – Superfícies críticas C e C’.

“Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga
concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à
tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, no
entorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A
terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário
colocar armadura transversal.”
No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente os
itens relacionados à dispensa da armadura transversal.
A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies
críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cada
superfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .


2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante

2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico

A tensão de cisalhamento solicitante é:

FSd
τSd =
u ⋅d

onde:

d=
(d x + d y ) = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;
2

dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;
u = perímetro do contorno crítico C’;
u . d = área da superfície crítica;
FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo.

No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). A
força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro
do contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).

2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado

Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamento
solicitante é:

FSd K ⋅ M Sd
τSd = +
u ⋅ d Wp ⋅ d

sendo:
K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar
por cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1);
C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33;
C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.

Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 .
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0
K 0,45 0,60 0,70 0,80

Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1;
- quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8.

Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando a
curvatura dos cantos do perímetro crítico por:
u
Wp = ∫ e dl
0
dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;


e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento
fletor MSd .

2
C1
Wp = + C1 C 2 + 4C 2 d + 16d 2 + 2π d C1 (pilar retangular)
2

Wp = 4r 2 + 16r d + 16d 2 (pilar circular; r = raio)
ou
2
Wp = (D + 4d ) (D = diâmetro)

Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).

Msd e1
Msd
e1
Fsd Fsd
C'

≡
c2

e Fsd
dl
c1 2d

Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.

2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C
(NBR 6118, 19.5.3.1)

“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou
sem armadura”.

τSd ≤ τRd2

τRd2 = 0,27αv fcd

 f 
onde α v = 1 − ck  , com fck em MPa.
 250 

A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deve
ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão de
cisalhamento (Figura 34).
A tensão de cisalhamento solicitante é:
F
τSd = Sd
uo d

com: FSd = força solicitante de cálculo;


uo = perímetro de contorno crítico C;
uo = 2 (ap + bp)
uo d = área da superfície crítica C;
d = altura útil ao longo do contorno crítico C.

ap
C

bp
Fsd

d
τsd

Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.

2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção
(NBR 6118, 19.5.3.2)

A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:

 20  1
τ Rd1 = 0,13 1 +

 (100ρ ⋅ f ck )3
 d 
onde:
ρ = ρx . ρy ;

d=
(d x + d y ) = altura útil em C’(cm);
2
ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente;
ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais;

fck em MPa.

No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:

 20  3 2d
τ Rd1 = 0,13 1 +

 100 ρ f ck
 ≤ 0,5f cd 2
 d  a*

fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.

a* ≤ 2d


 f 
f cd 2 = 0,6 1 − ck  f cd (MPa )
 250 

u* = 2ap + 2bp + 2πa*
Superfície C'
(perímetro = u*)

a*
A

ap

d

Figura 35 – Distância a*.

Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é:

FSd  
τ Sd =  1 + K M Sd u * 
u*d  W p FSd 
 

2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA
(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988,
p.11-31 – Escola Politécnica da USP)

Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo a
taxa admissível do solo ( σsolo ) de 2,5 kgf/cm2 (0,25 MPa), sendo também conhecidos:

Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0
materiais: concreto C25 , aço CA-50
φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4

Resolução

Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o peso
próprio da sapata e o solo sobre a sapata:

1,1N k 1,1 ⋅ 1303
Ssap = = = 57.332 cm 2 = 5,7332 m2
σsolo 0,025


Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata
em planta é:

1 1
B= (b p − a p ) + (b p − a p ) 2 + Ssap
2 4

1 1
B= (20 − 75) + (20 − 75) 2 + 57332 = 213,5 cm
2 4

como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como o
múltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é:

Ssap 57332
A= = = 266,7 cm (adota-se A = 270 cm), e
B 215

Ssap = 270 . 215 = 58.050 cm 2

Os balanços resultam:

A − ap 270 − 75
cA = cB = c = = = 97,5 cm
2 2

A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é:

 A − a p  270 − 75
NBR 6118 → h ≥ 
 3 ≥  ≥ 65 cm
  3

h h
Pelo CEB-70: 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 com tg β = =
c 97,5

h
0,5 ≤ ≤ 1,5 → 48,8 ≤ h ≤ 146,3 cm
97,5

Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da
sapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar:

h ≥ l b,φ,pil

l b,φ,pil = 53 cm (com gancho, região de boa aderência, C25, φ l ,pil = 20 mm)

Adotando h = 90 cm ≥ l bφ,pil = 53 cm, a sapata é rígida.


A
270cm
xA
108,75

97,5
CB
215cm

bp
20
B

97,5
CB
CA ap CA
97,5 75 97,5

0,15 ap = 11,25
h = 90 ≥ 30

d = 85
p

Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 .

Para a altura útil pode-se considerar:

d = h – 5 cm → d = 85 cm

Pressão no solo:

1,1N k 1,1 ⋅1303
p= = = 0,0247 kN/cm2
A ⋅ B 270 ⋅ 215

Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar:

h 90
≤ c ≤ 2h → ≤ c ≤ 2 ⋅ 90
2 2

45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok!

Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B :

x2A x2
M1A = p ⋅ B ; M1B = p ⋅ A B
2 2
x A = c A + 0,15a p = 97,5 + 0,15 ⋅ 75 = 108,75 cm


x B = c B + 0,15b p = 97,5 + 0,15 ⋅ 20 = 100,5 cm

108,75 2
M1A = 0,0247 . 215 = 31.402 kN.cm
2

100,5 2
M1B = 0,0247 . 270 = 33.679 kN.cm
2

O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior:

M1A 31402 1
= = 0,93 > → ok!
M1B 33679 5

A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.
A = 270
31402
B = 215

MB
MA

33679

S1A
MB = 33679

MA = 31402

Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata.

Armadura segundo a dimensão A da sapata:

M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm

b d 2 215 . 85 2
kc = = = 35,3
Md 43963

observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B).

Na tabela de kc e ks resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks = 0,023.

M1A ,d 43963
A sA = k s = 0,023
d 85

AsA = 11,90 cm2

Armadura segundo a dimensão B da sapata:


M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm

270 . 85 2
kc = = 41,4 ⇒ β x = 0,02, dom. 2, k s = 0,023
47151

M1B,d 47151
A sB = k s 0,023
d 85

AsB = 12,76 cm2

Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:

M1A ,d 43963
A sA = = = 14,00 cm 2
0,85d . f yd 085 . 85 . 43,48
M1B,d 47151
A sB = = = 15,00 cm 2
0,85d . f yd 0,85 . 85 . 43,48

A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje
(cm /m). É necessário tranformar a armadura em cm2/m:
2

14,00
Na dimensão A: = 6,51 cm2/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2/m)
2,15

15,00
Na dimensão B: = 5,56 cm2/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2/m)
2,70

O detalhamento das armaduras está mostrado adiante.

Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme as
dimensões indicadas na Figura 38.
As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são:

VA = p B c2A VB = p A c2B

A − ap − d 270 − 75 − 85
c 2A = = = 55 cm
2 2
B − b p − d 215 − 20 − 85
c 2B = = = 55 cm
2 2
VA = 0,0247 . 215 . 55 = 292,1 kN

VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN

As forças cortantes de cálculo, com γf = 1,4 são:

VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN

VB,d = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN


A
270cm

S2A

C2B
42,5 55
S2B

2
d
215cm
B

bp
20
ap d
2 C2A
75 42,5 55

S2A

85
58,8
90

d
d2A
h

h0
30

p = 0,0247

ap d
2
75 42,5 d2A
S2A
20
bp

105
b2A

b2A
42,5
2

S2B
d

b2B
160
Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .

Dimensões d2Ae d2B :

 h 90
 = = 30 cm
h0 ≥ 3 3 → adotado h 0 = 30 cm
20 cm



 h − h0 
d 2 A = d 1 −  ≤ 1,5c 2 A
 A − ap 
 

1,5c 2 A = 1,5c 2 B = 1,5 ⋅ 55 = 82,5 cm

 90 − 30 
d 2 A = 85 1 − = 58,8 cm ≤ 82,5 cm → ok!
 270 − 75  

 h − h0 
d 2 B = d 1 −  ≤ 1,5c 2 B
 B − bp 
 

 90 − 30 
d 2 B = 85 1 − = 58,8 cm ≤ 82,5 cm → ok!
 215 − 20  

d 2 B = d 2 A = 44,3 cm ≤ 93,8 cm → ok!

Larguras das seções S2:

b 2 A = b p + d = 20 + 85 = 105 cm

b 2 B = a p + d = 75 + 85 = 160 cm

Forças cortantes limites conforme o CEB-70:

0,474
Vd ,lim = b 2 ⋅ d 2 ⋅ ρ ⋅ f ck
γc

Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ):

A sA 6,67
ρA = = = 0,00113 = 0,113 % ≤ 1 %
100d 2 A 100 ⋅ 58,8
A sB 5,71
ρB = = = 0,000971 = 0,0971 % ≤ 1 %
100d 2 B 100 ⋅ 58,8

0,474
VA,d ,lim = 105 ⋅ 58,8 ⋅ 0,00113 ⋅ 25 = 352,0 kN
1,4

VA,d = 408,9 > VA ,d ,lim = 352,0 kN

0,474
VB,d ,lim = 160 ⋅ 58,8 ⋅ 0,000971 ⋅ 25 = 496,3 kN
1,4

VB,d = 513,5 > VB,d ,lim = 496,3 kN

A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, para
sapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:


f ck
Vd ,lim = 0,63 b2 d 2
γc

Aplicando ao exemplo:

25
VA,d ,lim = 0,63 105 ⋅ 58,8 = 1.389 kN >> VA,d = 408,9 kN
10 ⋅1,4

Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , as
dimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc.

Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118
recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado a
seguir.

Verificação da Diagonal Comprimida:

uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39).

uo = 2 (20 + 75) = 190 cm

FSd = N Sd = γ f ⋅ N = 1,4 ⋅1303 = 1.824 kN
(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)
C
75
20

bp

ap
Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar.

Tensão de cisalhamento atuante:

FSd 1824
τSd = = = 0,113 kN/cm2 = 1,13 MPa
u o d 190 ⋅ 85

Tensão de cisalhamento resistente:

 25  2,5
τ Rd , 2 = 0,27α V ⋅ f cd = 0,27 1 −  = 0,43 kN/cm2 = 4,3 MPa
 250  1,4

τSd = 1,13 MPa < τ Rd , 2 = 4,3 MPa

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.

Detalhamento (Figura 40)

Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB será
distribuída uniformemente no comprimento A.
Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.


c = 97,5 cm > h = 90 cm

φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm.

cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm).

lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm

20

N2 - 19 Ø12,5 C = 285
20
AsB N2 - 19 c/14

(215 - 8)/12 = 17,2
(270 - 8)/14 = 18,7

AsA N1 - 17 c/12

AsB 205
20
20

20 20
AsA 260
20

20
N1 - 17 Ø12,5 C = 340

Øl,pil
97,5

≥ 14
≥ lb Øl, pilar

,5
83

30

h = 90

20 lanc ≥ lb ≥ 38 cm

Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1o) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de uma
sapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com:
σsolo = 0,3 MPa Mx = M y = 0
C25 θl,pilar = 22,5 mm

2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de
base circular.

2.9 MÉTODO DAS BIELAS

O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle
(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a


base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na
base da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura.

Biela de compressão

Armadura necessária para
resistir à força de tração

Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.

Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das
bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.
A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.

P

0

dN
x
y dy
dT y
d0

dT
dx
dT x

dy
pd
x

B A

Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas.

Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-se
as equações:


p

P

(A - ap)
A.d
ds

β≥

d

d 0=
45°

α
As dx

p

A A
2 2
2dP
0
A
d0

dN
d
α

α

dT dT
p d x = dP
x dP
Figura 43 – Forças na direção x da sapata.

dT = dN ⋅ cos α
dP = dN ⋅ sen α

dP dP x
dT = cos α = = p ⋅ dx
sen α tgα d0

A
p 1 p  A2 
Tx = ∫ 2 x ⋅ dx =  − x2 
x d0 2 d0  4




1 p (A − a p )  A 2 
Tx =  − x2 
2 A⋅d  4 



Para x = 0, Tx = Tmáx :

1 P (A − a p ) A 2 P (A − a p )
Tx = → Tx =
2 A A⋅d 4 8 d


De forma análoga para a direção da sapata isolada:

P (B − b p )
Ty =
8 d

A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:

dN dx
σc = onde d s =
ds sen α

A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máxima
ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:

σc =
P 
1 +
(
A − ap 2 

)
2
ap  4 − d0 
 

A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.
A

y

ap

x
P
bp
B

Asy ou AsB

1
d ≥ 2 (B - bp)
P
d ≥ 2 (A - ap)
h

1

Asx ou AsA

Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata.

As armaduras são:

Txd Tyd
A sx = A sA = ; A sy = A sB =
f yd f yd

Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:


 
 ( ) (
2
)
2 
σ c,máx =
p 1 + A − a p + B − b p 
λ ⋅ a p ⋅ bp   1  2
2 
 4  d0 

 1− λ  


ap bP
Onde λ = = (áreas hometéticas).
A B

No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:

   
2

p  1  A−a  
p
σ c,máx = 1 +   
λ ⋅A ⋅ap  2  1
  d0  

  1− λ   

2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida

Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método das
Bielas”.

Resolução

Verificação do ângulo β:

d 85 85
tg β = = = = 0,8718 → β = 41,1º < 45º → não ok!
1 1 97,5
(A − a p ) (270 − 75)
2 2

portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, de
modo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cm
tem-se:

100
tg β = = 1,0256 → β = 45,7 º ≥ 45º → ok!
97,5

Forças de tração:

P (A − a p ) 1,1 ⋅1303 (270 − 75)
Tx = = ⋅ = 349,4 kN
8 d 8 100

P (B − b p ) 1,1 ⋅1303 (270 − 75)
Ty = = ⋅ = 349,4 kN
8 d 8 100

1,4 ⋅ 349,4
A sx = A sA = = 11,25 cm2 = Asy = AsB
50
1,15


A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como
feito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, não
deve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida.

2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS

Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou
força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de
gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45).

M
e
divisa

H
N N

MA

HA N
MB

N

B

A
HB

Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.

2.10.1 Excentricidade em Uma Direção

a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46)

A
Ocorre quando e < . Tem-se:
6


e
N M⋅y
N σ= ±
A⋅B I

N 6e
σmín σ máx = (1 + )
A⋅B A
σmáx
N 6e
σ máx = (1 − )
A⋅B A
A

6
B
B

A N
núcleo 6

Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do
núcleo central de inércia.

A
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central (e = ) (Figura 47)
6

A
N
σ máx = 2
A⋅B
A
6

N

σmáx

Figura 47 – Ponto de aplicação da força no
limite do núcleo central.

A
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central (e > ) (Figura 48)
6

Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novo
diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo
coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:


A
2N
σ máx =
A A 
6 3B  − e 
B
2 

N
e

σmín LN

σmáx, 1

3(A/2 - e)
A0

σmáx
LN

A0
6

Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora
do núcleo central.

2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções

A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas
direções.
A

y
N
eB

x
B

eA

Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções.

O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da
sapata, e:
N M ⋅y M ⋅x
σ= ± B ± A
A⋅B I I


MB MA

HB HA
N N

B A

Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.

M A ' base = M A + H A ⋅ h , M B' base = M B + H B ⋅ h

MA MB
eA = , eB =
N N

eA eB 1
a) Quando + ≤ (Figura 51)
A B 6

A

y
N
eB

CG x
B

eA

x
σ má

n
σ mí

eA eB 1
Figura 51 – Tensões na sapata para + ≤ .
A B 6

N  6e A 6e B 
σ máx = 1+ +
A⋅B  A B 
N  6e A 6e B 
σ min = 1− −
A⋅B  A B 
(toda seção seta comprimida)


eA eB 1
b) Quando + > (Figura 52)
A B 6

seção
comprimida
3 y 1
N

eB
B
eA
α
x
4 A 2 x
σ má

n
σ mí
eA eB 1
Figura 52 – Tensões na sapata para + > .
A B 6

N
σ máx = σ1 =
K1 ⋅ A ⋅ B

σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado)

σmín = σ4 < 0

K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53.
Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:

x y B 
+  tg α 
A B A 
σ mín = σ 4 + (σ1 − σ 4 )
B
1 + tg α
A


Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas
para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).


Notas:
- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais
desfavorável, σ máx = 1,3 σsolo ;
- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente
comprimida, isto é:

e A ,g e B, g 1
+ ≤ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54).
A B 6

Gs1 Gs2

Gb1 Gb2

Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.

- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo
menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:

2 2
 eA   eB  1
  +  ≤
A B 9

2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor
(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,
UNESP – Bauru/SP)

Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um
momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,
dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:

concreto C25, aço CA-50, σsolo = 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm.

Resolução

1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor.

Área do apoio da sapata:

1,1N 1,1 ⋅ 820
Ssap = = = 41.000 cm2
σsolo 0,022

Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções:

1 1 1
B= (bp − a p + ) (
bp − a p )2 + Ssap = (20 − 60) + 1 (20 − 60)2 + 41000 = 183,5 cm
2 4 2 4

adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm.


A – ap = B – bp

A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm

Tensões na base da sapata (Figura 55):

N M⋅y
σ= ±
A⋅B I

A B ⋅ A3
y= ; I=
2 12

M 6200
e= = = 6,9 cm
1,1N 1,1 ⋅ 820

A 225
= = 37,5 cm
6 6

A
e = 6,9 < = 37,5 cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.
6

1,1 ⋅ 820  6 ⋅ 6,9  2
σ máx = 1 +  = 0,0257 kN/cm > σ solo = 0,022 ∴ não ok!
225 ⋅185  225 

Aumentando a seção da base da sapata para:

A = 240 cm ; B = 200 cm

Obedecendo:

A − B = a p − bp → 240 – 200 = 60 – 20

A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm2 = σ solo → ok!

1,1 ⋅ 820 6 ⋅ 6,9
σ mín = (1 − ) = 0,0156 kN/cm2 > 0 (como esperado!)
240 ⋅ 200 240


M
60

185
20
225

M

N

1,1N
AB

My
I

0,0156
0,0220

Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.

2) Altura da sapata

Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70:

A − ap 240 − 60
0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 → c = = = 90 cm
2 2

h
0,5 ≤ ≤ 1,5 → 45 ≤ h ≤ 135 cm
90

Pelo critério da NBR 6118/03:

A − ap 240 − 60
h≥ ≥ ≥ 60 cm
3 3

É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem
da armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com
gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm.

Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)

3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70


h 60
Verificação: ≤ c ≤ 2h → ≤ c ≤ 2 ⋅ 60
2 2

30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok!

Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56):

A
240cm

CB
90
200cm

bp
20
B

CB
90 99

CA ap CA
0,01936
90 60 90 0,022
P1A
0,15 ap = 9

1,917

0,131
xa 66 33
99 49,5 49,5
55
60

d
h

S1A

0,0156
P1A 0,022
KN
cm²

Figura 56 – Seção de referência S1A .

Dimensão A:

p1A = 0,022 −
(0,022 − 0,0156) 99 = 0,01936 kN/cm2 (ver Figura 56)
240

M1A = (1,917 ⋅ 49,5 + 0,132 ⋅ 66) 200 = 20.708 kN.cm

Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 57):

0,022 + 0,0156
p méd = = 0,0188 kN/cm2
2

x2B (90 + 0,15 ⋅ 20) 2
M1B = p⋅A = 0,0188 ⋅ 240 = 19.512 kN.cm
2 2

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