Esta es un problema resuelto por medio de la Sustitución Trigonométrica. Si la requieren pueden comentar su correo y se les hace llegar.

1. Jacob Aldair Gutiérrez García
Grupo 63
Integración por Sustitución
Trigonométrica

2. Usando el Teorema de Pitágoras
expresamos el otro Cateto en términos de
las 2 cantidades anteriores:
4 − 𝑥2 𝑑𝑥
4 − 𝑥2 𝑑𝑥
22 − 𝑥2
𝐻2
𝐶2
𝐶 = 𝑥𝐻 = 2
2
𝑥
2
𝑥
4 − 𝑥2
Enseguida, vamos a llamar a este ángulo
con la letra Griega llamada Teta 
2
𝑥
4 − 𝑥2


3. Vamos a utilizar las relaciones trigonométricas fundamentales, lo que se
conoce como SOHCAHTOA, para expresar lo que tenemos en el integrando
en términos de ese ángulo Teta:
𝑺
𝑂
𝐻
𝑪
𝐴
𝐻
𝑻
𝑂
𝐴
Seno Coseno Tangente
Comenzamos buscando una de estas relaciones, la que involucre la raíz del
Cateto Adyacente con la Hipotenusa, al ver esto, nos daremos cuenta de que
la que nos conviene es la función o la relación Coseno, entonces:
𝑐𝑜𝑠 =
4 − 𝑥2
2 4 − 𝑥2 = 2𝑐𝑜𝑠
Ahora ya tenemos un
equivalente a la raíz
cuadrada que tenemos
en el integrando.
Despejamo
s

4. Ahora vamos a hacer lo mismo pero con el otro Cateto, hay que buscar la
relación que exista entre el Cateto Opuesto y la Hipotenusa, al ver esto, nos
daremos cuenta de que ahora la que nos conviene es la función o la relación
Seno, entonces:
𝑠𝑒𝑛 =
𝑥
2 Despejamo
s
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛
Con esto, encontramos otra
importante equivalencia o relación
respecto al integrando de la
función.
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛
De esta última expresión, vamos a obtener la derivada de X con respecto a :
𝑑𝑥
𝑑
= 2𝑐𝑜𝑠
Despejamo
s
𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠. 𝑑
De esta manera ya
tenemos la expresión
para el diferencial de
X (dx)
Como vemos, ya tenemos los 2 componentes de la integral original
expresados en términos de , entonces vamos a reconstruirla sustituyendo
esas 2 expresiones:
4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠. 2𝑐𝑜𝑠𝑑 …
Aquí la integral ya deja de ser una
expresión en términos de X para
convertirse en una expresión en
términos de la variable .

5. Vamos a continuar el paso anterior y entonces:
… 2𝑐𝑜𝑠. 2𝑐𝑜𝑠𝑑 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑑 …
Vamos a utilizar una identidad
trigonométrica, una fórmula de
reducción de potencia:
𝑐𝑜𝑠2
 =
1 + 𝑐𝑜𝑠2
2
Entonces:
… 4𝑐𝑜𝑠2
𝑑 = 4.
1 + 𝑐𝑜𝑠2
2
𝑑 …
Aún podemos simplificar:
… 4.
1 + 𝑐𝑜𝑠2
2
𝑑 = 2.
1 + 𝑐𝑜𝑠2
1
𝑑 …
… = 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠2)𝑑 = 2 𝑑 + 𝑐𝑜𝑠2𝑑 …
Para hacer esta integral utilizamos
una formula que es así:
cos 𝐾 𝑑 =
1
𝐾
𝑠𝑒𝑛(𝐾)
Sustituimos K, que es una
variable, puede ser cualquier
numero y para nuestro caso
sería 2. Ya sustituyendo y al
final de este paso, ya podremos
poner la C (Constante de
Integración) por que ya hemos
resuelto las 2 integrales
previas.
… 2  +
1
2
𝑠𝑒𝑛(2) + 𝐶 …

6. Esta expresión aun se puede transformar
haciendo uso de esta Identidad Trigonométrica
del Seno.
𝑠𝑒𝑛 2 = 2𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠
Entonces:
… = 2  +
1
2
𝑠𝑒𝑛 2 + 𝐶 = 2  +
1
2
. 2𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 …
También podemos simplificar aun más esta
expresión:
… = 2  +
1
2
. 2𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 = 2  + 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 …
2  + 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 …
Ahora esta función constituye a la respuesta a la integral trigonométrica que
se había planteado al principio.
4𝑐𝑜𝑠2𝑑Esta es la respuesta para
esta integral

7. Ahora vamos a retomar el triangulo rectángulo con el que trabajamos al
principio:
2
𝑥
4 − 𝑥2

𝑠𝑒𝑛 =
𝑥
2
cos  =
4 − 𝑥2
2
Necesitamos encontrarle un equivalente a , para ello tenemos que
despejarla de cualquiera de estas 2 expresiones (Seno y Coseno) y es más
sencillo de la expresión de Seno, sería así:
𝑠𝑒𝑛 =
𝑥
2  = 𝑠𝑒𝑛−1
𝑥
2
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
Y con esto vamos a reconstruir la última expresión:
… = 2  + 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+ 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + C

8. Después de reconstruir la ultima expresión, ya vamos a poder tener la
respuesta del ejercicio inicial:
4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+
𝑥
2
+
4 − 𝑥2
2
+ C
Ahora si ya esta, pero podemos escribirla de una manera más sencilla,
utilizando la Propiedad Distributiva:
4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒙
𝟐
+
𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐
𝟐
+ 𝑪
Y listo, esta expresión constituye el resultado de la Integral.