2. DEFINICIÓN
Es el conjunto de puntos
P(x,y) de tal manera que
la distancia de P(x,y) a
otro punto llamado
FOCO es igual a la
distancia de P(x,y) a la
recta llamada DIRECTRIZ
• AF = AA’
• BF = BB’
• CF = CC’
3. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Eje de simetría: es la recta
que pasa por el foco y el
vértice.
Vértice: es el punto donde
la parábola interseca a su
eje de simetría.
Lado recto: es una cuerda
focal perpendicular al eje de
la parábola.
4. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen
pyx 42
• Vértice en el origen
• Eje de simetría el eje y.
• Foco F(0,p)
• Directriz la recta y = -p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
5. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen
pxy 42
• Vértice en el origen.
• Eje de simetría el eje x.
• Foco F(p,0)
• Directriz la recta x= - p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
6. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice fuera del origen
• Vértice en V(h, k).
• Foco F(h, k+p).
• Directriz y = k-p es:
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
kyphx 4
2
7. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice fuera del origen
• Vértice en V(h,k).
• Foco F(h+p,k).
• Directriz x= h-p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
hxpky 4
2
8. EJEMPLO 1
De la ecuación y2 = 4x
4p=4 p= 1 > 0
b) V(0;0). c) F(1;0)
d) Directriz. x=-1
e) I4pI = 4Hallar
a) La gráfica.
b) Su vértice.
c) Su foco.
d) Ec. directriz.
e) LLR.( Long. Lado recto)
9. EJEMPLO 2
La ecuación x2 = -12y
4p=-12 p= -3 < 0
b) V(0;0). c) F(0;-3)
d) Directriz. y= 3
e) I4pI = 12Hallar
a) La gráfica.
b) Su vértice.
c) Su foco.
d) Ec. directriz.
e) LLR.( Long. Lado recto)
10. EJEMPLO 3
De la Ec. x2 + 20y = 0
Hallar :
a) La gráfica ,
b) Su vértice,
c) Su foco,
d) La ec, de la directriz.
e) La LLR.
x2 = - 20y
4p=-20 p= -5 < 0
b) V(0;0). c) F(0;-5)
d) Directriz. y= 5
e) I4pI = 20
11. EJEMPLO 4
De la Ec. (y -3) 2 = 4(x-4)
Hallar :
a) La gráfica ,
b) Su vértice,
c) Su foco,
d) La ec, de la directriz.
e) La LLR.
4p= 4 p= 1 > 0
b) V(4;3). c) F(5;3)
d) Directriz. x= 3
e) I4pI = 4
12. EJEMPLO 5
De la ecuación (x+2) 2 = -12(y-3)
Hallar :
a) La gráfica ,
b) Su vértice,
c) Su foco,
d) La ec, de la directriz.
e) La LLR.
4p= -12 p= -3 < 0
b) V(-2;3)
c) F(-2;3-3) F(-2;0)
d) Directriz. y= 6
e) I4pI = 4
3
-2
y=6
13. EJEMPLO 6
Hallar el vértice y el foco de la parábola:
x2 - 20y = 20
b) V(0;-1).
4p= 20, p= 5>0
Se abre hacia arriba
c) F(0;-1+5) = F(0,4)
Despejando: x2 =20y+20
Factorizando: x2 =20(y +1)
x2 =20(y +1)
14. EJEMPLO 7
Hallar el vértice y el foco de la parábola.
y2 +6x +10y +31 =0
De y2 +6x +10y +31 =0
Ordenando:
y2 +10y + 6x +31 =0
Completo cuadrados
y2 +10y +25 =-6x -31+25
(y+ 5) 2 =-6x -6
(y+ 5) 2 =- 6 (x +1)
V(-1; -5)
4p=-6 p= -3/2
Se abre a la izquierda
F(-1-3/2;-5)
F(-5/2;-5)
15. EJEMPLO 8
Hallar la longitud del lado recto de la parábola.
y2 -4x - 2y -11 = 0
De y2 -4x - 2y -11 = 0
Ordenando:
y2 -2y – 4x -11 = 0
Completo cuadrados
y2 -2y +1 = 4x +11+1
(y - 1) 2 = 4x+12
(y -1) 2 = 4 (x + 3)
La longitud del lado
recto (LLR)
I 4p I = 4
16. Ejemplo 9
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice
en el origen, cuyo foco es el punto F(O,3) y la
directriz es paralela al eje x. Grafiquemos la
parábola
Foco F(0;3) y Vértice
V(0,0)
Donde: p = 3
La ecuación tiene la forma:
x2 = 4py
x2 = 4(3)y
La ecuación sería
x 2 = 12 y
17. Ejemplo 10
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice
V(-6,-1) y directriz y=2
-6
-1
y=2
Vértice V(-6,-1)
Directriz: y = 2
Donde p =- 3 (abre hacia abajo)
La ecuación sería
(x+6)2 = -4(3)(y+1)
( x + 6)2 = -12(y+1)
3
18. EJEMPLO 11
De la parábola hallar el vértice y el foco
y2 + 2y – 16x – 47 = 0 .
De y2 + 2y – 16x – 47 = 0
Ordenando:
y2 + 2y = 16x +47
Completo cuadrados
y2 +2y +1 = 16x +47+1
(y + 1) 2 = 16x+48
(y +1) 2 = 16 (x + 3)
V(-3; -1)
4p=16 p= 4
Se abre a la derecha
F(-3+4;-1)
F(1;-1)
19. Ejemplo 12
De la parábola hallar el vértice y el foco
x2+ 2x – 4y + 9 = 0
De x2+ 2x – 4y + 9 = 0
Ordenando:
x2 + 2x = 4y -9
Completo cuadrados
x2 +2x +1 = 4y -9 +1
(x + 1) 2 = 4y - 8
(x +1) 2 = 4 (y -2)
V(-1; 2)
4p=4 p= 1
Se abre hacia arriba
F(-1;2+1)
F(-1;3)
20. PROBLEMA 13
Una parábola, de vértice V(-3,0) y cuyo eje
focal es el eje X. Si la parábola pasa por los
puntos A(1,4) y B(–1,k), halle k.
La ecuación seria :
A(1,4) pasa por la parábola:
Resolviendo p=1
La ecuación:
342
xpy
31442
p
342
xpy
Pero B(-1;k) pasa por la parábola:
El valor de K es
3142
k
8K