1. 1
Estadística
Msc. Dennis Gabriela Alvaron Robles

2. FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
PLAN DE CLASE
Motivación -
Competencias
Saberes previos
Distribución conjunta.
Distribuciones marginales.
Distribución condicional.
Retroalimentación
Autoevaluación

3. FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
COMPETENCIAS
Construye tablas de
frecuencia
Bidimensionales
Construye una
tabla de frecuencia
conjunta
Determina e
Interpreta
Distribuciones
marginales
Determina e
Interpreta
Distribuciones
Condicionales

4. FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
SABERES PREVIOS
¿Qué es una
Distribución?
Variables
Manejo de Excel
o software

5. FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
MOTIVACIÓN
¿Cómo podemos construir una tabla con
dos variables, de tal manera que se pueda
interpretar los resultados obtenidos?
Usando estadística espacial.

6. Distribución Bidimensional
Definición:
Las variables estadísticas pueden estudiarse de forma conjunta cuando se desea
ver la relación entre dos o más caracteres del mismo individuo.
Por ejemplo, se puede estudiar la relación que hay entre la estatura y el peso de
unos jugadores de un equipo de baloncesto, o la relación que hay entre la
cantidad de un medicamento y el tiempo que tarda en hacer reacción, etcétera.
En este tema se trabajan las distribuciones bidimensionales. En concreto, se
estudia la forma de organizar la información en tablas de frecuencia, las medidas
de resumen que permiten interpretar dicha información.

7. Distribución Bidimensional
Variable Bidimensional Sobre una Muestra, donde se observan
simultáneamente dos variables X e Y. La distribución de
frecuencias bidimensional de (X,Y) es el conjunto de valores
𝑖
𝑝
𝑗
𝑞
𝑓𝑖𝑗 = 𝑛 ó 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
𝑖
𝑝
𝑗
𝑞
ℎ𝑖𝑗 = 1
Donde:
𝒇𝒊𝒋: es la frecuencia absoluta
Simple o total de elementos en
la muestra que presenta el
valor bidimensional (𝒙𝒊,𝒚𝒋).
𝒉𝒊𝒋: La frecuencia relativa
simple ó la proporción de
elementos en la muestra que
presenta el valor (𝒙𝒊,𝒚𝒋).
ℎ𝑖𝑗 =
𝑓𝑖𝑗
𝑛

8. Variable Cualitativa
La tabla de frecuencia que agrupa la información se conoce como “Tablas de contingencia”.
Para el caso de las variables Cualitativas con dos modalidades o categorías, la tabla sería la siguiente
X
Y
Categoría 1 Categoría 2 Total
Categoría 1 𝒇𝟏𝟏 𝒇𝟏𝟐 𝒇𝟏∗
Categoría 2 𝒇𝟐𝟏 𝒇𝟐𝟐 𝒇𝟐∗
Total 𝒇∗𝟏 𝒇∗𝟐 𝑛
Frecuencia Marginal X
Frecuencia Marginal Y

9. Variable Agrupadas por Intervalos
Para el caso de las variables Cuantitativas X,Y agrupadas en intervalos, la tabla sería la siguiente
X
Y
[y1 – y2[ [y2 – y3] Total
[x1 – x2[ 𝒇𝟏𝟏 𝒇𝟏𝟐 𝒇𝟏∗
[x2 – x3[ 𝒇𝟐𝟏 𝒇𝟐𝟐 𝒇𝟐∗
[x3 – x4] 𝒇𝟑𝟏 𝒇𝟑𝟐 𝒇𝟑∗
Total 𝒇∗𝟏 𝒇∗𝟐 𝑛
Frecuencia Marginal X
Frecuencia Marginal Y

10. Variable Agrupadas por Intervalos y Cualitativa
También se pueden construir tablas de contingencia para una variable cuantitativa y una cualitativa. La tabla sería
X
Y
Categoría 1 Categoría 2 Total
[x1 – x2[ 𝒇𝟏𝟏 𝒇𝟏𝟐 𝒇𝟏∗
[x2 – x3[ 𝒇𝟐𝟏 𝒇𝟐𝟐 𝒇𝟐∗
[x3 – x4] 𝒇𝟑𝟏 𝒇𝟑𝟐 𝒇𝟑∗
Total 𝒇∗𝟏 𝒇∗𝟐 𝑛
Frecuencia Marginal X
Frecuencia Marginal Y

11. Distribución Bidimensional
• Uno de los objetivos del análisis de distribuciones bidimensionales es estudiar si existe
asociación o relación entre las variables X e Y.
• A partir de una distribución bidimensional se obtendrán distribuciones unidimensionales
de dos tipos: marginales y condicionadas.
Dos distribuciones marginales:
Marginal de X
Marginal de Y
Condicionadas:
q distribuciones condicionadas de los valores de X a los q valores de Y
p distribuciones condicionadas de los valores de Y a los p valores de X

12. Distribución Conjunta y Marginal
Cuando solo interesa conocer la frecuencia de ocurrencia de cada una de las variables por separado, se habla de frecuencia
Marginal de la variable. Cuando el interés es conocer la frecuencia combinada de las dos variables, nos referimos a las
Frecuencias Conjuntas.
Ejemplo:
X
Y
Categoría 1 Categoría 2 Total
[x1 – x2[ 𝒇𝟏𝟏 𝒇𝟏𝟐 𝒇𝟏∗
[x2 – x3[ 𝒇𝟐𝟏 𝒇𝟐𝟏 𝒇𝟐∗
[x3 – x4] 𝒇𝟑𝟏 𝒇𝟑𝟏 𝒇𝟑∗
Total 𝒇∗𝟏 𝒇∗𝟐 𝑛
Distribución Conjunta
Distribución
Marginal X
Distribución Marginal Y
Tamaño de
Muestra

13. Frecuencia Absoluta Marginal
La distribución de frecuencias bidimensional de (X,Y) se puede expresar en una tabla bidimensional:
𝒚𝟏 𝒚𝟐 … 𝒚𝒋 … 𝒚𝒒 Total
𝒙𝟏 𝒇𝟏𝟏 𝒇𝟏𝟐 … 𝒇𝟏𝒋 … 𝒇𝟏𝒒 𝒇𝟏∗
𝒙𝟐 𝒇𝟐𝟏 𝒇𝟐𝟐 … 𝒇𝟐𝒋 … 𝒇𝟐𝒒 𝒇𝟐∗
… … … … … … … …
𝒙𝒊 𝒇𝒊𝟏 𝒇𝒊𝟐 … 𝒇𝒊𝒋 … 𝒇𝒊𝒒 𝒇𝒊∗
… … … … … … … …
𝒙𝒑 𝒇𝒑𝟏 𝒇𝒑𝟐 … 𝒇𝒑𝒋 … 𝒇𝒑𝒒 𝒇𝒑∗
Total 𝒇∗𝟏 𝒇∗𝟐 … 𝒇∗𝒋 … 𝒇∗𝒒 𝒏
Frecuencia Absoluta
Marginal de X
Frecuencia Absoluta
Marginal de Y
Total de elementos de la
Muestra
𝒇𝒊𝒋
Fila
Columna

14. Frecuencia Relativa Marginal
La distribución de frecuencias bidimensional de (X,Y) se puede expresar en una tabla bidimensional (Frecuencia Relativa):
𝒚𝟏 𝒚𝟐 … 𝒚𝒋 … 𝒚𝒒 Total
𝒙𝟏 𝒉𝟏𝟏 𝒉𝟏𝟐 … 𝒉𝟏𝒋 … 𝒉𝟏𝒒 𝒉𝟏∗
𝒙𝟐 𝒉𝟐𝟏 𝒉𝟐𝟐 … 𝒉𝟐𝒋 … 𝒉𝟐𝒒 𝒉𝟐∗
… … … … … … … …
𝒙𝒊 𝒉𝒊𝟏 𝒉𝒊𝟐 … 𝒉𝒊𝒋 … 𝒉𝒊𝒒 𝒉𝒊∗
… … … … … … … …
𝒙𝒑 𝒉𝒑𝟏 𝒉𝒑𝟐 … 𝒉𝒑𝒋 … 𝒉𝒑𝒒 𝒉𝒑∗
Total 𝒉∗𝟏 𝒉∗𝟐 … 𝒉∗𝒋 … 𝒉∗𝒒 𝟏
Frecuencia Relativa
Marginal de X
Frecuencia Relativa
Marginal de Y
𝒉𝒊𝒋
Fila
Columna

15. Distribución Marginal X
• A partir de una distribución bidimensional se pueden obtener 2 distribuciones
unidimensionales MARGINALES: Marginal de X y Marginal de Y.
La Marginal de X
X 𝒇𝒊∗ 𝒉𝒊∗
𝒙𝟏 𝒇𝟏∗ 𝒉𝟏∗
𝒙𝟐 𝒇𝟐∗ 𝒉𝟐∗
… … …
𝒙𝒊 𝒇𝒊∗ 𝒉𝒊∗
… … …
𝒙𝒑 𝒇𝒑∗ 𝒉𝒑∗
Total 𝑛 1
𝒉𝒊∗ =
𝒇𝒊∗
𝒏
Marginal de X: expresa cómo se distribuye X en la
muestra, al margen de la otra variable

16. Distribución Marginal Y
• La Marginal de Y
𝒉∗𝒋 =
𝒇∗𝒋
𝒏
Marginal de Y: expresa cómo se distribuye Y en la
población total, al margen de la otra variable
Y 𝒚𝟏 𝒚𝟐 … 𝒚𝒋 … 𝒚𝒒 Total
𝒇∗𝒋 𝒇∗𝟏 𝒇∗𝟐 … 𝒇∗𝒋 … 𝒇∗𝒒 𝑛
𝒉∗𝒋 𝒉∗𝟏 𝒉∗𝟐 … 𝒉∗𝒋 … 𝒉∗𝒒 1

17. Distribución de X Condicionada a Y= 𝒚𝒋 (X/Y= 𝒚𝒋)
• A partir de una distribución bidimensional se pueden obtener 2 distribuciones
unidimensionales Condicionales:
X 𝒚𝒋 𝒉𝒊∗
𝒙𝟏 𝒇𝟏𝒋 𝒉𝟏∗
𝒙𝟐 𝒇𝟐𝒋 𝒉𝟐∗
… … …
𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒋 𝒉𝒊∗
… … …
𝒙𝒑 𝒇𝒑𝒋 𝒉𝒑∗
Total 𝒇∗𝒋 1
𝒉𝟏𝒋 =
𝒇𝟏𝒋
𝒇∗𝒋
Condicional de X dado Y: expresa cómo se distribuye X
en la sub muestra que cumple la condición de presentar
el valor Y= 𝒚𝒋
Total de elementos en la
Sub muestra

18. Distribución de Y Condicionada a X= 𝒙𝒊 (Y/X= 𝒙𝒊)
𝒉∗𝟏 =
𝒇𝒊𝟏
𝒇𝒊∗
Condicional de Y dado X: expresa cómo se
distribuye Y en la sub muestra que cumple la
condición de presentar el valor X=𝒙𝒊
Y 𝒚𝟏 𝒚𝟐 … 𝒚𝒋 … 𝒚𝒒 Total
𝒙𝒊 𝒇𝒊𝟏 𝒇𝒊𝟐 … 𝒇𝒊𝒋 … 𝒇𝒊𝒒 𝒇𝒊∗
𝒉∗𝒋 𝒉∗𝟏 𝒉∗𝟐 … 𝒉∗𝒋 … 𝒉∗𝒒 1 Total de elementos en la
Sub muestra

19. Ejemplo
La relación de eficiencia de un espécimen de acero sumergido en un tanque para fosfátizar es el peso del
recubrimiento de fosfato dividido entre la pérdida de metal (ambos en mg/𝐩𝐢𝐞2
). Encontrándose los datos
adjuntos sobre la temperatura del tanque (x) y relación de eficiencia (y):
Para la variable X considerar 3 intervalo y para la variable Y 4 intervalos de igual amplitud.
a. Construir la tabla de Distribución de Frecuencias Absolutas Conjuntas
b. Obtener la Distribución de Frecuencias Absolutas Marginales de X e Y.
c. Obtener la Distribución de Temperatura condicionada a una Relación de (T/R=[1.40-1.96[)
d. Interpretar el 𝑓𝟏𝟐, 𝑓𝟐𝟐, 𝑓𝟑𝟒, 𝒉𝟏𝟐, 𝒉𝟐𝟐, 𝒉𝟑𝟒

20. [0.84-1.40[ [1.40-1.96[ [1.96-2.52[ [2.52-3.08[
[170-176[ 5 1 0 0
[176-182[ 2 5 2 0
[182-188[ 1 4 0 4
Temperatura
Relación Eficiencia
Solución a.
Tabla de distribución de frecuencias absoluta Conjunta de 𝒇𝒊𝒋
Interpretación:
En la tabla se puede observar, que 2
aceros tienen una temperatura entre
176 y 182 y una Relación entre 1.96 y
2.52.

21. [0.84-1.40[ [1.40-1.96[ [1.96-2.52[ [2.52-3.08[
[170-176[ 5 1 0 0 6
[176-182[ 2 5 2 0 9
[182-188[ 1 4 0 4 9
Total 8 10 2 4 24
Temperatura
Relación Eficiencia
Total
Solución b.
Tabla de distribución de Frecuencia absoluta Marginales de 𝒇𝒊𝒋
Frecuencia Absoluta
Marginal de X
Frecuencia Absoluta
Marginal de Y
Interpretación:
Podemos observar en los resultados
que 9 especímenes de acero se
encuentra entre 176 y 182 de
temperatura
Y 10….

22. [0.84-1.40[ [1.40-1.96[ [1.96-2.52[ [2.52-3.08[
[170-176[ 0.208 0.042 0.000 0.000 0.250
[176-182[ 0.083 0.208 0.083 0.000 0.375
[182-188[ 0.042 0.167 0.000 0.167 0.375
Total 0.333 0.417 0.083 0.167 1.000
Temperatura
Relación Eficiencia
Total
Solución b.
Tabla de distribución de frecuencias bidimensionales de 𝒉𝒊𝒋
Frecuencia Relativa
Marginal de X
Frecuencia Relativa
Marginal de Y
Interpretación:
Podemos observar en los resultados
que el 37.5% de especímenes de acero
se encuentra entre 176 y 182 de
temperatura.
En proporción el 0.417 de
especímenes de acero se encuentran
en una Relación de eficiencia entre
1.40 y 1.96

23. Relación
[1.40-1.96[
[170-176[ 1 0.100
[176-182[ 5 0.500
[184-188[ 4 0.400
Total 10 1
Temperatura
Frecuencia
Relativa hi
Solución c.
Obtener la Distribución de Temperatura condicionada a una Relación de [1.40-1.96[ (T/R=
[1.40-1.96[)
Frecuencia Absoluta de la
Relación = [1.40-1.96]
Interpretación:
Podemos observar en los resultados
que 5 especímenes de acero, que
representa el 38.5% registran
temperaturas entre 176 y 182;
condicionada a una relación de
eficiencia entre 1.40 y 1.96

24. GRACIAS