General solution of a differential equation using power series.

1. Universidad Nacional Autónoma de Honduras
MM411-Ecuaciones Diferenciales

2. Ejercicio #51
Determine la solución general de la siguiente ED usando una serie de potencia
centrada en
𝑥2
𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + (𝑥2
+
1
9
)𝑦 = 0
0 0
x 
0
n r
n
n
y a x



  1
0
' ( ) n r
n
n
y n r a x

 

 

2
0
'' ( )( 1) n r
n
n
y n r n r a x

 

   

 
2 2 1 2 1
9
0 0 0
( )( 1) ( ) 0; 0
n r n r n r r
n n n
n n n
x n r n r a x x n r a x x a x x
  
    
  
        
  
2 1
9
0 0 0 0
( )( 1) ( ) 0
n n n n
n n n n
n n n n
n r n r a x n r a x a x a x
   

   
        
   

3. Aplicamos el cambio de variable: 2
n k
 
Llevamos toda la serie en términos del índice mayor:
 
1 1
0 1 0 1 0 1
9 9
1
2 9
2
( 1) ( 1) ( 1)
( )( 1) ( ) 0
k
k k k k
k
a r r a r r x a r a r x a a x
a k r k r a k r a a x



       
        

1
2 9
0 0 2 0
( )( 1) ( ) 0
n n k n
n n k n
n n k n
n r n r a x n r a x a x a x
   

   
        
   
Relación de recurrencia:
1
0 9
1
1 9
1
2 9
( 1) 0
( 1) 1 0
( )( 1) ( ) 0
k k k k
a r r r
a r r r
a k r k r a k r a a

   
 
 
    
 
 
       
2 1 1
9 3
0
r r
     

4. 1
3
r 
    
1
1 2 1 1
2
3 3 3 9
0
0
k k k k
a
a k k a k a a


      
2
1 2 1 1
3 3 3 9
( )( ) ( )
k
k
a
a
k k k



    
2
2 1 2 1 1
3 9 3 9
k
a
k k k



     
2
2 2
3
k
a
k k




2
2
3 2
3
k
k k
a 



2
3
; 2
(3 2 )
k
k
a
a k
k k k


 

Analizamos el comportamiento de la serie:
0
3
2 2(8)
a
a

 3 0
a  2
3
4 4(14)
a
a 
 5 0
a 
4
3
6 6(20)
a
a 

6
3
8 8(26)
a
a


7 0
a  9 0
a 

5. 2 1
2 2 2 2
2
0
3 3
; 2
2 (6 2) 4 (3 1)
k
k k
k
a
a a
a k
k k k k

 

 
  
 