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Distribución de probabilidad
DISCRETA
Un experimento aleatorio se puede llevar a cabo para tomar distintas decisiones . Si...
Veamos los siguientes ejemplos:
Se lanza una moneda cuatro veces. El espacio muestral correspondiente es
Si nos interesa e...
Si designamos
A = Se obtienen 4 sellos
B = Se obtiene una cara
C = Se obtiene dos caras
D = Se obtiene tres caras
E = Se o...
Estos resultados se resumen en la siguiente tabla que llamaremos
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Obsérvese que
En general, pa...
Otro ejemplo:
Se lanzan dos dados una vez y definimos la variable X = Suma de puntos de las dos caras.
Hallemos la distrib...
Ahora tienen significado expresiones como
Que significa que el resultado de la suma es menor o igual a 5 y
Note que
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Los resultados de un experimento aleatorio se pueden dar en forma discreta o en
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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos
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Cualquier posición de la aguja puede expresarse mediante esta variable, entonces un
evento puede ser:
Como para asignar la...
Los valores de probabilidad asociados a eventos que tienen que ver con variables
aleatorias continuas se determinan evalua...
Como el área total sobre la curva es el área del rectángulo de la base b-a y altura
se tiene que , luego,
La función de di...
CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
•Distribución Uniforma Discreta
•Proceso de Bernoulli
•Distribución Binom...
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X x1 x2 ... xn
P(X=xi) p1 p2 ... pn
Toda función de probabilidad se verifica que 1 2 3 1np p p p    L
Función de d...
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Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta.
Se llama media o esperanza de una v.a. discreta...
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MMODELOS DISCRETOS
eModelo BERNOULLI: Es un experimento que tiene las siguientes
características:
EEn cada prueba del e...
DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
1. INTRODUCCION:
Es una distribución de probabilidad de variable discreta
y Bernoulli es el autor de esta distribución.
En...
C. La probabilidad de éxito, representada por p,
permanece constante de ensayo a ensayo. La
probabilidad de fracaso, 1-p, ...
xn-x
qp
x)!-(nx!
n!
=x)=p(X
Donde: X = variable aleatoria
x = 0,1,2,3,....n
Se demuestra que la distribución binomial es u...
Ejemplo: En cierta población la prevalencia de alergia
es de 20%. Si se selecciona una muestra aleatoria
de n=10. Calcular...
b. La probabilidad de que la muestra incluya
menos de dos alérgicos
Solución:
p = 0,2
q = 0,8
n = 10
P(X<2) = P(X=0) + P(X...
La Distribución de Poisson
CASOS DE APLICACIÓN
• La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
• Las llamadas tele...
Propiedades de un proceso de
Poisson
1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el
segmento o tamaño de muestr...
La distribución de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de
distribución de probabilidad discre...
La función P(x=k)
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta
X toma un valor finito k.
λ =...
Ejemplo1 de la función
F (x=k)
La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de
manufactura es de 0.02 por cada...
Ejemplo 2 de la función
F(x=k)
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de
0.012. ¿Cuál es la probabilidad d...
Ejercicio de prueba #1
Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3%
de la caja está descompuesta. Si un comp...
Ejercicio de prueba #2
En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que
el 0.04 presentaban fuga de ...
Ejercicio de prueba #3
Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de
una empresa eléctrica, inspecci...
Ejercicio de prueba #4
La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin
que falle es de 0.95, calcular la p...
Ejercicio de prueba #5
Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la
probabilidad de que un inspecto...
Glosario de términos
• Aleatorio – que ocurre al azar.
• Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica cua...
Glosario de términos
• Resultado discreto – Son resultados con un número finito de
valores (3 defectos, menos de 8, hasta ...
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2 distribución de probabilidad discreta

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

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2 distribución de probabilidad discreta

  1. 1. Distribución de probabilidad DISCRETA Un experimento aleatorio se puede llevar a cabo para tomar distintas decisiones . Sin embargo, aunque el propósito sea distinto cuando se realiza, este no cambia su comportamiento por el simple hecho de que los propósitos cambien. El medio por el cual expresamos lo que nos interesa al realizar un experimento aleatorio es el de variable aleatoria Una variable aleatoria se aquella que asume valores de acuerdo con los resultados de un experimento aleatorio. Si queremos ser más formales con la definición de variable aleatoria, podemos decir : Una variable aleatoria es una función de valor real que tiene como dominio el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Las variables aleatorias generalmente son designadas por las letras X, Y, Z.
  2. 2. Veamos los siguientes ejemplos: Se lanza una moneda cuatro veces. El espacio muestral correspondiente es Si nos interesa el número de caras que se obtienen, entonces definimos la variable X = número de caras en los cuatro lanzamientos, los resultados son: X = 0 que se identifica con X = 1 que se identifica con X = 2 que se identifica con X = 3 que se identifica con X = 4 que se identifica con
  3. 3. Si designamos A = Se obtienen 4 sellos B = Se obtiene una cara C = Se obtiene dos caras D = Se obtiene tres caras E = Se obtiene cuatro caras Se obtiene
  4. 4. Estos resultados se resumen en la siguiente tabla que llamaremos DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Obsérvese que En general, para cualquier distribución de probabilidad discreta debe darse que la suma de las probabilidades de todos los valores que pueda asumir la variable debe ser igual a uno (1) X 0 1 2 3 4 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16
  5. 5. Otro ejemplo: Se lanzan dos dados una vez y definimos la variable X = Suma de puntos de las dos caras. Hallemos la distribución de probabilidad de esta variable. Cuando se lanzan dos dados hay 36 resultados posibles y las distintas sumas de puntos son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 con las probabilidades respectivas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 Por tanto, la distribución de probabilidad de esta variable es X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
  6. 6. Ahora tienen significado expresiones como Que significa que el resultado de la suma es menor o igual a 5 y Note que
  7. 7. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Los resultados de un experimento aleatorio se pueden dar en forma discreta o en forma continua. Una variable aleatoria discreta X es aquella que solo puede tomar algunos valores entre dos números dados. X = Número de puntos que muestra la cara superior de un dado después de su lanzamiento Y= Edades en años de los empleados de una empresa. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula o cualquier otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de la variable, junto a sus respectivas probabilidades. Cuando en el ejemplo anterior se calculó se utilizó un procedimiento que conduce a un concepto de suma importancia como es el concepto de función de distribución acumulada o acumulativa que se denota y se define como
  8. 8. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos números prefijados. Ejemplo: Suponga una circunferencia de longitud 1 a la que se la han hecho 10 divisiones consecutivas a igual distancia denotadas 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.54, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, (0.0 coincide con 1) En el centro de la circunferencia se coloca una aguja equilibrada que se hace girar en igual sentido a como lo hacen las manecillas del reloj. Como la aguja puede detenerse en cualquier posición, considere X la variable aleatoria que representa al número correspondiente a esa posición, luego el valor de X es un número entre 0 y 1.
  9. 9. Cualquier posición de la aguja puede expresarse mediante esta variable, entonces un evento puede ser: Como para asignar la probabilidad a los distintos eventos no se pueden realizar conteos , se utiliza un modelo denominado de distribución uniforme que se define así: En caso de que se trate de una probabilidad del tipo se le asigna el valor de cero.
  10. 10. Los valores de probabilidad asociados a eventos que tienen que ver con variables aleatorias continuas se determinan evaluando la integral definida de una cierta función llamada función de densidad continua. Esta función de densidad se dice que es la distribución de probabilidad de X y debe cumplir las siguientes propiedades: 1) 2) El área total bajo la curva debe ser igual a 1 3) = Área bajo la curva entre a y b siempre y cuando a y b queden dentro del dominio de la variable La función de densidad asociada a una variable que está caracterizada porque la probabilidad está dada por la longitud del intervalo se le llama distribución rectangular en el intervalo (a , b)
  11. 11. Como el área total sobre la curva es el área del rectángulo de la base b-a y altura se tiene que , luego, La función de distribución acumulativa queda definida y denotada como
  12. 12. CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
  13. 13. ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS •Distribución Uniforma Discreta •Proceso de Bernoulli •Distribución Binomial •Distribución de Poisson •Distribución Geométrica •Distribución Hipergeométrica o de Laplace •Distribución Multinomial
  14. 14. 14 X x1 x2 ... xn P(X=xi) p1 p2 ... pn Toda función de probabilidad se verifica que 1 2 3 1np p p p    L Función de distribución de una v.a. discreta: Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, ( ) ( )F x P X x  Variable aleatoria Función de probabilidad de una v.a. discreta: Es la función que asocia a cada valor x de la v.a. X su probabilidad p.  Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de probabilidad:
  15. 15. 15 Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta. Se llama media o esperanza de una v.a. discreta X, que toma los valores x1, ,x2, ....con probabilidades p1, p2,... al valor de la siguiente expresión: La varianza viene dada por la siguiente fórmula: que puede calcularse mediante: ( )i i i ii i x P X x x p     2 2 2 i ii x p   2 2 ( )i ii x p   Ejemplo: La distribución de probabilidad de una v.a. X viene dada por la siguiente tabla: ¿Cuánto vale P(X=3)? Calcula la media y la varianza. xi 1 2 3 4 5 pi 0.1 0.3 a 0.2 0.3 Variable aleatoria
  16. 16. 16 MMODELOS DISCRETOS eModelo BERNOULLI: Es un experimento que tiene las siguientes características: EEn cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A que llamaremos éxito y el suceso complementario, Ac, llamado fracaso. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. La probabilidad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras. Modelos probabilísticos
  17. 17. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
  18. 18. 1. INTRODUCCION: Es una distribución de probabilidad de variable discreta y Bernoulli es el autor de esta distribución. Ensayo de Bernoulli: Es cualquier ensayo de algún experimento que conduce sólo a uno de dos resultados mutuamente excluyentes, tales como: vivo o muerto; enfermo o saludable; + ó – De una sucesión de ensayos de Bernoulli se obtiene la distribución binomial. La formación de un proceso de Bernoulli se efectúa bajo las siguientes condiciones. A. Se tiene un número finito de ensayos B. Cada ensayo conduce a uno de dos resultados mutuamente excluyentes. Uno de los resultados posibles se denomina (arbitrariamente) éxito y el otro fracaso.
  19. 19. C. La probabilidad de éxito, representada por p, permanece constante de ensayo a ensayo. La probabilidad de fracaso, 1-p, se denota por q. D. Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de cualquier ensayo particular no es afectado por el resultado del otro ensayo. 2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Al estudiar la distribución binomial se tiene interés en calcular la probabilidad de obtener x éxitos de un total de n ensayos de Bernoulli. Este cálculo se realiza con:
  20. 20. xn-x qp x)!-(nx! n! =x)=p(X Donde: X = variable aleatoria x = 0,1,2,3,....n Se demuestra que la distribución binomial es una distribución de probabilidad ya que: a. P(x)  0 b.  P(x) =1 La distribución binomial tiene dos parámetros: n y p La media de la distribución binomial es: x = np La desviación estándar es: x = npq
  21. 21. Ejemplo: En cierta población la prevalencia de alergia es de 20%. Si se selecciona una muestra aleatoria de n=10. Calcular : a. La probabilidad de que la muestra contenga exactamente un alérgico. Solución: Datos: Éxito= tener alérgia  p = 0,2 y q = 0,8 n = 10 x = 1 Luego: P(X=1)= 10! (0,2)1 (0,8)9 1!9! = 10 (0,2)(0,8)9 P(X=1) = 0,2684
  22. 22. b. La probabilidad de que la muestra incluya menos de dos alérgicos Solución: p = 0,2 q = 0,8 n = 10 P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 10! (0,2)0 (0,8)10 + 0,2684 0!10! = 0,1074 + 0,2684 P(X<2) = 0,3758 c. La probabilidad de que la muestra incluya dos o más alérgicos. d. La probabilidad de que la muestra incluya entre uno y tres alérgicos inclusive. C. Cuál es el valor de la media y varianza
  23. 23. La Distribución de Poisson CASOS DE APLICACIÓN • La llegada de un cliente al negocio durante una hora. • Las llamadas telefónicas que se reciben en un día. • Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido. • Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado. La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.
  24. 24. Propiedades de un proceso de Poisson 1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra n es constante. 2. El evento debe considerarse un suceso raro. 3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución de Poisson.
  25. 25. La distribución de Poisson La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. La distribución de Poisson parte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson. Se tiene que cumplir que: p < 0.10 p * n < 10
  26. 26. La función P(x=k) Donde: P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k. λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828 K es el número de éxitos por unidad A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.
  27. 27. Ejemplo1 de la función F (x=k) La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson: Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.
  28. 28. Ejemplo 2 de la función F(x=k) La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson: El resultado es P (x = 5) = 0.04602 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.
  29. 29. Ejercicio de prueba #1 Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que, a) 4 estén descompuestas. b) de 1 a 3 estén descompuestas
  30. 30. Ejercicio de prueba #2 En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos.
  31. 31. Ejercicio de prueba #3 Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén con defectos
  32. 32. Ejercicio de prueba #4 La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.
  33. 33. Ejercicio de prueba #5 Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción
  34. 34. Glosario de términos • Aleatorio – que ocurre al azar. • Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli. • Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados. • Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.
  35. 35. Glosario de términos • Resultado discreto – Son resultados con un número finito de valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.) • Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia. • Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo o cualquier otra medida. • Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un número finito de valores de forma impredecible o al azar. • Variable Discreta – Variable que puede obtener un número finito de valores como 0, 1, 2, 3.

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