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Chaos


"Chaos: Irreguläre Bewegungsabläufe, die aus vorher bestimmenden Differentialgleichungen abgeleitet
werden. Im Gegensatz zum streng
vorhersagbaren Bewegungsablauf wird dieses Verhalten durch nicht
lineare Terme in den Bewegungsgleichungen verursacht." (Duden)

Das streng mechanistisch denkende Newtonsche Weltbild geht davon aus, daß alle
physikalischen
Phänomene in mathematischen Relationen erfaßt werden können, d.h. daß alle Prozesse mit der
Hilfe von Formeln beschreib-, erklär- und voraussagbar sind.
Es gibt aber Prozesse, die diesem Weltbild nicht entsprechen und eine Eigendynamik
entwickeln, welche scheinbar ohne jegliche Ordnung konstituiert zu sein scheint. Die
Chaostheorie versucht zu beschreiben, wann ein System chaotisch wird, das zuvor
deterministisch gewesen ist. Es ist wichtig zu erwähnen, daß die Chaostheorie sich mit dem
sogenannten deterministisches Chaos beschäftigt. Es wird später noch auf diesen Begriff
einzugehen sein.

I. Das Pendel

Die Gleichungen, die die Bewegungen eines Pendels beschreiben, sind einfach und lassen sich in
der Praxis nachweisbar als richtig bestätigen. Entscheidend bei der Pendelbewegung ist die
Gravitation. Wenn man nun andere Kräfte einführt, wie etwa durch zwei Magnete, die unter die
Ausschwenkpunkte der Pendelbewegung gesetzt werden ( beide ziehen das Pendel zu sich), so
ist ein interessante Sache zu beobachten:
Läßt man das Pendel ab einem bestimmten Punkt ausschwenken, so vollzieht es zahlreiche
und scheinbar zufällige Bewegungen, bis es schließlich bei einen der Magneten zum Stillstand
kommt. Wiederholt man diesen Prozeß, so ist festzustellen, daß der Bewegungsablauf sich völlig
anders gestaltet und daß das Pendel unter Umständen beim anderen Magneten zu Ruhe kommt.
Selbst wenn man dieses Experiment in einem Rechner simuliert, wo nur die Formeln für die
Gravitation und die Magnetfelder der zwei Magnete (und natürlich das Pendel) berücksichtigt
werden, und nicht mögliche Störgrößen wie etwa Luftturbulenzen, kommt man zum gleichen
erstaunlichen Ergebnis. Analysiert man die verschiedenen Bewegungsabläufe, indem man z.B.
die Laufbahnen je nach Magneten eine andere Farbe zuweist, so ist festzustellen, daß im
Anfangspunkt geringste Abweichungen zu einem ganz anderen Bewegungsablauf führen.
Vergrößert man den Ausschnitt des Anfangspunktes, so differenzieren sich immer weiter die
potentiellen Laufbahnen. Das kann man auf einer Art Matrix graphisch darstellen. Die
verschiedenfarbigen Felder können wiederum vergrößert und ausdifferenziert werden. Startet
das Pendel von einem Feld mit einer bestimmten Farbe, so hält es beim entsprechenden
Magneten an. Wird das Pendel jedoch um ein minimales Maß von der Ausgangsposition
verschoben, so kann nicht mit hundertprozentiger Sicherheit vorausgesagt werden, wo das
Pendel halten wird. Mit Hilfe der Stochastik läßt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen.
In diesem Zusammenhang muß der Zusatz des deterministischen Chaos erklärt werden. Aus dem
Beispiel mit dem Pendel wird ersichtlich, daß alle Faktoren in Form von mathematischen
Relationen berücksichtigt waren, d.h. daß die Naturgesetze ihre Gültigkeit in dieser Situation
nicht verloren haben. Das chaotische ist in einer Dynamik enthalten, die ansatzweise oben
beschrieben worden ist und die anhand eines weiteren Beispiels genauer betrachtet werden
wird.
Eine weitere interessante Beobachtung ist, daß ein System nicht notwendig komplex sein muß,
um chaotisch zu sein bzw. zu werden. Erstaunlich ist, daß die Formeln, die für das obige
Experiment in den Rechner eingegeben worden sind, relativ einfach sind (vor allem handelt es
sich um wenige Variablen, die in Interdependenz stehen.), also ganz anders, als etwa im Fall der
meteorologischen Prozesse (Wetter), die sehr komplex sind. Das Wetter ist höchstwahrscheinlich
das bekannteste chaotische Phänomen, und die hypothetische Qualität der Wettervorhersage
verdeutlicht dies in besonderer Weise. Sprichwörtlich ist schon der Schmetterling, der mit
seinem Flügelschlag einen Hurrikan am anderen Ende der Welt verursacht, ein deutliches Bild
für die Tatsache, daß innerhalb eines chaotischen Systems die kleinsten Abweichungen in den
Anfangsbedingungen große und unvorhersehbare Wirkungen zeitigen.

II. Turbulente Strömungen

Es existieren auch Prozesse in der Natur, die von einem geordneten in einen chaotischen
Zustand fallen. Dazu zählen auch turbulente Strömungen. Zentrale Fragestellung hierbei ist den
Bereich aufzudecken, in dem die Prozesse von Ordnung in chaotische Zustände kippen und die
möglichen Ursachen dafür. Einfaches Beispiel ist der aufsteigende Rauch einer Zigarette.
Zunächst ist die Bewegung linear, dann, urplötzlich, wird die Strömung turbulent und es ist
nicht mehr an eine Berechnung einer Flugbahn eines Rauchteilchens zu denken.
In der Luftfahrt zum Beispiel spielen Luftturbulenzen eine entscheidende Rolle bei Abstürzen,
und auch heute ist nicht völlig geklärt, wann die Luftmassen in ein chaotischen Zustand geraten.

III. Logistische Gleichung: das Chaos in der Populationsentwicklung

Wie schon bereits gesagt worden ist, ist für die Entstehung eines chaotischen Zustands keine
Komplexität der betroffenen Systemen notwendig. Die verdeutlicht insbesondere die
sogenannte logistische Gleichung, die die Entwicklung einer Population in einem eingrenzbaren
Territorium berechnen kann.
Die Gleichung lautet: yn+1=a x yn(1-yn)
Es wird jeweils die nächste Generation einer Population in Bezug auf die vorige (Folge)
errechnet, wobei a den Vergrößerungsfaktor bezeichnet. Der Term in der Klammer trägt der
Tatsache Rechnung, daß das Siedlungsgebiet begrenzt ist, so daß der Wachstum zurückgeht,
sobald die Kapazitäten überschritten worden sind, die das Territorium fassen kann.
Geht man von einem Anfangswert 0.3 und a= 1.5 aus, so tendiert das Ergebnis zu einem
konstanten Wert, der auch gehalten wird. Erhöht man den Wert für a auf 2.9, so zeigt sich nach
anfänglichen Schwankungen gleichfalls die Entwicklung zu einer Konstante hin. Wählt man
hingegen a=3, so zeigt die Verlaufskurve eine Periodizität zwischen zwei Werten, um dann, bei
a>3.79, schließlich chaotisch zu werden.
Verändert man nun a um eine sehr kleinen Wert, so hat dies gewaltige Auswirkungen auf den
Verlauf der Kurve.
Wenn ein System schon von der geordneten in die chaotische Bewegung umschlagen kann und
damit unkontrollierbar und unvorhersehbar wird, dann stellt sich die Frage, ob es wenigstens
eine Art von Vorwarnung gibt, die diesen Sprung ins Chaos anzeigt.
Eine Augenfälligkeit, die auch schon bei den bereits beschriebenen Phänomenen anzutreffen
war, ist die Tatsache, das einige Systeme zunächst periodisch werden, ihre Frequenz dann
steigern, bis sie schließlich ins Chaos gleiten. Wenn man die Tropfen eines lecken Wasserhahnes
beschreibt, so fällt zunächst die Periodizität auf, d.h. die Tropfen fallen mit einer bestimmten
Frequenz herunter. Öffnet man den Wasserhahn weiter, so wird bald die Tropfenabfolge
chaotisch, wobei aber zunächst eine Frequenzverdoppelung eintritt, also ein Hinweis auf das
kommende Umkippen in einen chaotischen Zustand.
Dies ist auch in einem anderen Experiment zu beobachten. Hierbei schwingt ein Metallstreifen
zwischen zwei Elektromagneten hin und her. Dies wird durch das Ein- und Ausschalten der
Magneten verursacht. Verstärkt man die Magnetfelder, so wird die Bewegung ab einen gewissen
Wert chaotisch, aber genau wie im vorigen Beispiel gibt es einen Bereich, in dem sich die
Frequenz verdoppelt, bevor das System chaotisch wird.
Ein weiteres Augenmerk eines Umkippens ist im anfänglichen Wechsel zwischen geordneten
und chaotischen Zustände innerhalb eines Systems. Dieses Phänomen ist etwa aus der Medizin
bekannt, wie etwa das Herzflimmern, das manchmal ein Herzversagen vorankündigt.
Viele Prozesse in der Natur zeigen chaotische Zustände auf. Neurophysiologen etwa versuchen
die Arbeitsweise des Gehirnes auch dadurch zu entschlüsseln, daß sie die Erkenntnisse aus der
Chaosforschung heranziehen. Sicher ist, daß das Phänomen Chaos zu einem neuen Verständnis
der Naturwissenschaft und allgemein zu einem neuen Weltbild beigetragen hat.

Ibrahim Mazari

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Chaostheorie

  • 1. Chaos "Chaos: Irreguläre Bewegungsabläufe, die aus vorher bestimmenden Differentialgleichungen abgeleitet werden. Im Gegensatz zum streng vorhersagbaren Bewegungsablauf wird dieses Verhalten durch nicht lineare Terme in den Bewegungsgleichungen verursacht." (Duden) Das streng mechanistisch denkende Newtonsche Weltbild geht davon aus, daß alle physikalischen Phänomene in mathematischen Relationen erfaßt werden können, d.h. daß alle Prozesse mit der Hilfe von Formeln beschreib-, erklär- und voraussagbar sind. Es gibt aber Prozesse, die diesem Weltbild nicht entsprechen und eine Eigendynamik entwickeln, welche scheinbar ohne jegliche Ordnung konstituiert zu sein scheint. Die Chaostheorie versucht zu beschreiben, wann ein System chaotisch wird, das zuvor deterministisch gewesen ist. Es ist wichtig zu erwähnen, daß die Chaostheorie sich mit dem sogenannten deterministisches Chaos beschäftigt. Es wird später noch auf diesen Begriff einzugehen sein. I. Das Pendel Die Gleichungen, die die Bewegungen eines Pendels beschreiben, sind einfach und lassen sich in der Praxis nachweisbar als richtig bestätigen. Entscheidend bei der Pendelbewegung ist die Gravitation. Wenn man nun andere Kräfte einführt, wie etwa durch zwei Magnete, die unter die Ausschwenkpunkte der Pendelbewegung gesetzt werden ( beide ziehen das Pendel zu sich), so ist ein interessante Sache zu beobachten: Läßt man das Pendel ab einem bestimmten Punkt ausschwenken, so vollzieht es zahlreiche und scheinbar zufällige Bewegungen, bis es schließlich bei einen der Magneten zum Stillstand kommt. Wiederholt man diesen Prozeß, so ist festzustellen, daß der Bewegungsablauf sich völlig anders gestaltet und daß das Pendel unter Umständen beim anderen Magneten zu Ruhe kommt. Selbst wenn man dieses Experiment in einem Rechner simuliert, wo nur die Formeln für die Gravitation und die Magnetfelder der zwei Magnete (und natürlich das Pendel) berücksichtigt werden, und nicht mögliche Störgrößen wie etwa Luftturbulenzen, kommt man zum gleichen erstaunlichen Ergebnis. Analysiert man die verschiedenen Bewegungsabläufe, indem man z.B. die Laufbahnen je nach Magneten eine andere Farbe zuweist, so ist festzustellen, daß im Anfangspunkt geringste Abweichungen zu einem ganz anderen Bewegungsablauf führen. Vergrößert man den Ausschnitt des Anfangspunktes, so differenzieren sich immer weiter die potentiellen Laufbahnen. Das kann man auf einer Art Matrix graphisch darstellen. Die verschiedenfarbigen Felder können wiederum vergrößert und ausdifferenziert werden. Startet das Pendel von einem Feld mit einer bestimmten Farbe, so hält es beim entsprechenden Magneten an. Wird das Pendel jedoch um ein minimales Maß von der Ausgangsposition verschoben, so kann nicht mit hundertprozentiger Sicherheit vorausgesagt werden, wo das Pendel halten wird. Mit Hilfe der Stochastik läßt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen. In diesem Zusammenhang muß der Zusatz des deterministischen Chaos erklärt werden. Aus dem Beispiel mit dem Pendel wird ersichtlich, daß alle Faktoren in Form von mathematischen Relationen berücksichtigt waren, d.h. daß die Naturgesetze ihre Gültigkeit in dieser Situation nicht verloren haben. Das chaotische ist in einer Dynamik enthalten, die ansatzweise oben beschrieben worden ist und die anhand eines weiteren Beispiels genauer betrachtet werden
  • 2. wird. Eine weitere interessante Beobachtung ist, daß ein System nicht notwendig komplex sein muß, um chaotisch zu sein bzw. zu werden. Erstaunlich ist, daß die Formeln, die für das obige Experiment in den Rechner eingegeben worden sind, relativ einfach sind (vor allem handelt es sich um wenige Variablen, die in Interdependenz stehen.), also ganz anders, als etwa im Fall der meteorologischen Prozesse (Wetter), die sehr komplex sind. Das Wetter ist höchstwahrscheinlich das bekannteste chaotische Phänomen, und die hypothetische Qualität der Wettervorhersage verdeutlicht dies in besonderer Weise. Sprichwörtlich ist schon der Schmetterling, der mit seinem Flügelschlag einen Hurrikan am anderen Ende der Welt verursacht, ein deutliches Bild für die Tatsache, daß innerhalb eines chaotischen Systems die kleinsten Abweichungen in den Anfangsbedingungen große und unvorhersehbare Wirkungen zeitigen. II. Turbulente Strömungen Es existieren auch Prozesse in der Natur, die von einem geordneten in einen chaotischen Zustand fallen. Dazu zählen auch turbulente Strömungen. Zentrale Fragestellung hierbei ist den Bereich aufzudecken, in dem die Prozesse von Ordnung in chaotische Zustände kippen und die möglichen Ursachen dafür. Einfaches Beispiel ist der aufsteigende Rauch einer Zigarette. Zunächst ist die Bewegung linear, dann, urplötzlich, wird die Strömung turbulent und es ist nicht mehr an eine Berechnung einer Flugbahn eines Rauchteilchens zu denken. In der Luftfahrt zum Beispiel spielen Luftturbulenzen eine entscheidende Rolle bei Abstürzen, und auch heute ist nicht völlig geklärt, wann die Luftmassen in ein chaotischen Zustand geraten. III. Logistische Gleichung: das Chaos in der Populationsentwicklung Wie schon bereits gesagt worden ist, ist für die Entstehung eines chaotischen Zustands keine Komplexität der betroffenen Systemen notwendig. Die verdeutlicht insbesondere die sogenannte logistische Gleichung, die die Entwicklung einer Population in einem eingrenzbaren Territorium berechnen kann. Die Gleichung lautet: yn+1=a x yn(1-yn) Es wird jeweils die nächste Generation einer Population in Bezug auf die vorige (Folge) errechnet, wobei a den Vergrößerungsfaktor bezeichnet. Der Term in der Klammer trägt der Tatsache Rechnung, daß das Siedlungsgebiet begrenzt ist, so daß der Wachstum zurückgeht, sobald die Kapazitäten überschritten worden sind, die das Territorium fassen kann. Geht man von einem Anfangswert 0.3 und a= 1.5 aus, so tendiert das Ergebnis zu einem konstanten Wert, der auch gehalten wird. Erhöht man den Wert für a auf 2.9, so zeigt sich nach anfänglichen Schwankungen gleichfalls die Entwicklung zu einer Konstante hin. Wählt man hingegen a=3, so zeigt die Verlaufskurve eine Periodizität zwischen zwei Werten, um dann, bei a>3.79, schließlich chaotisch zu werden. Verändert man nun a um eine sehr kleinen Wert, so hat dies gewaltige Auswirkungen auf den Verlauf der Kurve. Wenn ein System schon von der geordneten in die chaotische Bewegung umschlagen kann und damit unkontrollierbar und unvorhersehbar wird, dann stellt sich die Frage, ob es wenigstens eine Art von Vorwarnung gibt, die diesen Sprung ins Chaos anzeigt. Eine Augenfälligkeit, die auch schon bei den bereits beschriebenen Phänomenen anzutreffen war, ist die Tatsache, das einige Systeme zunächst periodisch werden, ihre Frequenz dann steigern, bis sie schließlich ins Chaos gleiten. Wenn man die Tropfen eines lecken Wasserhahnes beschreibt, so fällt zunächst die Periodizität auf, d.h. die Tropfen fallen mit einer bestimmten
  • 3. Frequenz herunter. Öffnet man den Wasserhahn weiter, so wird bald die Tropfenabfolge chaotisch, wobei aber zunächst eine Frequenzverdoppelung eintritt, also ein Hinweis auf das kommende Umkippen in einen chaotischen Zustand. Dies ist auch in einem anderen Experiment zu beobachten. Hierbei schwingt ein Metallstreifen zwischen zwei Elektromagneten hin und her. Dies wird durch das Ein- und Ausschalten der Magneten verursacht. Verstärkt man die Magnetfelder, so wird die Bewegung ab einen gewissen Wert chaotisch, aber genau wie im vorigen Beispiel gibt es einen Bereich, in dem sich die Frequenz verdoppelt, bevor das System chaotisch wird. Ein weiteres Augenmerk eines Umkippens ist im anfänglichen Wechsel zwischen geordneten und chaotischen Zustände innerhalb eines Systems. Dieses Phänomen ist etwa aus der Medizin bekannt, wie etwa das Herzflimmern, das manchmal ein Herzversagen vorankündigt. Viele Prozesse in der Natur zeigen chaotische Zustände auf. Neurophysiologen etwa versuchen die Arbeitsweise des Gehirnes auch dadurch zu entschlüsseln, daß sie die Erkenntnisse aus der Chaosforschung heranziehen. Sicher ist, daß das Phänomen Chaos zu einem neuen Verständnis der Naturwissenschaft und allgemein zu einem neuen Weltbild beigetragen hat. Ibrahim Mazari