1. CALCULOS DE RADIOS
TIERRA, LUNA ,DISTANCIA
TIERRA-LUNA, ORBITA
GEOESTACIONARIA
Ing. Hugo W. Carrión
1

2. Contenido
 Cálculo del Radio de la Tierra
 Calculo del Radio de la Luna
 Cálculo de la distancia Tierra-Luna
 Cálculo de la distacia cuando la
gravedad es cero, entre Tierra-Luna
 Cálculo de la distancia de la Orbita
Geoestacionaria
2

3. Introducción
3

4. Introducción
Cálculo del Radio de la Tierra
Para el cálculo del radio de la tierra existen varias metodologías
y técnicas, siendo el primero y el más difundido el método de
Eratóstenes:
Método de Eratóstenes para calcular el radio de la Tierra:
Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que
el Sol se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar
que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes el
día del solsticio de verano (21 de junio), a las doce de la
mañana, midió, en Alejandría, con ayuda de una varilla colocada
sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, 7,2°; es decir,
360º/50. Al mismo tiempo sabía que en la ciudad de Siena
(actual Assuán, en que se construyó recientemente la gran presa
de Assuán sobre el curso del río Nilo), los rayos del sol llegaban
perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de un
pozo profundo. 4

5. Introducción
5

6. Introducción
Si la distancia de Alejandría a Siena situada sobre el mismo
meridiano era de 5000 estadios (1 estadio = 160 m) y por lo
tanto a 1/50 de toda la circunferencia de la Tierra; la
circunferencia completa debería medir:
50 × 5.000 = 250.000 estadios = 250.000 × 160 m = 40.000
km
De donde el radio de la Tierra medía: R = 40.000 / 2Pi =
6.366,19 km.
Las actuales mediciones sobre el radio de la Tierra dan el
valor de 6.378 km. Como se puede observar se trata de una
extraordinaria exactitud, si se tienen en cuenta los escasos
medios de que se disponía.
6

7. Introducción
Supongamos que ponemos una referencia (en nuestro
caso el paralelo 400 N) y que determinamos la distancia
de dos puntos a dicho paralelo (se puede usar un buen
atlas o Google Earth). Restando ambas distancias
obtendríamos la distancia entre los dos puntos
considerados.
Si clavamos un palo vertical en cada punto el sol
proyectará una sombra que formará un cierto ángulo,
mayor cuanto más al sur esté situado el punto. Dicho
ángulo nos da la altura del Sol sobre el horizonte del
lugar.
7

8. Introducción
8

9. La altura del Sol va variando a lo largo del día.
Por la mañana, cuando sale por el Este, está
muy bajo, por lo que la sombra proyectada por
el gnomon será muy larga a primeras horas de
la mañana. A medida que avanza el día, el Sol
está cada vez más alto y la sombra, en
consecuencia, se irá acortando.
El Sol alcanza su punto más alto cuando pasa
por el meridiano del lugar. A ese instante se la
llama mediodía local, y para los lugares que
están situados sobre el meridiano de Greenwich
sucede a las 12:00 h (tiempo universal o UT)
Por los lugares que estén situados más al oeste,
por ejemplo, el Sol pasa más tarde por su
meridiano. Aproximadamente hay que sumar 4
min. por cada grado de diferencia con el
meridiano de Greenwich.
9

10. Una manera de determinar el paso del Sol por el
meridiano de un lugar (o sea la hora del mediodía
local) es obtener datos de la longitud de la sombra
arrojada por un gnomon. El instante en el que
ésta sea más corta se corresponderá con el
mediodía local.
Si dos observadores calculan la altura del Sol al
mediodía (a su mediodía) la situación será similar
a la que se muestra en la figura y podremos
establecer las siguientes relaciones:
10

11. Una vez conocida la distancia angular entre
ambos puntos podemos calcular el radio de la
Tierra estableciendo una proporción:
11

12. Los datos obtenidos por el IES Juan A. Suanzes han
sido los siguientes:
Hora del tránsito del Sol por el meridiano
(mediodía): 12:30 h (UT).
Altura del Sol al mediodía: 48,860
Distancia al paralelo 40: 394,5 km.
12

13. Nos hemos permitido hacer un cálculo combinando
nuestros datos con los del IES Almunia, de Jerez de
la Frontera (Cádiz), que se encuentra en el mismo
meridiano. Los datos aportados por este centro son:
Hora del tránsito del Sol por el meridiano (mediodía):
12:30 h (UT)
Altura del Sol al mediodía: 55,700
Distancia al paralelo 40: - 369,2 km. (El signo menos
indica que está situado al sur del paralelo 40)
13

14. Aplicando la ecuación deducida más arriba, tenemos:
Considerando que el valor admitido
para el radio de la Tierra es de
6.371 km. el valor obtenido es de
una exactitud asombrosa.

15. Calculo del Radio de la Luna
Calculo del Radio de la Luna
Para el presente cálculo se tomo en cuenta el eclipse de
luna del 21 de enero de 2000.
15

16. Calculo del Radio de la Luna
Entonces se tomo como referencia un conjunto de círculos
concéntricos.
16

17. Calculo del Radio de la Luna
Teniendo los siguientes resultados:
Diámetro de la Luna círculo 8
Diámetro de la sombra de la Tierra círculo 21
Por tanto la relación entre los diámetros es:
Relación = 21/8 = 2,625
Es decir que el diámetro de la Tierra es 2,625 veces más gran
que el de la Luna.
Pero esta relación no es correcta porque la sombra es
cónica, como se muestra en la siguiente ilustración
17

18. Calculo del Radio de la Luna
18

19. Calculo del Radio de la Luna
Por tanto, la relación real no es de 2,625 sino de 2,625 + 1 = 3,625
Sabiendo que el diámetro de la Tierra es de 12.740 Km.
Aplicando la relación:
Diámetro de la Luna = 12.740 Km / 3,625 = 3.514 Km
Radio de la Luna = 3154 km / 2 = 1577 Km
19

20. Cálculo de la distancia Tierra
Luna
Una forma de calcular la distancia de la tierra a la
luna es mediante la fuerza centrípeta y la ley de la
gravitación universal:
y
Igualando ambas ecuaciones se tiene:
20

21. Cálculo de la distancia Tierra
Luna
Si la luna emplea 27 días y 8 horas para
completar una revolución alrededor de la tierra,
entonces se tiene que:
21

22. Cálculo de la distancia Tierra
Luna
Si se conoce que:
22

23. Cálculo de la distancia Tierra
Luna
Reemplazando los valores se
obtiene la distancia entre la tierra y
la luna:
23

24. DISTANCIA DE LA TIERRA A LA
LUNA CUANDO g = 0
La Tierra es redonda debido a la gravitación.
Puesto que todos los objetos se atraen
mutuamente, la Tierra se ha atraído a sí misma
antes de solidificarse. Cualquier esquina que la
Tierra haya podido tener ha sido aplastada de tal
manera que el planeta es ahora una gigantesca
esfera.
24

25. • DISTANCIA DE LA TIERRA A
LA LUNA CUANDO g = 0
Utilizando la ley de la gravitación universal en el
punto de gravedad cero se tiene:
25

26. DISTANCIA DE LA TIERRA A LA
LUNA CUANDO g = 0
Si se conoce que:
Reemplazando los valores se
obtiene la distancia 1:

27. DISTANCIA DE LA TIERRA A LA
LUNA CUANDO g = 0
Para obtener la distancia desde la
superficie de la tierra hasta el punto
de gravedad cero se debe restar el
radio de la tierra al valor obtenido
anteriormente:
27

28. DISTANCIA DE LA TIERRA A LA
LUNA CUANDO g = 0
28

29. DISTANCIA DE LA ÓRBITA
GEOESTACIONARIA
Los satélites geoestacionarios o geosincronos son
satélites que giran en un patrón circular, con una
velocidad angular igual a la de la Tierra. Por lo tanto,
permanecen en una posición fija con respecto a un
punto específico en la Tierra
Es posible calcular algunos parámetros típicos de
la órbita geoestacionaria, tales como la altura del
satélite, o la velocidad del mismo, partiendo de las
leyes básicas de la Física.
29

30. DISTANCIA DE LA ÓRBITA
GEOESTACIONARIA
Como es sabido un satélite geoestacionario tiene un periodo
de rotación igual al de la Tierra, por lo tanto, se debe saber
con exactitud dicho periodo de rotación. Para ello se
considera el día sidéreo, que es el tiempo de rotación de la
Tierra medido con respecto a una estrella lejana y que difiere
del día solar o medido con respecto al sol
y
30

31. DISTANCIA DE LA ÓRBITA
GEOESTACIONARIA
Igualando las ecuaciones anteriores
se tiene:
Si además se conoce que el periodo
del satélite es:
Reemplazado en la igualdad anterior se
tiene:
31

32. DISTANCIA DE LA ÓRBITA
GEOESTACIONARIA
Si se conoce que:
32

33. DISTANCIA DE LA ÓRBITA
GEOESTACIONARIA
Reemplazando los valores se tiene:
33

34. DISTANCIA DE LA ÓRBITA
GEOESTACIONARIA
Para obtener la distancia desde la superficie de la
tierra hasta la órbita geoestacionaria se debe restar
el radio de la tierra al valor obtenido
anteriormente:
34