arithmétique

1. Arithmétique
Divisibilité dans ℤ & identité de
Bézout
Programme de la 4ème maths

2. Plan de la leçon:
• Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne)
• PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide)
• Théorème de Bézout
• Résolution d’équation diophantienne du
type: ax + by =c
• Évaluation

4. Prérequis et préparatif
QCM
http://www.evalqcm.fr
Code d'inscription :
5199JUKP
Fichier Excel
pour le calcul du
PGCD & série
d’exercices
Liens:
Le PGCD
La Série
Des vidéos de
YouTube
partagées sur
le mur du
groupe de la
classe et sur g+

5. Division euclidienne
Division dans ℤ

6. Division euclidienne
dans IN

7. Division euclidienne
dans ℤ
• Théorème:
Soit a et b deux entiers relatifs
avec b non nul. Il existe un unique
couple ( q,r) tel que:
a = bq+r et 0 r < |b|
b est le quotient
r est le reste
• Auto évaluation:
QCM on line
http://www.evalqcm.fr
Code d'inscription :
5199JUKP
Chaque élève s’inscrira via son
compte Facebook et répondra aux
questions demandées

8. PGCD de deux entiers
« algorithme d’Euclide »
• On ré effectue la
division
euclidienne
• a’=b’q+r’
a=bq+r
• Si non alors
• a’b
• b’r
Si le reste est
nul • Soit r’ le dernier
reste non nul
r’ = ab

9. L’algorithme avec Excel
• On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la
procédure de calcul du PGCD moyennant
l’algorithme d’Euclide est déjà programmée
Lien
http://1drv.m
s/1HstBdt

10. Propriétés du PGCD de
deux entiers

11. Noter bien …
a et b deux entiers non nul:
• Si b divise a alors: ab = |b|
• Si b ne divise pas a et r le reste modulo b de a
alors ab = br
• ab = ba
• Pour tout entier k: kakb =|k|(ab)
• a(bc) = a(bc)
• a et b deux entier et d = ab soit a’ et b’ tel que
a=da’ et b=db’ alors a’  b’ =1

13. Théorème de Bézout
Équations diophantiennes du type:
ax +by =c

14. Lemme de Gauss
a , b et c trois entiers non nuls. Si a  b =1 et a divise bc alors a divise c
Théorème ( Identité de Bézout)
Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux , si et seulement
si, il existe deux entiers u et v tels que: au + bv = 1

15. La procédure de la résolution de
l’équation: ax+by=C
Déterminer le
PGCD d=a  b
• Vérifier si d
divise c
• Si d ne divise
pas c alors
l’ensembles des
solutions dans
ℤ² est 
Si dc on
simplifie
l’équation par
d
• La nouvelle
équation
devient:
• a’x +b’y=c’ où
a’b’= 1
Déterminer
une solution
particulière
• Par le biais de
l’algorithme
d’Euclide une
solution
particulière est
déterminée
Une solution
de l’équation
homogène
moyennant le
lemme de
Gauss

16. Exemples à suivre …
Trouver les
coefficients de
Bézout
Résoudre une
équation
diophantienne

17. Applications…
I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11y
II. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x+12y=1
III. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 198x+75y=4
I. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss
II. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout
III. Soit (S)
𝑛 ≡ 13 𝑚𝑜𝑑(19)
𝑛 ≡ 6 𝑚𝑜𝑑(12)
Résoudre le système (S).

18. Les fichiers utilisés dans cette
leçon sont partagés sur
OneDrive le lien est envoyer
au groupe sur Gmail
Les vidéos sont partagées sur g+ et
dans le groupe « notre classe » sur
Facebook