Este documento contiene varios problemas resueltos sobre cálculo de áreas y longitudes de arcos de curvas. En el primer problema, se calcula la longitud del arco de la parábola y=x^2-2x-3 desde x=-1 hasta x=4. En el segundo, se encuentra el perímetro de un triángulo curvilíneo limitado por funciones trigonométricas. Finalmente, los problemas restantes involucran calcular áreas de superficies de revolución generadas al rotar curvas alrededor de ejes.
9. 1) La posición de una partícula en el instante t es x(t)=1-cos t,
y(t)=t-sent. Halle el recorrido total entre t=0 y t=1
Sol.
Como (𝑥′
𝑡 )2
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑡 , (𝑦′
𝑡 )2
= (1 − cos 𝑡)2
El recorrido será
L= 0
1
𝑠𝑒𝑛2𝑡 + (1 − cos 𝑡)2𝑑𝑡= 2 0
1
1 − cos 𝑡 𝑑𝑡
=2 0
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
2
𝑑𝑡 = 2 0
1
2 𝑠𝑒𝑛
𝑡
2
𝑑𝑡 = 2 0
1
𝑠𝑒𝑛
𝑡
2
𝑑𝑡 =
4 0
1
2 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢
=4(-cosu)
1
2
0
= 4(1 − cos
1
2
) 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. Sea u=t/2 ,2du=dt u=0,
10. 1) Halle el área de la superficie de revolución generada en la rotación
alrededor del eje Y , del arco de la curva x =y3, desde y=0 hasta
y= 1.
Sol.
A=2𝜋 0
1
𝑥 1 + 9𝑦4 𝑑𝑦 = 2𝜋 0
1
𝑦3 1 + 9𝑦4 𝑑𝑦 =
2𝜋
36 1
10
𝑢
1
2𝑑𝑢
=
𝜋
18
.
2
3
𝑢
3
2
10
1
=
𝜋
27
10 10 − 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒.
U=1+9𝑦4
,du=3𝑦3
𝑑𝑦
Y=0, u=1, y=1, u=10
11. 1) Halle el área de la superficie de revolución generada en la rotación ,
alrededor del eje X , del arco de la curva y2
+4x=2ln y, desde y= 1
hasta y=3. Y
Sol. (1;1)
0 X
13. =2𝜋 0
1
𝑦(
1+𝑦2
2𝑦
)𝑑𝑦 = 𝜋 0
1
1 + 𝑦2 𝑑𝑦 =
32
3
𝜋 𝑢2
1) Halle el área de la superficie de revolución generada en la
rotación alrededor del eje X de un lazo de la curva 8𝑎2
𝑦2
=
𝑎2𝑥2 − 𝑥4
Sol.
17. 1) Encuentre el área de la superficie de revolución generada en la
rotación, alrededor del eje X de la cardiode x=2cos 𝛼 − cos 2𝛼.
y= 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 2𝛼
Sol. Y
0 X
18. La superficie pedida se genera en la rotación del arco desde
𝛼 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝛼 = 𝜋.
𝑑𝑥
𝑑𝛼
=-2sen 𝛼 + 2𝑠𝑒𝑛2𝛼,
𝑑𝑦
𝑑𝛼
= 2 cos 𝛼 − 2 cos 2𝛼
𝑦 (
𝑑𝑥
𝑑𝛼
)2+(
𝑑𝑦
𝑑𝛼
)2= 8(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − cos 𝛼2𝛼) = 8(1 − cos 𝛼)
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐴 = 2𝜋
0
𝜋
(2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 2𝛼) 8(1 − cos 𝛼) 𝑑𝛼
=8 2𝜋 0
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝛼(1 − cos 𝛼)
3
2𝑑𝛼=
16 2𝜋
5
(1 − cos 𝛼] 𝜋
0
=
128𝜋
5
𝑢2
20. 0
1 𝑒
1
𝑥
𝑋3 𝑑𝑥=lim
𝜀→0 0+𝜀
1 𝑒
1
𝑥
𝑋3 𝑑𝑥=lim
𝜀→0
(−
1
𝑥
𝑒
1
𝑥 + 𝑒
1
𝑥] 1
𝜀
= lim
𝜀→0
(𝑒
1
𝜀 −
1
𝜀
𝑒
1
𝜀)
= 𝑒
1
0 −
1
0
𝑒1/0
, este límite no existe por lo tanto la integral
diverge
1) Calcule el área de uno de los triángulos curvilíneos
limitadas por el eje de abscisas y las líneas y=sen x e y= cos
x.