Este documento contiene varios problemas resueltos sobre cálculo de áreas y longitudes de arcos de curvas. En el primer problema, se calcula la longitud del arco de la parábola y=x^2-2x-3 desde x=-1 hasta x=4. En el segundo, se encuentra el perímetro de un triángulo curvilíneo limitado por funciones trigonométricas. Finalmente, los problemas restantes involucran calcular áreas de superficies de revolución generadas al rotar curvas alrededor de ejes.

1. LONGITUD DE ARCO Y ÁREA
DE UNA SUPERFICIE
MATEMÁTICA II

2. LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE UNA SUPERFICIE
1) Halle la longitud del arco de la curva 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 − 3 , 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒
𝑥 = −1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 4
Sol.
Y
*B
A X
-1 3 4

3. L= −1
3
1 + (2𝑥 − 2)2𝑑𝑥 + 3
4
1 + (−2𝑥 + 2)2𝑑𝑥
= −1
4
1 + (2𝑥 − 2)2𝑑𝑥, Sea u=2x-2,
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥
=
1
2 −4
6
1 + 𝑢2𝑑𝑢 =
1
2
[
𝑢
2
1 + 𝑢2 +
1
2
𝑙𝑛 𝑢 +

4. 2) Halle el perímetro del triángulo curvilíneo
limitado por el eje X ,y por las curvas 𝑦 =
ln cos 𝑥, 𝑥𝜀 −
𝜋
2
;
𝜋
2
, 𝑦 = ln 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑥𝜀(0; 𝜋)

5. Sol. Y
−
𝜋
2
" 0
𝜋
4
𝜋
2
𝜋 X
Y=ln cos x y=ln sen x
1 + 𝑢2 .
u
1

6. Sea u=tg x , du=𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑑𝑥, →
𝑑𝑢
( 1+𝑢2)2
,x=o, u=0, x=
𝜋
4
, 𝑢 = 1
L=
𝜋
2
+ 0
𝜋
4 1 + 𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 + 𝜋
4
𝜋
2
1 + 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 =
𝜋
2
+ 0
1 𝑑𝑢
1+𝑢2
− 1
0 𝑑𝑢
1+𝑢2
=
𝜋
2
+
2 0
1 𝑑𝑢
1+𝑢2
=
𝜋
2
+ [𝑙𝑛 𝑢 + 1 + 𝑢2 ] 1
0
=
𝜋
2
+ 2𝑙𝑛 1 + 2
1) Calcule la longitud de la parábola semicúbica
2𝑦3
= 𝑥2
, 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑥
2
+ 𝑦2
= 20

7. 𝑥
2
+ 𝑦2
= 20
Sol
Y
2𝑦3
= 𝑥2
2
X

8. Tomando a y , variable independiente y derivando
implícitamente obtenemos:
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
3𝑦2
𝑥
, (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)2 =
9𝑦4
𝑥2 =
9𝑦4
2𝑦3 =
9𝑦
2
, 2𝑦3 + 𝑦2 = 20
𝑦 = 2, 𝑦 = 0
Luego. Sea 𝑢 = 1 +
9𝑦
2
,
2
9
𝑑𝑢 = 𝑑𝑦, 𝑠𝑖 𝑦 = 0, 𝑢 = 1, 𝑦 = 2, 𝑢 = 10
L=2 0
2
1 +
9𝑦
2
dy=2
2
9 1
10
𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
4
9
.
2
3
. 𝑢
3
2] 10
1
=
80
27
10 −
8
27
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

9. 1) La posición de una partícula en el instante t es x(t)=1-cos t,
y(t)=t-sent. Halle el recorrido total entre t=0 y t=1
Sol.
Como (𝑥′
𝑡 )2
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑡 , (𝑦′
𝑡 )2
= (1 − cos 𝑡)2
El recorrido será
L= 0
1
𝑠𝑒𝑛2𝑡 + (1 − cos 𝑡)2𝑑𝑡= 2 0
1
1 − cos 𝑡 𝑑𝑡
=2 0
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
2
𝑑𝑡 = 2 0
1
2 𝑠𝑒𝑛
𝑡
2
𝑑𝑡 = 2 0
1
𝑠𝑒𝑛
𝑡
2
𝑑𝑡 =
4 0
1
2 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢
=4(-cosu)
1
2
0
= 4(1 − cos
1
2
) 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. Sea u=t/2 ,2du=dt u=0,

10. 1) Halle el área de la superficie de revolución generada en la rotación
alrededor del eje Y , del arco de la curva x =y3, desde y=0 hasta
y= 1.
Sol.
A=2𝜋 0
1
𝑥 1 + 9𝑦4 𝑑𝑦 = 2𝜋 0
1
𝑦3 1 + 9𝑦4 𝑑𝑦 =
2𝜋
36 1
10
𝑢
1
2𝑑𝑢
=
𝜋
18
.
2
3
𝑢
3
2
10
1
=
𝜋
27
10 10 − 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒.
U=1+9𝑦4
,du=3𝑦3
𝑑𝑦
Y=0, u=1, y=1, u=10

11. 1) Halle el área de la superficie de revolución generada en la rotación ,
alrededor del eje X , del arco de la curva y2
+4x=2ln y, desde y= 1
hasta y=3. Y
Sol. (1;1)
0 X

12. X=
2𝑙𝑛𝑦−𝑦2
4
,
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1
2
1−𝑦2
𝑦
, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 1 + (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)2= 1 +
(
1
2
1−𝑌2
𝑌
)2
=
4𝑦2+1−2𝑦2+𝑦4
4𝑦2 =
(1+𝑦2)2
4𝑦2 ,
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐴
= 2𝜋
0
1
𝑦 1 + (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)2 𝑑𝑦 = 2𝜋
0
1
𝑦
(1 + 𝑦2)2
4𝑦2
𝑑𝑦

13. =2𝜋 0
1
𝑦(
1+𝑦2
2𝑦
)𝑑𝑦 = 𝜋 0
1
1 + 𝑦2 𝑑𝑦 =
32
3
𝜋 𝑢2
1) Halle el área de la superficie de revolución generada en la
rotación alrededor del eje X de un lazo de la curva 8𝑎2
𝑦2
=
𝑎2𝑥2 − 𝑥4
Sol.

14. Y
0 a X

15. 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎2𝑥−2𝑥3
8𝑎2𝑦
, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)2
= 1 +
(𝑎2−2𝑥2)2
8𝑎2(𝑎2−𝑥2)
=
(3𝑎2−2𝑥2)2
8𝑎2(𝑎2−𝑥2)
𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑦 =
𝑥 𝑎2 − 𝑥2
2 2𝑎
A=
2𝜋 0
𝑎
𝑦 1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)2 𝑑𝑥 = 2𝜋 0
𝑎
𝑦
(3𝑎2−2𝑥2)2
8𝑎2(𝑎2−𝑥2)
𝑑𝑥

16. =2𝜋 0
𝑎 𝑥 𝑎2−𝑥2
2 2𝑎
.
3𝑎2−2𝑥2
2 2𝑎 𝑎2−𝑥2
dx=
𝜋
4𝑎2 0
𝑎
(3𝑎2 −

17. 1) Encuentre el área de la superficie de revolución generada en la
rotación, alrededor del eje X de la cardiode x=2cos 𝛼 − cos 2𝛼.
y= 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 2𝛼
Sol. Y
0 X

18. La superficie pedida se genera en la rotación del arco desde
𝛼 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝛼 = 𝜋.
𝑑𝑥
𝑑𝛼
=-2sen 𝛼 + 2𝑠𝑒𝑛2𝛼,
𝑑𝑦
𝑑𝛼
= 2 cos 𝛼 − 2 cos 2𝛼
𝑦 (
𝑑𝑥
𝑑𝛼
)2+(
𝑑𝑦
𝑑𝛼
)2= 8(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − cos 𝛼2𝛼) = 8(1 − cos 𝛼)
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐴 = 2𝜋
0
𝜋
(2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 2𝛼) 8(1 − cos 𝛼) 𝑑𝛼
=8 2𝜋 0
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝛼(1 − cos 𝛼)
3
2𝑑𝛼=
16 2𝜋
5
(1 − cos 𝛼] 𝜋
0
=
128𝜋
5
𝑢2

19. SOLUCIONARIO DE TERCERA PRÁCTICA DE MAT.II-MINAS
1) 1) 0
1 𝑒
1
𝑥
𝑋3 𝑑𝑥=lim
𝜀→0 0
1 𝑒
1
𝑥
𝑋3 𝑑𝑥.
Calculemos la integral indefinida por separado
i.e.
𝑒
1
𝑥
𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑒𝑢
𝑥3 −𝑥2𝑑𝑢 = 𝑢𝑒𝑢𝑑𝑢=I 𝑆𝑒𝑎 𝑢 =
1
𝑥
, −𝑥2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Integrando por partes
Sea m=u, dm=du, dv=𝑒𝑢
𝑑𝑢, 𝑣 = 𝑒𝑢
Luego I=u𝑒𝑢 − 𝑒𝑢𝑑𝑢 = − 𝑢𝑒𝑢 − 𝑒𝑢 = −
1
𝑥
𝑒
1
𝑥 − 𝑒
1
𝑥 = 𝑒
1
𝑥(1 −
1
𝑥
)

20. 0
1 𝑒
1
𝑥
𝑋3 𝑑𝑥=lim
𝜀→0 0+𝜀
1 𝑒
1
𝑥
𝑋3 𝑑𝑥=lim
𝜀→0
(−
1
𝑥
𝑒
1
𝑥 + 𝑒
1
𝑥] 1
𝜀
= lim
𝜀→0
(𝑒
1
𝜀 −
1
𝜀
𝑒
1
𝜀)
= 𝑒
1
0 −
1
0
𝑒1/0
, este límite no existe por lo tanto la integral
diverge
1) Calcule el área de uno de los triángulos curvilíneos
limitadas por el eje de abscisas y las líneas y=sen x e y= cos
x.

21. Sol. Y
0
𝜋
4
𝜋
2
𝑋

22. A= 0
𝜋/4
sen 𝑥𝑑𝑥 + 𝜋
4
𝜋/2
cos 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥]
𝜋
4
0
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥]
𝜋
2
𝜋
4
=− cos
𝜋
4
+ cos 0 + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
− 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
= −
2
2
+ 1 + 1 −
2
2
=
(2 − 2) 𝑢2
1) Halle el área de la intersección de los 𝑥2
+ 𝑦2
≤
4, 𝑦 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 4𝑥
Sol.

23. Las circunferencias se cortan en (1;± 3).
El rectángulo genérico se extiende de x=2 − 4 − 𝑦2, hasta x= 4 − 𝑦2
Y (1; 3)
∆𝑦
X

24. A=2 0
3
4 − 𝑦2 − 2 +

25. =lim
𝜀→0 0
𝑎−𝜀 2𝑥𝑑𝑥
(𝑥2−𝑎2)
2
3
+ lim
𝜀′→0 𝑎+𝜀′
2𝑎 2𝑥𝑑𝑥
(𝑥2−𝑎2)
2
3
=lim
𝜀→0
3
3
𝑥2 − 𝑎2 𝑎−𝜀
0
+ lim
𝜀′→0
3
3
𝑥2 − 𝑎2] 2𝑎
𝑎+𝜀′
𝜀′→0
=lim
𝜀→0
3(
3
(𝑎 − 𝜀)2−𝑎2 −
3
3
−𝑎2)+ lim
𝜀′→0
(3
3
2𝑎 2 − 𝑎2 − 3
3
𝑎 + 𝜀′ 2 − 𝑎2)
=3.0-(-3
3
𝑎2) + 3
3
3𝑎2 − 0=3
3
𝑎2 + 3
3
3𝑎2

26. 1) Encuentre el área limitada por la elipse
𝑥2
4
+ 𝑦2
= 1, 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
𝑦 = 𝑥,
𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

27. Sol.
1 (
2
5
;
2
5
)
-2 2 X
-1

28. A= 0
2
5
(
1
2
4 − 𝑥2 − 𝑥)𝑑𝑥 =
1
2
(
𝑥 4−𝑥2
2
+
2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
) −
𝑥2
2
]
2
5
0
=
1
2 5
4 −
2
5
2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1
5
−
2
5
− 0 =
2
5
−
2
5
+
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
5
5
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
5
5
𝑢2