Ba dạng hệ phương trình cơ bản

Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang
1
Phần I. CÁC HỆ CƠ BẢN
1. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I
Là hệ khi đổi chỗ x và y cho nhau thì mỗi phương trình vẫn không thay đổi
PP giải: Đặt:
x y S
xy P
 


Chú ý:  2 2 2
4 0x y xy x y     nên 2
4S P
Bài 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
x y y x
x y
 

 
2 2
18
( 1)( 1) 72
x y x y
xy x y
    

  
Bài tự luyện
1) 2 2
1
7
x y xy
x y xy
   

  
2) 2 2
5
7
x y xy
x y xy
  

  
3)
2 2
1
3
x xy y
x y xy



  
  
Đs 1)  ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)     
Bài 4. Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng
18
72
u v
uv
 


1)
2 2
2 2
18
( ) 72
x y
xy x y
  

 
2)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x y x y
xy x y
    

  
; 3)
2 2
2 2
18
( ) 72
x y
xy x y
  

 
4)
2
4 18
( 2)(2 ) 72
x x y
x x x y
   

  
5)
2 2
18
( 2 )( ) 72
x y xy
xy x y y x
   

  
Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ đối xứng loại I.
Phương trình: √𝑎 − 𝑓(𝑥)
𝑛
± √𝑏 + 𝑓(𝑥)
𝑚
= 𝑐.
Đặt: 𝑢 = √𝑎 − 𝑓(𝑥)
𝑛
, 𝑣 = √𝑏 + 𝑓(𝑥)
𝑚
. Ta có hệ: {
𝑢 ± 𝑣 = 𝑐
𝑢 𝑛
+ 𝑣 𝑚
= 𝑎 + 𝑏
Bài 5. Giải phương trình 3 3
1 2 1 2 2x x   

2
Bài 6. Giải phương trình:  2
1 1
2
2x x
  

1 3
1
2
x x
 
  
Bài tương tự
Bài 7. Giải phương trình:
a)  4 4
5 1 2 1x x    Đs x = 0; x = 5.
b) 4 4
17 3x x  
Đặt ẩn phụ đưa hpt không đối xứng về hpt đối xứng loại I
Sau khi đặt ẩn phụ, đưa về hệ đối xứng loại I nhưng ta không nhất thiết đặt tổng - tích
Bài 8. Giải hệ phương trình:
x+1+ y 4
7x y


 
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
      


   

(x, y  R).
Bài 10.D – 2009. Giải hệ phương trình: 2
2
x(x y 1) 3
5
(x y) 1
x
  


  
Bài tự luyện
a)
3
1 1 4
x y xy
x y
   

   
(3;3) b)
1 1 3
5 ( 1)( 1)
x y
x y x y
    

    
Đs(2;5), (5;2)
𝑎) 𝐷𝑆 (4; 4); 𝑏)
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2 2
8
9 9 10
x y
x y



 
   
.
a)
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
   

 
(4;4) b)
3 3
2 2
19
8 8 2
x y
x y xy x y
  

    
(đặt z = -y)

3
Bài 14.Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng
2 2
7
21
a b
a b
 

 
1)
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
   

  
2)
2 2
2 2
1 1
7
1 1
21
x y
x y
x y
x y

   

    

3)
2 2 2
1 7
( 1) 21
xy x y
xy x y
  

  
4)
2 2 2
( ) 1 9
( 2) 21 1
x y y y
x y y y
  

   
5)
2 2
4 4 2 2
4 7
4 ( ) 21
x y x
x y x x y
  

   
2 2
2 2 3
2 1
x xy y x y
xy x y
     

  
(đặt x + 1 = u)
Bài 16. Giải hệ phương trình sau: {
𝑥(𝑥𝑦 + 1) + 𝑦(𝑥𝑦 − 1) = 14
𝑥𝑦(𝑥2
− 𝑦2) = 24
5
( ) 6
x
x y
y
x
x y
y

  


  

Đs  
3 1
2;1 , ;
2 2
 
 
 
2
1 6
2 2( 1) 1 29
x y
x x y x y
   

     
. (3;10), (2;17)
  2 2
2 2
1 1 8 0
1
1 1 4
x y xy
x y
x y
    

 
 
 
.
2 3 2
3
2
2
x y y
x y y
  

 
.
2
2
1 ( ) 4
( 1)(y x 2)
x y y x y
x y
    

   
Đs (1;2), (-2;5)
Bài 22. D – 2009 Giải hệ phương trình 2
2
( 1) 3 0
5
( ) 1 0
x x y
x y
x
   


   

4
3 2
2
3 (6 ) 2 18 0
3
x y x xy
x x y
     

   
1; 3x  
Hệ
( 2)(3 ) 18 0
( 2) (3 ) 0
x x x y
x x x y
   
 
   
 Đặt
( 2)
3
a x x
b x y
 

 
2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II
Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình trên trở thành phương
trình dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên.
Cách giải: Lấy vế trừ vế nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích
( ). ( , ) 0
( ; ) 0
x y
x y F x y
F x y

    
Bài 24.Giải hệ phương trình sau
9 7 4
7 9 4
x y
x y
   

   
Bài 25.Giải hệ phương trình sau
2
2
1
2x y
y
1
2y x
x
Bài 26.Giải hệ phương trình
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x
    

   
(1 ; 1)
Bài tương tự
a)
2 2
2 2
4
4
x y y
xy x
  

 
. Đáp số:
x 2
y 2
. b)
3 2
3 2
1 2
1 2
x x x y
y y y x
    

   
.
a)
2
2
5 4 0
5 4 0
x y
y x
   

  
b)
1 2 3
( 1; 1),(2;2)
2 1 3
x y
x y
    
 
   
b) Cách 2: xét x > y thì PT (2) < PT (1)
2 3
2 3
y
x
x y
y x


 


Đs   1 5 1 5
0;0 ; ;
2 2
  
 
 

5
4 2 3
4 2 3
9
0
8
9
0
8
x y xy x
y x yx y

   

    

 
9 9 1 1
0;0 , ; , ;1 , 1;
8 8 2 2
     
     
     
2
2
2
3
2
2
3
2
y
y
x
x
x
y










 
 
2
4
2 2
2
4
2 2
1 1
1 5 2 1
( 1)
1 1
1 5 2 1
( 1)
y y y
x x
x x x
y y

    


      
5 1 5 1
;
2 2
  
  
 
Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại II
Phương trình dạng 𝑥 𝑛
+ 𝑏 = 𝑎 √𝑎𝑥 − 𝑏
𝑛
.
Đặt 𝑦 = √𝑎𝑥 − 𝑏
𝑛
. Ta có hệ: {
𝑥 𝑛
+ 𝑏 = 𝑎𝑦
𝑦 𝑛
+ 𝑏 = 𝑎𝑥
Bài 33. Giải phương trình sau:
a) 3 3
1 2 2 1x x  
b) 2
2 6 1 4 5x x x    Đs {1 2;1 3} 
Bài 34.Giải phương trình
a) 2
2 2 2 1x x x   Đs 2 2x  
b)  2 7
3 6 3
3
x
x x

    HD chia 3 hai vế
5 73 7 69
x x
6 6
c)  2
5=5x x  
Dạng gần đối xứng
Những hệ dạng này chỉ gồm một pt đối xứng, hoặc hai phương trình gần như đối xứng về số mũ của
biến, chỉ sai khác hệ số tự do hoặc dấu.
2
1 1
(1)
2 1 0 (2)
x y
x y
x xy
   

   

6
1 1
2 2 (1)
1 1
2 2 (2)
yx
xy
  
  







Lời giải.
Kết hợp hai phương trình dạng gần đối xứng
4 3
4 3
1
2 3 3
4
1
2 3 3
4
x y x
y x y

   

    

1 3 1 3
;
2 2
   
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1
7
41
x y x y
x y
y x x y
x y
  

 

 

 
32 7 15
;7 2 15
4
 
 
 
Tương tự
Bài 39.(A – 2003) Giải hệ phương trình
3
1 1
(1)
2 1 (2)
x y
x y
y x

  

  
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
          

         
(4;4)

Ba dạng hệ phương trình cơ bản

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ba dạng hệ phương trình cơ bản

Similar to Ba dạng hệ phương trình cơ bản (20)

More from Hồng Quang

More from Hồng Quang (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ba dạng hệ phương trình cơ bản