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3. Penroses These 6/30 
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3. Penroses These 7/30 
▶ Penrose verwendet die Begriffe Berechnung und 
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3. Penroses These 8/30 
Penroses Beispiel ür „visuellen Beweis“ 
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Andreas Linz Beamer
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Andreas Linz beamer merupakan beamer dengan pengaturan lengkap , menarik dan terlihat professional.

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  1. 1. U L Fakultät — Kursname Der Titel der Präsentation Ein Template für die LATEX-Klasse „Beamer“ Andreas Linz andreas.linz@studserv.uni-leipzig.de b Leipzig / 27. Juli 2014
  2. 2. 1. Inhaltsverzeichnis 2/30 Inhaltsverzeichnis I 1. E 2. P T 3. P B 4. K  D MC 5. P A 6. E  C 6.1 Größter gemeinsamer Teiler 6.2 Ein Pseudocode Beispiel 6.3 Literaturverzeichnis
  3. 3. 2. Einührung 3/30 Formale Systeme & Widerspruchsfreiheit formales System Ein System welches Regeln enthält, mit deren Hilfe sich mathematische Aussagen beweisen lassen und mit denen aus bereits bewiesenen Aussagen neue Aussagen abgeleitet werden können. widerspruchsfrei ▶ A Aussage ▶ T formales System :9A : T ! A ^ T ! :A
  4. 4. 2. Einührung 4/30 Gödelisierung Berechenbare Zuweisung einer eindeutigen natürlichen Zahl ür jedes Wort¹ einer formalen Sprache. Turing-Maschine ▶ Schreib-Lese-Kopf ▶ unendlich langes Eingabe-/Ausgabeband ▶ endliche Menge an Eingabesymbolen und internen Zuständen ▶ Initial- und Haltezustand ▶ Zustandsübergangsfunktion qaktuell; aeingabe ! qfolge; aausgabe; ddirection ▶ Universelle Turing-Maschine benötigt zusätzlich die Maschinenbeschreibung als Eingabe ¹endliche Folgen von Symbolen aus dem Alphabet der formalen
  5. 5. 3. Penroses These 5/30 Penroses ese ▶ in der Mathematik hat unser Denkprozess die reinste Form ▶ falls das Denken bloß die Ausührung einer Berechnung ist, dann sollte man dies am deutlichsten in der Mathematik sehen ▶ erstaunlicherweise zeigt sich genau das Gegenteil ▶ Der menschliche Denkprozess ist nicht algorithmisierbar ,! nicht durch eine (universelle) Turing-Maschine simulierbar
  6. 6. 3. Penroses These 6/30 Gödelscher Unvollständigkeitssatz Kein formelles System aus widerspruchsfreien mathematischen Regeln kann jemals ausreichen, alle wahren Aussagen der klassischen Arithmetik zu beweisen. M. a. W. es gibt immer Aussagen in dem System die wahr aber unbeweisbar sind. ▶ Arithmetik ür den Menschen durch Intuition und Verstand begreifbar, aber nicht durch ein formelles System ▶ Indirekter Beweis m. H. des Unvollständigkeitssatzes und des Halteproblems ▶ Annahme es gibt ein formales System welches das menschliche Denken beschreibt
  7. 7. 3. Penroses These 7/30 ▶ Penrose verwendet die Begriffe Berechnung und Algorithmus gleichbedeutend ▶ Algorithmus entspricht dem Verhalten einer Turing-Maschine ▶ kann nicht nur arithmetische sondern auch logische Operationen zur Ableitung neuer Aussagen verwenden ▶ zeigt „visuellen Beweis“ als Unterstützung seiner These, dass der menschliche Verstand nicht berechenbare Methoden verwendet
  8. 8. 3. Penroses These 8/30 Penroses Beispiel ür „visuellen Beweis“ Fragestellung Finde eine Summe von aufeinanderfolgenden Hexagonal-Zahlen, beginnend von 1, welche keine Kubik-Zahl² ergibt. Reihe von Hexagonal-Zahlen hex(n) = {Σn i=1 hex(i

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