Circunferência: Propriedades e Teoremas

CIRCUNFERÊNCIA
TEORIA CONCEITOS
PROPRIEDADES

CIRCUNFERÊNCIA - É um lugar geométrico de um conjunto de
infinitos pontos que equidistam de um ponto situado no centro.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
A B
Reta
tangente
Reta
secante
Seguimento
de reta
Diâmetro
AB
( )
Centro

T

Ponto de tangencia
Q

P
Raio
Arco 𝐵𝑄
Corda PQ

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
01 - CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS - Têm o mesmo centro.
r
d = Zero; d: distancia

Distância entre
os centros (d)
02 - CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES - Não tem ponto em comum.
d > R + r
R r

d = R + r
03 - CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Têm Um
ponto comum que é a de tangência.
R r
Ponto de tangência
Distância entre
os centros (d)

d
d = R - r
04 - CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES - Têm um
ponto en comum que é a de tangência.
d: Distância entre os centros
R
r
Ponto de
tangência

05 - CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES - Têm dois pontos comuns que são as intersecções.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distância entre
os centros (d)

06 - CIRCUNFERÊNCIAS ORTOGONAIS - Os raios são perpendiculares no ponto de intersecção.
d2 = R2 + r2
Distância entre
os centros (d)

07 - CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES - Não têm pontos comuns.
d
d < R - r d: Distância entre os centros

O que significa "ceviana"?
Ceviana é um segmento de reta que liga um
vértice de um triângulo a um ponto qualquer do
lado oposto.

MEDIANA
 Une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
B
A
C
M
AM é mediana
BM = CM
⇒
M é o ponto médio do segmento BC.

ALTURA
 Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é
perpendicular à reta suporte desse lado.
B
A
C
H
AH é altura
AH é perpendicular a BC
⇒

BISSETRIZ INTERNA
 Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice
em dois ângulos congruentes.
B
A
C
S
AS é bissetriz

MEDIATRIZ
 Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m
perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.
A
m
B
M A reta m é mediatriz
AM = BM
⇒

Ceviana Definição Ponto notável Figura
Mediana
É o segmento que tem como
extremidade um vértice do triângulo e o
ponto médio do lado oposto a esse
vértice.
Baricentro (B): é o ponto de encontro
das medianas do triângulo; é o centro
de gravidade do triângulo.
Bissetriz
É o segmento que tem uma extremidade
em um vértice do triângulo, divide o
ângulo ao meio e tem a outra
extremidade no lado oposto a esse
vértice.
Incentro (I): é o encontro das
bissetrizes internas do triângulo; é o
centro da circunferência inscrita no
triângulo, pois equidista dos três
lados.
Altura
É o segmento com uma extremidade em
um vértice e a outra extremidade no lado
oposto ou no seu prolongamento,
formando com ele ângulos retos.
Ortocentro (O): é o ponto de
encontro das retas que contêm as
alturas, podendo pertencer ao exterior
do triângulo.
Mediatriz
Reta que passa pelo ponto médio de um
lado do triângulo e é perpendicular a ele.
Circuncentro (C): é o ponto de
encontro das mediatrizes dos lados
do triângulo; é o centro da
circunferência circunscrita ao
triângulo, pois equidista dos três
vértices.

C
B A
b
a
M
c
z
x y
Relação de Stewart
a2.y + b2.x – z2.c = c.x.y

PROPRIEDADES RELATIVAS AOS
TRIÂNGULOS ISÓSCELES E
EQUILÁTERO

TRIÂNGULO ISÓSCELES
A
B C
x
x
 a altura AM relativa à base é também mediana e
bissetriz interna.
M

TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
A
B C
N
P
 Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna
coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP).
M

1 - Desde um ponto exterior a uma circunferência se pode traçar dois raios tangentes
que determinam dois seguimentos congruentes.
PROPRIEDADES DAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R



2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - São congruentes
AB = CD
A
B
C
D
R
R
r
r

3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - São congruentes.
AB = CD
A
B
C
D
R
R
r
r

TEOREMA DE PONCELET - Em todo triângulo retângulo, a soma das comprimentos dos
catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais o dobro do raio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
raio
Circunraio

TEOREMA DE PITOT - Em todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência,
sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos são iguais.
a + c = b + d
d
a
b
c
Quadrilátero circunscrito


1 - MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL - É igual à medida do arco que se opõe.
A
B
C
r
r
 = mAB


A
C
B
D
2 - MEDIDA DO ÂNGULO INTERIOR - É igual à semi-soma das medidas dos
arcos opostos
𝜷 =
𝒎𝑨𝑩 + 𝒎𝑪𝑫
𝟐


A
B
C
3 - MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO - É a metade da medida do
arco oposto.
𝜽 =
𝒎𝑨𝑩
𝟐


4 - MEDIDA DO ÂNGULO SEMI-INSCRITO - É igual à medida
do arco oposto dividido por 2.
A
B
C
𝜹 =
𝒎𝑨𝑩
𝟐


A
B
C
5 - MEDIDA DO ÂNGULO EX-INSCRITO - É igual à metade da medida do arco 𝑨𝑩𝑪.
𝜺 =
𝒎𝑨𝑩𝑪
𝟐


A
B
C O
6 - ÂNGULOS EXTERIORES - São três casos:
a - Medida do ângulo formado por duas retas tangentes - É igual à semidiferença das
medidas dos arcos opostos.
𝜶 =
𝒎𝑨𝑪𝑩 − 𝒎𝑨𝑩
𝟐
𝜶 + 𝒎𝑨𝑩 = 180º


A
B
C
O
D
b - Ângulo formado por duas retas secantes - É igual à semidiferença da medida dos arcos
opostos.
𝜷 =
𝒎𝑨𝑩 − 𝒎𝑪𝑫
𝟐


A
B
C
O
c - Medida do ângulo formado por uma reta tangente e outra secante - É igual à
semidiferença das medidas dos arcos opostos.
𝜽 =
𝒎𝑨𝑩 − 𝒎𝑩𝑪
𝟐

50°
70º+x
X
R
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Pelo ângulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUÇÃO
P
x
º
70
2
x
2
º
140
PQS
m 




Substituindo:
No triângulo PQS:
Resolvendo a equação:
PSQ = x
Se traça a corda SQ
2
mQRS
PQS
m 

De um ponto “P” exterior a uma circunferência se
traçam a tangente PQ e a secante PRS, se o arco RS
mede 140º e o ângulo QPS mede 50º. Calcule a
medida do ângulo PSQ.

20°
70°
X
X = 40°
R
Q
No triângulo retângulo RHS
140° É propriedade, que:
140° + X = 180°
Pelo ângulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
P
S
m  S = 70º
Resolvendo:
PSQ = x
2
mQR
º
70  mQR = 140°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as tangentes PQ
e PR, logo no maior arco QR se localiza um ponto “S”, se traça RH
perpendicular à corda QS, se mHRS = 20º; calcule mQPR.

x
130°
A
C
B
D
X = 40°
2
50
130
X




50°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
P
Resolvendo:
APD = x
Medida do ângulo interior
Medida do ângulo exterior




90
2
mBC
130
mBC = 50°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as secantes PBA e
PCD tal que as cordas AC e BD sejam perpendiculares entre si; calcule a
medida do ângulo APD, se o arco AD mede 130º.

x
X = 18°
2
X
54
X



M
N
54°
x
x
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
P
A
B
APN = x
Se traçaa o raio OM:
o
Dado: OM(raio) = PM
Logo triângulo PMO é isósceles
Ângulo central igual ao arco
Medida do ângulo exterior
Resolvendo:
Em uma circunferência, o diâmetro AB se prolonga até um ponto “P”, desde o
qual se traça um raio secante PMN tal que o comprimento de PM seja igual ao
raio, se o arco AN mede 54º. Calcule a mAPN.

x
70°
Medida do ângulo inscrito:
X = 55°
2
110
X


A
B
C
P
Q
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
PRQ = x
Pela propriedade do ângulo exterior
formado por duas tangentes:
Resolvendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
Em um triângulo ABC se inscreve uma circunferência tangente aos lados
AB, BC e AC nos pontos “P”, “Q” e “R” respectivamente, se o ângulo ABC
mede 70º. Calcule mPRQ.

Calcule a medida do ângulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P

RESOLUÇÃO
70°
B
A
X P
C
→
140º
140º + x = 180º Resolvendo: X = 40º
2
mAB
º
70  mAB=140º

Calcular a medida do ângulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P
130º

RESOLUÇÃO
B
A
X P
130º C
Na circunferência:
260º
X = 80º
2
mAB
º
130  mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º

Calcule o perímetro do triângulo ABC.
Problema Nº 08
2
5 5
A
B
C

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Logo o perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUÇÃO
2
5 5
A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Substituindo (1) em (2) (2p) = 14 + 10

X
ABORDAGEM
Q
R
S
80º P
a
a
Problema Nº 09
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam a tangente PQ e a
secante PRS de modo que os arcos SQ e SR sejam congruentes. Se o arco
QR mede 80º, calcular mQPR.

2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida do ângulo exterior:
X
a




80
2
140 80
2
º º º
X = 30º
Na circunferência:
RESOLUÇÃO
X
Q
R
S
80º P
a
a

P
Q
R
S
2
3
ABORDAGEM
Problema Nº 10
Em um quadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traça a diagonal PR. Os
raios dos triângulos PQR e PRS medem 3 cm e 2 cm respectivamente. Se
o perímetro do quadrilátero PQRS é 22 cm. Calcule o comprimento de PR

Teorema de Poncelet:
a b
c
d
PQR  a + b = PR+2(3)
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6 cm
Dado:
a + b + c + d = 22 cm
PSR  c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
RESOLUÇÃO
P
Q
R
S
2
3
+

51
Fórmulas
Soma das medidas
dos ângulos internos:
 
180º 2
i
S n
 
Soma das medidas
dos ângulos externos:
360º
e
S 
Ângulos internos de
um polígono regular:
 
180º 2
ou
i
i i
n
S
a a
n n

 
Ângulos externos de
um polígono regular:
360º
ou
e
e e
S
a a
n n
 
Número de diagonais
de um polígono:
 
3
2
n n
d



Prof. Herivelton Xavier
REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA
01 – Quantas vezes usamos o algarismo 3 para escrever todos os números de 1 a 100 ?
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
RESOLUÇÃO:
Usamos formulas para determinar este tipo de calculo:
Consideremos a seqüência 1 ................10n, usamos a formula n.10n-1, para qualquer
posição e 10n-1, para posição definida.
No caso acima temos 1 ------102, então temos 2.102-1, ficando como resultado 20.

02 – Numa divisão, se acrescentarmos 57 ao dividendo e, 6 ao divisor, o quociente
permanece inalterado e o resto é acrescido de 3. Qual é o quociente?
a) 6 b) 12 c) 9 d) 7 e) 8
RESOLUÇÃO:
Neste tipo de quesito, usaremos o algoritimo de EUCLIDES, que é a seguinte expressão: D
= dq + R.
No caso acima D + 57 = (d + 6)q + R + 3, fica:
D + 57 = dq + 6q + R + 3, de euclides fica dq = D – R, substituindo temos: D + 57 = D – R +
6q + R + 3,
Eliminando os fatores.
Ficamos apenas com 57 = 6q + 3, resolvendo esta operação do 1º grau encontramos o
resultado q = 9.

03 – A soma 0,2 + 0,333 ... + 0,0121212 ... tem como resultado:
a) 4/173 b) 41/75 c) 33/55 d) 6/11 e) 71/6000
RESOLUÇÃO:
Primeiro, transformamos tudo em fração:
0,2 =
0,3333.... =
0,01212... =
Segundo: Fazemos agora a operação de soma de frações.
10
2
9
3
990
12
• Temos:
• Resposta: Letra D
11
6
99
54
990
540
990
12
330
198
990
1
12
110
3
2
99
990
12
9
3
10
2











x
x
x

04 – Um automóvel pode andar sem abastecer durante cinco horas. Tendo
saído com um furo no tanque de gasolina, somente pôde andar 250 minutos.
Se esse automóvel tivesse parado durante 25 minutos, quantos litros de
gasolina perderia sabendo que a capacidade do seu tanque é 60 litros?
a) 1 litro
b) 10 litros
c) 5 litros
d) 3 litros
e) 8 litros

• RESOLUÇÃO: Duas Regra de Três
• Duração de viagem: 5h = 300 min.
• 1ª - Regra de Três
• 60 litros
• 2ª - Regra de Três: OBS: O tanque tem capacidade para 60
litros e o carro gastou 50 litros, teve um prejuízo de 10 litros,
então fazemos;
300 min
X 250 min
Resultado = 50 litros
10 litros 50 min
25 min
X
Resultado = 5 litros

• RESOLUÇÃO COM UMA REGRA DE TRÊS.
300 min 60 litros
25 min X litros
• Encontramos
300 X = 60.25
• Daí temos:
300 X = 1500
X = 1500/300 X = 5 litros

• 05 – No sistema binário, o numeral 1011 representa o número
cuja expressão decimal é:
• a) 12 b) 8 c) 10 d) 11 e) 9
• RESOLUÇÃO:
1 0 1 1
20 = 1
21 = 2
22 = 0
23 = 8
11

• 06 – Os 2/3 de 5/3 do preço de uma TV equivalem a 3/2 de
2/5 do preço de um carro, avaliado em R$ 1.800,00. O preço
da TV é:
• a) R$ 1.040 b) R$ 904 c) R$ 970
• d) R$ 972 e) R$ 800
• RESOLUÇÃO:
• Produto direto de frações.
• Resposta: X = 972, Letra D
1800
.
5
2
.
2
3
.
3
5
.
3
2

X 1800
.
10
6
.
9
10

X 1800
.
10
.
10
6
.
9

X

• 07 – Se a densidade absoluta de um corpo é expressa por 3,5
Kg/m3, expresso com g/cm3 será:
• a) 35 b) 0,35 c) 0,035
• d) 0,0035 e) 3,5
• RESOLUÇÃO: Usaremos as seguintes Tabelas de Conversões.
kg hg dag g dg cg mg
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
3 5 0 0
1 0 0 0 0 0 0

• Agora fazemos:

1000000
3500
0035
,
0
10000
35

• Resposta: Letra D

• 08 – Uma torneira enche um tanque em 10h e
outra esvazia em 15h. Estando vazio o tanque e
abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, o
tempo em horas, que levará para encher o
tanque será:
• a) 20 b) 24 c) 30 d) 36 e) 40
• O bizú para este problema é fazer: Produto dos valores
dividido pela diferença.
30
5
150
10
15
10
.
15




X

• 09 – Transforme:
• a) 48 dm em m
• b) 0,5 km2 em m2
• c) 2,5 km2 em ha
• d) 3,75 m3 em litros
• e) 500 mm3 em cm3
km hm dam m dm cm mm
4 8
,
0 5 0 0 0 0 0
a)
b)
e)
0
0
5
0
d)
• Neste caso a relação é:
1m3 = 1000 litros
E a resposta é: 3750litros.
c) Relação: 1ha = 10000m2, ou 1 ha = 0,01 km2 Resp. = 250 ha

• 10 – Calcule as seguintes somas:
• a)
• b)
• RESOLUÇÃO:
 



20
1
1
2
n
n
 


1 1
,
1
1
n
n
    440
20
.
2
41
3
41
..
..........
7
5
3
1
2
20
1










n
n
     
10
1
,
0
1
1
,
1
1
1
1
,
1
1
.
..........
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
3
2
1











n
n
• O bizú para este problema é
que na letra A, temos uma
soma dos termos de uma P.A.,
e na letra B, temos a soma de
uma P.G. infinita.

• 11 – Qual o número de divisores positivos de 320 ?
• Fazemos neste caso a fatoração:
320 2
160 2
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
26 . 51
• Agora a cada potencia aumentamos
uma unidade e depois fazemos o
produto deles. (6 + 1).(1 + 1) = (7).(2)
= 14

• 12 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) :
• ( ) 7 Є { 2, 3, 7}
• ( ) Ø Є { Ø, {a}}
• ( ) { a, b} Є {a, b, c, d,}
• ( ) Ø C { 3 }
• 13 – Numa sociedade existem;
• - 35 homens
• - 18 pessoas que usam óculos
• - 15 mulheres que não usam óculos
• - 07 homens que usam óculos
• a) Qual o número de pessoas que compõem a sociedade ?
• b) Quantas pessoas são homens ou quantas usam óculos ?
V
V
F
V

• Homens Mulheres
c/óculos s/óculos c/óculos
s/óculos
35
7 28
18 pessoas c/óculos
7 – Homens 11 - Mulheres
11 15
26
a) Resposta = 61
b) Resposta = 46

• 14 – Marcos dá a Neuza tantos reais quanto Neuza possui. Em
seguida, Neuza dá a Marcos tantos reais quanto Marcos
possui. Ambos ficam então com R$ 24,00. No início, Marcos
possuía:
• a) R$ 30,00
• b) R$ 28,00
• c) R$ 24,00
• d) R$ 18,00
• RESPOSTA:
• MARCOS: X
• NEUZA: Y

• CONTINUAÇÃO:
• MARCOS: X – Y = A
• NEUZA: Y + Y = 2Y
• NEUZA: 2Y – A para Marcos.
• MARCOS: A + A = 2A,
• Daí temos: Marcos 2A = 24, A = 12
• Como os dois ficaram com 24,00, temos ai um sistema:







12
48
Y
X
Y
X Daí temos:







12
48
Y
X
Y
X
Ficamos com:
30
;
60
2 
 X
X
RESPOSTA: Letra A

QUESTÃO – 01 O câncer de mama é o segundo tipo de câncer mais
comum e o que mais mata mulheres no mundo. Pesquisadores da
Universidade de Brasília (UnB) investigam propriedades antitumorais
de extratos vegetais produzidos a partir de plantas da Amazônia,
como a Cassia Ocidentalis. Suponha que, no laboratório de
farmacologia da UnB, trabalhem 10 homens e 4 mulheres. Necessita-
se formar uma equipe composta por 4 pessoas para dar continuidade
às pesquisas e nela pretende-se que haja pelo menos uma mulher.
Nessas condições, o número total de maneiras de se compor a equipe
de pesquisadores é igual a:
a) 641.
b) 826.
c) 791.
d) 936.
e) 1 024.

Pelo menos uma mulher: uma, duas, três ou 4 mulheres
Podemos utilizar o raciocínio exclusivo:
Todas as possibilidades subtraído de todos serem homens.
𝑪𝟏𝟒,𝟒 − 𝑪𝟏𝟎,𝟒
14!
4! 10!
−
10!
4! 6!
1001 – 210 = 791
São 10 homens e 4 mulheres
a) 641.
b) 826.
c) 791.
d) 936.
e) 1 024.

Segmentos notáveis do triângulo

Mediana
• Une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
B
A
C
M
AM é mediana
BM = CM
⇒
M é o ponto médio do segmento BC.

Altura
• Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é
perpendicular à reta suporte desse lado.
B
A
C
H
AH é altura
AH é perpendicular a BC
⇒

Bissetriz interna
• Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse
vértice em dois ângulos congruentes.
B
A
C
S
AS é bissetriz

Mediatriz
• Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m
perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.
A
m
B
M A reta m é mediatriz
AM = BM
⇒

Propriedades relativas aos triângulos
isósceles e eqüilátero

Triângulo isósceles
A
B C
x
x
 a altura AM relativa à base é também mediana e
bissetriz interna.
M

Triângulo eqüilátero
A
B C
N
P
 Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna
coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP).
M

A escala decibel de som é definida pela seguinte expressão: 𝐵 =
10. 𝑙𝑜𝑔
𝐼
𝐼𝑜
Nessa expressão, B é o nível do som, em decibéis (dB), de
um ruído de intensidade física I, e Io é a intensidade de referência
associada ao som mais fraco percebido pelo ouvido humano.
QUESTÃO - 02
De acordo com a expressão dada e a tabela a seguir, pode-se concluir
que, em relação à intensidade de uma conversação normal, a
intensidade do som de uma orquestra é:
a) 1 000 vezes superior.
b) 200 vezes superior.
c) 100 vezes superior.
d) 2 000 vezes superior.
e) 5 000 vezes superior.

a) 1 000 vezes superior.
b) 200 vezes superior.
c) 100 vezes superior.
d) 2 000 vezes superior.
e) 5 000 vezes superior
Conversação normal:
10. log
𝐼
𝐼0
= 60 log
𝐼
𝐼0
= 6
𝐼
𝐼0
= 106
𝑰 = 𝟏𝟎𝟔. 𝑰𝟎
som de uma orquestra:
10. log
𝐼
𝐼0
= 90 log
𝐼
𝐼0
= 9
𝐼
𝐼0
= 109
𝑰 = 𝟏𝟎𝟗
. 𝑰𝟎
𝑅 =
109
106
= 103 = 1000
𝐵 = 10. 𝑙𝑜𝑔
𝐼
𝐼𝑜 log𝑏 𝐴 = 𝑥 ↔ 𝑏𝑥 = 𝐴

QUESTÃO – 03 Observe esta tirinha de quadrinhos.
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”.
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer
um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado, junto com
os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de
maneiras distintas que podem ocorrer essa brincadeira será igual a:
a) 60.
b) 150.
c) 600.
d) 120.
e) 380.

Utilizaremos todos os elementos, apenas permutando-os.
∴ 𝑃5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Então teremos 120 maneiras diferentes de essa
brincadeira ocorrer.
a) 60.
b) 150.
c) 600.
d) 120.
e) 380.

QUESTÃO – 04 Um fertilizante é constituído por 20% de nitrato. Sabe-se
que 20% do nitrato desse fertilizante é composto por nitrogênio, e a
massa do fertilizante sem nitrato não contém matéria com nitrogênio.
Considerando uma certa quantidade, em gramas, desse fertilizante, a
parte sem nitrato corresponde a 1,52 kg da massa total considerada.
Nas condições dadas, o total de nitrogênio nesse fertilizante, em
gramas, é igual a:
a) 60,8.
b) 95,0.
c) 38,0.
d) 76,0.
e) 84,6.
Fertilizante
Nitrato
(20% do fertilizante)
Nitrogênio
(20% do nitrato)
1,52 kg
Massa do nitrogênio em
relação à massa total:
𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟐𝟎% =
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟒%
Massa (g) %
1520 80
x 4
𝒙 = 𝟕𝟔 𝒈

QUESTÃO – 05 De quantas maneiras diferentes oito crianças podem
ser dispostas ao redor de um círculo em uma brincadeira de roda?
a) 8!
b) 7!
c) 8
d) 7
e) 16
Exemplifiquemos com 3 pessoas: A, B, C
A
B C
A
C
B
Então, devemos fixar uma pessoa e mudar as outras de lugar.
Como se tivéssemos: _1_ _ 2_ _1_ = 2 possibilidades
“A”
Temos o que chamamos de Permutação Circular. 𝑃𝑐,𝑛 = (𝑛 − 1)!
∴ 𝑃𝑐,3 = 3 − 1 ! = 2! = 2
No exercício:
𝑷𝒄,𝟖 = 𝟖 − 𝟏 ! = 𝟕!

QUESTÃO - 06 Suponha que R(q) e C(q) sejam funções afins,
representando, respectivamente, a receita e o custo mensais, em reais,
da fabricação e comercialização de um dado produto por uma empresa,
quando q varia no conjunto dos números naturais e corresponde à
quantidade mensal produzida e vendida desse produto, conforme indica
esta figura:
Se M é a menor quantidade desse
produto a ser produzida e vendida, de
forma a assegurar um lucro mensal
maior do que ou igual a R$ 30.000,00,
então M pertence ao intervalo
a) (4 200, 5 200].
b) (5 200, 6 200].
c) (6 200, 7 200].
d) (3 200, 4 200].
e) (2 200, 3 200].

Seja 𝑹(𝒒) = 𝒂𝒙 + 𝒃.
𝑹(𝒒) = 𝒂𝒙 + 𝟎 𝒂 =
∆𝒚
∆𝒙
=
𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟎
= 𝟏𝟖
𝑹 𝒒 − 𝑪(𝒒) ≥ 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟎, 𝟎)
(𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎) 𝑹(𝒒) = 𝟏𝟖𝒙
Seja 𝐂(𝒒) = 𝒄𝒙 + 𝒅.
𝑪(𝒒) = 𝒄𝒙 + 𝟔𝟎𝟎𝟎. 𝒄 =
∆𝒚
∆𝒙
=
𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟎
= 𝟏𝟐
𝑪(𝒒) = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔𝟎𝟎𝟎.
(𝟎, 𝟔𝟎𝟎𝟎)
(𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎)
𝑹 𝒒 − 𝑪(𝒒) ≥ 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝒙 − (𝟏𝟐𝒙 + 𝟔𝟎𝟎𝟎) ≥ 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔𝟎𝟎𝟎 ≥ 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒙 ≥ 6000
b) (5 200, 6 200].

QUESTÃO – 07 Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas
Aplicadas (IPEA) revelaram que, no biênio 2004/2005, nas rodovias
federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar
no ranking de mortalidade por acidentes. A cada 34
atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil
atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente.
Disponível em: <http://www.ipea.gov.br.>. Acesso em: 6 jan. 2009.
De acordo com esses dados, se for escolhido aleatoriamente, para
uma investigação mais detalhada, um dos atropelamentos ocorridos
no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento
com morte é
𝒂) 𝟐
𝟓 𝒃) 𝟐
𝟏𝟕 𝒄) 𝟓
𝟏𝟕 𝒅) 𝟑
𝟓 𝒆) 𝟏𝟐
𝟏𝟕

𝐷𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒: 𝑃 𝐸 =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
, 𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑛 𝐸 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑎
𝑛(𝑆) é o número de elementos do espaço amostral
No exercício temos:
N(E) = 10 e n(S) = 34
∴ 𝑷 𝑬 =
𝟏𝟎
𝟑𝟒
=
𝟓
𝟏𝟕
𝒂) 𝟐
𝟓 𝒃) 𝟐
𝟏𝟕 𝒄) 𝟓
𝟏𝟕 𝒅) 𝟑
𝟓 𝒆) 𝟏𝟐
𝟏𝟕

QUESTÃO – 08 Uma pesquisa de mercado sobre determinado
eletrodoméstico mostrou que 37% dos entrevistados preferem a marca
X, 40%, a marca Y, 30%, a marca Z, 25% preferem X e Y, 8% preferem Y e
Z, 3% preferem X e Z, e 1%, as três marcas. Considerando que há os
que não preferem nenhuma das três marcas, a porcentagem dos que
não preferem nem X nem Y é:
a) 23%.
b) 20%.
c) 30%.
d) 42%.
e) 48%.
Bom: iniciaremos construindo um tabela informativa das porcentagens,
para facilitar a resolução.

X 37%
Y 40%
Z 30%
X e Y 25%
Y e Z 8%
X e Z 3%
X, Y e Z 1%
X Y
Z
*
*
*
*
*
*
1
Entrevistados em %
2
7
24
20
*
8
10
a
𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟕 + 𝟐𝟎 + 𝒂 = 𝟏𝟎𝟎
𝒂 = 𝟐𝟖 Resposta: 20 + a = 48
a) 23%.
b) 20%.
c) 30%.
d) 42%.
e) 48%.

QUESTÃO – 09 Uma peça na forma de prisma quadrangular de
altura 3 cm será construída com vértices da base nos pontos A
(2,0), B (4,0), C (4,4) e D (2,4) de um sistema de eixos ortogonais.
Seu idealizador precisa saber a área total de material a ser gasto
para calcular o preço de venda. Sabendo que essa peça possui
tampa, a área encontrada por ele foi de:
a) 8 cm2.
b) 16 cm2.
c) 36 cm2.
d) 52 cm2.
e) 88 cm2.

0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2 2.4
= 16𝑐𝑚2
(com tampa)
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = ∑𝐴𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 = 2 2.3 + 2 4.3
= 12 + 24
= 36 𝑐𝑚2
∴ 𝑨𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏𝟔𝒄𝒎𝟐 + 𝟑𝟔𝒄𝒎𝟐 = 𝟓𝟐𝒄𝒎𝟐
Começamos construindo um eixo ortogonal e colocando os pontos
destacados no enunciado: A (2,0), B (4,0), C (4,4) e D (2,4)

QUESTÃO – 10 Este gráfico representa a vazão resultante de água, em
m³/h, em um tanque, em função do tempo, em horas. Vazões negativas
significam que o volume de água no tanque está diminuindo
São feitas as seguintes afirmações:
I) No intervalo de A até B, o volume de água no tanque é constante.
II) No intervalo de B até E, o volume de água no tanque está crescendo.
III) No intervalo de E até H, o volume de água no tanque está decrescendo.
IV) No intervalo de C até D, o volume de água no tanque está crescendo mais
lentamente.
V) No intervalo de F até G, o volume de água no tanque é constante.
É correto o que se afirma em:
a) I, III e V apenas.
b) II e IV apenas.
c) I, II e III apenas.
d) I, II, III e IV apenas.
e) I, II, III, IV e V.

I) No intervalo de A até B, o volume de água no tanque é constante.
II) No intervalo de B até E, o volume de água no tanque está crescendo.
III) No intervalo de E até H, o volume de água no tanque está decrescendo.
IV) No intervalo de C até D, o volume de água no tanque está crescendo mais
lentamente.
V) No intervalo de F até G, o volume de água no tanque é constante.
V
V
V
F
F
LETRA C

QUESTÃO – 11 Em uma região de temperaturas elevadas, foi
identificado um polígono em que a sobrevivência de espécies se
tornava muito difícil devido à escassez de água. Mapeados, os
vértices desse polígono são: A (2,2), B (3,4), C (4,3) e D (6,2). Com
base nessas informações, pode-se afirmar que o polígono formado
pela união dos pontos A, B, C e D e sua respectiva área são:
a) triângulo de 7 unidades de área.
b) triângulo de 15 unidades de área.
c) quadrilátero de 30 unidades de área.
d) quadrilátero de 7 unidades de área.
e) quadrilátero de 3,5 unidades de área.

Observamos tratar-se
de Um quadrilátero.
Da Geometria Analítica temos :
𝐴𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜=
1
2
. 𝐷 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐷 é 𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
formado pelas coordenadas dos pontos.

∴ 𝐷 =
2 2
3 4
4 3
6 2
2 2
= −7 então 𝐷 = −7 = 7
∴ 𝑨𝒑𝒐𝒍í𝒈𝒐𝒏𝒐 =
𝟏
𝟐
. 𝟕 = 𝟑, 𝟓 ua
a) triângulo de 7 unidades de área.
b) triângulo de 15 unidades de área.
c) quadrilátero de 30 unidades de área.
d) quadrilátero de 7 unidades de área.
e) quadrilátero de 3,5 unidades de área.

QUESTÃO – 12 Considere que um determinado tsunami se propaga
como uma onda circular, cujo raio, partindo de zero, aumenta 10 km por
hora. Então a área, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre
9 e 10 horas é dada por:
a) 100π
b) 900π
c) 1 200π
d) 1 500π
e) 1 900π
Tsunami após 9 horas
Tsunami após 10 horas
𝐴𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝜋. 100² − 𝜋.90²
𝐴𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 1900. 𝜋
𝐴𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

QUESTÃO – 13 João, Maria e José estão brincando de pique esconde.
João e Maria se posicionam nos pontos A (2,1) e B (14,2) de um
sistema de coordenadas ortogonais. Nos pontos C (4,7) e D (11, 14),
encontram-se dois obstáculos. José, garoto esperto, não será visto
pelos amigos caso se posicione no ponto
a) (– 7, – 22).
b) (43, 83).
c) (– 7, 3).
d) (9, 22).
e) (8, 28).

João
Maria
O
O
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 2 4 6 8 10 12 14 16
José
𝑚
=
14 2
11 14
𝑥 𝑦
14 2
= 0 𝑚
: 4x+y-58=0
m
𝑛
=
2 1
4 7
𝑥 𝑦
2 1
= 0
𝑛
: 3x-y-5=0
Resolvendo o sistema composto pelas equações das retas, encontramos o ponto:
(9,22)
n
(2,1) João
(14,2) Maria
(4,7) Obstáculo
(11,14) Obstáculo

𝑚
=
14 2
11 14
𝑥 𝑦
14 2
= 0 196 + 11y + 2x - 14y - 14x - 22 = 0
Ficando
4x + y – 58 = 0
𝑛
=
2 1
4 7
𝑥 𝑦
2 1
= 0
14 + 4y + x - 2y – 7x – 4 = 0
Ficando
3x - y – 5 = 0
Juntando as equações temos um sistema:
3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0
4𝑥 + 𝑦 − 58 = 0 Resolução do sistema = (9,22)

QUESTÃO – 14 Em um hospital, uma das enfermarias, que é uma sala
retangular de 10 m de comprimento por 6 m de largura, foi reformada,
aumentando o comprimento e a largura na mesma medida, conforme
mostram estas figuras:
Sabendo-se que a área que foi aumentada representa 60% da área
original, então o valor do perímetro, em metros, da sala após a reforma
passou a ser
a) 38.
b) 40.
c) 34.
d) 36.
e) 42.

60 m²
60% de 60 = 36 m²
𝟏𝟎 + 𝒙 . 𝟔 + 𝒙 = 𝟔𝟎 + 𝟑𝟔
60 m²
𝒙² + 𝟏𝟔𝒙 − 𝟑𝟔 = 𝟎
𝐱´ = 𝟐 𝐱´´ = −𝟏𝟖
Perímetro = 2.( 8 + 12) = 40 metros
10 + x
6 + x (60 + 36) m²

QUESTÃO – 15 Uma fábrica tem seu emblema representado
pela figura a seguir:
Se o raio de cada um dos círculos menores é igual a 6 cm,
então o raio do maior mede:

Unindo-se os centros dos círculos menores,
obtemos um quadrado de lado de medida
igual a 12 cm.
𝑑 = l 2
𝑑 = 12 2
Precisamos da metade deste valor e a ele acrescentamos a medida do
raio do círculo menor
∴ 𝑹 = 𝟔 𝟐 + 𝟔 = 𝟔( 𝟐 + 𝟏)

QUESTÃO – 16 Na busca de solução para o problema da gravidez na
adolescência, uma equipe de orientadores educacionais de uma
instituição de ensino pesquisou um grupo de adolescentes de uma
comunidade próxima a essa escola e obteve os seguintes dados:
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar, em
relação às idades das adolescentes grávidas, que:
a) a média é 15 anos.
b) a mediana é 15,3 anos.
c) a mediana é 16,1 anos.
d) a moda é 16 anos.
e) a média é 15,3 anos.

Moda (Valor que mais se repete): 17
a) a média é 15 anos.
b) a mediana é 15,3 anos.
c) a mediana é 16,1 anos.
d) a moda é 16 anos.
e) a média é 15,3 anos.
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 = 𝒂𝒐 𝒎𝒆𝒊𝒐 ;
(quantidade par, média dos dois números centrais):
𝟏𝟔+𝟏𝟔
𝟐
= 𝟏𝟔
𝑴é𝒅𝒊𝒂:
𝟏𝟑. 𝟒 + 𝟏𝟒. 𝟑 + 𝟏𝟓. 𝟐 + 𝟏𝟔. 𝟓 + 𝟏𝟕. 𝟔
𝟒 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟓 + 𝟔
=
𝟑𝟎𝟔
𝟐𝟎
= 𝟏𝟓, 𝟑
Vamos fazer um rol: (sequência em ordem crescente)
13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17

QUESTÃO - 17 Um teatro é instalado num salão circular. Nesse salão, a
parte frontal do palco, BC, pode ser vista do centro sob um ângulo de
60°.
Uma pessoa sentada em uma cadeira situada em A verá esse palco
sob um ângulo de:
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 75°.

Sabemos do enunciado que o ângulo informado
é um ângulo central, pois tem seu vértice na origem.
Portanto, a medida do arco BC é 60 graus.
Já o ângulo BAC é ângulo inscrito, pois tem seu
vértice na circunferência.
∴ 𝐴 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐵Â𝐶 𝑡𝑒𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 à 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒
𝑑𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎.
Assim med (BÂC) = 30°

QUESTÃO – 18 Seja f uma função que tem como domínio o conjunto A
= {Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o
conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}, essa função associa a cada elemento x em
A o número de letras distintas desse elemento x. Com base nessas
informações, assinale a alternativa correta.
a) f é injetora.
b) f é sobrejetora.
c) f não é uma função.
d) f (Maria) = 5.
e) f (Paulo) = f (Pedro)

A B
Ana
José
Maria
Paulo
Pedro
1
2
3
4
5
f: número de letras distintas.
a) f é injetora.
b) f é sobrejetora.
c) f não é uma função.
d) f (Maria) = 5.
e) f (Paulo) = f (Pedro)

QUESTÃO – 19 O volume e a altura de um prisma são expressos
pelos polinômios V(x) = x3 – 3x2 + 2x + 6 e A(x) = x + 1,
respectivamente, sendo x um real estritamente positivo. O menor
valor que a área da base desse prisma pode assumir é
a) 1.
b) 1,5.
c) 2.
d) 2,5.
e) 3.

Sabemos que :
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒. ℎ Devemos, portanto, dividir o volume pela altura
para determinarmos a expressão da área da base.
Podemos utilizar o método da chave ou o dispositivo prático de Briot-Ruffini, já
que se trata da divisão de um polinômio 𝑉 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 + 6 por um
binômio do 1º grau 𝐴 𝑥 = 𝑥 + 1, resultando em um polinômio de 2º grau.
-1 1 -3 2 6
1 -4 6 0
Pol. quociente resto
A área da base é dada pelo polinômio
Seu gráfico é uma parábola com
concavidade voltada para cima.
Q(x)=𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑥2 − 4𝑥 + 6
∴ 𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒅𝒆 𝒂𝒔𝒔𝒖𝒎𝒊𝒓
é 𝑿𝒗 = 𝟐
𝑿𝒗 = −
𝒃
𝟐𝒂
=
𝟒
𝟐
= 𝟐

QUESTÃO – 20 Um porta-lápis de madeira foi construído a partir de
um bloco no formato cúbico cuja aresta mede 12 cm. Nesse bloco,
foi feito um furo cúbico de 8 cm de aresta.
O volume de madeira utilizado na confecção desse porta lápis foi de
a) 12 cm³.
b) 64 cm³.
c) 96 cm³.
d) 1 216 cm³.
e) 1 728 cm³

Um porta-lápis de madeira foi construído a partir de um bloco no
formato cúbico cuja aresta mede 12 cm. Nesse bloco, foi feito um
furo cúbico de 8 cm de aresta.
O volume de madeira utilizado na confecção desse porta lápis foi
de
Cubo de aresta 12 cm
Cubo de aresta 8 cm
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒍á𝒑𝒊𝒔 = 𝑽𝒄𝒖𝒃𝒐 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 − 𝑽𝒄𝒖𝒃𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓
𝑽𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒍á𝒑𝒊𝒔 = 𝟏𝟐𝟑
− 𝟖𝟑
𝑽𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒍á𝒑𝒊𝒔 = 𝟏𝟕𝟐𝟖 − 𝟓𝟏𝟐
𝑽𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒍á𝒑𝒊𝒔 = 𝟏𝟐𝟏𝟔 𝒄𝒎³

QUESTÃO – 21 Em certo período, o número de automóveis numa
cidade variou conforme a função V(x) = 9x + 100, enquanto a
população variou, nesse mesmo período, segundo o polinômio P(x)
= 1,8x2 + 47x + 300, sendo V(x) e P(x) dados em milhares de
unidades. Podemos afirmar que, nesse período, o número de
habitantes por automóvel variou segundo a função
a) y = 0,2x + 2,4.
b) y = 0,3x + 1,8.
c) y = 3x + 0,6.
d) y = 0,2x + 3.
e) y = 1,2x + 1,6.

Devemos observar a pergunta: habitantes/ automóvel, já verificando a
divisão que deve ser realizada. Por tratar-se da divisão de um polinômio
P(x) = 1,8x2 + 47x + 300 por um binômio do primeiro grau V (x) = 9x +
100, podemos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini ou se preferir, o
método da chave, obtendo como quociente um polinômio do 1º grau.
−100
9
1,8 47 300
1,8 27 0
𝑞 𝑥 = 1,8𝑥 + 27 = (: 9) = 𝟎, 𝟐𝒙 + 𝟑
a) y = 0,2x + 2,4.
b) y = 0,3x + 1,8.
c) y = 3x + 0,6.
d) y = 0,2x + 3.
e) y = 1,2x + 1,6.

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