1. Universidad de Tarapacá
Departamento de Matemática
Ingenierías- Guía 4 de Cálculo 3
REGLA DE LA CADENA
30. Dada z = x2
y y2
donde x =sen t e y = et
, hallar
dz
dt
cuando t = 0;
a) Aplicando la Regla de la Cadena
b) Por sustitución directa.
31. Determine
dz
dt
, utilizando la regla de la cadena, si
a)
8
<
:
z = x2
+ y2
donde,
x = et
; y = e t
b)
8
<
:
z = x2
+ y2
donde,
x = et
; y = e t
c)
8
<
:
z = x2
+ y2
donde,
x = et
; y = e t
d)
8
<
:
z = x2
+ y2
donde,
x = et
; y = e t
32. Dada z = 2xy donde x = s2
+ t2
e y =
s
t
, hallar
@z
@s
y
@z
@t
,
a) Aplicando la Regla de la Cadena
b) Por sustitución directa.
33. Hallar
@w
@r
y
@w
@t
cuando r = 1 y t = 2 si w = xy + yz + xz donde,
x = r cos t e y = r sen t:
34. Describa la Regla de la Cadena si f es una función de tres variables las
que a su vez son funciones de cuatro variables.¿ Que ocurre si f es función
de cuatro variables las que a su vez son funciones de tres variables ?. Escriba
las expresiones de las derivadas que se obtienen para cada caso.
35. Hallar las expresiones para las derivadas parciales de las funciones:
a) F (x; y) = f (g (x) + h (y) ; g (x) h (y)) b) F (x; y) = f (g (x) ; g (x) h (y) ; h (y))
c) F (x; y; z) = f (g (x + y) ; h (x + z)) d) F (x; y; z) = f (x2
y2
; y2
z2
; x2
z2
)
1

2. 36. Si w = x3
f
y
x
;
z
x
, demuestre que x
@w
@x
+ y
@w
@y
+ z
@w
@z
= 3w
37. Si u = f
y x
xy
;
z x
zx
, demostrar que x2 @u
@x
+ y2 @u
@y
+ z2 @u
@z
= 0
38. Demostrar que z = f(x+ay)+g(x ay) satisface la ecuación zyy = a2
zyy
39. Sea f(u; v:w) una función con derivadas parciales continuas de orden 1
y 2, y sea g(x; y) = f(x + y; x y; y). Calcule gxx + gyy en términos de
derivadasde f(u; v; w).
40. Encontrar la transformada de la expresión x4
y00
(x) + 2x3
y0
(x) + y(x) si
se hace el cambio x =
1
t
TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA
41. Diga que entiende por función implícita y determine las condiciones
bajo las cuales la ecuación F (x; y) = 0 de…ne una función implícita única
y = f (x) :
42. Calcular
dy
dx
si y3
+ y2
5y x2
+ 4 = 0
43. Para cada una de las funciones F, demostrar que la ecuación F (x; y) = 0
de…ne una función implícita y = f (x) en el punto (xo; yo) dado y determinar
f0
(x) :
a) F (x; y) = x2
xy + y2
3 en (1; 2) b) F (x; y) = x cos xy en 1;
2
c) F (x; y) = 2ex+y
x + y en (1; 1)
44. Determine las condiciones bajo las cuales la ecuación F (x; y; z) = 0
pueda resolverse para z y determine las expresiones para
@z
@x
y
@z
@y
:
45. Sea F (x; y; z) = x3
2y2
+ z2
. Demostrar que F (x; y; z) = 0 de…ne
2

3. implícitamente x = f (y; z) en el punto (1; 1; 1) y determine
@x
@y
y
@x
@z
en
(1; 1; 1) :
46. Calcular
@z
@x
y
@z
@y
si 3x2
z x2
y2
+ 2z3
+ 3yz 5 = 0
47. Dada F (x; y; z; u) = xy2
ux2
+ 3zu2
+ 2yz2
2xyzu, si u = f (x; y; z)
determinar
@u
@x
,
@u
@y
y
@u
@z
:
48. Probar que la ecuación y2
x x2
y + xsin(z) = 2 de…ne una función
implícita z = z(x; y) en un entorno del punto (1; 1; 0). Hallar el plano
tangente a la super…cie z = z(x; y) en el punto (1; 1; 0).
49. Demuestre que la ecuación del plano tangente a la super…cie S dada por
F(x; y; z) = 0 en el punto P0 = (a; b; c) es rF (P0) (P P0) = 0, o
(x a)
@F
@x
(P0) + (y b)
@F
@y
(P0) + (z c)
@F
@z
(P0) = 0
VALORES EXTREMOS
50. ¿Qué entiende por valor extremo de una función f : Rn
! R ?
51- Señale la diferencia entre "valor extremo local" y "valor extremo abso-
luto".
52. De…na "punto crítico" o "punto estacionario" para f : Rn
! R
y señale la condición necesaria ( pero no su…ciente) para la existencia de un
valor estremo local.
53. Determine los puntos críticos para cada una de las siguientes funciones:
a) f (x; y) = x2
2xy + 2y2
2x + 2y + 4 b) f (x; y) =sen xy
c) f (x; y) = x3
y3
3xy + 4 d) f (x; y) = ex2+y2
3

4. 54. Enuncie las condiciones su…cientes que permiten determinar la naturaleza
del valor extremo local.
55. Como ha podido apreciar en su respuesta anterior, la naturaleza del valor
extremo tiene que ver con el Hessiano. Determine la matriz Hessiana ( matriz
cuyo determinante es el Hessiano) de las funciones del ejercico 4 anterior, en
los puntos críticos encontrados.
56. Para las siguientes funciones, determine, si existen, valores extremos lo-
cales:
a) f (x; y) = x3
+ y3
3x 12y + 20
b) f (x; y) = (x2
2x + 4y2
8y)
2
c) f (x; y; z) = x2
+ y2
+ z2
6xy + 8xz 10yz
d) f (x; y) = x2
y2
5x2
8xy 5y2
e) f (x; y; z) = 4x + xy x2
y2
z2
yz
f) f (x; y) =sen (x + y) +sen x+sen y
g) f (x; y) = (x2
+ y2
) e (x2+y2
)
h) f (x; y) =
1
x
+ xy
8
y
57. Determine los extremos (locales y absolutos) de cada una de las funciones
en las regiores dadas:
a) f (x; y) = x+y en la región = f(x; y) 2 R2
= 1 x 1 ; 1 y 1g
b) f (x; y; z) = x + y + z en la región donde x2
+ y2
+ z2
< 1
c) f (x; y) = 144x3
y2
(1 x y) en la región donde x; y 0
58. Hallar los extremos de las funciones z = f(x; y) dadas en la forma
implícita
a) x2
+ y2
+ z2
2x + 4y 6z 11 = 0
b) x3
y2
3x + 4y + z2
+ z 8 = 0
4