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TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE,
RIESGO E INCERTIDUMBRE

El análisis de decisiones proporciona una manera útil de clasificar los modelos
para la toma de decisiones. Las situaciones de decisión se clasifican, generalmente,
sobre la base de conocimiento que tenga el decisor(o crea tener) de la misma. Es
costumbre dividir los grados de conocimiento o información en tres categorías,
empezando desde el conocimiento completo hasta la ignorancia. Entre estas
categorías están:
1. Certidumbre (información completa)
2. Riesgo (información parcial)
3. Incertidumbre (información limitada)
TOMA DE DECISIÓN BAJO CERTIDUMBRE
En el ambiente del proceso de toma de decisiones bajo certidumbre, quienes la
toman conocen con certeza la consecuencia de cada una de las alternativas que
implica la selección de la decisión. Naturalmente, seleccionaran la alternativa que
maximizara su bienestar o que dará el mejor resultado.
Las técnicas más representativas para representar toma de decisiones bajo
certidumbre, son los modelos de programación lineal.
Programación Lineal
Herramienta que permite modelar y resolver problemas donde se requiere
mejorar el uso de recursos limitados. Un modelo de Programación Lineal (PL) se
estructura usando un conjunto de variables de decisión con la que se forma una

función que describe lo que se quiere alcanzar, que por lo general recibe el nombre de
función objetivo, y un conjunto de restricciones.
El modelo considera que las variables de decisión tienen un comportamiento
lineal, tanto en la función objetivo como en las restricciones del problema.
Supuestos Básicos de la Programación Lineal.
 Linealidad
 Modelos Deterministas
 Variables reales
 No Negatividad.
La linealidad más allá de que la función objetivo y las restricciones no
contengan términos no lineales, requiere satisfacer dos propiedades:
1. La proporcionalidad, requiere que la contribución de cada variable, tanto en
la función objetivo como en las restricciones, debe ser directamente
proporcional al valor de la variable. Un ejemplo que no cumple con esta
propiedad sería el caso de venta de un producto donde se indique que es más
barato si se compra más de un docena, en este caso la contribución por la
venta no es la misma si es menos de una docena.
2. La aditividad, la contribución total de las variables, tanto en la función
objetivo como en las restricciones, debe ser igual a la suma de la contribución
individual de cada variable, es decir la variación de una variable no debe

afectar a otra variable. Ejemplo, no se cumple la propiedad en el caso de dos
productos competidores, si al incrementar la venta de uno de los productos se
afecta la venta de otro.
Modelo de Programación Lineal
El modelo se construye con tres elementos: variables, restricciones y función
objetivo. Una vez obtenido todos estos elementos se procede a presentar el modelo
usando una estructura estándar, donde la función objetivo y las restricciones se
presentan de forma lineal y todos los términos que contengan variables se colocan al
lado izquierdo del operador, siguiendo el orden del subíndice de las variables.
En el modelado de PL, por lo general, se emplea la siguiente terminología:
Recurso: Se suele dar este nombre a la materia prima que se tiene para
elaborar un producto, pero también se utiliza para indicar la demanda de un producto,
el nivel de riesgo, en fin se utiliza para referirse a aquel elemento del problema que
debe ser asignado o distribuido entre varias actividades y que posee limites para su
uso.
Actividades: Se refiere entre que se debe distribuir el recurso, ya sean
productos, tareas, entre otros. Están representadas por las variables de decisión y es
los que se quiere determinar.

Ejemplos:
1.- Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de maderas y 28 horas
disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se
han vendido bien 2 modelos, de manera que se limitará a producir estos 2 tipos.
Estima que el modelo uno requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo
disponible, mientras que el modelo 2 requiere una unidad de madera y 8 horas. Los
precios de los modelos son 120 UM y 80 UM, respectivamente. ¿Cuántos biombos de
cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?
Objetivo: Maximizar el ingreso por ventas
Restricciones: Unidades de madera, Tiempo disponible.
Variables de decisión:
X1 = Cantidad de biombos tipo I a fabricar
X2 = Cantidad de biombos tipo II a fabricar
Modelo de programación lineal:
Maximizar Z= 120X1 + 80X2
Sujeto a:
2X1 + X2 ≤ 6 (Unidades de madera)
7X1 + 8X2 ≤ 28 (Tiempo disponible)
X1, X2 ≥ 0
2.- Una empresa manufacturera está considerando dedicar su capacidad a fabricar 3
productos; llamémoslos productos 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las máquinas
que podría limitar la producción se resume en la siguiente tabla:

Tipo de Máquina Tiempo Disponible (horas máquina)
Fresadora 500
Torno 350
Rectificadora 150
El número de horas requeridas por cada unidad de los productos respectivos
es:
Tipo de Máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3
Fresadora 9 3 5
Torno 5 4 0
Rectificadora 3 0 2
El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos
1 y 2 es mayor que la tasa de producción máxima y que el potencial de ventas para el
producto 3 es de 20 unidades por semana. La utilidad unitaria sería de 30, 12 y 15
UM, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3.
Formúlese el modelo de programación lineal para determinar cuánto debe
producir la empresa de cada producto para maximizar la utilidad.
Objetivo: Maximizar la utilidad
Variable de decisión:

Cantidad a fabricar del producto 1. (X1).
Restricciones:
Capacidad disponible para producción de cada máquina (3 restricciones)
Potencial de ventas para el producto 3. (1 restricción)
Maximizar
Sujeto a:
3.- Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con
una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res
contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra.
La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por
libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de
carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa
no mayor de 25 %?
Objetivo: Minimizar el costo
Variable de decisión:
Cantidad de carne de res. (X1).

Cantidad de carne de cerdo (X2)
Restricciones:
Contenido de grasa no mayor de 25 %
Contenido de carne molida a producir
Minimizar
Sujeto a:
4.- Una compañía distribuidora de agua tiene 3 depósitos con entrada diaria estimada
de 15, 20 y 25 millones de litros de agua respectivamente. Diariamente tiene que
abastecer 4 áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y
15 millones de litros de agua, respectivamente. El costo de bombeo por millón de
litros de agua es como sigue:
DEPÓSITO ÁREA
A B C D
1 2 3 4 5
2 3 2 5 2
3 4 1 2 3
Minimice el costo total de suministro de agua de los depósitos a las áreas.

Objetivo: Minimizar el costo total de suministro de agua de los depósitos a las áreas.
Variables de decisión: Cantidad de agua que se envía de cada depósito a cada área.
Restricciones:
Entradas de agua disponible. (3 restricciones)
Necesidades de agua de las áreas. (4 restricciones)
Minimizar
Sujeto a:
5.- Jack Bienstaulk tiene a su cargo la compra de mercancías enlatadas para el
servicio de alimentos GAGA en una gran universidad. Él sabe cuál será la demanda
durante el transcurso del año escolar y ha estimado también los precios de compra. En
la figura se muestran estos datos. Puede comprar anticipadamente y almacenar para
evitar los aumentos de precios, pero existe un costo de mantener inventario de $0.20
por caja, por mes, aplicado al inventario en existencia al final del mes. Elabore un PL
que minimice el costo y que ayude a Jack a determinar el momento de sus compras,
Sugerencia: Supóngase que Pt es el número de cajas compradas en el mes t y que It es
el número de cajas en existencias al final del mes t.

Datos de la demanda y el costo
SEP. OCT. NOV. DIC. ENE. FEB. MAR. ABR. MAY.
Demandas
(cajas )
1000 900 850 500 600 1000 1000 1000 500
costo por
caja
$20 $20 $20 $21 $21 $21 $23 $23 $23
Objetivo: Minimizar el costo total (costo de compra e inventarios)
Variables:
Pt =Cantidad de cajas compradas en el mes t. (t=1,2,… 9)
It = Cantidad de cajas en existencia en el mes t (t=1,2,…8)
Restricciones: Ecuaciones de demanda e inventarios por mes (9 restricciones)

6.- Para una cafetería que trabaja 24 horas se requieren las siguientes meseras:
HORAS DEL
DÍA
NÚMERO MÍNIMO DE
MESERAS
2-6 4
6-10 8
10-14 10
14-18 7
18-22 12
22-2 4
Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas por día con horarios de entrada 2, 6,
10, 14, 18 y 22 horas. El objetivo es encontrar el número más pequeño requerido para
cumplir los requisitos anteriores. Formule el problema como un modelo de
programación lineal.
Objetivo: Minimizar el número total de meseras requeridas.
Variables de decisión:
X1= Número de meseras que entran a las 2

Restricciones:
Cantidad de meseras requeridas en el horario de 2-6 (4 meseras)
Métodos de Resolución
Un modelo matemático de decisión, por muy bien formulado que esté, no
sirve de nada sino podemos encontrar una solución satisfactoria. Una de las
características de la programación lineal es que, gracias a sus propiedades
matemáticas, se consigue la solución óptima sin muchas dificultades.

Método Gráfico
El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL,
representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.
El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para
modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es
llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones
tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Pasos:
 Graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que
satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
 Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
 El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo
en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la
ecuación de una línea recta.
 Trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada
restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la
flecha situada sobre la línea recta asociada.
 Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones
satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto
factible.
 Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de
soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en
la cual aumenta la función objetivo.

 Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la
asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la
dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Ejemplos.
Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:
Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres últimas
restricciones, la zona de soluciones factibles sería:

Siendo los vértices:
A intersección de r y t:
B intersección de s y t:
C intersección de r y s:
Siendo los valores de la función objetivo en ellos:
Alcanzándose el mínimo en el punto C.
La Función objetivo:
f(x, y)=10.000x+6.000y máxima
Restricciones:

Zona de soluciones factibles:
Vértices:
A(0, 60)
B intersección de r y s:
C(90, 0)
Valores de la función objetivo:
Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un
beneficio máximo de 900.000 bolívares.

Método Simplex
Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada
paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste
en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace
siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número
de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se
podrá encontrar la solución.
El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función
objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que
parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig.
El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de
programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y
el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones
lineales constituyen la base del método simplex.
Construcción de la primera tabla: En la primera columna de la tabla aparecerá
lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que tiene en la función objetivo
cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), en la tercera el
término independiente de cada restricción (P0), y a partir de ésta columna aparecerán
cada una de las variables de la función objetivo (Pi). Para tener una visión más clara
de la tabla, incluiremos una fila en la que pondremos cada uno de los nombres de las
columnas. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos nuevas filas: una que será la
que liderará la tabla donde aparecerán las constantes de los coeficientes de la función

objetivo, y otra que será la última fila, donde tomará valor la función objetivo.
Nuestra tabla final tendrá tantas filas como restricciones.
Tabla
C1 C2 ... Cn
Base Cb P0 P1 P2 ... Pn
Pi1 Ci1 bi1 a11 a12 ... a1n
Pi2 Ci2 bi2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ... ...
Pim Cim bim am1 am2 ... amn
Z Z0 Z1-C1 Z2-C2 ... Zn-Cn
Los valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 será el
de sustituir Cim en la función objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de
columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera
fila de la tabla.
Se observará al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla, en la
base estarán las variables de holgura.
- Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva iteración o no,
que lo sabremos si en la fila Z aparece algún valor negativo. Si no aparece ninguno,
es que hemos llegado a la solución óptima del problema.
- Elección de la variable que entra: Si no se ha dado la condición de parada, debemos
seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos

fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de ellos será el
que nos de la variable entrante.
- Elección de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante, obtendremos
la variable que sale, sin más que seleccionar aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el
menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que sólo se hará cuando Pj
sea mayor de 0). La intersección entre la columna entrante y la fila saliente nos
determinará el elemento pivote.
- Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a los
títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El resto deberá calcularse de dos
formas diferentes:
 Si es la fila pivote cada nuevo elemento se calculará:
Nuevo Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual / Pivote.
 Para el resto de elementos de filas se calculará:
Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento Columna
Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila)
Método de las Dos Fases
Éste método difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema
auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto
este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que
consiste en realizar el método Simplex normal.

Fase I
En esta primera fase, se realiza todo de igual manera que en el método
Simplex normal, excepto la construcción de la primera tabla, la condición de parada y
la preparación de la tabla que pasará a la fase 2.
- Construcción de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla
inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la función
objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la función objetivo, por lo tanto
aparecerán todos los términos a cero excepto aquellos que sean variables artificiales,
que tendrán valor "-1" debido a que se está minimizando la suma de dichas variables
(recuerde que minimizar F es igual que maximizar F·(-1)).
La otra diferencia para la primera tabla radica en la forma de calcular la fila Z.
Ahora tendremos que hacer el cálculo de la siguiente forma: Se sumarán los
productos Cb·Pj para todas las filas y al resultado se le restará el valor que aparezca
(según la columna que se esté haciendo) en la fila de la función objetivo.
Tabla
C0 C1 C2 ... Cn-k ... Cn
Base Cb P0 P1 P2 ... Pn-k ... Pn
Pi1 Ci1 bi1 a11 a12 ... a1n-k ... a1n
Pi2 Ci2 bi2 a21 a22 ... a2n-k ... a2n
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Pim Cim bim am1 am2 ... amn-k ... amn
Z Z0 Z1 Z2 ... Zn-k ... Zn

Siendo Zj = Σ(Cb·Pj) - Cj y los Cj = 0 para todo j comprendido entre 0 y n-k
(variables de decisión, holgura y exceso), y Cj = -1 para todo j comprendido entre n-k
y n (variables artificiales).
- Condición de parada: La condición de parada es la misma que en el método
Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se
produce la parada: la función toma un valor 0, que significa que el problema original
tiene solución, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene
solución.
- Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusión
de que el problema original tiene solución, debemos preparar nuestra tabla para la
segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de las variables artificiales,
modificar la fila de la función objetivo por la original, y calcular la fila Z de la misma
forma que en la primera tabla de la fase 1.
Fase II
Construcción de la primera tabla: En la primera columna de la tabla aparecerá
lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que tiene en la función objetivo
cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), en la tercera el
término independiente de cada restricción (P0), y a partir de ésta columna aparecerán
cada una de las variables de la función objetivo (Pi). Para tener una visión más clara
de la tabla, incluiremos una fila en la que pondremos cada uno de los nombres de las
columnas. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos nuevas filas: una que será la
que liderará la tabla donde aparecerán las constantes de los coeficientes de la función
objetivo, y otra que será la última fila, donde tomará valor la función objetivo.
Nuestra tabla final tendrá tantas filas como restricciones.

Tabla
C1 C2 ... Cn
Base Cb P0 P1 P2 ... Pn
Pi1 Ci1 bi1 a11 a12 ... a1n
Pi2 Ci2 bi2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ... ...
Pim Cim bim am1 am2 ... amn
Z Z0 Z1-C1 Z2-C2 ... Zn-Cn
Los valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 será el
de sustituir Cim en la función objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de
columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera
fila de la tabla.
Se observará al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla, en la
base estarán las variables de holgura.
- Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva
iteración o no, que lo sabremos si en la fila Z aparece algún valor negativo. Si no
aparece ninguno, es que hemos llegado a la solución óptima del problema.
- Elección de la variable que entra: Si no se ha dado la condición de parada,
debemos seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para
ello nos fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de
ellos será el que nos de la variable entrante.

- Elección de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante,
obtendremos la variable que sale, sin más que seleccionar aquella fila cuyo cociente
P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que sólo se hará
cuando Pj sea mayor de 0). La intersección entre la columna entrante y la fila saliente
nos determinará el elemento pivote.
- Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a
los títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El resto deberá calcularse de
dos formas diferentes:
 Si es la fila pivote cada nuevo elemento se calculará:
Nuevo Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual / Pivote.
 Para el resto de elementos de filas se calculará:
Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento Columna
Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila).
Utilice la solución básica óptima obtenida en la fase I como solución inicial
para el problema original. Esto significa que se debe utilizar el área de las
restricciones de la solución obtenida en la fase I, pero con la función objetivo original
modificado, ya que las variables del problema original pueden ser básicas en esa
solución y por definición estas no pueden tener coeficiente diferente de cero en la
función objetivo. Para esto se deben extraer las restricciones de la solución de la fase
I, luego se despejan las variables básicas actuales que pertenezcan a z y por último se
sustituyen en la función objetivo, expresando z en función de las variables no básicas.
Para resolver se aplica el algoritmo del método simplex.

Método Símplex
Iteración:
Var
Básica
Z X1 X2 X3 X4
Lado
Derecho
Cociente
0
Z 1 -120 -80 0 0 0 -
X3 0 2 1 1 0 6 3
X4 0 7 8 0 1 28 4
1
Z 1 0 -20 60 0 360 -
X1 0 1 0.5 0.5 0 3 6
X4 0 0 4.5 -3.5 1 7 1.5556
2
Z 1 0 0 44.4444 4.4444 391.1111 -
X1 0 1 0 0.8889
-
0.1111
2.2222 -
X2 0 0 1 -0.7778 0.2222 1.5556 -
Solución Óptima (X1,X2) = (2.222222222,1.555555556) Z=391.111111111
Modelo de Transporte
Técnica cuantitativa que busca minimizar los costos asociados a la
distribución de un bien o servicio desde diferentes orígenes hasta diferentes destinos.
Esta técnica se utilizó posteriormente en otros sistemas, en los cuales, el problema no
implica transporte físico de bienes pero existen relaciones lineales, y el modelo
formulado tiene las características de un Modelo de Transporte.

El modelo usado en esta técnica es un modelo lineal, con características
especiales, donde los coeficientes de las variables, en las restricciones, son uno o
cero.
El objetivo del modelo de transporte es determinar la cantidad de mercancía
que se enviará de cada fuente hasta cada destino, tal que minimice el costo de
transporte.
Elementos involucrados en el Modelo
Modelo de
Programación
Lineal de Modelo de
Transporte
j
i,
las
todas
para
X
n
,
1,2,
j
b
X
m
,
1,2,
i
a
X
:
a
sujeto
X
C
Z
Minimizar
ij
j
nm
1
i
ij
i
n
1
j
ij
m
1
i
n
1
j
ij
ij
0











 


1
2
3
1
2
3
m n
●
●
●
●
C11
Cmn :
a
a
a
a
b
b
b
b
Fue Dest
Unid
ades
Unidad
es de
Cm,n Costo de Transporte Unitario
Xm,n Variable de decisión. Cantidad

Este modelo implica que la oferta total debe ser cuando menos igual a la demanda
total










n
1
j
j
b .
Cuando la oferta total es igual a la demanda total













n
1
j
j
b
m
1
i
ai , el modelo recibe
el nombre de Modelo de Transporte Equilibrado, en este caso las restricciones serían
ecuaciones (=).
En la práctica esto no es necesariamente cierto, pero cualquier problema de
transporte se puede equilibrar. Las cantidades demandadas deben ser iguales a las
cantidades ofrecidas para poder solucionar el modelo.
Cada modelo tiene tantas restricciones de oferta como el número de orígenes
(m) que existan y tantas restricciones de demanda como el número de destinos (n)
que existan.
Las restricciones de oferta garantizan que no se transportará más de la
cantidad disponible en los orígenes.
Las restricciones de demanda garantizan que las cantidades demandas serán
satisfechas.

Representación del Modelo de Transporte
Solución del problema de transporte
Pasos:
1. Determinar una solución factible inicial. Una solución factible inicial debe incluir
m+n-1 variables básicas. (m fuentes y n destinos). Existe varios métodos para
obtener la solución inicial: método de la esquina Noroeste, método de costo
mínimo y aproximación de Vogel.
2. Elegir una variable que entra del conjunto de Variables No Básicas. Si todas estas
variables satisfacen la condición de optimidad, deténgase. E lo contrario ir al paso
3. Determinar la variable que sale del conjunto de Variable Básicas actuales,
mediante el uso de la condición de factibilidad, obtenga la nueva solución básica.
Regrese al paso 2.
Destinos
1 2 … n
Fuentes
1
C11 C12 C1n
x11 x12 x1n
2 C21 C22 C2n
x21 x22 x2n
…
m Cm1 Cm2 Cmn
xm1 xm2 Xmn

Método de la esquina Noroeste para obtener la solución factible inicial
Consiste en ir asignando la máxima cantidad posibles a las variables
(comenzando por la esquina noroeste, x11) de manera que se satisfaga la demanda
(columna) o se agote la oferta (fila), tachando la columna o la fila según sea el caso.
Si se satisfacen ambas (la demanda y la oferta) se tacha sólo una de ellas. El proceso
termina cuando se deja de tachar exactamente una columna o una fila.
Como elegir la variable que entra. Método de los Multiplicadores.
Se asocian los multiplicadores Ui y Vj con la fila i y la columna j
respectivamente. Para cada variable básica Xij de la solución actual, los
multiplicadores deben satisfacer la siguiente ecuación:
Ui +Vj = Cij
Obteniendo m+n -1 (cantidad de variables básicas) ecuaciones suponiendo un
valor arbitrario a cualquier multiplicador (por lo general a u1 = 0 ) y así obtener el
resto de los multiplicadores.
La evaluación de cada variable No Básica Xpq está dada por:
Xpq
básica
no
variable
cada
para
Cpq
Vq
Up
pq
C 


Se selecciona como variable que entra la variable No Básica que tenga el
pq
C más positivo.

Como elegir la variable que sale
Al igual que en el método simplex se busca la razón mínima, para ello se
construye un ciclo cerrado para la variable actual que entra, el ciclo empieza y
termina en ésta variable (es indistinto si el ciclo es en el sentido horario o
antihorario). El ciclo consta de segmentos horizontales y verticales conectados por
puntos extremos que deben ser variables básicas, es decir todo punto de esquina debe
ser una variable básica. La variable básica que sale se elige de entre las variables de
esquina del ciclo que disminuirá cuando la variable que entra aumente arriba del nivel
cero, esto se indica en la tabla con los signos + y – comenzando desde la esquina de
la variable que entra con + y alternando. La variable que sale es la que tiene el valor
más pequeño, ya que es la primera en llegar a cero y cualquier disminución adicional
la volverá negativa.
Método de Costo Mínimo para obtener la solución factible inicial
Asignar el valor más grande posible a la variable con menor costo unitario de
toda la tabla, los empates se rompen arbitrariamente, tache la fila o columna o
satisfecha. Si una fila o columna se satisfacen simultáneamente se tacha sólo una de
ellas.
Método de aproximación de Vogel (VAM)
1. Evalúe una penalización para cada fila y columna restando el menor elemento de
costo del elemento de costo menor siguiente en la misma fila o columna.
2. Seleccione la fila o columna con mayor penalización (romper empates
arbitrariamente) y asigne el mayor valor posible a la variable con el costo más
bajo y ajuste la oferta y la demanda y tache la fila o columna satisfecha ( si se
satisfacen simultáneamente se tacha sólo una y se asigna la oferta o la demanda
según corresponda. Cualquier fila o columna con oferta o demanda cero no se
considera para el cálculo de penalizaciones futuras.

3. a.- Si sólo hay una fila o columna si tachar deténgase
b.- Si sólo hay una fila (columna) con oferta (demanda) positiva sin tachar
determine la variable básica de la fila (columna) a través del método de costo
mínimo. Deténgase.
c.- Si todas las filas y columnas sin tachar tienen ofertas y demandas cero,
determine las variables básicas cero a través del método de costo mínimo,
deténgase.
d.- De lo contrario, calcule las penalizaciones de las filas y columnas no tachadas
y diríjase al paso 2.
Programación Dinámica
La programación dinámica consiste en una técnica que permite determinar de
manera eficiente las decisiones que optimizan el comportamiento de un sistema que
evoluciona a lo largo de una serie de etapas. En otras palabras, trata de encontrar la
secuencia de decisiones que optimizan el comportamiento de un proceso polietápico.
Ejercicio # 1: Considere la siguiente red en la que cada número junto a una
ligadura representa la distancia real entre el par de nodos que conecta. El objetivo es
encontrar la ruta más corta del origen al destino.
Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo
manualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1.

Solución:
N=3
S3 F3*(S) X3*
D 6 T
D 7 T
N=2
Sx2
D E F2*(S) X2*
A 5+6=11 -------- 11 D
B 7+6=13 8+7015 13 D
C --------- 6+7=13 13 E
N=1
Sx1
A B C F1(S) X1*
O 9+11=20 6+13=19 7+13=20 19 B
Ruta: O B D T

TOMA DE DECISIÓN BAJO RIESGO
En el proceso de toma de decisiones bajo riesgo, hay varios resultados
posibles para cada alternativa, y quien toma las decisiones conoce la probabilidad de
que cada uno de estos resultados ocurra.
Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en
estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de
estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo
tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no
que están presentes en el proceso de toma de decisiones.
Representaremos por R(ai) los resultados asociados a la alternativa ai, y
por P(ai) la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el
conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los diferentes
estados de la naturaleza:
R xi1 xi1 . . . xi1
P p1 p2 . . . pn
Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en
ambiente de riesgo son:
 Criterio del valor esperado
 Criterio de la mínima varianza con media acotada
 Criterio de la media con varianza acotada

 Criterio de la dispersión
 Criterio de la probabilidad máxima
Todos estos criterios serán aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya
tabla de resultados figura a continuación:
Criterio del valor esperado
El resultado o valor esperado para la alternativa ai, que notaremos E[R(ai)],
viene dado por:
Por lo que el criterio del valor esperado resulta ser:
Decisión bajo riesgo: Ejemplo
Estados de la Naturaleza
Alternativas e1 e2 e3 e4
a1 11 9 11 8
a2 8 25 8 11
a3 8 11 10 11
Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1

Obsérvese que esta regla de decisión es una generalización del criterio de
Laplace en la que desaparece el requisito de probabilidad para los diferentes estados
de la naturaleza.
Ejemplo
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla
muestra el resultado esperado para cada una de las alternativas.
Criterio del valor esperado
Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)]
a1 11 9 11 8 10.3
a2 8 25 8 11 11.7
a3 8 11 10 11 9.9
La alternativa óptima según el criterio del valor esperado sería a2, pues
proporciona el máximo de los valores esperados.
Criterio de mínima varianza con media acotada.
Para la utilización de este criterio se consideran exclusivamente las
alternativas a cuyo valor esperado E[R(a)] sea mayor o igual que una
constante K fijada por el decisor. Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta
condición se determina la varianza V[R(ai)] de sus resultados,

y se selecciona la que presente menor varianza, de esta forma se consigue la elección
de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que proporciona, por
término medio, un resultado no demasiado pequeño. En resumen, el criterio de
mínima varianza con media acotada es el siguiente:
Ejemplo
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el
resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.
Si el decisor selecciona un valor 10 para la constante K, quedaría excluida del
proceso de decisión la alternativa a3, que es la que posee menor varianza. Excluida
Criterio de mínima varianza con media acotada
Estados de la
Naturaleza
Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V
a1 11 9 11 8 10.3 1.21
a2 8 25 8 11 11.7 45.01
a3 8 11 10 11 9.9 1.09

ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a1, pues es la que posee menor
varianza entre las que cumplen la condición E[R(ai
Criterio de la media con varianza acotada.
Para la utilización de este criterio se consideran exclusivamente las
alternativas a cuya varianza V[R(a)] sea menor o igual que una constante K fijada por
el decisor. Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta condición se determina
el valor esperado E[R(ai)] de sus resultados,
Y se selecciona la que presente mayor valor esperado, de esta forma se
consigue la elección de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que
proporciona, por término medio, un buen resultado. En resumen, el criterio de la
media con varianza acotada es el siguiente:
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el
resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.

Criterio de la media con varianza acotada
Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V
a1 11 9 11 8 10.3 1.21
a2 8 25 8 11 11.7 45.01
a3 8 11 10 11 9.9 1.09
Si el decisor selecciona un valor 20 para la constante K, quedaría excluida del
proceso de decisión la alternativa a2, que es la que posee mayor valor esperado.
Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a1, pues es la que posee
mayor valor esperado entre las que cumplen la condición V.
Criterio de dispersión
Para cada alternativa ai se calcula el siguiente valor medio corregido:
donde K es una valor fijado por el decisor, y se selecciona la de mayor valor
resultante. De esta forma se consigue limitar la influencia de alternativas con un valor
esperado grande, pero también alta variabilidad. Por tanto, el criterio de
dispersión puede resumirse de la siguiente forma:

Ejemplo:
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra,
para cada una de las alternativas, el valor esperado, la varianza y el valor esperado
corregido correspondiente a un factor K=2.
Criterio de dispersión
Estados de la
Naturaleza
Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V CR
a1 11 9 11 8 10.3 1.21 8.10
a2 8 25 8 11 11.7 45.01 -1.72
a3 8 11 10 11 9.9 1.09 7.81
La alternativa óptima según el criterio de dispersión sería a1, pues proporciona
el máximo de los valores corregidos.
Criterio de la probabilidad máxima.
Para cada alternativa ai se determina la probabilidad de que la variable
aleatoria que proporciona el resultado tome un valor mayor o igual que una
constante K fijada por el decisor:

y se selecciona aquella alternativa con mayor probabilidad asociada. Por tanto,
el criterio de probabilidad máxima puede resumirse de la siguiente forma:
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra,
para cada una de las alternativas, la probabilidad de que el resultado sea mayor o
igual que K=10.
Criterio de probabilidad máxima
Alternativas e1 e2 e3 e4 P
a1 11 9 11 8 0.7
a2 8 25 8 11 0.3
a3 8 11 10 11 0.8
Para la alternativa a1, sólo los resultados correspondientes a los
estados e1 y e3 superan el valor 10, siendo sus probabilidades asociadas 0.2 y 0.5;
sumando ambas se obtienen la probabilidad de obtener un resultado mayor o igual
que 10 para la alternativa a1. De manera análoga se determinan las restantes

probabilidades. La alternativa óptima según este criterio sería a3, pues proporciona la
probabilidad más alta.
TOMA DE DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
En la toma de decisiones bajo incertidumbre se posee información deficiente
para tomar la decisión, no se tienen ningún control sobre la situación, no se conoce
como puede variar o la interacción de la variables del problema, se pueden plantear
diferentes alternativas de solución pero no se le puede asignar probabilidad a los
resultados que arrojen.
Con base en lo anterior hay dos clases de incertidumbre:
• Estructurada: No se sabe que puede pasar entre diferentes alternativas, pero sí se
conoce que puede ocurrir entre varias posibilidades.
• No estructurada: No se sabe que puede ocurrir ni las probabilidades para las
posibles soluciones, es decir no se tienen ni idea de que pueda pasar.
Características:
 En las decisiones tomadas con pura incertidumbre o ignorancia total, el
decisor no tiene ningún conocimiento, ni siquiera de la probabilidad de
ocurrencia de cualquier estado de la naturaleza. En estas situaciones, el
comportamiento del decisor se basa puramente en su actitud hacia la

incógnita. Algunos de estos comportamientos son los optimistas, los
pesimistas y los de arrepentimiento.
 Observe que esta categoría de problemas (es decir, los problemas con pura
incertidumbre) resultan apropiados sólo para la toma de decisiones en la vida
privada. El político, el conductor de un grupo humano, la persona pública
tiene que tener cierto conocimiento de los estados de la naturaleza, para poder
predecir las probabilidades de cada estado. De lo contrario no podrá tomar una
buena decisión que sea razonable y defendible.
 Siempre que un decisor tiene cierto conocimiento sobre los estados de la
naturaleza puede asignar una probabilidad subjetiva a la ocurrencia de cada
estado. Este es el caso de toma de decisiones bajo riesgo.
 El decisor en caso de incertidumbre o ignorancia deberia invertir en limitar
sus incertidumbres con respecto a la probabilidad de cada estado de la
naturaleza. Si la situación y el valor de la utilidad esperada lo aconsejan se
puede comprar información relevante a especialistas, para poder tomar una
mejor decisión. Encuestas, estadísticas, análisis de sensibilidad, etc.
 Cuando las decisiones se toman bajo ignorancia total, el decisor no tiene
conocimiento de los resultados de ninguno de los estados de la naturaleza y/o
es costoso obtener la información necesaria. En tal caso, la decisión depende
meramente del tipo de personalidad que tenga el decisor.

Modelos matemáticos de la toma de decisiones bajo incertidumbre
Criterio de wald
Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de
las peores condiciones posibles. Esto es, si el resultado x(ai, ej) representa pérdida
para el decisor, entonces, para ai la peor pérdida independientemente de lo que ej
pueda ser, es máx ej { x(ai, ej) }. El criterio minimax elige entonces la acción ai
asociada a :
 
)
,
(
_ j
i
e
a
i e
a
x
máx
mín
a
Elegir j
i

En una forma similar, si x(ai, ej) representa la ganancia, el criterio elige la
acción ai asociada a :
 
)
,
(
_ j
i
e
a
i e
a
x
mín
máx
a
Elegir j
i

Este criterio recibe el nombre de criterio maximin, y corresponde a un
pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor
cuando elige una alternativa.
Características:
 El decisor piensa que tome la alternativa que tome, sucederá lo peor para él.
 Se determina el resultado más desfavorable con cada estrategia. Se selecciona
la estrategia que ofrece el más favorable de todos los determinados.
 También se le llama maxi-min ó mini-max según el caso.

Criterio maximax
Las situaciones, ambientes o contextos en los cuales se toman las decisiones,
se pueden clasificar según el conocimiento y control que se tenga sobre las variables
que intervienen o influencian el problema, ya que la decisión final o la solución que
se tome va a estar condicionada por dichas variables. Dichos ambientes pueden ser:
bajo riesgo, bajo incertidumbre, certidumbre y conflicto de los cuales se desprenden
algunos criterios Attach:file.ext que nos permitirán evaluar las alternativas y así elegir
la que nos proporcione un mayor beneficio.
• Criterio Maximax.
El criterio maximax propone que el decisor debe buscar los mayores
beneficios posibles para cada acción y escoger la acción que tenga mayores
beneficios. Esta estrategia solo contempla el mayor beneficio posible e ignora las
probabilidades y consecuencias de los otros sucesos que pueden ocurrir. Por ejemplo
se tiene:
Acción
Estado de la naturaleza: d1 d2 d3 La demanda es: Comprar 0 Comprar 1 Comprar 2
q1 ═ 0 0 −30 −60 q2 ═ 1 0 20 −10 q3 ═ 2 0 20 40
Para el ejemplo anterior el criterio maximax elegiría la acción “comprar 2”, ya
que ofrece beneficios posibles de cuarenta pesos; sin embargo, ignora la posibilidad
de que pueda generar pérdidas por sesenta pesos.
El criterio maximax no es una regla de decisión prudente. Hay algunas
circunstancias en las que se desea tomar riesgos prudentes, pero debe hacerse
tomando en cuenta las posibilidades y las consecuencias de lo que puede suceder.

• Criterio Minimax.
El criterio minimax sugiere que se seleccione la acción con menor perdía
máxima posible, de otro modo, la que presente los mayores beneficios mínimos
posibles. En otras palabras, hay que asegurar que se ganen por lo menos R pesos y
buscar la acción que brinde R mayor (la menor perdida, si se analizan las perdidas).
La acción minimax del ejemplo propuesto en el criterio maximax, seria pedir
cero unidades. La pérdida máxima que puede ocurrir con cero unidades es cero pesos;
las perdidas máximas de las otras dos acciones son treinta y sesenta.
El criterio minimax tiende a llevar a la decisión de no hacer nada, a menos que
no haya probabilidad de perdida. Es un criterio muy conservador. La persona que use
el criterio minimax se vería, al final de cuentas, ante la amenaza de morirse de
hambre (al no hacer nada) y estaría obligado a actuar. En términos de las actividades
empresariales, la corporación se estancaría y seria superada por la competencia
dispuesta a innovar y a tomar riesgos razonables de sufrir pérdidas.
En otras situaciones se puede llegar a una decisión totalmente irracional al
usar el criterio minimax. Por ejemplo suponga que la siguiente tabla nos muestra los
costos condicionales de dos acciones:
Acción
Estado de la naturaleza: Comprar seguro No comprar seguro q1 $1000 $1001 q2 1000
10

La mejor acción es “comprar el seguro”, de acuerdo con el criterio minimax, ya que
el costo máximo es de 1000 pesos (el costo máximo de la acción “no comprar (el
seguro) es 1001 pesos). Sin embargo, si los dos estados tuvieran la misma
probabilidad, o si el estado q2 es más probable que q1, entonces la mayoría de las
personas opinarían que la acción deseable es “no comprar”. Minimax no es una
estrategia deseable en un juego contra la naturaleza, pero si es útil frente a adversarios
que piensan.
• Enfoque de arrepentimiento minimax.
El enfoque de arrepentimiento para la toma de decisiones no es puramente optimista
ni puramente conservador. Se ilustra el enfoque de arrepentimiento mostrando cómo
puede emplearse para seleccionar una alternativa en el siguiente ejemplo.
Criterio de hurwicz
Este criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta
la más pesimista. En las condiciones más optimistas se elegiría la acción que
proporcione el máx ai máx ej { x(ai, ej) }. Se supone que x(ai, ej), representa la
ganancia o beneficio. De igual manera, en las condiciones más pesimistas, la acción
elegida corresponde a máx ai mín ej { x(ai, ej) }. El criterio de Hurwicz da un balance
entre el optimismo extremo y el pesimismo extremo ponderando las dos condiciones
anteriores por los pesos respectivos  y (1- ), donde 0 ≤  ≤ 1. Esto es, si x(ai, ej)
representa beneficio, seleccione la acción que proporcione:
 
)
,
(
)
1
(
)
,
( j
i
e
j
i
e
a e
a
x
mín
e
a
x
máx
máx j
j
i

 


Para el caso donde x(ai, ej) representa un costo, el criterio selecciona la acción
que proporciona:
 
)
,
(
)
1
(
)
,
( j
i
e
j
i
e
a e
a
x
máx
e
a
x
mín
mín j
j
i

 

El parámetro  se conoce como índice de optimismo: cuando  = 1, el
criterio es demasiado optimista; cuando  = 0, es demasiado pesimista . Un valor de
 entre cero y uno puede ser seleccionado dependiendo de si el decisor tiende hacia el
pesimismo o al optimismo. En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia
u otra, un valor de  = 1/2 parece ser una selección razonable.
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las
recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y
pesimismo de las diferentes alternativas para un valor a = 0.4:
Alternativas
Terreno
comprado
Aeropuerto en A Aeropuerto en B mínei máxei S(ai)
A 13 -12 -12 13 -2
B -8 11 -8 11 -0.4
A y B 5 -1 -1 5 1.4
Ninguno 0 0 0 0 0

La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar las parcelas
A y B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de a
seleccionado.
Criterio de savage
En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la
elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la
naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la
naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es
controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser
comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la
naturaleza.
Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de
oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la
mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de
la alternativa ai bajo el estado ej:
Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor
elige la alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado
de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces obtendría como
ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj.

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las
mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede
obtenerse al seleccionar la alternativa ai,
el criterio de Savage resulta ser el siguiente:
Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se
debe calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada
columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de
esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella.
Explicación de los pasos para realizar el criterio de savage:
Este criterio dice que para cada estado de la naturaleza (variable incontrolable)
hay una decisión que es mejor que el resto. Hay que buscar qué se deja de ganar o qué
se pierde si se toma otra decisión que no sea ésa (es decir, que permite el
arrepentimiento).
1) Encima de cada columna del cuadro, se indica el nº más alto de su columna.
2) Dentro de la tabla, se va restando ese nº más alto de cada nº de la tabla.
3) A parte, se representa con “S” y un número a partir del 1. Habrá tantos como
posibles acciones (filas). Se busca el “Minimax” (mínimo entre los máximos) que es

el nº más alto de cada fila (teniendo en cuenta que, por ejemplo, el 0 es mayor que un
nº negativo).
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la
matriz de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas.
El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es
13; al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las
pérdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma
forma, el máximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad
cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes
al estado de la naturaleza Aeropuerto en B. Como puede observarse, el
valor i menor se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima
según el criterio de Savage sería comprar ambas parcelas.
Alternativas
Terreno
comprado
Aeropuerto en A Aeropuerto en B i
A 0 23 23
B 21 0 21
A y B 8 12 12
Ninguno 13 11 13

El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco
razonables. Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:
La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la
siguiente:
La alternativa óptima es a1. Supongamos ahora que se añade una alternativa,
dando lugar a la siguiente tabla de resultados:
Estados de la
Naturaleza
Alternativas e1 e2
a1 9 2
a2 4 6
Estados de la
Naturaleza
Alternativas e1 e2 i
a1 0 4 4
a2 5 0 5
Estados de la
Naturaleza
Alternativas e1 e2
a1 9 2
a2 4 6
a3 3 9

La nueva tabla de pérdidas relativas sería:
El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2, cuando
antes seleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico:
supongamos que a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y
prefiere peras. Si posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas,
¡esto equivaldría a decir que ahora prefiere manzanas!
Criterio de Laplace
Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de
razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado
se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados
tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento
sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son
equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la
naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.
Una vez realizada esta asignación de probabilidades, a la alternativa ai le
corresponderá un resultado esperado igual a:
Estados de la
Naturaleza
Alternativas e1 e2 i
a1 0 7 7
a2 5 3 5
a3 6 0 6

La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un
mayor resultado esperado:
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los
resultados esperados para cada una de las alternativas.
Alternativas
Terreno
comprado
Aeropuerto en A Aeropuerto en B Resultado
esperado
A 13 -12 0.5
B -8 11 1.5
A y B 5 -1 2
Ninguno 0 0 0
En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2.
El resultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la
decisión óptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas.

La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una
misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se
consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la
probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la
siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o
no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3.
Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio
reside en la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente
excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza.
Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su
funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de
decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una
vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados
presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla:
Alternativas e1 e2 Resultado
esperado
a1 15000 -5000 5000
a2 5000 4000 4500
Este criterio seleccionaría la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si
la toma de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una
pérdida elevada.

LISTA DE REFERENCIAS
Render, B. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. Novena edición.
Editorial PEARSON EDUCACIÓN.
Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. Séptima Edición. México:
Editorial PEARSON EDUCACIÓN.
Vicens, E. (s.f.). Métodos Cuantitativos, Volumen II. Editorial Servicio de
Publicaciones.
(http://es.scribd.com/doc/61178886/1/PROGRAMACION-DINAMICA-
DETERMINISTICA)
(http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/intro.htm)
(http://systemvzla.blogspot.com)

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