オンライン天⽂学講座「相対性理論⼊⾨」
〜⼀般相対論概略〜
2023年２⽉７⽇
島袋隼⼠（云南⼤学・SWIFAR、名古屋⼤学）
d2
xλ
dr2
+ Γλ
μν
dxμ
dr
dxν
dr
= 0
Rμν −
1
2
gμνR + Λgμν =
8πG
c4
Tμν
ds2
= −
(
1 −
2GM
c2r )
c2
dt2
+
dr2
1 −
2GM
c2r
+ r2
(dθ2
+ sin2
θdφ2
)

特殊相対性理論の復習
•特殊相対性理論は「光速度不変の原理」と「特殊相対性原理」を指導原理として構築された理論。
x′

=
x − vt
1 − (v/c)2
ct′

=
ct − (v/c) x
1 − (v/c)2
•慣性系はローレンツ変換で結び付けられる。
•エネルギーと質量は等価である。
E2
(t) = m2
0c4
+ c2
p2
(t)
•物理量はテンソルで表され、テンソルで書かれた物理法則は慣性系に依らずに成り⽴つ。
m
dw
dτ
= f □ Aμ
− ∂ν
∂νAμ
= − μ0 jμ

⼀般相対性理論への道のり
F =
GMmg
r2
F = mIa
万有引⼒の法則
運動⽅程式

⼀般相対性理論への道のり
F =
GMmg
r2
F = mIa
万有引⼒の法則
運動⽅程式
•地球の引⼒によって測られる質量を重⼒質量という。重⼒質量は物体固有の質量、あるいは
重さとして感じるものである。

⼀般相対性理論への道のり
F =
GMmg
r2
F = mIa
万有引⼒の法則
運動⽅程式
•地球の引⼒によって測られる質量を重⼒質量という。重⼒質量は物体固有の質量、あるいは
重さとして感じるものである。
•運動⽅程式によって定義される質量を慣性質量という。慣性質量が⼤きいほど、物体は運動しづら
い。すなわち慣性の⼤きさを表している。

⼀般相対性理論への道のり
F =
GMmg
r2
F = mIa
万有引⼒の法則
運動⽅程式
•地球の引⼒によって測られる質量を重⼒質量という。重⼒質量は物体固有の質量、あるいは
重さとして感じるものである。
•運動⽅程式によって定義される質量を慣性質量という。慣性質量が⼤きいほど、物体は運動しづら
い。すなわち慣性の⼤きさを表している。
•アインシュタインは、「重⼒質量と慣性質量が等しい」と考えるところから出発した。

等価原理〜アインシュタインの⽣涯最⾼のひらめき
•エレベーターが⾃由落下する場合を考える。
•この時、重⼒の⽅向とは逆に慣性⼒が働いて
重⼒を打ち消し、無重量状態になる。
mgg = mIa → g = a
•すなわち、重⼒と慣性⼒は⾒分けがつかない。
「慣性質量と重⼒質量は同⼀なものであり、加速度によって⽣じる⾒かけの⼒（慣性⼒）と重⼒
は原理的に区別ができない（等価原理）」
•加速度系に移れば、重⼒の影響を打ち消す座標系（局所慣性系）を選ぶことができる。
（ただし、局所的な座標系であり、全時空に渡って重⼒を打ち消す加速度系は存在しな
い）

等価原理〜アインシュタインの⽣涯最⾼のひらめき
•エレベーターが⾃由落下する場合を考える。
•この時、重⼒の⽅向とは逆に慣性⼒が働いて
重⼒を打ち消し、無重量状態になる。
mgg = mIa → g = a
•すなわち、重⼒と慣性⼒は⾒分けがつかない。
「慣性質量と重⼒質量は同⼀なものであり、加速度によって⽣じる⾒かけの⼒（慣性⼒）と重⼒
は原理的に区別ができない（等価原理）」
•加速度系に移れば、重⼒の影響を打ち消す座標系（局所慣性系）を選ぶことができる。
（ただし、局所的な座標系であり、全時空に渡って重⼒を打ち消す加速度系は存在しな
い）

等価原理〜アインシュタインの⽣涯最⾼のひらめき
•エレベーターが⾃由落下する場合を考える。
•この時、重⼒の⽅向とは逆に慣性⼒が働いて
重⼒を打ち消し、無重量状態になる。
mgg = mIa → g = a
•すなわち、重⼒と慣性⼒は⾒分けがつかない。
「慣性質量と重⼒質量は同⼀なものであり、加速度によって⽣じる⾒かけの⼒（慣性⼒）と重⼒
は原理的に区別ができない（等価原理）」
•加速度系に移れば、重⼒の影響を打ち消す座標系（局所慣性系）を選ぶことができる。
（ただし、局所的な座標系であり、全時空に渡って重⼒を打ち消す加速度系は存在しな
い）

•特殊相対性理論では、「慣性系」同⼠の変換を考えたが、加速度系を含む座標変換を考えれば、
重⼒を取り込んだ理論を作ることができるのでは？？
•また、特殊相対性理論では、任意の慣性系で物理法則は同じ形で表され（特殊相対性原
理）、また慣性系間はローレンツ変換で結ばれると考えてきたが、これを拡張して、「任意の
座標系」で物理法則は同じ形で表され、任意の座標間は⼀般座標変換で結ばれると考える（⼀
般相対性原理）
•加速度系（エレベーター）の中では光の経路は放物線に
⾒える。
•すなわち、光が重⼒の影響で曲がった様に⾒える。
•このことから、アインシュタインは光や物質は重⼒と結び
つくと考えた。
等価原理〜アインシュタインの⽣涯最⾼のひらめき

⼀般相対性理論への道のり
•特殊相対性理論では、世界距離は慣性系に依らず不変であった。
あるいは、
ds2
≡ dx2
+ dy2
+ dz2
− c2
dt2
ds2
= ημνdxμ
dxν η00 = − 1,η11 = η22 = η33 = 1
•⼀般相対性理論はこれが拡張されて、 となる。
ds2
= gμν(x)dxμ
dxν
• は時空の幾何学を決める「計量テンソル」と呼ばれる量である。
gμν
•時空の曲率は計量テンソルの関数である曲率テンソル（あるいは、リッチテンソル） で
記述される。
Rμν(gμν)
Rμνρσ =
1
2 (gμσ,νρ − gνσ,μρ − gμρ,νσ + gνρ,μσ) + ΓβμσΓβ
νρ − ΓβμρΓβ
νσ
Γμνσ =
1
2 (gμν,σ + gμσ,ν − gνσ,μ)

重⼒場中の物体の運動⽅程式
•局所慣性系では重⼒が無い場合と同じなので、運動⽅程式は
d2
x̄μ
dτ2
= 0
•⼀⽅、重⼒場中での運動⽅程式は測地線⽅程式と呼ばれ、次の形で表せる。
d2
xλ
dτ2
+ Γλ
ρσ
dxρ
dτ
dxσ
dτ
= 0
•計量が含まれた式となっており、時空の幾何学を取り⼊れた⽅程式となっている。
•重⼒レンズ効果も、光の経路の計算は測地線⽅程式
を⽤いて⾏う。

重⼒場の⽅程式
•測地線⽅程式は、重⼒が存在する場合での物体の運動⽅程式を与えた。では、そもそも重⼒は
どうやって決まるのか？？
•⼀般相対性理論では、重⼒は物質の分布で決まる。より正確には、計量テンソルは物質の
分布によって決定される。
Rμν −
1
2
gμνR + Λgμν =
8πG
c4
Tμν
時空の幾何学 物質の分布
•特殊相対性理論で、エネルギーと質量が等価であることを⾒たので、右辺はエネルギー分布
（エネルギー運動量テンソル）を表している。
•「アインシュタイン⽅程式を解く」とは、計量テンソルの形を決定すること。

重⼒場の⽅程式の解
rs =
2GM
c2
ds2
=
(
1 −
rs
r )
c2
dt2
−
(
1 −
rs
r )
−1
dr2
− r2
( dθ2
+ sin2
θdφ2
)
•球対称な質量分布を持つ場合、アインシュタイン⽅程式を解析的に解く事ができる（計量
テンソルを決定することができる）。このときの解をシュバルツシルト解という。
シュバルツシルト解
• をシュバルツシルト半径と呼び、シュバルツシルト半径より内側は観測することができない
（ブラックホール）
rs

⼀般相対性理論と現代天⽂学①
•（星質量）ブラックホール
一般相対性理論によると、物質（エネルギー）で時空は曲がる。星も最期には自分の重
さで潰れて時空が極端に曲がる。光さえも逃げられない。
•超巨大質量ブラックホール（
S
u
p
e
r
M
a
s
s
i
v
e
B
l
a
c
k
H
o
l
e
）
太陽質量の
1
0
の5乗から10乗倍程度の質量を持つブラックホー
ル。銀河の中心に存在。今年のノーベル賞はいて座
A
の超巨大
質量ブラックホールの発見について。遠方宇宙の
S
M
B
H
。
E
H
T
によるブラックホールシャドーの撮像
Why?

•重力波
時空のさざなみ。時空の激しい変動による歪みが波として伝わる。長年に渡り未検出
だったが、2015年ついに初検出。現在では50以上のイベントを観測。
重力波は時空の激しい変動によって生じる。
例えば中性子星やブラックホールの合体。
ブラックホールや中性子星の性
質を探る有力な手段。 重力波天文学の幕開け！
⼀般相対性理論と現代天⽂学②

•重力レンズ効果
⼀般相対性理論と現代天⽂学③
重力によって時空が曲がると光の経路も曲がる。1919年、エディントンが皆既日食を利用
して光の曲がりを確認。
光では見えない暗黒物質の探索にも使われいる。
弱い重力レンズ効果 強い重力レンズ効果
系外惑星の探索にも使われており、重力レンズ効果は現代の天文学では最重要な効果の一
つ。

⼀般相対性理論と現代天⽂学④
(
·
a
a )
2
+
kc2
a2
−
c2
Λ
3
=
8πG
3c2
ρ
•⼀様等⽅宇宙を仮定すると（計量テンソルを与える）、アインシュタイン⽅程式から
フリードマン⽅程式を得る事ができる。
•フリードマン⽅程式は膨張する宇宙を予⾔し、ハッブルに
よる観測によって宇宙の膨張が確認された。
•膨張宇宙はビッグバン元素合成へとつながり、また、近年
では宇宙は加速膨張している事が発⾒され、ダークエネル
ギーや重⼒理論の修正など、いくつかのシナリオが考えられ
ているが、未だに謎が多い。

⼀般相対性理論と現代天⽂学④
(
·
a
a )
2
+
kc2
a2
−
c2
Λ
3
=
8πG
3c2
ρ
•⼀様等⽅宇宙を仮定すると（計量テンソルを与える）、アインシュタイン⽅程式から
フリードマン⽅程式を得る事ができる。
•フリードマン⽅程式は膨張する宇宙を予⾔し、ハッブルに
よる観測によって宇宙の膨張が確認された。
•膨張宇宙はビッグバン元素合成へとつながり、また、近年
では宇宙は加速膨張している事が発⾒され、ダークエネル
ギーや重⼒理論の修正など、いくつかのシナリオが考えられ
ているが、未だに謎が多い。

本⽇のまとめ
• 特殊相対性理論では慣性系しか取り扱えないが、任意の座標系を
取り扱うのが⼀般相対性理論
• 等価原理が出発点
• 測地線⽅程式が運動を決め、アインシュタイン⽅程式が重⼒場を
決める
• アインシュタイン⽅程式の解の⼀つとして、シュバルツシルト解
がある。
• ⼀般相対性理論は現代天⽂学では必要不可⽋