1. Fonctions
ِClasse :Tronc commun
Proposée par: Mohachtou

2. Contenus du programme
- Généralités :
Ensemble de définition d’une fonction
numérique ;
Egalité de deux fonctions numériques ;
Représentation graphique d’une fonction
numérique ;
. Fonction paire et fonction impaire (interprétation graphique) ;
Variations d’une fonction numérique ;
Maximum, minimum d’une fonction numérique sur un intervalle ;
Représentation graphique et variations des fonctions suivantes :
; ; ; ; ; 2 x ax a x x 2 x ax bx c ax b x cx d sin() x x
cos() x x

3. Les capacités attendues
- Reconnaitre la variable et le domaine de définition de cette
variable pour une fonction définie par un tableau de données
ou une courbe ou une expression ;
- Déterminer graphiquement l’image d’un nombre ;
- Déterminer graphiquement un nombre dont l’image est
connue à partir de la représentation graphique d’une fonction
;
- Déduire les variations d’une fonction ou les valeurs
maximales ou minimales à partir de la représentation
graphique de cette fonction ;
- Résoudre graphiquement des équations et des inéquations ;
- Tracer la courbe d’une fonction polynôme du second degré
ou d’une fonction homographique sans utiliser un changement
de repère ;
- Exprimer, en utilisant la notion de fonction, des situations
issues de la vie courante ou des autres disciplines

4. Recommandations pédagogiques
- Pour approcher la notion de fonction et sa représentation graphique, on
pourra utiliser, dans la mesure du possible, des logiciels qui permettent
de construire les courbes de fonctions, on pourra également faire cette
approche à partir de situations bien choisies de la géométrie, de la
physique, de l’économie ou de la vie courante
- Il faudra entrainer les élèves à mathématiser des situations et à résoudre
des problèmes divers lors de l’étude des extrémums d’une fonction ;
- Toutes les fonctions traitées dans ce chapitre ainsi que les fonctions cos et
sin sont considérées comme fonctions de référence ;
- On pourra utiliser les calculatrices scientifiques pour déterminer des
images ou les calculatrices programmables pour construire des
courbes(ou signaler cette possibilité aux élèves) ;
- On proposera des problèmes conduisant à des équations dont la
résolution algébrique s’avère difficile et on en déterminera
graphiquement des solutions approchées.
Proposée par : Mr Mohachtou
La duré; 8h

5. I) Fonction – Egalité de deux fonctions
– Représentation Graphique d’une fonction
Fonctions
1)Définition d’une fonction
Domaine de Définition d’une fonction
a) Définition d’une fonction
D est une partie de l’ensemble des nombres réels IR
Définir une fonction f sur D,c’est associer à tout réel x
de D un unique nombre réel , noté f(x)
Exemple
f(x)=-3x+5
5 2
4
x
g(x)
x




6. Activité
Définir domaine de Définition de chaque fonction
5
4
f(x)
x


a) b) 2 1f(x) x 
2
2
3 2
2 3
x
f(x)
x x


 
c)
3
3
x
f(x)
x


d)
solution
Soit xIR x Df  4 − x ≠ 0
 x ≠ 4
donc Df = IR −{4 }=]-; 4[]4;+[
5
4
f(x)
x


a)

7.  x ≥ 1
2
 donc D = [ +∞[
1
2

2
2
3 2
2 3
x
f(x)
x x


 
c) x Df  x2 + 2x − 3 ≠0
2 1f (x) x 
x Df  2x +1 0
x2 + 2x − 0=3
Δ = 4 +12 = 16
1 et -3 sont solution de l’équation
Df = IR −{ {3‫ـ‬;1

8. x Df  3-x > 0
3
3
x
f(x)
x


(d
 Df = ]-∞;3 [x<3
‫قاعدة‬VOCABULAIRE
Exercice Déterminer le Domaine
De Définition de ces fonctions1
2
x
f(x)
x



D est l’ensemble de définition de f . D peut être
l’ensemble des nombres réels, noté IR, ou être
constitué d’une ou plusieurs parties de IR.

9. 2
1
3 4
x
g(x)
x


  
2
3
3
x
k(x)
x



solution
 1
0
2f
x
D x IR;
x

  

1
2
x
f(x)
x



Df=]-;-2[[1;+[ (on utilisant le tableau du signe)
2
1
3 4
x
g(x)
x


   Dg={xIR;|-x+3|-40}

10. |x-3|=4  x-3=4 Ou x-3= -4
 x=7x=-1 ou
Dg=IR-{-1;7}
donc
=]-;-1[]-1;7 [ ]7;+ [
2
3
3
x
k(x)
x



Dk={x/xIR; 3-x2>0}
    3 3 0k
D x / x IR; x x    
Dk=]- ; [ (on utilisant le tableau du signe33

11. 2) Egalite de deux fonctions
Activité
Comparer les fonctions f et g dans les cas suivants
a) f(x)=x-1
b)
 
2
2
g(x)
x x


2
1
1
x
g(x)
x



1 1
2
f(x)
x x
 

solution
a)On a: Dg = IR −{- {1 et Df = IR
Donc f ≠ g car Df ≠ Dg
b) On a : Dg = Df = IR* −{ {2

12. Soit xIR* −{ {2
1 1
2
f(x)
x x
 
  
2
2
x x
x x
 

  
2
2x x


=g(x)
Donc f = g ‫إ‬
‫قاعدة‬Définition
Soient f et g deux fonctions
On dit que f=g si et seulement si Df=Dg et
f(x)=g(x)

13. 3) Courbe représentative d’une fonction
ِActivité
On considère la fonction f
définie dans IR par:
2
4
2
x
f(x)
x



1) Déterminer Df
2) Déterminer les ordonnées de A et B sachant que
leurs abscisses respectivement sont 0 et 3
c) Est-ce que les points : C(2;0) ;D(-4;6)
;E(4;-6) appartient a (Cf)?
d) Exprimer f(x) sans valeur absolu ; puis construit Cf
dans un repère orthonormée(o;i;j)
solution
Df={x/xIR;|x|-2 ≠0} |x| ≠ 2

14.  x ≠ − 2et x ≠ 2 Df = IR −{− {2;2
On a:
4
0 2
2
f( )

 

D ou ; A(0;2)Cf
9 4
3 5
3 2
f( )

 
 D ou B(3;5)  Cf
c) Est-ce que les points C(2;0);D(-4;6);E(4;-6)Cf?
On a : 2∉IR −{− {2;2 d ou C(2;0) ∉ Cf
On a: 16 4
4 6
4 2
f( )

  

D ou ; D(−4;6)Cf
On a: 16 4
4 6
4 2
f( )

 
 D’où ; E(4;-6)Cf
d) Déterminons les ordonnées des points A et B
On a:

15. Ecriture de f(x) sans valeur absolue
Si : x[0;2[] ]∞+;2 alors
2
4
2
x
f(x)
x



  2 2
2
x x
f(x)
x
 


=x+2
Si ;x ]−∞;−2[]− [0;2 alors
2
4
2
x
f(x)
x



  2 2
2
x x
f(x)
x
 

 
=-x+2

16. Construction de Cf
L’équation de Cf dans [0;2[]2;+[ est y=x+2
1
1
O
A
D’où Cf est une demi droite d’origine A(0;2)
sans le point d’abscisse 2
L’équation de Cf dans] - ;-2[]- 2;0] est y=-x+2
D’où Cf est une demi droite d’origine A(0;2)
sans le point d’abscisse - 2

17. ‫قاعدة‬Définition
Soit f une fonction d’une variable réel
La représentation graphique de Cfc’est l’ensemble
des points M(x;f(x)); tels que xDf
Remarque
M (x ;y) Cfy=f(x) et xDf
II) Parité d’une fonction
1) Fonction Pair
Cf={M(x;f(x))/xDf}
La relation y=f(x) est l’équation cartésienne de Cf

18. ‫قاعدة‬Définition
On dit que f est pair si et seulement si
Exemple
la fonction f(x)=x4+2x2-3 est elle pair
Df = IR Si xIR alors - xIR
f(-x)=(-x)4+2(-x)2-3 =x4+2x2-3 =f(x)
Donc la fonction f est pair
Soit f une fonction d’une variable réelle x
Et Df son domaine de définition
*quelque soit xDf
Quelque soit xDf ; f(−x ) = f (x )
On a: - xDf

19. solution
Exercice d’application
Parmi ses fonctions Quelles sont celles qui sont pairs
b) f(x)=x3+1
c)
2 0 4
2 0
f(x) x ; x
f(x) x ; x
  

  
a) Df = IR* on a : xIR* ; - xIR*
Soit xIR*
 
2
1
f( x) x
x
   

a)
2
1
f(x) x
x
 
2
1
x
x
  =f(x)
Donc la fonction f est pair

20. b) f (x) = x3 +1
f (1) = 13 +1 = 1+1 = 2
On a
f (−1) = (−1)3 +1 = −1+1 = 0 et
D ou : f (−1) ≠ f ( (1 Donc la fonction f n’est pas pair
c)
2 0 4
2 0
f(x) x ; x
f(x) x ; x
  

  
Df = ]−∞;0[[0;4[ = ]−∞;4[
On remarque que -6  Df et 6 Df donc f n’est pas pair
b) représentation graphique d’une fonction pair
f est une fonction pair et Cf sa représentation graphique dans
Un repère orthonormée (o;i;j)

21. Soit M(x;f(x))Cf et M’son symétrique par rapport
A l’axe des ordonnées
D ou M '(−x ;f (x ))
Et comme f est pair alors –x  Df et f(−x ) = f (x )
‫قاعدة‬Propriété
Soit f une fonction d’une variable réel et (Cf)
sa représentation graphique dans un repère
orthonormée (o;i,j)
d’où M '(−x ;f (−x ))donc M 'Cf
Donc Cf est symétrique par rapport a l’axe
des ordonnées
f est une fonction pair si et seulement si l’axe
des ordonnée est un axe de symétrie pour (Cf)

22. Exercice d’application
1)Compléter le schémas pour que
f soit une fonction pair

23. 2) Fonction impair
‫قاعدة‬Définition
Soit f une fonction d’une variable réelle
Et Df son domaine de définition
On dit que f est impair si et seulement si :
*pour tout x Df; −x Df
Pour tout xDf ; f(−x ) = −f (x )
2)Le schémas suivant est elle
D’une fonction pair?

24. Exercice d’application
Déterminer les fonctions impairs
(bf(x)=x3+1
(c
2 1 0 2
2 1 2 0
f(x) x ; x
f(x) x ; x
    

     
(a3
1
f(x)
x

Solution
Df = IR*a) 3
1
f(x)
x

Pour tout xIR* on a : - xIR*
Soit xIR*
 
3
1
f( x)
x
 
 3
1
x
  = -f(x)
donc f est impair

25. b) f (x) = x3 +1
f (1) = 13 +1 = 1+1 = 2f (−1) = (−1)3 +1 = −1+1 = 0
D’ ou f (−1) ≠ − f ( (1 donc f n’est pas impair
2 1 0 2
2 1 2 0
f(x) x ; x
f(x) x ; x
    

     
Df = [−2;0[[0;2] = [−2;2]
Pour tout x[− [2;2 on a : - x[− [2;2
si x[0;2 ] alors -x]-2;0]
On a: f(x)=-(-2x-1) et f(-x)=-2(-x)-1 d’où f(-x)=-f(x)

26. Donc f(x)=-2x-1 et f(-x)-2(-x)+1=2x+1 donc f(-x)=-f(x)
Donc pour tout x [-2;2] ; f (−x) = − f (x)
donc f est une fonction impair
b) graphe d’une fonction impair
Propriété
Soit f une fonction et (Cf) sa représentation graphique
Dans un repère orthonormée (o;i;j) .la fonction f est
Impair si et seulement si sa courbe représentatif est
Symétrique par rapport a l’origine du repère
Si x[-2;0[ alors -x]0;2]

27. 1)Compléter le schémas
Pour que la fonction soit
impair
2
x x
f(x)
x


Exercice d’application
2) On considère
la fonction f d’une variable
réelle x tels que:
1) Déterminer Df et montrer que f est une fonction
Impair
2) Construit (C )

28. solution
Df={x/xIR;x0}
Df=IR*
Si xIR* alors -xIR*
Soit xIR*
2
x ( x)
f( x)
x
  
 

2
x x
x

  = -f(x)
Donc f est impair
si x>0 alors |x|=x D’où
2
x x
f(x)
x

 =1+x
Si x<0 alors |x|=-x D’ ou
2
x x
f(x)
x
 
 =-1+x

29. La représentation graphique
de la fonction
1
1
O
j
i
remarque
Une fonction peut être ni pair ni impair
Exemple
soit une fonction définie par f(x)=x2+ 3x-1
Etudier la parité de f

30. III) variation d’une fonction
1) sens de variation d’une fonction
Définition
Soit f une fonction d’une variable réelle
Et I intervalle de Df
f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si pour
tout x1 et x2 de I ; si x1  x2 alors f(x1)  f(x2)
f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement
si pour tout x1 et x2 de I ; si x1 < x2 alors f(x1) < f(x2)
f est croissante sur un intervalle I si et seulement si pour
tout x1 et x2 de I ; si x1  x2 alors f(x1)  f(x2)
f est strictement décroissante sur un intervalle I si et
Seulement si pour tout x1 et x2 de I ; si x1 < x2 alors
f(x ) > f(x

31. Exemple
Etudier la variation de la fonction :f (x ) = −2x + 1
Soit a et b élément de IR tel que a ≺ b
Si a<b on a : -2a>-2b et -2a+1>-2b+1 d’où f (a) > f (b)
donc la fonction est strictement décroissante
Exercice d’application
pour la courbe suivante
déterminer la variation de
La fonction f sur
l’intervalle [-4;5]
Solution
La fonction est croissante sur [-4;-2]

32. Et décroissante sur [-2;-1]
Croissante sur [1;3]
Décroissante sur [3;5]
2) La monotonie d’une fonction
Règle
Soit f la fonction d’une variable réel et I l’intervalle de Df
On dit que f est monotone sur I si et seulement si f est
croissante sur I ou décroissante sur I
Remarques
Une fonction peut être ni croissante
ni décroissante sur un intervalle
On résume cette étude dans un tableau appelé tableau de
variation

33. 3)Taux de variation
Exemple
On considère la fonction définie par: f (x ) = x 2 − 3x
Calculer le taux de variation de f entre 2 et -1
On a: 1 2
1 2
f( ) f( ) 

 
4 2
3



2
Définition

34. 4)Taux de variation et la monotonie d’une fonction
Théorème

35. Exercice d’application
On considère la fonction : f (x) = x2 − 4x − 1
Etudier le sence de variation de f dans l’intervalle ]2;+[
et ]-;2] et donner le tableau de variation
solution
Soient a et b deux réels tel que a≠b
f(a) f(b)
a b



2 2
4 1 4 1a a b b
a b
    

4(a b)(a b) (a b)
a b
   


4(a b)(a b )
a b
  


=a+b-4

36. Et si a et b de ]-;2] alors a2 et b2 d’où a+b4
Donc f est strictement croissante sur ] ]∞+;2
c.a.d a+b-4>0
Si a et b de ]2;+[ alors a>2 et b>2 d’où a+b>4
c.a.d a+b-40
Donc f est strictement décroissante sur ] -;2]
Tableau de variation
x - 2 +
-5

37. 5(La monotonie et la parité d’une fonction
Théorème
Si f est croissante sur I alors f est décroissante sur J
Et si f est décroissante sur I alors f est croissante sur J
Soit f une fonction paire et I un intervalle inclus dans
Df ∩IR+ et J un intervalle symétrique par rapport à (OJ)
tel que J={-x/xI}
Démonstration
Soit f une fonction paire et x1 et x2 deux réels distinctes de J
D’où ils existent x1’ et x2’de I tels que x1’=-x1 et x2’=-x2

38. 2 1
2 1
f(x ') f(x ')
x ' x '



2 1
2 1
f( x ) f( x )
x x
  
 
2 1
2 1
f(x ) f(x )
x x

 

Donc les variations de f sur I est le contraire de variation
De f sur J
Théorème
Soit f une fonction impaire et I un intervalle inclus dans
Df ∩IR+ et J un intervalle symétrique de I par rapport à O
J={-x/xI}

39. Si f est croissante sur I alors f est croissante sur J
Et si f est décroissante sur I alors f est décroissante sur J
Remarque
Pour étudier les variations d’une fonction paire ou impaire
Il suffit de l’étudier dans Df ∩IR+ et en déduire le sens de
variation dans Df ∩IR-
Exercice d’application
On considère la fonction f définie par:
2
1x
f(x)
x


1)Déterminer Df et étudier la parité de f
2)Etudier les variations et donner le tableau de variation
De f dans ]0;1] et [1;+[ ;en suite dans Df

40. Solution
Df={x/xIR;x0}
Df=IR*
1)Domaine de définition
*Parité de f
 
2
1x
f( x)
x
 
 

Soit xIR* et -xIR*
xIR*
2
1x
x

  =- f(x)
donc f est impaire il suffit de l’étudier dans ]0;+[
2) Etude de variation de f
f(a) f(b)
a b



2 2
1 1a b
a b
a b
 



41. 2 2
ba b ab a
ab ab
a b
 



2 2
ba b ab a
ab
a b
  


ab(a b) (a b)
ab(a b)
  


1(a b)(ab )
ab(a b)
 


(ab)
1ab
ab


Dans ]0;1] On a: a ]0;1]  0<a1
 0<ab1]0;1]et on a: a;b
D’où 0<ab1
d’où -1<ab-10
et comme ab>0 alors
1
0
ab
ab


et b ]0;1]
 0<b1

42. Donc la fonction est décroissante sur ]0;1]
Dans [1;+[ [1;+ [on a: a Signifie a1
On résume ses résultats
dans le tableau suivant
]0; 1][1.+[
Tableau de variation
D’où ab1 alors : ab-10
Et comme ab>0 alors 1
0
ab
ab


donc la fonction f est croissante dans [1;+[
x 0 1 +
f(x)
2
[1;+ [et b Signifie b1

43. Tableau de variation de f dans Df
x - -1 0 1 +
f(x)
2
-2
VI) valeur maximal-valeur minimal
‫قاعدة‬Définition
Soit f une fonction d’une variable réel
Dire que f admet un maximum en a sur l’intervalle I
signifie que : il existe un réel M tel que pour tout x dans I
f (x)  M et M = f (a).

44. Dire que f admet un minimum en b sur l’intervalle I
signifie que :
Il existe un réel m tel que pour tout x dans I : f (x) > m et
m = f (b)
Un extrémum est un maximum
ou un minimum.

45. Exercice d’application
Soit f une fonction définie par:
1
f(x) x
x
 
1)Etudier la parité de la fonction f et calculer f(1)
2)Montrer que pour tout x]0;+[; f(x)≥2
3)Déterminer la valeur minimale et la valeur maximal de f
S’il existe
Solution
1) Parité de f
Df = IR*

46. si xIR * alors -xIR*
1
f( x) x
x
   

1
x
x
    
 
= -f(x)
Donc f est impaire
Calcul de f(1)
1
1 1
1
f( )   = 2
2) Montrons que pour tout x ]0;+[ ; f (x ) ≥ 2
Soit x] ]∞+;0
1
2 2f(x) x
x
   
2
2 1x x
x
 

 
2
1x
x


et comme x>0 et (x-1)2≥0 alors f(x)≥2

47. 3)Déterminons la valeur minimal et la valeur maximal de f
D’après la question 1) et 2) on déduit pour tout x]0;+[
f (x) ≥ f (1). Donc f admet un minimum en 1
.soit x]-;0[ d’où -x]0;+[ On déduit f(-x)f(1)
Et comme f est impaire alors –f(x)≥f(1) d’où f(x)-f(1)
c.a.d f(x)f(-1)
Donc f admet une valeur maximal au nombre -1
Théorème
Soient a; b et c des réels tels que : a<b<c et f une fonction
d’une variable réel
Si f est croissante sur [a;b] et décroissante sur [b;c]alors f
admet un maximum au b

48. Si f est décroissante sur [a;b] et croissante sur [b;c] alors
Alors f admet un minimum au b
V)-Etude de variation d’une fonction
-position relative de deux courbes
Etude de variation d’une fonction f signifie :
•Déterminer son domaine de définition Df
•Etudier la variation de f et dresser un tableau de variation
Etude de position relative de deux courbes
Soit Cf et Cg les courbes représentatives,
dans un repère du plan, de deux fonctions
f et g sur un intervalle I
Les solutions de l’équation f(x)=g(x) dans l’intervalle I est
L’intersection des deux courbes Cf et Cg dans l’intervalle I

49. Etudier la position relative de deux courbes,
c’est préciser laquelle est au dessous ou au dessus
de l’autre, et en quels points elles se croisent.
Pour étudier la position relative de Cf et Cg sur
I, il suffit de comparer les fonctions f et g
en étudiant le signe de f(x) − g(x).
– si f(x) − g(x) > 0 pour tout x ∈ I, alors Cf est
strictement au dessus de Cg sur I
– si f(x) − g(x) < 0 pour tout x ∈ I, alors Cf est
strictement au dessous de Cg sur I.
– les solutions de l’´equation f(x) − g(x) = 0 sont les
abscisses des points d’intersection des deux courbes.

50. Exercice d’application
Soit f une fonction définie f (x) = x |x| − 4x
1) Etudier la parité de la fonction f
2)Montrer que pour tout x et y de[ ]∞+;0
4
f(x) f(y)
x y
x y

  

b) Etudier le sens de variation de f sur [0,2[ et ]2;+[
Et on déduire le sens de variation de f sur ]-;-2] et ]-2;0]
c) Donner un tableau de variation de f
4) Déterminer l’intersection de (Cf) et de la droite (D): y=-2x
3) Déterminer s’il existe un extremum de f

51. Solution
f ( x) = x| x| − 4x
1)Etudions la parité de f
On a: Df = IR
Pour tout xIR ;-x IR
f (−x) = −x |−x| + 4x = −(x| x| − 4x) = − f (x)
Donc f est impaire
2)a/Montrons pour touts x et y de [0;+[
4
f(x) f(y)
x y
x y

  


52. Pour x[0;+[ : f (x) = x2 − 4x
Soient x et y de [0,+[ tel que : x ≠ y
2 2
4 4f(x) f(y) x x y y
x y x y
   

 
   4x y x y (x y)
x y
   


  4x y (x y )
x y
  


=x+y-4
b) Déterminons le sens de variation de f dans [0;2[
et on déduire le sens de variation de f ]-2;0] et ]-;-2[
* Soient x et y de [0;2[ tel que x≠y d’où 0 ≤ y ≺ ‫و‬2 0≤ x ≺ 2

53. c.a.d 0 ≤ x + y ≺ −4 d’où -4≤ x + y − 4 ≺ 4
donc
0
f(x) f(y)
x y



Donc f est strictement décroissante sur [0;2[ et comme f
Est une fonction impaire alors f est strictement décroissante
Sur ]-2;0]
Soient x et y de ]2;+[ tel que x≠y d’où x>2 et y > 2
D’où x + y − 4 > 0 donc 0
f(x) f(y)
x y



Donc f est strictement croissante sur ]2;+[ et comme
est impaire alors f est croissante sur ]-;-2[

54. c) Tableau de variation de f
x - -2 2 +
f(x)
3) Déterminons les extremums de f
Et comme f est strictement croissante sur ∞+;2[ [et
]2−;−∞[ et décroissante sur [-2;2] ; alors la valeur
maximale de f en -2 est 4 et la valeur minimal de f en 2
est -4
4) Déterminons l’intersection de (Cf ) et la droite (D)
D’équation y=-2x
Pour déterminer l’intersection de (Cf) et (D) on ressoude
L’équation : x|x|-4x=-2x
4
-4

55. x| x| − 4x = −2x x|x|-2x=0
 x ( |x| − 2) = 0
 |x| = 2 ou x = 0
 x = − 2 ou x = 2 ou x = 0
Donc (Cf) et (D)
se rencontrent
aux points d’abscisses
-2;0 et 2
2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7-8
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0 1
1
y

56. Exercice N°2
Soit f une fonction définie par: 2
1
x
f(x)
x



1) Définie Df et montrer que f est impaire
2) Montrer que pour tout a et b de Df
  2 2
1
1 1
f(a) f(b) ab
a b a b
 

  
3) Déterminer les variations de f sur [0;1[ et ]1;+[
Et en déduire le sens de variation de f sur ]-1;0] et ]-;-1[
4) Dresser le tableau de variation de f

57. Solution
2
1
x
f(x)
x



1)Déterminons Df
Soit xIR
xDf  x2 −1 ≠ 0  x2 ≠ 1  x ≠ − et 1 x ≠ 1
Donc Df = IR −{− {1;1
*Montrons que f est impaire
Pour tout xIR −{−1;1} on a: -x  IR −{− {1;1
Soit xIR −{− {1;1
 
 
2
1
x
f( x)
x
 
 
 
2
1
x
x

 2
1
x
x

 

= -f(x)
Donc f est impaire

58. 2) Montrons pour touts réels a et b de Df
  2 2
1
1 1
f(a) f(b) ab
a b a b
 

  
Soient a et b de IR –{-1;1} tels que a ≠ b
f(a) f(b)
a b



2 2
1 1
a b
a b
a b
 

  

2 2
2 2
1 1 1
1 1
a(b ) b(a )
(a )(b ) a b
   

  
2 2
2 2
1 1
ab a ba b
(a )(b )(a b)
   

   2 2
1 1
ab(a b) a b
(a )(b )(a b)
  

  
2 2
1
1 1
(a b)(ab )
(a )(b )(a b)
 

   2 2
1
1 1
(ab )
(a )(b )


 

59. 3) Déterminons le sens de variation de f sur [0,1[ et ]1;+[
et on déduire son sens de variation sur ]-1;0] et ]-;-1[
Pour tout réels a et b de IR −{− {1;1
  2 2
1
1 1
f(a) f(b) ab
a b a b
 

  
Soient a et b de [0 ]1;
Si 0 ≤ b ≺ 1 et 0 ≤ a ≺ 1 alors 0 ≤ b2 ≺ 1 et 0 ≤ a2 ≺ 1
et 0ab<1
D’où : −1≤ b2 −1≺ 0 et −1≤ a2 −1≺ 0 et 1≤ ab +1≺ 2
Donc
  2 2
1
0
1 1
ab
a b


 
D’où f est croissante sur [0,1]

60. et comme f est impaire alors f est croissante ]
Soient a et b de ] ]∞+;1
si b>1 et a>1 alors b2>1 et a2>1 et ab >1
D’où : b2 −1>0 et a2 −1> 0 et ab +1 > 2
d’ou
  2 2
1
0
1 1
ab
a b


  Donc f est croissante sur ] ]∞+;1
Et comme f est impaire alors f est croissante sur ]−∞;− ]1
4)Tableau de variation de f
x - -1 0 1 +
f(x)