Dokumen tersebut membahas tentang bidang singgung dan diferensial total dari suatu fungsi. Bidang singgung merupakan bidang yang tegak lurus terhadap gradien fungsi pada titik tertentu di permukaan yang ditentukan oleh fungsi tersebut. Diferensial total mewakili perubahan kecil pada variabel tak bebas yang didefinisikan sebagai hasil turunan parsial fungsi terhadap variabel bebasnya. Diferensial total memberikan aproksimasi yang semakin baik

1. BIDANG SINGGUNG
dan
APROKSIMASI

2. BIDANG SINGGUNG
Suatu permukaan yang ditentukanoleh𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘.
(Perhatikanbahwa𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)dapatdituliskansebagai𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑧 = 0).
Tinjausebuahkurvapadaermukaanini yang melaluititik 𝑥 𝑜, 𝑦0, 𝑧0 .Jika𝑥 = 𝑥 𝑡 , y = y(t), dan
𝑧 = 𝑧 𝑡 adalahpersamaan parameter untukkurvaini, makauntuksemua𝑡,
𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 𝑘
DenganAturanRantai,
𝑑𝐹
𝑑𝑡
=
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑘 = 0
Kita dapatmenyatakaninidalambentuk gradient dari 𝐹 danturunandariekspresi vector
untukkurva𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝒊 + 𝑦 𝑡 𝒋 + 𝑧 𝑡 𝒌sebagai
𝛻𝐹 ∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0
𝑑𝑟
𝑑𝑡
menyinggungkurva. Sehingga gradient di (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) tegakluruspadagarissinggung di
titikini.
Argumentersebut valid untuksebarangkurva yang melalui (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) yang
terletakpadapermukaan𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘.

3. DEFINISI
Misalkan 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝑘menentukansuatupermukaandanandaikanbahwa𝐹terdiferensiasikan di
titik𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)daripermukaaninidengan𝛻𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ≠ 0. makabidang
yang melalui 𝑃 yang
tegaklurus 𝛻𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) disebutbidangsinggungterhadappermukaan di
𝑃.

4. Untuk permukaan 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 persamaanbidangsinggung di (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
adalah 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ∙ 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 = 0, yakni
𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑦 − 𝑦0 + 𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑧 − 𝑧0 = 0
Khususnya, untukpermukaan 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , persamaanbidangsinggung di
𝑥0, 𝑦0, 𝑓 𝑥0, 𝑦0 adalah𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑦 − 𝑦0 .
TEOREMA A (BIDANG SINGGUNG)

5. Bukti Pernyataanpertamaadalahlangsungdan yang
keduamenyusuldarinyadenganmeninjau𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑧.
Jika𝑧fungsi𝑥dan𝑦, katakanlah𝑧 =
𝑓 𝑥, 𝑦 ,makadaribagiankeduaTeorema A,
kitadapatmenuliskanpersamaanbidangsinggungsebagai
𝑧 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
Denganmembiarkan𝒑 = (𝑥, 𝑦)dan𝑷 𝟎 =
𝑥0, 𝑦0 ,kitalihatbahwapersamaanbidangsinggungadalah
𝑧 = 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) ∙ 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0
= 𝑓 𝒑 𝟎 + 𝛻𝑓(𝒑 𝟎) ∙ 𝒑 − 𝒑 𝟎

6. Diferensial dan Aproksimasi
Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) suatutitiktetappadapermukaan yang
berpadanan. Perkenalkansumbu-sumbukoordinatbaru (sumbu-
sumbu 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 dan 𝑑𝑧 ), sejajardengansumbu-sumbu lama,
dengan 𝑃 sebagaititikasal. Padasistem yang lama, bidangsinggung di
𝑃mempunyaipersamaan
𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑦 − 𝑦0
Tetapipadasistem yang barupersamaaninimengambilbentuksederhana
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑦

7. DEFINISI
Misalkan 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , dengan 𝑓 suatufungsi yang
dapatdidiferensiasikan, danmisalkan 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑦
(disebutdiferensialdiferensial 𝑥 dan 𝑦 ) berupavariabel-
variabel.Diferensialvariabeltak-bebas, 𝑑𝑧 ,
disebutjugaDiferensial total
dari𝒇danditulis𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 , didefinisikanoleh
𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝛻𝑓 ∙ 𝑑𝑥, 𝑑𝑦

8. Pentingnya 𝑑𝑧 munculdarikenyataanbahwajika 𝑑𝑥 = ∆𝑥 dan 𝑑𝑦 = ∆𝑦, masing-
masingmewakiliperubahankecildalam𝑥dan𝑦,maka𝑑𝑧akanberupasuatuaproksimas
i yang baikterhadap∆𝑧,perubahanpadanannyadalam𝑧.
Dan walaupun 𝑑𝑧 tidakkelihatansebagaisuatuaproksimasi yang
baikterhadap∆𝑧,dapatterlihatbahwaaproksimasiiniakansemakinbaikjika∆𝑥dan∆𝑦
semakinkecil.

9. FOR YOUR ATTENTION
Thank You