4. Chương 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 2.1. Giải các hệ phương trình:
a)
x1 − x2 + x3 = 6
2x1 + x2 + x3 = 3
x1 + x2 + 2x3 = 5
c)
x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6
2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 8
3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4
2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8
b)
2x1 − x2 − x3 = 4
3x1 + 4x2 − 2x3 = 11
3x1 − 2x2 + 4x3 = 11
Bài 2.2. Giải và biện luận các hệ phương trình:
a)
mx + y + z = 1
x + my + z = 1
x + y + mz = 1
c)
x + y + z = m
x + y + mz = 1
x + my + z = 1
mx + y + z = 1
e)
x − 2y + z + 2t = m
x + y − z + t = 2m + 1
x + 7y − 5z + t = m
b)
(1 + m)x + y + z = 1
x + (1 + m)y + z = m
x + y + (1 + m)z = m2
d)
x + 2y − z + 4t = 2
2x − y + z + t = 1
x + 7y − 4z + 11t = m
f)
2x − y + z + t = 1
x + 2y − z + 4t = 2
x + 7y − 4z + 11t = m
4x + 8y − 4z + 16t = m + 1
Bài 2.3. Tìm nghiệm tổng quát của các hệ phương trình:
a)
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
x1 + 2x3 − x4 = 0
x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0
c)
x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0
2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 0
3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0
2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0
b)
x1 − x2 + 5x3 − x4 = 0
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0
3x1 − x2 + 8x3 + x4 = 0
x1 + 2x2 − 9x3 + 7x4 = 0
d)
2x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0
3x1 − 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0
4x1 − 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0
Bài 2.4. Tìm m để hệ sau có nghiệm không tầm thường:
a)
mx − 3y + z = 0
2x + y + z = 0
3x + 2y − 2z = 0
b)
m2
x + 3y + 2z = 0
mx − y + z = 0
8x + y + 4z = 0
5
5. c)
8x + y + 3z = 0
4x − y + 7z = 0
x + my + 2z = 0
Bài 2.5. Cho hệ phương trình:
x + 2y + az = 3
3x − y − az = 2
2x + y + 3z = b
a) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Tìm a, b để hệ có vô số nghiệm.
c) Tìm a, b để hệ vô nghiệm.
Bài 2.6. Cho hệ phương trình:
x + y + mz = 1
x + my + z = a
x + (m + 1)y + (m + 1)z = b
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Tìm a, b để hệ có nghiệm với mọi giá trị m.
6
6. Chương 3
KHÔNG GIAN VECTƠ n CHIỀU Rn
Bài 3.1. Các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian
tương ứng?
a) (4, −2, 6); (6, −3, 9) trong R3
b) (2, −3, 1); (3, −1, 5); (1, −4, 1) trong R3
c) (5, 4, 3); (3, 3, 2); (8, 1, 3) trong R3
d) (4, −5, 2, 6); (2, −2, 1, 3); (6, −3, 3, 9); (4, −1, 5, 6) trong R4
e) (1, 0, 0, 2, 5); (0, 1, 0, 3, 4); (0, 0, 1, 4, 7); (2, −3, 4, 11, 12) trong R5
Bài 3.2. Biểu diễn tuyến tính vectơ x qua các vectơ u, v, w :
a) x = (7, −2, 15); u = (2, 3, 5); v = (3, 7, 8); w = (1, −6, 1)
b) x = (−2, 1, −1); u = (2, 3, 5); v = (0, −1, 1); w = (2, 0, 3)
c) x = (1, 4, −7, 7); u = (4, 1, 3, −2); v = (1, 2; −3, 2); w = (16, 9, 1 − 3)
Bài 3.3. Xác định m để x là tổ hợp tuyến tính của u, v, w :
a) x = (9, 12, m); u = (3, 4, 2); v = (6, 8, 7)
b) x = (5, 9, m); u = (4, 4, 3); v = (7; 2; 1); w = (4, 1, 6)
c) x = (1, 3, 5); u = (3, 2, 5); v = (2, 4, 7); w = (5, 6, m)
Bài 3.4. Tùy theo m, xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ sau:
a) (m, −1, −1); (−1, m, −1); (−1, −1, m)
b) (1, 2m, −2, 1); (−1, 3, −2, m + 1); (2, −m, 0, −1)
Bài 3.5. Tìm hạng của các hệ vectơ sau:
a) (1, 0, 1); (1, 2, 3); (2, 2, 4)
b) (1, 0, −1, 1); (0, 1, 0, 2); (1, 0, 2, 1); (0, 1, 1, 2)
c) (5, 2, −3, 1); (4, 1, −2, 3); (1, 1, −1, −2); (3, 4, −1, 2)
d) (1, 2, 3, −4); (2, 3, −4, 1); (2, −5, 8, −3); (5, 26, −9, −12); , (3, −1, 1, 2)
Bài 3.6. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi các vectơ sau trong các không
gian tương ứng:
7
7. a) (1, −1, 2); (2, 1, 3); (−1, 5, 0) trong R3
b) (2, 4, 1); (3, 6, −2);
−1, 2, −1
2
trong R3
c) (1, 0, 1, −2); (1, 1, 3, −2); (2, 1, 5, −1); (1, −1, 1, 4) trong R4
d) (1, 0, 0, −1); (1, 1, 1, 1); (1, 2, 3, 4); (0, 1, 2, 3) trong R4
Bài 3.7. Tùy theo m, xác định hạng của các hệ vectơ sau:
a) (1, 2, 3, 0, 1); (1, 3, 4, 2, 0); (2, 4, 6, 1, 4); (2, 5, 7, 2, m)
b) (2, 1, 3, 4, 2, 8); (1, 0, 1, 1, 0, 0); (3, 4, 2, 4, 1, −1); (5, 5, 5, 8, 3, m)
c) (−1, 2, 1, −1, 1); (m, −1, 1, −1, −1); (1, m, 0, 1, 1); (1, 2, 2, −1, 1)
Bài 3.8. Chứng tỏ các tập L được xác định sau đây là không gian con của các không gian con
của các không gian tương ứng, tìm một cơ sở và số chiều của chúng.
a) L =
x = (x1, x2, x3) ∈ R3
| x1 − 2x2 + x3 = 0
b) L =
n
x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4
| x1 = x3; x2 = 2x4
o
c) L =
x = (x1, x2, x3) ∈ R3
|
2x1 + x2 + 3x3 = 0
x1 + 2x2 = 0
x2 + x3 = 0
d) L =
x = (x1, x2, x3) ∈ R3
|
x1 − 3x2 + x3 = 0
2x1 − 6x2 + 2x3 = 0
3x1 − 9x2 + 3x3 = 0
Bài 3.9. Trong R5
, cho hệ vectơ α1 = (1, 1, −2, 1, 4); α2 = (0, 1, −1, 2, 3), α3 = (1, −1, 0, −3, 0).
a) Tìm một cơ sở và số chiều của Span {α1, α2, α3}
b) Cho α = (1, m, 1, m − 3, −5). Tìm m để α ∈ Span {α1, α2, α3}.
c)
Bài 3.10. Cho các vectơ u1 = (1, 1, 2), u2 = (−1, 1, 1), u3 = (2, −1, 0).
a) Chứng minh rằng hệ vectơ U = {u1, u2, u3} là một cơ sở của không gian R3
.
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U và từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc.
c) Cho vectơ a = (3; 2; 1), tìm tọa độ của vectơ a theo cơ sở U.
d) Tìm vectơ b, biết tọa độ của b theo cơ sở U là [u]|U = (1, −2, −1).
Bài 3.11. Trong không gian R3
, cho các vectơ:
U = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)}
V = {v1 = (0, 0, 1), v2 = (1, −1, 0), v3 = (1, 1, 1)}
a) Chứng mình U, V là hai cơ sở của R3
.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V. Từ đó suy ra công thức đổi tọa độ từ cơ sở U sang
cơ sở V.
c) Cho vectơ a có tọa độ theo cơ sở U là [a]|u = (1, 2, 3) Tìm tọa độ của a theo cơ sở V.
8
8. d) Cho vectơ b có tọa độ theo cơ sở V là [b]|V = (0, 1, 2) Tìm tọa độ của b theo cơ sở U.
Bài 3.12. Trong không gian R3
, cho một cơ sở U =
u1, u2,3 và hệ vectơ
V = {v1 = 2u1 − u2 + u3, v2 = 3u2 + u3, v3 = u2 − u3}
a) Chứng minh: V là cơ sở của R3
.
b) Xác định ma trận chuyển cơ sở từ U sang V.
c) Cho vectơ x có tọa độ trong cơ sở U là (1, 2, 1). Tìm tọa độ của x trong cơ sở V.
9
9. Chương 4
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Bài 4.1. Hãy xác định giá và lượng cân bằng của thị trường hai hàng hóa, cho biết hàm cung
và hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau:
a) Hàng hóa 1: Qs1 = −2 + 4p1, Qd1 = 18 − 3p1 + p2,
Hàng hóa 2: Qs2 = −2 + 3p2, Qd2 = 12 + p1 − 2p2.
b) Hàng hóa 1: Qs1 = −1 + 2p1, Qd1 = 20 − p1 + p2,
Hàng hóa 2: Qs2 = −10 + 2p2, Qd2 = 40 + p1 − 2p2.
Bài 4.2. Hãy xác định giá và lượng cân bằng của thị trường ba hàng hóa, cho biết hàm cung và
hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau:
Hàng hóa 1: Qs1 = 3p1, Qd1 = 120 − p1 + p2 + 2p3,
Hàng hóa 2: Qs2 = −10 + 2p2, Qd2 = 150 + p1 − 2p2 + p3,
Hàng hóa 3: Qs3 = −20 + 5p3, Qd3 = 250 + 2p1 + 2p2 − 3p3.
Bài 4.3. Xét mô hình kinh tế vĩ mô trong trường hợp nền kinh tế đóng, biết rằng
C = 60 + 0, 7Yd, Yd = (1 − t)Y
Y = 90, G = 140(triệu USD)
Hãy xác định mức thu nhập quốc dân và mức tiêu dùng cân bằng khi nhà nước không thu thuế
thu nhập (t = 0) và khi nhà nước thu thuế thu nhập theo tỉ lệ 40% (t = 0, 4).
Bài 4.4. Cho biết các thông tin sau đây về một nền kinh tế đóng, với lãi suất r tính bằng % và
các biến còn lại tính bằng triệu USD:
C = 0, 8Yd + 15
Yd = Y − T (T là thuế), T = 0, 25Y − 25
I = 65 − r, G = 94
L = 5Y − 50r, M0 = 1500
Hãy xác định mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng.
Bài 4.5. Giả sử một nền kinh tế có 4 ngành. Quan hệ sản phẩm giữa các ngành và cầu cuối đối
với sản phẩm của mỗi ngành như sau:
10
10. Ngành cung cấp Ngành sử dụng sản phẩm (Input) Cầu
sản phẩm (Output) 1 2 3 4 cuối
1 80 20 110 230 160
2 200 50 90 120 140
3 220 110 30 40 0
4 60 140 160 240 400
Hãy tính cầu đối với sản phẩm của ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật (tính xấp xĩ đến 3
chữ số thập phân).
Bài 4.6. Mỗi ngành trong nền kinh tế xác định tổng sản phẩm của mình căn cứ vào mức tổng
cầu. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối B:
A =
0, 05 0, 25 0, 34
0, 33 0, 10 0, 12
0, 19 0, 38 0
, B =
1800
200
900
a) Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần từ 0, phần tử 0,25 của ma trận A và phần tử 900 của
ma trận B.
b) Tính tổng các phần tử của cột thứ hai của A và giải thích ý nghĩa kinh tế.
c) Tính tổng các phần tử của dòng thứ nhất của A và giải thích ý nghĩa kinh tế.
d) Xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành.
e) Tính giá trị gia tăng của mỗi ngành.
Bài 4.7. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối B. Hãy xác định tổng cầu đối
với sản phẩm và tổng chi phí trực tiếp (chi phí mua các sản phẩm đầu vào) của mỗi ngành, khi
tổng sản phẩm của mỗi ngành đúng bằng tổng cầu:
a) A =
0, 2 0, 3 0, 2
0, 4 0, 1 0, 3
0, 3 0, 5 0, 2
, B =
150
200
210
b) A =
0, 4 0, 3 0, 1
0, 2 0, 2 0, 3
0, 2 0, 4 0, 2
, B =
140
220
180
11
