Limite de Funções: Definições e Propriedades

Anota¸cões sobre limite de fun¸cões
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡

Sumário
1 Limite de fun¸cões 3
1.1 Limite de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Limite e sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Propriedades aritméticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Fun¸cão de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Limite da composi¸cão de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Teorema do sandu´ıche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Critério de Cauchy para limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Defini¸cões com limites de x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Defini¸cões com limites de x → −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Defini¸cões de limites tendendo ao infinito . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 Defini¸cões de limites tendendo a menos infinito . . . . . . . . . . . 19
1.5.5 Critério de compara¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.6 lim
x→a
f(x) = ∞ e sequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Limites de fun¸cões em espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Stolz-Cesàro para limite de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2

Cap´ıtulo 1
Limite de fun¸cões
1.1 Limite de fun¸cões
Defini¸cão 1 (Defini¸cão de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de números reais, f de
A em R uma fun¸cão real cujo dom´ınio é A e a ∈ A′
um ponto de acumula¸cão do conjunto
A. Definimos
lim
x→a
f(x) = L
sse
∀ε > 0, ∃δ > 0|x ∈ A, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.
Dizemos que L é o limite de f quando x tende para a ou que limite de f(x) com x
tendendo para a é L.
0 < |x − a| < δ significa que x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ), ou x ∈ (a − δ, a + δ), x ̸= a.
Pela defini¸cão dada, não é necessário que a ∈ A em lim
x→a
f(x), precisamos apenas que
a ∈ A′
, isto é, todo intervalo (a − δ, a + δ) possua pontos de A distintos de a. A fun¸cão f
pode mesmo não estar definida em a e quando está definida em a, não vale necessariamente
lim
x→a
f(x) = f(a).
Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A′
onde A é o dom´ınio da fun¸cão
da qual queremos estudar lim
x→a
f(x).
3

CAPÍTULO 1. LIMITE DE FUNÇ ÕES 4
Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se lim
x→a
f(x) = L1
e lim
x→a
f(x) = L2 então L1 = L2.
Demonstra¸cão. ∀ε > 0 existem (δ1, δ2)(> 0) tais que para x ∈ A vale 0 <
|x − a| < δ1 implica |f(x) − L1| <
ε
2
e 0 < |x − a| < δ2 implica |f(x) − L2| <
ε
2
, usando a
desigualdade triangular para δ = min{δ1, δ2} segue |L1−L2| ≤ |L1−f(x)|+|f(x)−L2| < ε
o que significa que L1 = L2.
Propriedade 2 (Limite da fun¸cão constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A então
lim
x→a
g(x) = c.
Demonstra¸cão. Tem-se que g(x)−c = 0 logo |g(x)−c| = 0 ∀x ∈ A então ∀ε > 0
∃δ > 0| x ∈ A, 0 < |x − a| < δ ⇒ |g(x) − c| = 0 < ε.
Exemplo 1. Seja f : R∗
→ R dada por f(x) = x⌊
1
x
⌋ então f(x) = 0 para x > 1,
pois 0 <
1
x
< 1 e da´ı ⌊
1
x
⌋ = 0, isso implica que
lim
x→∞
x⌊
1
x
⌋ = 0.
Propriedade 3 (Limite da fun¸cão identidade). Seja g : A → R dada por g(x) = x
então vale
lim
x→a
g(x) = a.
Lembrando que a não necessariamente pertence ao conjunto A, então a princ´ıpio não
tem-se g(a) = a.
Demonstra¸cão. Tomamos δ = ε e da´ı Para 0 < |x − a| < δ tem-se |g(x) − a| =
|x − a| < δ = ε.
Exemplo 2. Dada uma fun¸cão r : R → R tal que lim
h→0
r(h)
h
= 0 pode não vale que
lim
h→0
r(h)
h2
= 0, por exemplo, r(h) = h2
, tem-se
r(h)
h
= h e
r(h)
h2
= 1.
1.1.1 Limite e sequências
⋆ Teorema 1 (Critério de sequências para limite). lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
n→∞
f(xn) = L
para toda sequência de pontos xn ∈ A {a} tal que lim xn = a.

Demonstra¸cão. ⇒.Suponhamos que lim
x→a
f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A{a}.
Pela defini¸cão de limite tem-se que ∀ε > 0 ,∃δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ, x ∈ A ⇒ |f(x) − L| < ε
e pelo limite da sequência ∀ε1 > 0, ∃n0 ∈ N|n > n0 ⇒ 0 < |xn −a| < ε1, como é garantida
a rela¸cão para qualquer ε1 > 0, tomamos ε1 = δ de onde segue 0 < |xn − a| < δ, usando
essa desigualdade com a defini¸cão do limite de f(x) segue |f(xn) − L| < ε que implica
lim f(xn) = L.
⇐ Agora para provar a rec´ıproca, vamos usar a contrapositiva que é
lim
x→a
f(x) ̸= L ⇒ lim f(xn) ̸= L.
∃ε > 0 tal que ∀n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 < |xn − a| <
1
n
e |f(xn) − L)| ≥ ε.
Então xn → a, mas não se tem lim f(xn) = L.
Corolário 1 (Critério de divergência por sequências). Dadas duas sequências (xn), (yn) ∈
A {a} com lim xn = lim yn = a então se lim f(xn) ̸= lim f(yn) ou um deles não existir,
então lim
x→a
f(x) não existe.
Exemplo 3. Sejam f : gR → R definidas como
X f(x) = 0 se x ∈ R Q, f(x) = x se x ∈ Q.
X g(0) = 1 e g(x) = 0 se x ̸= 0.
Nessas condi¸cões vale lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0 e não existe lim
x→0
g(f(x)).
Vale lim
x→0
f(x) = 0, pois tomamos ε = δ então par 0 < |x| < δ vale |f(x)| < δ = ε,
tanto para x irracional, pois no caso vale |f(x)| = 0 < ε, tanto no caso de x racional pois
nesse caso vale |f(x)| = |x| < δ = ε, então em qualquer desses casos temos |f(x)| < ε.
Também vale que lim
x→0
g(x) = 0, pois tomando ε = δ, 0 < |x| < δ implica x não nulo,
portanto g(x) = 0 e da´ı |g(x)| = 0 < δ = ε.
Não existe lim
x→0
g(f(x)).
Seja xn → 0 por valores racionais, então f(xn) = xn e da´ı lim g(f(xn)) = lim g(xn) = 0.
Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f(yn) = 0 e lim g(f(yn)) = lim g(0) = 1,

logo não pode existir lim
x→0
g(f(x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero
(usamos o critério de divergência por meio de sequências).
Propriedade 4. Se ∀(xn) em A {a} com lim xn = a implicar (f(xn)) convergente
então lim
x→a
f(x) existe.
Demonstra¸cão. Usaremos que lim
x→a
f(x) = L ⇔ ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a
vale lim f(zn) = L. Por isso vamos tomar duas sequências arbitrárias (xn) e (yn) com
lim xn = lim yn = a em A {a} e vamos mostrar que lim f(xn) = lim f(yn). Tomamos
(zn) definida como z2n = xn e z2n−1 = yn, da´ı lim zn = a, portanto lim f(zn) existe, como
(f(xn)) e (f(yn)) são subsequências de (f(zn)) então elas convergem para o mesmo limite
L, da´ı provamos que ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L que implica
lim
x→a
f(x) = L.
Propriedade 5. Seja f : A → R, a ∈ A′
, B = f(A {a}). Se lim
x→a
f(x) = L então
L ∈ B.
Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f(A {a}), isto
é, existem pontos de f(A {a}) arbitrariamente próximos de L.
Demonstra¸cão. Usaremos o critério de sequências. Como lim
x→a
f(x) = L, então
existe sequência (xn) em A {a} tal que lim f(xn) = L, da´ı tome f(xn) = yn, (yn) é uma
sequência em f(A {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B.
Exemplo 4. lim
x→0
sen(
1
x
) não existe.
Tomamos as sequências xn =
1
2nπ
e yn =
1
2nπ + π
2
vale lim xn = 0 = lim yn e
sen(
1
xn
) = sen(2nπ) = 0 e sen(2nπ+
π
2
) = 1 logo os limites são distintos então lim
x→0
sen(
1
x
)
não existe.
Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1, 1], tomando xn =
1
t + 2πn
vale
lim xn = 0 e sen(
1
xn
) = sen(t + 2πn) = sen(t) = v.
Exemplo 5. lim
x→0
1
x
não existe, pois se existisse seria um número real a e tomando
a sequência xn =
1
n
, ter´ıamos que ter lim n = a o que não acontece, pois vale lim n = ∞.

Exemplo 6. lim
x→a
⌊x⌋ não existe se a ∈ Z.
Tomamos as sequências que convergem para a, xn = a −
1
n + 1
e yn = a +
1
n + 1
, da´ı
⌊xn⌋ = a − 1 e ⌊yn⌋ = a, logo essas sequências não tem o mesmo limite, implicando que
não existe lim
x→a
⌊x⌋.
Exemplo 7. Seja f : R {0} dada por f(x) =
|x|
x
, então lim
x→0
|x|
x
não existe. Se
x > 0 então
|x|
x
=
x
x
= 1 se x < 0,
|x|
x
=
−x
x
= −1, tomamos uma sequência xn =
1
n
da´ı
f(xn) = 1 e tomando yn =
−1
n
tem-se f(yn) = −1, os limites são distintos, logo lim
x→0
|x|
x
não existe.
Exemplo 8. Se a não é inteiro, então lim
x→a
⌊x⌋ = ⌊a⌋.
Dado a não inteiro, tem-se que a ∈ (m, m+1) onde m é inteiro, logo podemos escolher
δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ (m, m + 1) e da´ı para esses valores, vale ⌊x⌋ = m = ⌊a⌋,
implicando que ⌊x⌋ − ⌊a⌋ < ε para qualquer ε > 0.
Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f, gA → R. Se g(x) é limitada numa vizi-
nhan¸ca de a e lim
x→a
f(x) = 0 então lim
x→a
f(x).g(x) = 0.
Demonstra¸cão. Tomamos uma sequência (xn) em A tal que lim xn = a, temos
que (g(xn)) é limitada e lim f(xn) = 0, logo lim f(xn)g(xn) = 0, por propriedade de
sequências, como a sequência (xn) é arbitrária, segue que lim
x→a
f(x).g(x) = 0.
Exemplo 9. lim
x→0
x⌊
1
x
⌋ = 1 pois escrevemos
1
x
= ⌊
1
x
⌋ + {
1
x
} da´ı
x⌊
1
x
⌋ = 1 − x{
1
x
}
como {
1
x
} é limitada, segue que lim
x→0
x⌊
1
x
⌋ = 1.
1.2 Propriedades aritméticas dos limites
Propriedade 7 (Limite da soma). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M então lim
x→a
f(x) +
g(x) = L + M.

Demonstra¸cão. Tomamos uma sequência (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequências lim f(xn) +
g(xn) = L + M, pela arbitrariedade da sequência (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x) + g(x) =
L + M.
Propriedade 8. Se lim
x→a
fk(x) = Lk então
lim
x→a
n∑
k=1
fk(x) =
n∑
k=1
Lk.
Demonstra¸cão.
Propriedade 9 (Limite do quociente). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M ̸= 0 então
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
.
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequências
lim
f(xn)
g(xn)
=
L
M
pela arbitrariedade da sequência (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
.
Propriedade 10 (Limite do produto). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M ̸= 0 então
lim
x→a
f(x)g(x) = L.M
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequências
lim f(xn)g(xn) = LM
pela arbitrariedade da sequência (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x)g(x) = L.M
x→a
fk(x) = Lk então
lim
x→a
n∏
k=1
fk(x) =
n∏
k=1
Lk.
Corolário 2. Se p ∈ N, f : A → R dada por f(x) = xp
então
lim
x→a
xp
= ap
.

Corolário 3. Se f : A → R é polinomial f(x) =
n∑
k=0
akxk
então
lim
x→c
n∑
k=0
akxk
=
n∑
k=0
akck
.
Demonstra¸cão.
1.2.1 Fun¸cão de Dirichlet
Defini¸cão 2 (Fun¸cão de Dirichlet). É a fun¸cão g : R → R definida como
g(x) =



1 se x ∈ Q
0 se x /∈ Q
Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R não existe lim
x→a
g(x).
Demonstra¸cão. Como Q e R Q são ambos densos em R, podemos tomar uma
sequência de racionais (xn) que converge para a e da´ı g(xn) = 1, então lim g(xn) = 1,
porém tomando uma sequência (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos g(yn) = 0
e lim g(yn) = 0, como os limites são diferentes segue que lim
x→a
g(x) não existe.
1.2.2 Limite da composi¸cão de fun¸cões
⋆ Teorema 2 (Limite da composi¸cão de fun¸cões). Sejam A, B ⊂ R, f de A em R e g
de B em R com f(A) ⊂ B. Se lim
x→a
f(x) = b e lim
y→b
g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se
lim
x→a
g(f(x)) = c.
Demonstra¸cão. Da existência do limite de g(x) temos que para todo ε > 0
existe δ1 > 0 tal que y ∈ B, |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde tiramos a restri¸cão
de y ̸= b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existência do limite
de f tomando δ1 como εf , ε para f, temos que para δ1 existe δ2 > 0 tal que x ∈ A,
0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f(x) − b| < δ1 como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do
primeiro limite que |g(f(x)) − c| < ε implicando que lim
x→a
g(f(x)) = c.
Se x ̸= a implicar f(x) ̸= b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento
com pequenas altera¸cões:

Da existência do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que y ∈ B,
0 < |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde agora mantemos a restri¸cão de y ̸= b. Usando a
existência do limite de f tomando δ1 como εf , ε para f, temos que para δ1 existe δ2 > 0
tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ 0 < |f(x) − b| < δ1 ( aqui usamos que x ̸= a implica
f(x) ̸= b) como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que
|g(f(x)) − c| < ε implicando que lim
x→a
g(f(x)) = c.
Exemplo 10. Nesse exemplo mostramos que é necessário supor g(b) = c. Suponha
que g(x) = x, ∀x ̸= 1 e g(1) = 0. Temos que
lim
x→1
g(x) = 1 ̸= g(1) = 0.
Tomando f(x) = 1, ∀x, segue que
lim
x→a
f(x) = 1,
porém
lim
x→a
g(f(x)) = lim
x→a
g(1) = 0 ̸= lim
x→1
g(x) = 1.
1.3 Limites e desigualdades
1.3.1 Teorema do sandu´ıche
⋆ Teorema 3 (Teorema do sandu´ıche). Sejam f, g, h de A em R, a ∈ A′
e lim
x→a
f(x) =
lim
x→a
g(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A {a} então lim
x→a
h(x) = L.
Demonstra¸cão. ∀ε > 0 ∃(δ1, δ2)(> 0) tais que x ∈ A,
0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f(x) < L + ε
e
0 < |x − a| < δ2 ⇒ L − ε < g(x) < L + ε
, tomando δ = min{δ1, δ2} tem-se L − ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L + ε
que implica lim
x→a
h(x) = L.

Propriedade 13. Sejam f, g de A em R, a ∈ A′
,se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M com
M > L então existe δ > 0 tal que g(x) > f(x) para todo x ∈ A com 0 < |x − a| < δ.
Demonstra¸cão. Pela defini¸cão de limite temos ∀ε > 0, ∃δ1 > 0 tal que x ∈ A ,
0 < |x−a| < δ1 implica f(x) ∈ (L−ε, L+ε) e o mesmo para g(x) , ∃δ2 > 0 tal que x ∈ A
, 0 < |x − a| < δ2 implica g(x) ∈ (M − ε, M + ε), podemos tentar tomar M − ε = L + ε,
com isso
M − L
2
= ε, como M > L tal ε cumpre a condi¸cão ε > 0, tomando ε =
M − L
2
e δ = min{δ1, δ2} tem-se f(x) < L − ε = M − ε < g(x), isto é, f(x) < g(x) para x ∈ A,
0 < |x − a| < δ.
Corolário 4. Se lim
x→a
f(x) = L < M então existe δ > 0 tal que f(x) < M para todo
x ∈ A com 0 < |x − a| < δ.
Tome g(x) = M para todo x ∈ A, assim lim
x→a
g(x) = M e aplicamos a propriedade
anterior.
Corolário 5. Sejam lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M. Se g(x) ≥ f(x) para todo
x ∈ A − {a} então M ≥ L.
Pois se fosse L > M, existiria δ > 0 tal que f(x) > g(x) para 0 < |x − a| < δ o que
entra em contradi¸cão com g(x) ≥ f(x).
Corolário 6 (Conserva¸cão de sinal). Se lim
x→a
g(x) = M > 0 então existe δ > 0 tal que
g(x) > 0 para todo x ∈ A com 0 < |x−a| < δ, tomamos f(x) = 0 e usamos a propriedade
já demonstrada.
Propriedade 14 (Existência de limite e limita¸cão da fun¸cão). Sejam X ⊂ R, f :
X → R, a ∈ X′
. Se existe lim
x→a
f(x) então f é limitada numa vizinhan¸ca de a, isto é,
existem A > 0, δ > 0 tais que 0 < |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ |f(x)| < A.
Seja L = lim
x→a
f(x) e ε = 1 na defini¸cão de limite, então existe
δ > 0|x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < 1
L − 1 < f(x) < L + 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se
−L − 1 < −f(x) < −L + 1

como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L + 1 ≤ |L| + 1 e −L + 1 ≤ |L| + 1 e
−f(x) ≤ |L| + 1, f(x) ≤ |L| + 1 ⇒ |f(x)| ≤ |L| + 1
tomando A = |L| + 1 segue a propriedade.
1.3.2 Critério de Cauchy para limites
Propriedade 15. lim
x→a
f(x) existe sse
∀ε > 0 ∃δ > 0 |0 < |x − a| < δ, 0 < |y − a| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε.
Demonstra¸cão. Se lim
x→a
f(x) = L então
∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, |x − a| < δ, |y − a| < δ ⇒ |f(x) − b| <
ε
2
, |f(y) − b| <
ε
2
tomando a desigualdade triangular segue
|f(x) − f(y)| ≤ |f(y) − b| + |f(x) − b| <
ε
2
+
ε
2
= ε
logo nessas condi¸cões |f(x) − f(y)| < ε.
Para toda sequência de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condi¸cões dadas a
sequência (f(xn)) é de Cauchy em R como R é completo ela converge o que implica que
existe o limite lim
x→a
f(x).
1.4 Limites laterais
Defini¸cão 3 (Limite à direita). Seja a ponto de acumula¸cão à direita de A, isto é,
∀δ > 0 vale A ∩ (a, a + δ) ̸= ∅ então
lim
x→a+
f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.
Podemos escrever 0 < x − a < δ como a < x < a + δ.
Defini¸cão 4 (Limite à esquerda). Seja a ponto de acumula¸cão à esquerda de A, isto
é,∀δ > 0 vale A ∩ (a − δ, a) ̸= ∅ então
lim
x→a−
f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < a − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.

Podemos denotar os limites laterais como
lim
x→a−
f(x) = f(a−
)
lim
x→a+
f(x) = f(a+
).
Propriedade 16. Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X
′
+. Tomando Y = X ∩ (a, +∞) e
g = f|Y então
lim
x→a+
f(x) = L ⇔ lim
x→a
g(x) = L.
Demonstra¸cão. Se x ∈ Y temos x ∈ (a, +∞), de onde segue a < x, 0 < x − a.
Se lim
x→a+
f(x) = L ⇒
∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ X, 0 < x − a < δ ⇒ f(x) ∈ (L − ε, L + ε)
de x ∈ X e 0 < x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f(x) ∈ (L − ε, L + ε)
que implica lim
x→a
g(x) = L.
Se lim
x→a
g(x) = L então
∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ Y, 0 < x − a < δ ⇒ |g(x) − L| < ε
mas em Y , g = f então |f(x) − L| < ε que implica lim
x→a+
f(x) = L.
Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A
′
+ ∩ A
′
− então lim
x→a
f(x) = L sse
existem e são iguais os limites laterais
lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x)
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x) então ∀ε > 0, ∃(δ1, δ2)(> 0) tais
que x ∈ X ∩(a, a + δ1) implica |f(x) −L| < ε e x ∈ X ∩(a −δ2, a) implica |f(x) −L| < ε.
Tomando δ = min{δ1, δ2} então x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) implica |f(x) − L| < ε e
lim
x→a
f(x) = L. Falta a outra parte.
Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A → R uma fun¸cão monótona limitada, a ∈ A′
+
e b ∈ A′
−. Então existem os limites laterais
lim
x→a+
f(x) = L, lim
x→b−
f(x) = M.

Demonstra¸cão. Seja B = inf{f(x), x ∈ A, x > a}, tal conjunto é não vazio pois a
é ponto de acumula¸cão à direita e limitado inferiormente , pois f é limitada inferiormente,
logo ele possui´ınfimo L . L+ε não é cota inferior de B , logo existe δ > 0 tal que a+δ ∈ A
e vale L ≤ f(a + δ) < L + ε, como f é não-decrescente tem-se com a < x < a + δ que
L ≤ f(x) < f(a + δ) < L + ε da´ı lim
x→a+
f(x) = L.
Exemplo 11. Vale lim
x→a+
⌊x⌋ = a e lim
x→a−
⌊x⌋ = a − 1 logo não existe o limite lim
x→a
⌊x⌋
se a é inteiro. Podemos tomar δ < 1 com a < x < a + δ < a + 1 e nesse intervalo vale
⌊x⌋ = a logo lim
x→a+
⌊x⌋ = a, da mesma maneira tem-se a − 1 < a − δ < x < a, logo nesse
intervalo vale ⌊x⌋ = a − 1 de onde tem-se lim
x→a−
⌊x⌋ = a − 1 .
Propriedade 19. lim
x→a+
f(x) = L ( lim
x→a−
f(x) = L) ⇔ ∀(xn) em A decrescente (cres-
cente) com lim xn = a tem-se lim f(xn) = L.
Demonstra¸cão. Vale que lim
x→a+
f(x) = L ⇔ lim
x→a
g(x) = L onde g : B → R onde
B = A ∩ (a, ∞). Porém lim
x→a
g(x) = L ⇔ ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L.
Vamos então provar a propriedade.
⇒). Se lim
x→a+
f(x) = L então lim
x→a
g(x) = L que implica ∀(xn) em B com lim xn = a
vale lim g(xn) = L, em especial para as sequências (xn) que sejam decrescentes.
⇐). Vamos usar a contrapositiva que é se lim
x→a
g(x) ̸= L então existe (xn) em A decres-
cente com lim xn = a tal que lim g(xn) ̸= L. Supondo que temos lim
x→a
g(x) ̸= L então existe
sequência (yn) em B com lim yn = a tal que lim g(yn) ̸= L, como (yn) ∈ (a, a + ε) ∩ A,
podemos tomar (xn) subsequência de (yn) tal que lim xn = a e lim g(xn) ̸= L (pois as
subsequências devem convergir para o mesmo valor das sequências), assim fica provado o
resultado.
Exemplo 12. Tomamos f : R {0} → R definida como f(x) =
1
1 + a
1
x
com a > 1,
vamos analisar os limites laterais lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x).
Seja (xn) em R {0} tal que lim xn = 0 então vale lim a
1
xn = ∞, pois como lim xn = 0
podemos tomar c > 0 tal que ac
> M > 0 arbitrário e 0 < xn0 <
1
c
< 1 da´ı axn0 < a
1
c ⇒
M < ac
< a
1
xn0 e como xn é decrescente para n0 < n vale xn < xn0 portanto axn
< axn0 ⇒
M < a
1
xn0 < a
1
xn logo lim a
1
xn = ∞ de onde segue que lim f(xn) = lim
1
1 + a
1
xn
= 0 que
por sua vez implica lim
x→0+
f(x) = 0.

Admitimos agora (yn) crescente em R {0} tal que lim yn = 0. a
1
yn =
1
a
1
−yn
, como
yn+1 > yn segue que −yn > −yn+1, (−yn) é decrescente e tende a zero logo pelo resultado
anterior lim a
1
−yn = ∞ ⇒ lim a
1
yn = lim
1
a
1
−yn
= 0, portanto lim 1 + a
1
yn = 1 e lim f(xn) =
lim
1
1 + a
1
xn
= 1 da´ı vale lim
x→0−
f(x) = 1.
Propriedade 20. Seja f : A → R monótona. Se existe (xn) em A com xn > a,
lim xn = a e lim f(xn) = L então lim
x→a+
f(x) = L.
Demonstra¸cão. Suponha f não decrescente, vamos mostrar que
B = {f(x), x ∈ R, x > a}
é um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitrário e fixo tal que x > a existe xn > a
que satisfaz x > xn > a, pois lim xn = a, f não decrescente implica f(x) ≥ f(xn), como
(f(xn)) é convergente, vale que tal sequência é limitada inferiormente, portanto existe M
tal que f(xn) > M ∀n ∈ N da´ı f(x) ≥ f(xn) > M para f(x) ∈ B arbitrário, logo B é
limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ´ınfimo .
Seja L′
= inf B = inf{f(x), x ∈ R, x > a}, vale que lim
x→a
f(x) = L′
(resultado já
demonstrado), disso segue pelo critério de sequências para limite lateral que lim f(xn) =
L′
= L, pela unicidade de limite, portanto lim
x→a
f(x) = L.
Exemplo 13. Seja f : R{0} dada por f(x) = sen(
1
x
)
1
1 + 2
1
x
. Determine o conjunto
dos pontos L tais que lim f(xn) = L, com lim xn = 0, xn ̸= 0.
Tomando o módulo da expressão
sen(
1
x
)
1
1 + 2
1
x
=
1
1 + 2
1
x
< 1
pois 0 < 2
1
x , da´ı não podemos ter limites dessa expressão fora do intervalo [−1, 1], vamos
mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo .
Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1, 1]., Tomando xn =
−1
t + 2πn
vale sen(
1
xn
) =
sen(−t) = v, além disso (xn) é decrescente com lim xn = 0, portanto vale lim f(xn) =
lim
v
1 + 2
1
xn
= v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite já calculado).

1.5 Limites no infinito e limites infinitos
1.5.1 Defini¸cões com limites de x → ∞
Defini¸cão 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A → R, dizemos que
lim
x→∞
f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃A > 0, x > A ⇒ |f(x) − L| < ε.
Tal defini¸cão abrange a defini¸cão para limite de sequências, que é tomada como o caso
A = N.
Defini¸cão 6. lim
x→∞
f(x) = ∞ ⇔
∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) > A.
x→∞
f(x) = ∞ então lim
x→∞
1
f(x)
= 0.
Demonstra¸cão. Pela primeira propriedade temos ∀B > 0, ∃A > 0 | x > A ⇒
f(x) > B então a fun¸cão assume apenas valores positivos a partir de certo valor de x, se
f(x) > 0 então 0 <
1
f(x)
1
f(x)
<
1
B
= ε
logo vale lim
x→∞
1
f(x)
= 0.
Exemplo 14. Pode acontecer de lim
x→∞
1
f(x)
= 0 porém lim
x→∞
f(x) ̸= ∞, como o caso
de f(x) = −x vale
lim
x→∞
1
−x
= 0
e
lim
x→∞
−x = −∞.
x→∞
f(x) = −∞ ⇔
∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) < −A.

Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e não-decrescente, B
ilimitado superiormente então
lim
x→∞
f(x) = sup{f(x), x ∈ B}.
Demonstra¸cão.
f é limitada superiormente logo existe sup{f(x), x ∈ B} = L. Como L é o supremo,
dado ε > 0, existe xA ∈ B tal que f(xA) ∈ (L − ε, L], como f é não-decrescente temos
para x > xA, L ≥ f(x) ≥ f(xA), logo f(x) ∈ (L − ε, L] o que implica
lim
x→∞
f(x) = L.
Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g, f definidas em B ⊂ R ilimitado. Se
lim
x→∞
f(x) = L1 e lim
x→∞
g(x) = L2 então
lim
x→∞
f(x) + g(x) = L1 + L2.
Demonstra¸cão. Dado ε > 0 arbitrário existe A1 > 0 tal que x ∈ B, x > A1
implica |f(x) − L1| < ε e existe A2 > 0 tal que x ∈ B, x > A2 implica |f(x) − L1| <
ε
2
|g(x)−L2| <
ε
2
pela existência de lim
x→∞
f(x) = L1 e lim
x→∞
g(x) = L2, tomando A > A1 +A2
valem ambas propriedades descritas e da´ı temos por desigualdade triangular
|f(x) + g(x) − (L1 + L2)| ≤ |f(x) − L1| + |g(x) − L2| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
1.5.2 Defini¸cões com limites de x → −∞
Defini¸cão 8. Seja A ⊂ R ilimitado inferiormente e f : A → R, dizemos que
lim
x→−∞
f(x) = L
sse
∀ε > 0 ∃A > 0, x < −A ⇒ |f(x) − L| < ε.
x→−∞
f(x) = −∞ sse
∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) < −A.
x→−∞
f(x) = ∞ sse
∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) > A.

1.5.3 Defini¸cões de limites tendendo ao infinito
Defini¸cão 11. Dizemos que lim
x→a+
f(x) = ∞ quando
∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x − a < δ ⇒ f(x) > A.
x→a−
f(x) = ∞ quando
∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a − x < δ ⇒ f(x) > A.
x→a
f(x) = ∞ quando
∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > A.
Negar que lim
x→a
f(x) = ∞ significa dizer
∃A > 0, ∀δ > 0 | ∃x ∈ A com 0 < |x − a| < δ e f(x) < A.
x→a
f(x) = ∞ e lim
x→a
g(x) = ∞ então
lim
x→a
(f(x) + g(x)) = ∞.
Intuitivamente, temos que se f(x) e g(x) assumem valores arbitrariamente grandes
com x próximo de a, então f(x) + g(x) também assume valor arbitrariamente grande
nessas condi¸cões. Por isso dizemos que ∞ + ∞ não é uma forma indeterminada, ela é
determinada com valor ∞.
Demonstra¸cão. Seja A > 0 arbitrário , temos por condi¸cões de que lim
x→a
f(x) = ∞
e lim
x→a
g(x) = ∞ , existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ f(x) > A,
0 < |x − a| < δ2 ⇒ g(x) > A,
tomando então δ = min{δ1, δ2} segue que tanto f(x) > A e g(x) > A para |x − a| <
δ, por isso também temos f(x) + g(x) > 2A > A com |x − a| < δ e da´ı segue que
lim
x→a
(f(x) + g(x)) = ∞ , por defini¸cão de limite infinito .

x→a
f(x) = ∞ e g(x) > c > 0 numa vizinhan¸ca de a então
lim
x→a
f(x).g(x) = ∞.
Demonstra¸cão. Para todo A > 0 existe ε > 0 tal que x ∈ (a − ε, a + ε) implica
g(x) > c e f(x) >
A
c
, da´ı g(x).f(x) > A o que implica lim
x→a
f(x).g(x) = ∞.
Exemplo 15.
lim
x→0
1
x2
(2 + sen(
1
x
)) = ∞
pois o limite da primeira fun¸cão é infinito e a segunda fun¸cão é limitada inferiormente
por 1 .
1.5.4 Defini¸cões de limites tendendo a menos infinito
x→a+
f(x) = −∞ quando
∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x − a < δ ⇒ f(x) < −A.
x→a−
∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a − x < δ ⇒ f(x) < −A.
x→a
∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −A.
x→a
f(x) = ∞ então f é ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para
qualquer A > 0 que escolhermos, irá existir δ > 0 tal que |x − a| < δ implique f(x) > A,
logo f não é limitada.
x→a
f(x) = −∞ então f é ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para
qualquer A > 0 que escolhermos, irá existir δ > 0 tal que |x−a| < δ implique f(x) < −A,
logo f não é limitada.
Propriedade 26 (Unicidade do limite). Se lim
x→a
f(x) = ∞ então não acontece de
lim
x→a
f(x) = L para algum L real ou lim
x→a
f(x) = −∞.

x→a
f(x) = L então f seria limitada numa vizinhan¸ca de a,
o que não pode acontecer. Se lim
x→a
f(x) = −∞ então existiria δ > 0 tal que |x − a| < δ
implicaria f(x) < −A e por lim
x→a
f(x) = ∞ implicaria existir δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1
implica f(x) > A, tomando δ2 < min{δ, δ1} ter´ıamos que ter f(x) > A e f(x) < −A, logo
f(x) > 0 e f(x) < 0 o que é absurdo.
1.5.5 Critério de compara¸cão
Propriedade 27 (Critério de compara¸cão). Se g(x) ≥ f(x) numa vizinhan¸ca qualquer
de a, então lim
x→a
f(x) = ∞ implica lim
x→a
g(x) = ∞, isto é, se a fun¸cão ”menor”tende ao
infinito a ”maior”também tende ao infinito.
Demonstra¸cão. Existe δ > 0 tal que x ∈ A, |x − a| < δ implica g(x) ≥ f(x),
como lim
x→a
f(x) = ∞ então para todo A > 0 existe δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1 implica
f(x) > A, tomando δ2 < min{δ1, δ} tem-se que g(x) ≥ f(x) e f(x) > A da´ı g(x) > A o
que implica lim
x→a
g(x) = ∞.
x→a
f(x) existe e lim
x→a
g(x) = ∞ então g(x) > f(x) numa vizinhan¸ca
de a, pois f é limitada valendo f(x) ≥ |f(x)| < A e g é ilimitada numa vizinhan¸ca de a
valendo g(x) > A > f(x).
Exemplo 16. lim
x→0
1
|x|
= ∞ pois para qualquer A > 0 tomando δ =
1
A
tem-se de
0 < |x| <
1
A
que A <
1
|x|
logo lim
x→0
1
|x|
= ∞.
Exemplo 17. Tomando −1 < x < 1, x ̸= 0 tem-se 0 < |x| < 1 e da´ı |x|2
< |x|, isto
é, x2
< |x| logo
1
x2
>
1
|x|
isso implica que lim
x→0
1
x2
= 0 pelo critério de compara¸cão.
Propriedade 28 (Teorema do sandu´ıche). Se vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x sufici-
entemente grande, se lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
h(x) = L então lim
x→∞
g(x) = L.
Demonstra¸cão. Existem A1, A2 > 0 tais que para x > A1 vale
L − ε ≤ f(x) ≤ L + ε
para x > A2 vale
L − ε ≤ g(x) ≤ L + ε

e para x > A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B > A1 + A2 + A3 e x > B segue que
L − ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L + ε
que implica lim
x→∞
g(x) = L.
1.5.6 lim
x→a
f(x) = ∞ e sequências.
Propriedade 29. lim
x→a
f(x) = ∞ sse lim f(xn) = ∞ com xn ∈ B {a} e lim xn = a.
Demonstra¸cão. ⇒. Do limite da fun¸cão tem-se ∀A > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ implica f(x) > A, do limite da sequência temos que existe n0 ∈ N tal que
n > n0 implica |xn − a| < δ e da´ı f(xn) > A que significa lim f(xn) = ∞.
⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A > 0 tal que podemos construir uma sequência
xn que satisfaz 0 < |xn − a| <
1
n
e f(xn) < A, da´ı lim xn = a e lim f(xn) ̸= ∞.
Propriedade 30. Seja P : R → R com P(x) =
n∑
k=0
akxk
com an ̸= 0, n ≥ 1. Se n é
par então lim
x→∞
P(x) = lim
x→−∞
P(x) sendo ∞ se an > 0 e −∞ se an < 0. Se n é ´ımpar então
lim
x→∞
P(x) = ∞ e lim
x→−∞
P(x) = −∞ com an > 0 e lim
x→∞
P(x) = −∞ e lim
x→−∞
P(x) = ∞ se
an < 0.
Demonstra¸cão. Escrevemos P(x) = anxn
→1
(
n−1∑
k=0
ak
anxn−k
→0
+1). Se n é par lim
x→∞
xn
an =
∞ = lim
x→−∞
xn
an com an > 0 e lim
x→∞
xn
an = −∞ = lim
x→−∞
xn
an se an < 0, portanto o mesmo
segue para P(x).
Se n é ´ımpar, lim
x→∞
xn
an = ∞ e lim
x→−∞
xn
an = −∞ com an > 0, caso an < 0 tem-se
lim
x→∞
xn
an = −∞ e lim
x→−∞
xn
an = ∞.
Propriedade 31. Seja f : [a, ∞) → R limitada. Para cada t ≥ a definimos
Mt = sup{f(x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At
mt = inf{f(x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At

wt = Mt − mt, chamada de oscila¸cão de f em I = [t, ∞). Nessas condi¸cões, existem
lim
t→∞
Mt e lim
t→∞
mt.
∃ lim
t→∞
f(t) ⇔ lim
t→∞
wt = 0.
Demonstra¸cão. Mt é não-crescente e mt é não-decrescente. Se s > t vale
que {f(x) | x ∈ [s, ∞} = As ⊂ {f(x) | x ∈ [t, ∞)} = At, portanto sup At ≥ sup As,
implicando Mt ≥ Ms logo mt é não-crescente. Da mesma maneira mt é não-decrescente,
pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e da´ı ms ≥ mt que significa que mt é não-decrescente.
Ambas fun¸cões são limitadas logo os limites lim
t→∞
Mt e lim
t→∞
mt existem.
lim
t→∞
Mt = L, lim
t→∞
mt = l ⇒ lim
t→∞
wt = L − l.
Agora provamos a equivalência enunciada. ⇐). Se lim
t→∞
wt = 0 então ⇒ lim
t→∞
f(t)
existe. Vale que mt ≤ f(t) ≤ Mt (pois mt e Mt são ´ınfimo e supremo respectivamente),
se ⇒ lim
t→∞
wt = 0 então L − l = 0 ⇒ L = l, da´ı por teorema do sandu´ıche tem-se
L = lim
t→∞
mt ≤ lim
t→∞
f(t) ≤ lim
t→∞
Mt = L
de onde segue lim
t→∞
f(t) = L.
⇒). Se lim
t→∞
f(t) = L então ∀ε > 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L−ε < f(t) < L+ε,
logo L − ε ≤ mt ≤ f(t) ≤ Mt ≤ L + ε pois mt é ´ınfimo e Mt é supremo, portanto
Mt − mt ≤ 2ε (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ε, L + ε)) e isso implica que
lim
t→∞
Mt = lim
t→∞
mt = L da´ı lim wt = 0.
1.6 Limites de fun¸cões em espa¸cos métricos
Defini¸cão 17. Sejam A ⊂ M, a ∈ A e f : A → N, b ∈ N é o limite de f(x) quando
x tende a a quando
∀ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), b) < ε.

1.7 Stolz-Cesàro para limite de fun¸cões
Propriedade 32 (Stolz-Cesàro para limite de fun¸cões). Sejam f, g : R+
→ R limita-
das em cada intervalo limitado, g crescente, com
lim
x→∞
∆f(x)
∆g(x)
= L lim
x→∞
g(x) = ∞
então
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= L.
Demonstra¸cão. Dado ε > 0 existe, tal que para x > M vale
ε − L <
∆f(x)
∆g(x)
< ε + L
como g é crescente vale ∆g(x) > 0 então podemos multiplicar a desigualdade por tal
termo, substituir x por x + k onde k natural e aplicar a soma
n−1∑
k=0
, que resulta em
(ε − L)(g(x + n) − g(x)) + f(x) < f(x + n) < (ε + L)(g(x + n) − g(x)) + f(x)
por soma telescópica, dividimos por g(x + n), que pode ser considerado positivo pois
g → ∞
(ε − L)(1 −
g(x)
g(x + n)
) +
f(x)
g(x + n)
<
f(x + n)
g(x + n)
< (ε + L)(1 −
g(x)
g(x + n)
) +
f(x)
g(x + n)
agora passamos as sequências, tomamos x = yn em [M, M + 1] e xn = n + yn é uma
sequência arbitrária que tende a infinito, g e f são limitadas em [M, M + 1] da´ı
(ε − L)(1 −
g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
<
f(xn)
g(xn)
< (ε + L)(1 −
g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
a passagem do limite nos garante que lim
f(xn)
g(xn)
= L pois g(yn) e f(yn) são limitadas e
lim g(xn) = ∞ .

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