Prob.algebra superior faddieev

PROBLEMAS
de
ALGEBRA
SUPERIOR
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EDITORIAL M1R
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fl. K. O A JU IEI-B, H. C. CO M H H CKH fi
C BOPHHK 3AAAM
n o B bIC W Efl A ^ITEBPE
Hadanue desamor
H3flATEJlbCTBO «HAyKA»
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D . F A D D IE E V , I. S O M IN S K I
PROBLEMAS
de
ALGEBRA
SUPERIOR
Traducido del ruso
por
EM ILIA N O A PA R IC IO BERN A RD O .
C andidato a Doctor
en Ciencias Físico-M atem áticas,
C atedrático
de M atem áticas S uperiores
EDITO RIA L «MIR» • iMOSCU 1971
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CDli 5l2.8(07.í.h)*GO
Impreso en Ja UR55
Derecho» r curvadas
Ha ucnaitcKOM m u »
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I N D I C E
I n t r o d u c c i ó n ................................................................................................................... 9
PRIMERA PARTE
PROBLEM AS
C apitulo I . N úm eros com plejos
§ I. O peraciones con los núm eros c o m p le j o s ............................................... II
§ 2 . Los núm eros com plejos en form a trig o n o m é tric a ............................ 13
§ 3. Ecuaciones de tercero y cuarto grado ............................ 18
§ 4. Ralees de la u n i d a d ....................................................................................... 19
C apitulo 2. Cálculo de determ inantes
§ I. D eterm inanles de 2o y 3° ó r d e n e s ............................................................ 23
§ 2. P e rm u ta c io n e s .................................................................................................... 24
§ 3. D efinición de un d e t e r m i n a n te ................................................................ 25
§ 4. Propiedades fundam entales de los d e te r m in a n te s ............................ 26
§ 5. C álculo de d e te rm in a n te s ............................................................................... 28
§ 6 . M ultiplicación de d e te rm in a n le s ................................................................. 45
§ 7. Problem as d iv e r s o s ........................................................................ 49
C apitulo 3. Sistem as de creaciones lineales
§ I. Teorema de C ram er ................................ 54
§ 2. R ango de una m alriz ................................................................................... 57
§ 3. Sistem as de lorm as lin e a le s ......................................................................... 59
§ 4. Sistem as de ecuaciones l i n e a l e s ................................................................. 60
C apitulo 4. M atrices
§ 1. O peraciones con las m atrices c u a d r a d a s ............................................... 68
§ 2. M atrices rectangulares. Algunas d e s ig u a ld a d e s ................................ 74
C apitulo 5. Polinom ios y funciones racionales de una variable
§ I. O peraciones con los polinom ios. Fórm ulade Taylor. Ralees
m ú l t i p l e s .............................................................................................................. 78
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§ 2. D em ostración del teorem a fundam ental del álgebra superior y
cuestiones c o n t i g u a s ............................................................................... 81
5 3. Descomposición en tactores lineales. Descom posición en factores
irreducibles en el cam po de los núm eros reales. R elaciones entre
tos coeficientes y las r a í c e s .......................................................................... 82
§ 4. A lgoritm o de E u c lld e s .................................................................................. 86
§ 5. Problem a de Interpolación y función racional fraccionaria . . . 88
§ 6. R alees racionales de los polinom ios. R eductibllidad e IrreducH-
biiidad en el cam po de los núm eros racionales ............................. 91
§ 7. C otas de las raíces de un p o lin o m io ...................................................... 94
§ 8. Teorem a de S l u r m ............................................................................................ 95
§ 9. Diversos teorem as sobre la distribución de las raíces de un po
linom io ................................................................................................. 98
§ 10. Cálculo aproxim ado de las raíces de un p o li n o m io ...................... 101
C apítulo 6. Funciones sim étricas
§ I. Expresión de las [unciones sim étricas m ediante las fundam enta
les. Cálculo de las funciones sim étricas de las ralees de una
ecuación algebraica ........................................................................................ 103
§ 2. Sum as de potencias . . . .• 107
§ 3. Trasform aciones de e c u a c io n e s ..................................................................... 109
§ 4. R esultante y discrim inante . . 110
§ 5. Transform ación de Tschirnhausen y racionalización del denom i
nador .............................................................................. 114
§ 6. P olinom ios que no varían e n las perm utaciones pares de las
variables. P olinom ios que no varían en las perm utaciones circu
lares d e las variables .................................................................................... 116
C apitulo 7. A lgebra lineal
§ 1. Subespacios y variedades lineales. T ransform ación de coordenadas 118
§ 2. G eom etría elem ental del espacio euclideo n-dim ensional . . . . 120
5 3. Núm eros característicos y vectores propios de una m atriz . . . 124
§ 4. Form as cuadráticas y m atrices s i m é t r i c a s ......................................... 125
§ 5. Transform aciones lineales. Forrna canónica de J o r d á n .................. 129
SEGUNDA PARTE
IN DICA CIO NES
C apitulo I . Núm eros c o m p le jo s ......................................................................... 134
C apitulo 2. Cálculo de d e te r m in a n te s .......................................................................... 136
C apitulo 4 . M atrices .......................................................................................................... 141
C a pítulo 5 . Polinom ios y (unciones, racionales de u n a v a r i a b l e ................... 142
C apitulo ti. Funciones s im é tr ic a s ...................... 145
C apitulo 7. A lgebra l i n e a l ................................................................................................ 147
G
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TERCERA PARTE
R E SPU E STA S Y RESO LU CION ES
C apitulo 1. N úm eros c o m p le jo s .......................................................................................t 149
C apitulo 2. C álculo de d e te rm in a n te s .......................................................................... 1G4
C apitulo 3. Sistem as de ecuaciones l i n e a l e s ............................................................. 173
Capitulo 4 . M a tric e s ............................................................................................................... 179
C apitulo 5. Polinom ios y (unciones racionales de una v a r i a b l e . IB5
C apitulo 6. F u n d o n es s i m é tr ic a s ................................................................................... 232
C apitulo 7. A lgebra l i n e a l ................................................................................................ 254
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I N T R O D U C C I O N
La aparición de la presente colección de problemas de álgebra
superior es el resultado de las clases llevadas en la U niversidad
estatal de Leningrado y en el Instituto Pedagógico. El libro está
destinado a los estudiantes de los cursos inferiores de las univer
sidades e institutos pedagógicos para el estudio dei curso funda
m ental de álgebra superior. Los problem as de la colección se dividen
notablem ente en dos tipos. Por una parte, se ha recopilado una
gran cantidad de ejercicios num éricos, destinados a elaborar hábitos
de cálculo, y ios cuales ilustran las reglasprincipales del curso
teórico. Según opinan los autores, la cantidad de ejercicios propues
tos es suficiente para llevar las clases, deberes de casa y trabajos
de control.
Por otra parte, se expone una cantidad considerable de pro
blem as no muy difíciles, y otros difíciles, cuyasolución exige de
los estudiantes ahinco e inventiva. Muchos de los problem as de
esta categoría van acom pañados de indicaciones, incluidas en la
segunda parte del libro. Los núm eros de los problemas para los
cuales se dan indicaciones, vienen m arcados con un asterisco.
Se dan las soluciones de todos los problemas; para algunos de
ellos se expone la resolución.
Los autores
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P R I M E R A P A R T E
PROBLEMAS
C A P I T U L O /
NUMEROS COMPLEJOS
§ I. Operaciones con los números complejos.
1. (I H-2í)jc + (3 — b i)y = 1— 31. H allar x e y, suponiendo qu
son reales.
2. R esolver el sistem a, suponiendo que x , y , z, t son reales:
( l + i ) x + ( l + 2 i ) y + ( l + 3 i ) í - M l - M 0 < = l + 5 ‘.
( 3 - £ ) * + ( 4 - 2 0 i/ + (1 -|-¿ )z + 4 ¡7 = 2 - « .
3. C alcular i”, donde n es un núm ero entero.
4. Com probar la Identidad
* * + 4 = (x — I - i ) (x — 1+ £ ) (* + 1 + * ) ( * + 1 - í ) .
5. Calcular:
a ) ( l + 2 i ) « ; b) <2 + í)’ + ( 2 - £ ) ’; c) ( 1 + 2 / ) » - ( l — 2í)‘-
6. A veriguar cuáles deben ser las condiciones para que el pro
ducto de dos núm eros complejos sea im aginario puro.
7. E fectuarlas operaciones indicadas:
a) Ü Í Ü 2 - M £ ± ü - el <»—«>».
a' 1—í t g a ' ' a— bt ' C' (3+2í)“—(2+ i)»’
, 11- O * - 1 . li+ íí!
d) T T R F + r- e ) (Tr7)5-
8. C alcular dontle n es un núm ero entero positivo.
9. R esolver el sistem a de ecuaciones:
a) (3 — í)jc + (4 -)-2 0 íf = 2 + 6 í , (4 -t-2 í)* — (2-t-3r)¡/ = 5 + 4 í;
b) (2 + i) x + (2 — i) y = 6, (3 -f- 2í) * + ( 3 — 21) y = 8 ;
c) x + y l — 2 z = 10, x — j/ + 2tz = 20, ix + 2>iy— (1 + t ) z = 30.
II
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10. Calcular:
D f - i + í p y -
• I I . Sea Calcular:
a) (a 4 -6ü)+ cwí)(a + 6 tü I + c(o); b )(a 4 -ii)(a + H ( |1+ 1,“ !);
c) ( a + &<o+ ca>i)5+ (<*+&“ ’ + «a)’; d) (ato» + 6o)J (¿ws-|-au).
12. Hallar los núm eros que son conjugados:
a) con su cuadrado, b) con su cubo.
•13. D em ostrar el teorema:
Si como resultado de efectuar una cantidad finita de operacio
nes racionales (o sea, sum ar, restar, m ultiplicar y dividir) con los
números x t , . . . . x„ resulta el núm ero u, entonces, al efectuar
las mismas operaciones con los números conjugados x ,, x , x„,
resulta el número u que es conjugado con u.
14. Dem ostrar que jca+ j)>= ( s ‘ + /4)n, si x + i/l = (s+ U )".
15. Calcular:
a) y ? 1; b) V — 8í; c) K 3 — 4i; d) / — 1 5 + 8 Í;
e) y — 3— Ti; f) V — 11+ 601; g) V — 8 + 6 i;
h) y — 8 —6i; i) j) K 8 + 6 Í ; k) '2 — 3Í;
1) k T + 7 + V Í — <; rn) Y 1— / > 3 ; n) Y ^ ;
o) Y 2 -¿ V / l2 .
16. 'a + 61= ± ( a + p¡). ¿A qué es Igual / — a — bi?
17.’ Resolver las ecuaciones:
a) - ( 2 + / ) * + ( — l + 7 í ) ~ 0 ;
b) a:*— (3— 2f)x + (5— 5»)= 0;
c) ( 2 + i)Xa— (6 — í)x -|-(2 — 2i) = 0.
•18. Resolver las ecuaciones y descomponer sus prim eros m iem
bros en factores de coeficientes reales:
a) x‘ + 6 ís -|-9xi1+ 1 0 0 = 0; b) x ' + 2x‘— 24a:-i-72 = 0.
19. Resolver las ecuaciones:
a) **— 3x,!- f 4 = 0; b) ^ ‘ — 3 0 ^ + 289 = 0.
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20. Com poner una fórmula para la resolución de la ecuación
bicuadrada x‘ -f-px- + q = 0 con coeficientes reales, que sea cómoda
para el caso en que p'¡4 — 1? < 0 .
§ 2. Los núm eros complejos en form a trigonom étrica
21. Trazar los puntos que representan a los núm eros complejos:
1. - 1 . — J /2 , i, — i, ¡ V i , — 1 + i , 2 — 3i.
22. E xpresar los siguientes núm eros en form a trigonom étrica:
a) 1; b) — 1; c) l ; d) — i; e) 1 + R
f) — l + í ; g) - ! - i ; h) 1— ¿; i) I + íV 3 y
j) - 1 + i I ‘37 k) - 1 - i v '3 i I) I - Í T ; m) 2i;
n) — 3 ; o) V H — i-, p) 2 + V 3 + I.
23. Em pleando tablas, expresar los núm eros siguientes en forma
trigonom étrica:
a) 3 + í; b) 4 — í; c) — 2 + l d) — 1— 2/.
24. H allar el lugar geom étrico de los puntos que representan
a los núm eros complejos:
a) cuyos m ódulos son iguales a I; b) cuyos argum entos son
¡guales a .
25. ^Hallar el lugar geom étrico de los puntos que representan
a los núm eros com plejos z que satisfacen a las desigualdades:
a ) | z | < 2 ; b ) | z — / | < l ; c) |z — 1— í | < I.
26. R esolver las ecuaciones: a j |x |— x = 1 + 2»; b ) |x | + x = 2 + ¿.
*27. D em ostrar la identidad
I* + ! / 1! + 1* — y ls = 2 (| x |J + 11/1!).
¿Qué significado geom étrico tiene esta identidad?
*28. D em ostrar que todo núm ero complejo z. distin to de — 1
y cuyo módulo es igual a 1, puede expresarse en la forma z = | ± i i ,
donde t es un núm ero real.
29. ¿En qué condiciones el módulo de la sum a de dos números
complejos es igual a la diferencia de los m ódulos de los sumandos?
30. ¿En qué condiciones el módulo de la sum a de dos núm eros
com plejos es igual a la sum a de los m ódulos de los sumandos?
*31. a y z' son dos núm eros complejos, u = V z z ’. D em ostrar que
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32. Dem ostrar que si | z J < 4-. entonces
33. D em ostrar que
( l -¡-1V’3 ) ( I + 0 (eos q>+ 1sen <p)=
= 2 l ' 2 [ c o s ^ + q > ) + Í 5 e n ( - ^ + « F ) j .
34. Sim plificar
eos9 +-1sen y
cus if—i se»i|’’
35. Calcular
( l—i ^ 3 ) (eosif+ i senyt
2(1—i)(cos<j—(seni|.)
36. Calcular:
1—H-< K~3l1^ ( - 1- . V i >“
( i — í p ( l- í - i) '”
*37. D em ostrar que
a) < l+ í) " = ( c o s ^ + i sen ^ ) ;
b) ( V '3 - / ) ’, = 2 " ( c o s f - ¿ s e n ^ ) ;
n es un núm ero entero.
*38. Sim plificar ( l + <o) donde <o= c o s - ^ + ¿ sen
39. Haciendo
l . . V T ) , V 3
Ü>1 = — y + í - j - , 0>a = — y — I 2 •
determ inar uíH-toS, donde n es un núm ero entero.
*40. Calcular (1 + eos a -f- i sen a)*.
*41. D em ostrar que si z + -j- = 2 c o s8 , entonces
z"’+ p ! = 2 cos m8.
42. D em ostrar que
/ I + <tg s i 11 l + tig n a
1 —i lg o / — I —¡ lg /ia ‘
43. E x traer las raíces:
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a ) j / 7 ; b) 3/ 2 = 2 l : c) Y = 4; d) J / T ; e) J / — 27.
44. Em pleando tablas, ex traer las raíces:
a) J / 2 + í; b) ] / 3 = 7 ; c) j / 2 + 31:
46. Calcular:
a)l/ f07: b)V c)/ iwr-
46. Sabiendo que p es uno de los valores de ¡ / « , escribir to
dos los valores de ¡ / a.
47. E xpresar m ediante eo s* y sen * :
a) cos5x; b) cos8x; c) sen6x; d) sen7x.
48. E xpresar tg6ip m ediante tg(p.
49. Com poner las fórm ulas que expresan cosnx y se n n x m e
diante eo s* y sen*.
50. R epresentar en forma de un polinomio de prim er grado en
las funciones trigonom étricas de los ángulos m últiplos de x:
a) sen3*; b) sen**; c) c o s'x ; d) eos"x.
*51. D em ostrar que:
a) eos2"1x = 2 C'¿„ eos 2 (m — k)x-¡- C"'„;
m
b) 2*“, cos!“ +‘ x = ^ CJmtl c o s ( 2 m — 2f e + ! )* ;
m—i
c) 25* sen*“ x = 2 2 (— l)"’+ tC5mco s2 (m — k )x + C £ ,;
/»1
d) 2a“ sen3"** je= 2 (— s e n ( 2 m— 2 k - r l ) x .
k=0
*52. D em ostrar que 2 eos rnx = (2 e o sxy" —
— -y- (2 eos ■-»+- (” ~ 3) (2 eos X)” -* — . . . +
+ ( — i ) / m {m- p- 11 ...í" ' - .^ .n (2cos^ - v + . . . .
*53. E xpresar m ediante cosx.
*54. H allar las sum as:
a) 1— C%+ C*„—C¡¡ + . . . ; b) C J— CJ-f-CX— C J -r . . .
*55. D em ostrar que:
a) l - K i + C * + . . . = | ( 2" - l + 2T c o s™ ) ;
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b) C ' + C‘ -|-C ' + - - . = j ( 2 ' ' - 14 -2 T Se n ^ ) ;
c) C S + C J + C » + . . . = i ( 2 " - > - 2 T c o s í ! í i ) ;
d )C J + C í + C i‘ + • = y ( 2 - - * - 2 T s e n ^ ) .
*56. H allar la suma
C i - j C * + l c ‘ - I c ; + . . .
57. D em ostrar que ( x + a ) “ -)-(x+aü))'" + (.v4-aw3)" = 3x“ +
■+■ 3CJ,x” " aa 3+ . . . + 3 C J,x "““a“, donde » = cos-y^-f-tsen y ^ , y n
es el m áxim o núm ero entero, m últiplo de 3, que no supera a m.
58. D em ostrar que:
a) l+ C * + C‘ + . . . = | ( 2 " + 2 c o s f ') ;
b) CJ, + CJ + CJ + . . . = j (2 - + 2 eos (- ^ i ) ;
c) C S + C J+ C S + . . . = 4 (2» + 2 c o s í ^ i ) .
59. Calcular las sumas:
a) 1-f-acostp + a*cos2q>4- . . . +a*cosfe<r;
b) senq> + asen(q) + /i) + Q2sen((p + 2 /i)+ . . , -f a* sen (q>+
c) y-t-cos.>:+cos2.»: + •• • + c o s n x .
60. D em ostrar que
sen sen 2 x + . . . + s e n n x = -
n+ 1 nx
—y - x s e n y
sen y
61. H allar
lim ( I + — c o s x -f y eos 2 x + . . . + y eos n x j .
62. D em ostrar que si n es entero y positivo y 0 es un ángulo
0 1
que satisface a la condición s e n y , entonces
eos y 4- eos y + . . . + eos — ■■8 = n sen «0.
63. D em ostrar que
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a) eos i + eos -j- eos ~ -(- eos 7 7 + cos ■77= y ¡
b) C O S^j+C O S-íy + COS^j- + COS.~ + C O S - ~ = — j |
c j c o s i + c o s ^ + c o s ^ + c o s f + c o s f + c o s i ^ » ! .
64. H allar las sum as:
a) c o s a — co3 (a-t-/i) + co s(a + 2/i)— . . .
. . . + ( - l) » - * c o s [ a + ( f t - l ) h ]
b) s e n a — sen (a + A )+ s e n (a + 2/i) — . . .
. . . + ( — I)"-1 sen [a + (n — l)/i].
65. D em ostrar que si x es m enor que la unidad en valor abso
luto, entonces las series
a) eos a + x eos (a + P) + *’ eos (a-f-2p) + . . .
. . . eos (a 4 - n(5)+ . . . ,
b) s e n a - ) - .v s e n ( a - |- P ) - f s e n ( a + 2[5) + . . .
. . . + xn sen (a + np) -+• . . .
son convergentes y sus sum as son iguales a
c o s a — x c o s ( a — p ) s e n a — x sen ( a — P)
1— 2 * c o s p + x* ’ 1 — 2at c o s p - f - * a ’
respectivam ente.
66. H allar las sum as:
a) eos a:-f- OJ, eos 2x 4- . . . + C¡¡ eos ( n -f I)*;
b) sen a :+ C i sen 2x + . . . + C¡¡ sen (ri -f 1)a:.
67. H allar las sumas;
a) eos x — C'„eos 2 x 4- C* eos 3x — . . . + (— ly C S c o s (n -f 1) x;
b) sen x —C ‘ sen 2x + C* sen 3x — . . . + (— 1)" C"n sen (n 4- J) jc.
*68. O A l y 0 8 son los vectores que representan a 1 e i, res
pectivam ente. Desde O se ha levantado una perpendicular OA,
a A tB; desde A , se ha trazado una perpendicular A ,A , a 0-4,;
desde A a se ha trazado una perpendicular A aA t a A ,A „ etc., se
gún la regla: desde A„ se ha trazado una perpendicular /4„4„+1
a H allar el lim ite de la suma
OA , + A ,A t + A ,A !l+ ■■■
*69. H allar la suma
sen* x 4- sen* 3a: 4- . . . 4- sen’ (2n — )x .
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70. D em ostrar que
„ , , , , , , n , e o s (n + 1) *■sen nx .
a) eos- x + eos22* + . . . + eos’ n x = -^------------------- ’
„ _ u eos (N— l)xsennx
b) sen* x 4- sen* 2 * + . . . + sen- iix = y SlérTí *
*71. H allar las sumas:
a) eos3x + eos32* + . . . + eos3nx;
b) sen3* + sen" 2 * + . . . + sen3n*.
*72. H allar las sumas:
a) eos x + 2 eos 2* + 3 eos 3* + . . . + n eos nx;
b) sen x + 2 sen '2x + 3 se n 3 * 4 - .. . + nsenrc*.
73. H allar lim ( 1+ — ) ' para a = a + 6t.
n — 06 V /
74. Definición: e’ = lim ( 1 + ^ r ) " - D em ostrar que:
II - » ' •
a) etrA= i ; b) erl= — 1;
c) e'+l=*-e'-efi; d) (ír’)s = e"* para k entero.
§ 3. Ecuaciones de tercero y cuarto grado
75. Resolver las ecuaciones siguientes por la fórm ula de Car
darlo:
a) x»— 6x 9 -= 0; b) *•' + 12x + 63 = 0;
c) Xa + 9x= + 1 8 * + 2 8 = 0; d) Xa+ 6x* 30* + 25 = 0;
e) *3— 6* + 4 = 0; f) * 3+ 6* + 2 = 0 ;
g) a 3+ 18a-+ 15 = 0; h) *»— 3**— 3x + 1 1 = 0 ;
i) x J + 3**— 6a + 4 = 0; ]) *J - 9 * — 26 = 0;
k) a ' + 24a - 5 6 = 0; I) * ''+ 4 5 * — 98 = 0;
m) xa+ 3*4— 3* — 1 = 0 ; n) *3— 6*‘ + 57* — 196 = 0;
o) Xa+ 3*— 2¿ = 0; p) *3— 6í* + 4 ( l — ¿ )= 0 ;
q) *3— 3a6* + oJ + ¿>»=0;
r) *3— 3abfgx + l 1g<v' + fg !ba = 0;
s) *’ — 4 * — 1 = 0 ; t) x a— 4 * + 2 = 0.
*76. Aplicando la fórm ula de Cardano, dem ostrar que
( * , - * a)s (* v- * , ) a ( * ,- * ,) * = - 4 p '- 2 7 q = .
si *,, *„, *a son las raices de la ecuación *3+ p* + <?= 0.
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(La expresión — 4ps— 27q! se llama discrim inante de la ecua
ción -f p x 4-q = 0).
*77. R esolver la ecuación
(x*— Zqx + pa— 3pq)a— 4 (px + q)s = 0.
*78. D educir ia fórmula para la resolución de la ecuación
x*— 5ax* 4- 5a*x— 2b = 0.
79. R esolver las ecuaciones:
a) x ' — 2x34-2xs 4 -4 x — 8 = 0: b) x44-2x* — 2x*4-6x— 1 5 = 0 ;
c) x4— x°— x24- 2x — 2 = 0; d) x4— 4xa 4-3x24-2x — 1 = 0
e) x4— 3xa4 -x 24 -4 x — 6 = 0; f) x‘ — 6x3-)-6xJ + 27x— 56 = 0;
g) x4— 2x3+ 4x2— 2x + 3 = 0
i) x44- 2xs 4- 8x2-)- 2x + 7 = 0
k) x4—6x24- 10x'J— 2x— 3 = 0
h) x‘ — x*— 3x> + 5x— 10 = 0;
j) x4+ 6 x * + 6 x 3— 8 = 0;
I) x4— 2x9H-4xi + 2 x — 5 = 0;
m )x 4— Xa— 3x! + x -|- 1 = 0 ; n) x‘ — xa— 4xa + 4 x 4 - 1= 0 ;
o) x4— 2xs 4 -x 24 -2 x — 1 = 0 : p) x4— 4xn— 20x!— 8x + 4 = 0;
q) x‘ — 2x*4-3x2— 2 x - 2 = 0; r) x4— xa -|-2 x — l = 0 :
s) 4x4— 4** + 3x*— 2x + 1 = 0 ; t) 4x4— 4x3— 6x24-2x4-1 = 0 .
80. El m étodo de F errari para la resolución delaecuación de
cuarto grado x* -f ax* 4- &x2+ ex + d = 0 consiste en que elprimer
m iem bro se representa en la forma
y después se elige ’k de tal m odo que la expresión que figura
entre corchetes sea el cuadrado de un binom io de prim er grado.
P ara esto es necesario y suficiente que sea
es decir, que }. sea una raíz de una ecuación cúbica auxiliar.
H allando descomponemos el prim er m iem bro en factores.
E xpresar las raíces de la ecuación auxiliar m ediante las raíces
de la ecuación de cuarto grado.
§ 4. Raíces de la unidad
81. E scribir las raíces de la unidad de grado:
a) 2; b) 3; c) 4; d) 6; e) 8; f) 12; g) 24.
82. Escribir las ralees prim itivas de grado:
a) 2; b) 3; c) 4; d) 6; e) 8; f) 12; g ) 24.
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83. ¿A qué exponente pertenece:
a) zt = c o s ? ~ i- í- is e n y ^ si k= '¿ 7 , 99, 137;
b) z„ = c o s ^ - f - i s e n ^ si fc = 1 0 , 35, 60?
84. Escribir todas las raices de la unidad de grado 28 que
pertenecen al exponente 7.
85. Para cada raíz de la unidad de grado: a) 16; b) 20; c) 24,
indicar el exponente al que pertenece.
86. E scribir los "polinomios circulares" X „ (x ) para n igual a
a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6, g) 7; h) 8; 1} 9;
j) 10; k) II; 1)1 2 ; m) 15; n) 105.
*87. Sea e una raiz prim itiva de la unidad de grado 2n. Cal
cular la suma 1 + 8+ 8*+ . . . + e " _*.
*88. H allar la suma de todas las raíces de 1 de /i-ésimo grado.
*89. H allar la suma de las fe-ésimas potencias de todas las
raíces de 1 de n-ésimo grado.
90. Poner sucesivam ente en la expresión (x-t-a)"1. en lugar
de a, las m raíces de 1 de m-ésimo grado, y sum ar los resultados
obtenidos.
*91. Calcular 1- f 2s + 3e5+ • -• + ne,,_'. donde £ es una raíz
n-ésima de 1.
*92. Calcular I + 4 8 + 9** + . . . donde e es una raiz
n-ésim a de 1.
93. H allar las sumas:
a) c o s ^ + 2 e o s ^ - { - . . . + (n — l i c o s ^ — ^ ;
b) s e n - f 2 sen -■ + ■. ■- f (n — l ) s e n .
*94. H allar la sum a de las raices p rim itivas de la unidad de
grado: a) 15; b) 24; c) 30.
95. H allar las raíces de 1 de quinto grado, resolviendo alge
braicam ente la ecuación x‘— 1 = 0 .
96. Aplicando el resultado del problem a 95, escribir sen 18
y eos 18°.
*97. Form ar la ecuación algebraica m ás sim ple que tenga por
raiz la longitud del lado de un polígono regular de 14 lados ins
crito en el círculo de radio I.
*98. Descomponer x " - 1 en factores de prim ero y segundo
grados con coeficientes reales.
*99. Aplicar el resultado del problem a 98 para dem ostrar las
fórmulas:
n __ 2.-i . . . (m— I)31 V m .
2m
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*100. D em ostrar que H (a + f»J[) = o',+ ( — )"~ l bn,
donde
*101. D em ostrar que
n - 1
(ej— e o s 8 + i) = 2 (1 — eosn0).
si
102. D em ostrar que
= n V - ( e * - l ) 1 .
k = i
2 k n . 2kn, , . AKJl
donde eA= cos — -fis e n — .
*103. H allar todos los jiúm eros complejos que satisfacen a la
condición x = x "~ >, donde * es el conjugado de x.
104. D em ostrar que las raíces de la ecuación X (z— a )"4 -
+ H (z — 6 y = 0, donde X, u, a, b son complejos, están situados en
una circunferencia, la cual, en caso particular, puede degenerarse
en una recta (rt es un núm ero natural).
*106. R esolver las ecuaciones:
a) ( * + 1 ) " — (.v— 1)“ = 0; b) (* + ()"’— (* — i)" = 0;
c) x " — n a x " -'— C ^tfx ”-* — . . . — a" = 0.
106. D em ostrar que si A es un núm ero com plejo, cuyo módulo
es igual a 1, entonces la ecuación
tiene todas las raíces reales y distintas.
*107. R esolver la ecuación
eos <p+ C eos (<p+ a ) x -j- C j eos (q>-f 2a) x* + • • •
. . . + C¡jeos (cp-f- na) x n = 0.
D em ostrar los siguientes teoremas:
108. E l producto de una raíz de I de gradoa por unaraíz de
1 de grado b es una raíz de 1de grado ab.
109. Si a y ó son primos en tre sí, entonces1yx*— 1
tienen una raíz común única.
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110. Si a y fe son primos entre si, entonces todas las raíces
de I de grado ab se obtienen m ultiplicando las raíces de 1 de
grado u por las raíces de I de grado b.
111. Si o y b son primos entre si, entonces el producto de una
raíz p rim itiv a'd e 1 de grado a por una raiz prim itiva de 1 de
grado 6 es una raiz prim itiva de I de grado ufe. y recíprocam ente.
112. Designando con <p(n) el número de raíces prim itivas n-ési-
m as de 1 . dem ostrar que (p(ofe) = (¡>(o)(p(fe). si a y fe son primos
en tre sí.
*113. Dem ostrar que si n = p?‘Pa’ - -pV:, donde p „ p , p*
son números primos distintos, entonces
114. D em ostrar que el núm ero de raíces prim itivas n-ésimas de
la unidad, es par, si n > 2.
115. Escribir el polinomio X (x), donde p es un núm ero primo.
*116. Escribir el polinomio X /n(.v), donde p es un número
primo.
*117. D em ostrar que paran im par, m ayor que I, = x).
118. D em ostrar que si d está formado por divisores primos que
figuran en n, entonces cada raíz prim itiva de I de grado tid es
una raiz de grado d de la raíz prim itiva n-ésima de 1, y recipro
camente.
*119. D em ostrar que si n = p ?"p ?'.. -p*4 donde p„ p¡... . . . . p*
son números primos distintos, entonces X n{x )= X „'{xn"), donde
*120. Designemos por p(/i) la suma de las raíces prim itivas
n-ésimas de l; dem oslrar que p (n ) = 0, si n es divisible por el
cuadrado de al menos un núm ero primo; |i(n ) = 1, si n es el pro
ducto de un número par de números primos distintos; ji(n ) = — 1,
si n es el producto de un número impar de números primos dis
tintos.
121. Dem cstrar que ¿ ]p (d ) = 0, si d recorre todos los divisores
del núm ero n para n=f=T.
*122. Dem ostrar q.ue X„(a) = II (x‘' — 1)“ ' donde d recorre
todos los divisores de n.
*123. H allar X „(l).
*124. Hallar X „ ( - l ) .
*125. D eterm inar la suma de los productos de las raíces p ri
m itivas n-ésim as de 1, tomadas dos a dos.
*126. S = 1 4 -E + e‘ + g9-!-. -r-e1''- . donde e es una raiz
prim itiva n-ésima de 1. Hallar |S |.
n' ~ P i P f -Ph' « '= F -
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C A P I T U L O 2
CALCULO DE DETERM INANTES
Calcular
127.
donde «
donde e
1 2 8 .
§ 1. D eterm inantes de 2° y 35 órdenes
los determ inantes:
■)
i)
;)
i)
i)
3)
= <
a)
O
e)
2 3
1 4
; b)
2
— 1
a c -í- di
c — d b ; c)
c o sa sen a
: h)
sen p eos fj
1 >& «|
k ) |;lgab 1 |
x — i
x3 x* + x + 1
2n. . . 2.a
eos — + ;sen
3 ’
e 1 1
— 1 e ’
1
2
a + |5í V+ 6i
7 — ót a — fii
tg a — I
1 tg a
a -|- b b + d I
a + c c + d ’
ot
— i
sen a eos a
- c o s a s e n a
s e n a e o s a l
sen fl eos ¡5
; i)
1+ 1 '2 2 - 1-3
2 + 1 ''3 I - 1 2
n)
■ cos-j + rs e n -j .
1 1 1 0 1 1
— 1 0 1 b) I 0 1
— 1 — 1 0 1 1 0
a a a 1 1 1
—a a X ’ 3) 1 2 3
— a — a X 1 3 6
1 i H - i
— i 1 0 ;
I — i 0 i
|ir+ í> a — b I
o — ó a + b
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§ 2. Perm utaciones
129. E scribir las Irasposiciones m ediante las cuales se puede
pasar de la perm utación 1, 2, 4, 3, 5 a la perm utación 2, 5, 3, 4, 1.
130. Suponiendo que 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8.9 es
inicial, determ inar el núm ero de inversiones en las perm utaciones:
a) 1, 3, 4, 7, 8, 2, 6. 9,5;b) 2, I, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4;
c) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3. 2,I.
131. Suponiendo que I, 2, 3, 4, 5, G, 7. 8.9 es
inicia), elegir i y k de talm anera que:
a) la perm utación 1, 2, 7, 4, i, 5,6, k , 9sea
b> la perm utación 1, i, 2,5, k, 4,8, 9, 7sea
*132. D eterm inar el núm ero de inversiones en la perm utación
n , n — 1..............2, 1, si la perm utación inicia! es I, 2, . . . . n.
*133. En la perm utación a ,, cc2 a„ hay l inversiones.
¿Cuántas inversiones hay en la perm utación a,„ cc„_,, . . . , a a, a ,?
134. D eterm inar el núm ero de inversiones en las perm utaciones:
a) I, 3, 5, 7 .............. 2n — 1, 2, 4, 6, . . . . 2/i;
b) 2, 4, 6, 8 , . . . . 2n, I, 3 , 5 , . . . , '¿n— 1,
si la perm utación inicial es 1, 2........... 2n.
135. D eterm inar el núm ero de inversiones en las perm utaciones:
a) 3, 6, 9, . . . . 3n, I, 4, 7 3 /i— 2.2, 5 ..............3/1— 1;
b) 1, 4, 7..............3 n - 2 , 2. 5 ..............3/i — 1, 3, 6, . . . , 3n,
si la perm utación inicial es 1, 2, 3 ..............3/1.
136. D em ostrar que si a „ a2, . . . . au es una perm utación con
un núm ero de inversiones /, entonces, después de reducirla a la
disposición inicial, los índices 1 ,2 , . . . , / i form an una perm utación
con el m ism o núm ero de inversiones /.
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137. D eterm inar la paridad de la perm utación de las letras
I, r, ni, i, a, g, o, l, si se tom a por inicia] su disposición en las
palabras:
a) logaritm o; b) algoritm o (en estas palabras la últim a letra
o no se cuenta. N ota del T .)
C om parar y explicar los resultados.
§ 3. Definición de un determ inante
138. ¿Con qué signo figuran en el determ inante de 6° orden
los productos: a) «„a.,1Q4!o ,so1,a 06; b) a Ma „ fll4a ,1a„,n„?
139. ¿F iguran en el determ inante de 5 ' orden los productos:
a) b) a!ií*i3a úta u ajj?
140. E legir í y k de tal m odo que el producto a ua.Ka ¡ka2ia ^
figure en el determ inante de 5o orden con el signo más.
141. Escribir todos los sum andos que figuran en el determ inante
de 45 orden con el signo menos y que contienen el factor aM.
142. E scribir todos los sum andos que form an p arte del deter
m inante de 5o orden y que tienen la form a ¿Qué
ocurrirá si de Su sum a se saca fuera de paréntesis a |4a.*3?
143. ¿Con qué signo figura en el determ inante de/¡-ésim o orden
el producto de los elem entos de la diagonal principal?
144. ¿Con qué signo figura en el determ inante, de /¡-ésimo orden
el producto de los elem entos de la segunda diagonal?
*145. Basándose en la definición de determ inante, dem ostrar
que el determ inante
« l «* «3 «4 « i
I», P* P . P. ñ.
a, a, 0 O 0
b, b, 0 0 0
. r, c„ 0 0 0
es igual a 0.
146. Basándose sólo en la definición de determ inante, calcular
los coeficientes líe x ‘ y .y1 en la expresión
2x x I 2
/ ( * ) =
l x l — l
3 2 x 1
1 1 1 x
147. C alcular ios determ inantes:
1 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 1 1 0 a . . a
0 2 0 . . 0 0 0 0 . . 1 0 i) 2 a . . a
a) 0 0 3 . . 0 ; b) :c) 0 0 3 . . a
1 0 0 . . 0 0
0 0 0 . . n 0 0 0 . . n
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O b s e r v a c i ó n . En todos aquellos problem as en que de las
condiciones del m ismo 110 queda claro cuál es el orden del d eter
m inante, si no se lia hecho alguna restricción especia! se supondrá
que éste es igual a n.
148. F (x) = x { x — l) ( x — 2 ).. .(x — n + 1).
C alcular los determ inantes:
F ( Oj /'( O F (2) . . F (n )
«)
F ( l) F (2) F (3) ■■ F (n + 1)
F (n) F ( fi + l ) F (n + 2) . • F(2n)
F (a) r ( a ) F -(a ) . .
b)
F '(a ) F" (a) F " '( a ) .. F '"+"(a)
F"“ (a) pn+IJ (a) f " +5>(fl). . F'-'"(«)
§ 4. Propiedades fundam entales de los determ inantes
*149. D em ostrar que un determ inante de n-ésim o orden, en el
cual cada elem ento a¡k es el conjugado com plejo del elem ento a„¡.
es igual a un núm ero rea!.
*150. D em ostrar que un determ inante de orden im p a re s igual
a 0, si todos sus elem entos satisfacen a la condición
« « + « * / —o
(determ inante antisim étrico o hem isim étrico).
a„ a ,t . • am
151. El determ inante
Cl2 1 • «2*1 es igual a A
am « « ■ • “nn
¿A qué es igual el determ in an te
a a, «22 ■ • «2»
«32 • - «.,„
a,,.. . • 0 n„
« ii «12 • •
152. ¿Cómo v ariará un d eterm inante si se escriben todas sus
colum nas’ en orden inverso?
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*153. ¿A qué es igual la suma
■ « ...
£ í!o, « » , •
“m , ■ • V .
si la sum ación se extiende a todas las perm utaciones a ,, a , a„?
*154. R esolver las ecuaciones:
1 X x ‘ . . A'1-1
I «i a'i • . u f *
a) 1 o. a? . . « r i
1 a í- , . .
donde a ,, o . son todos distintos;
1 1 1 1
1 1— x 1 1
b) 1 1 2 — jc . 1 = 0;
1 1 1 ( r t - l ) - X
a. a , . . a„
a ,
+
1
*
a„
c) “ i <h 0, + a , — x . ••• “n
«*
*155. Los núm eros 204, 527 y 255 son divisibles por 17. De
m ostrar que
2 0 4
5 2 7
2 5 5
es divisible por 17.
*156. C alcular el determ inante
<x= ( a + l ) = ( c c + 2 y ( a + 3 ) J
P* (P + >)* (P + 2)* (p + 3)*
Y: ( y + D 1 (V-l-2r- (Y— 3Y '
ó* ( f i+ lR (6 + 2 )= (6 + 3)=
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b 4- c c + a a + b a b e
V K i <-',+ 0, a, + b, = 2 a, b, c,
b-i + c, c. + a , a, + b2 ai >>, c.
158. Sim plificar el determ inante
I am - f bp un 4- bq
cm -j- dp c n + d q
desarro
llándolo en sumandos.
159. H allar la suma de los com plem entos algebraicos de todos
los elem entos de los determ inantes:
o, 0 0 . . . 0 0 0 . . 0 o,
0 0 . .. 0 0 0 . . . 0
a) • b)
0 0 0 .. 0 . . . 0 0
160. D esarrollar por los elem entos de la tercera fila y calcular
el determ inante
1 0 — 1 — 1
0 — 1 — 1 1
a b c d
- 1 — 1 1 0
elem entos de la últim a colum na161. D esarrollar por los
y calcular el determ inante
1 1
2 1
1 2
1 1
162. D esarrollar por los elem entos de la prim era colum na
y calcular el determ inante
a 1
b 0 1
c 1 0
d 1 1
1 1
§ 5. Cálculo de determ inantes
Calcular los determ inantes:
115547 13647
. 164.
246 427 327
28423 28523 1014 543 443
- 3 4 2 721 621
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165. 3 1 1 1 166. 1 1 1 1 167. 1 2 3 4
1 3 1 1 1 2 3 4 2 3 4 1
1 1 3 i 1 3 6 10 3 4 1 2
1 1 1 3 1 4 10 20 4 1 2 3
168. 1 1 1 1 169. 1 2 3 4
1 2 3 4 — 2 1 - 4 3
1 4 ‘ 9 1 6 3 — 4 — 1 2
1 8 27 64 4 3 - 2 - 1
2 1 1 1 1 171. 5 6 0 0 0
1 3 1 1 1 1 5 6 0 0
1 1 4 1 1 0 1 5 6 0
1 1 1 5 1 0 0 1 5 6
1 1 1 1 6 0 0 0 1 5
172. 0 1 1 1 173. X y •>■+!/
1 0 a b y x + y
1 a 0 c x + y x
1 b c 0
174. * 0 — 1 1 0 175. + x 1 1
1 * — 1 1 0 1 - - X 1 I
1 0 x — l 0 1 1 + 2 1
0 1 - 1 x 1 1 1 - 2
0 1 — 1 0 x
176. 1 1 2 3
1 2 — .*= 2 3
2 3 1 5
2 3 1 9 — **
177. eos ( a — b) eos (b —<■) c o s (c — a)
eos (a :, b) eos (b r c) eos ( c -,-<))
sen (a b) sen (b -r c) sen (<■-+-«)
178. 0 o b c *179. 1 2 3 . . . n
— a 0 d e — 1 0 3 . . . n
- b — d 0 f — 1 — 2 0 . . . /;
— c — e - i o
- 1 — 2 — 3 . . . 0
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*180. 1 «i, o. a„
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1 x , x , . ■ X,.
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210. D em ostrar que el determ in an te
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es igual a cero, si /’,(* ), /,(•*). . . . . /„(*") son polinom ios en
catla uno de grado 110 superior a n — 2, y los núm eros u s, . .
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C alcular ios determ inantes:
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0 0 0 . . . — Y/i_ Y/i
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0 0 0 ~ V n Y// 1 0 0 . . . a„
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n-ésinio orden de e sta form a y
calcularlo.
34
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C alcular los d eterm in an tes:
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36
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b , b> ¿o b . • . . 0
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donde / :)[(.v )= a rt.vN -«uX ‘ ' , + ■- - -I-a kk.
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*272.
*273.
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274. ¡sen""* a , s e n " ': a , co;ct, . . . se n a , e o s " '- ce, c o s '^ 'a ,
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* 2 7 5 . ii ;n 1 « } " - a í " - a - n? . . a '¡" + n i ' - ‘ a l
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*270. 1 e o s i |0
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* 2 7 7 . j s e n i/ i 4 - D a , s c i i n a , . . . s e n « „
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- ! ) .vi ix , — 1) . . .v‘ ( .v „ - - 1 )
(.v - 1 ) - V j- ' (x! — 1) .
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* 2 7 9 . 1 1 . . . 1 * 2 8 0 . 1 1 . . . 1
-v? x l . . . x l .V, .V, • • ■ x„
-v? x¡¡ . . ■ x l v‘ X* ■• • x'í,
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42
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*285.
*286.
X x-‘ X
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2-'.v 3--.V- . . . (n 1-
2n~ 'x 3n' ' x ' . . . 1n —
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*287. 1 X .Va . A*"” 1
0 1 C'.v . • Ci-.A— ’
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0 0 0 . . c S z x f- "
1 y I/1 . ■ y " ~ ‘
0 i C-y . ■ c;,
0 0 0 . . c - í - v
288.
a) Escribir el desarrollo de un
por los m enores de las prim eras do
b) C alcular el determ inante
1 2 2 1
0 1 0 2
2 0 1 1
0 2 0 1
em pleando el desarrollo por los m enores de segundo orden,
c) C alcular el determ inante
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
em pleando el desarrollo por los m enores de segundo orden.
43
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d) C alcular el determ inante del problem a 145.
e)
g>
1 1 1 0
2 3 4 0
3 6 10 0
4 9 14 1
5 15 24 1
0
u
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I
5
9 24 38 1 25 81
f) 0 0
0 ", 0 d,
; K 0 ü.. 0
0 d, 0
1 I 0 0 0 1 10 A 0 0 . . 0 a
X., 0 0 0 X, a P ■ • P !/,
", b , 1 1 1 "i P a . • P Vi
a, b» x, •V. x t c,
>>, x l x l x„ P P •• . a Vn
-v? x l 0 Ó 0 *3 a 0 0 . . 0 A
i) A plicando el teorem a de Laplace, calcular el determ inante
del p ro b lem a 230.
j) A plicando el teorem a de L aplace, calcular el determ inante
del problem a 171.
k) C alcular el d eterm inante
1 1 1 0 0
1 2 3 0 (1
0 1 1 1 1
0 X, x, x.
0 x¡ xl X% xl
1) Sean A , li, C, D los d eterm in an tes de tercer orden que se
form an de la tabla
M c, d ,
! "e bt C* d. j
Ka , a3 c, d j
al suprim ir la prim era, segunda, tercera y cu arta colum na, respec
tivam ente. D em ostrar que
a, b, d , 0 0
a , b, c., ti., 0 0
0 O a , b, d,
0 0 a., b. c. d,
0 0 an b, c, d,
*m) C alcular el d eterm inante de orden quince
- A D - B C .
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A, A,
A, A A, ,
A, A, A
formado de! m odo indicado por las m allas
a X X — X —je' fl 0 0 0 0
X 2a a 0 0 0 0 1 0 0
X a 2a 0 0 , A, =•• 0 1 2 i) 0
—X 0 0 2a u 0 0 0 2 1
.—X 0 0 a 2a, 0 0 0 1 2
§ 6 . M u ltip lic a c ió n d e d e t e r m i n a n te s
289. A plicando la reg la de m ultiplicación de las m atrices, ex
presar en form a de un determ inante los productos de determ inantes:
a) 14 3 1 - 2
1> 3 — 3 2
b ) 3 2 5 2 3 4
— 1 3 6 — 1 — 3 5
1 — 1 2 2 1 1
2 1 1 I
— 1 2 1 3 1 —
c )
— 1 — ! 1 1 3 —
— 1 — 1 — 2
290. C alcular el determ inante A m ultiplicándolo por el deter
m inante Ó:
1 2 3 4 1 _2
— 1 0 3 — 8 0 I 0
a) A =
1 0 — 13
, 6 =
0 0 1
2 3 5 15 0 0 0
— 1 9 2 3 1 0 0 0
— 5 5 3 — 2 - 2 1 0 0
b) A —
— 12 0 1 1
, 6 =
3 2 1 0 *
9 0 2 1 - 3 4 2 1
a b c d I 1 1 1
b a d c 1 1 — 1 1
c) A =
c d a b
» 5 =
1 1 1 — 1
d c b a 1 1 — 1 1
45
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291. Calcular el cuadrado del determ inante:
a)
1 1 1 1 1 - 1 1 — I
1 1 - 1 1 2 2 1
1 --1 1 — 1
b) 2 0 i - i
1 --1 - 1 1 3 —7 ~ 9
11 b c
— h a — ti c
—c ti 0 —a
- e l —r b
El determ inante
“mi «o, o„, «o.n—l
0,o «11 0» «i. ,,-i =■£>.
_i, o fl . i 0,7-1. -1
¿A qué es igual el determ inante
'I1» T n (*-,) . . .
T . W (*,) . . . <|', (x„)
*r„_ i (v ,) <i„_, (.v.) . . . <p„_, (x„)
donde <p,•(*)=- fl„ ;-ro ux . . . + a „ .,„ x"~ •?
A plicar el resultado obtenido a la resolución de los problem as
265, 267. 268.
*293.
0 n+ u„)" . . . n„)’‘
(ft. + a.í* (*, -I a,)'1 . . . (6 , + a.V
a)
b)
(/>,-!-a„ r ... (b„
- O Í W I ~ « Í P " i - q ? p g
■— “ iñ«
i
- o,,)"
— <X|P, l — a , p 2
1 - a J p S
- « i P l I — « a P j
- « s p r i - a s p s i-«*SPS
—a„p, 1—«i„p„ • • • I — a„p„
*294. sen 2 a, sen fot, -|- a 4)
sen la . + « ,) sen 2 a,
sen (a , -j- a„)
sen (a ,-¡-a n)
sen sen (a,, a-a») . . . sen 2 a„
4C
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*295.
*296.
Sn s, s t • • • 1
s , s s ■S • • • *„ V
s „ _ -s/( 1.1 ■• • S a n -Í - V " - 1 '
s „ '**«+1 S,m : • - • ^2H - 1 .V"
= * Í + * Í H • x *t *n-
a b C d l III n P
b — ii — d — C III - l n — a
c d — « — b n — p — l til
d — c b — a p — ni — l
l — m — n — p — a i d
m l P — ,i — b — a d — í
ii — P l III — c — d — a b
P n — ni l — d c — b — a
*297. cos<p senip cosrp son ip
eos 2<p sen2<p 2cos2ip 2 sen 2<p-
eos 3q> sen 3ip 3cos3<p 3 sen 3tp
cos4<p sen 4<p 4 eos -l<p 4sen4<p
*298.
eos mp n eos /i(| sen wp n sen « p
c o s ( ji + 1)q> ( r e + l)c o s (/t + 1 )«p sen (n -|- 1)«p 1>so n </*- | - 1 )<p
eos (n + 2) <p (n + 2) eos (n -r 2) <p sen (n -i- 2) <p (« I- 2) sen (/i -f- 2) (p
eos (n 3) «p + 3) eos (n -)■ 3) tp sen {n -r 3) <p (n -| 3) sen (n -|- 3) <p
*299. 1 1 1 1
1 e t- . . . e’ -1
1 v- e* P¿11-2
1 yll~ 1 p301~ll ew»—l>*
donde b ~ eos
2ir
n '
‘i.t
s e n
*300. "o «i tí. . . (ltl- l
a j .. &n- 2
ÍI. a, c/„ .. «0
(determ inante eiel ico)
301. A pliear el resultado del problem a 300 al determ inante
x u z y
y x u z
z y x ti
u z y x
47
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302. Aplicar el resultado del problem a 300 a los problem as 192,
205, 255.
C alcular ios dclcrnim anles:
303. 1 C i_ , CJ_, . . . c s z t 1
1 1 C¿_. . . . C i':? C" ,
C'k'A 1 1 . . . c ;;;í C" V
-1
¿ i - , Cs- C;¡-a . . . l 1
304. i lto 3a3 .. . /la"*'
na" ' 1 1 2c¿ . . (« — l) a II~~i
2a 3«3 4a'1 .. 1
305. s — a, 5—-a t . . . s — a„
i — n„ -a , . . . *— ««-■
s — «. 6— ‘h ■■■ s — a,
donde s ^ a , a., ¡ - . . . -J-a„.
306.
307.
CJ,/""* C ll" " 3 ... C"II c r ‘
c r 1 CJ/*-* ... c;¡ C'k-H
c r 1/ f'n—t í" -' r«- C’t H 1
CJ¿"- *cj/»-» CU"-* ... r n-e.r, 1 ("-■
p n — p
—i —i .. - 1 —1 1 1 ... 1
i — i — 1 —1 — 1 1 ... 1
i i .. — 1 —1 — 1 1 ... 1
—i - 1 . - 1 1 1 1 ... —I
‘ 308. eos |
2 a
eos —
II
eos
tn - I) .1
n
( « — 21 .1
e o s H í
n eos —
C0 S 5T
309. eos 0 eos 20 . . . eos n0
eos:/i0 eos 0 . . . eos (n — 1) 0
eos 20 eos 30 . . . eos 0
■1$
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310. sen a se n (a + /0 sen(n-|-2ft). . . sen [ t í — l)/i]
sen[a-¡-(/t — 1)ftj sen o scn(«-|-/i) . . . se n («-(-('!—2)/i]
sen (a-{-h) sen(u-!'2/í) sen(a ,-3/jJ . . . sen a
*311. I a os 3a . n-
n3 1= 2a . ■ ( n - l f
2= 3'- 4a . Ia
«0 ", “ l rt. " , 0, ir.
«0 ", «i ", "s
"s a, " , ", "s ",
", "s "s "o ", «1 (.V.
", 0. «0 " , ",
"l a 2 «i "s «3 "o ",
a, ", <7S " , "•3 «3
= (¡¡„ H -3a,- - 3as) (o j— o„a, — o„os 2o? -I 2o= — 3a,n2)
313. C alcular el determ inante
", « 2 " a . •
— ", ns .
" , • ■ "«-*
— a .. — "s — " , • • ",
(d eterm in an te hem icíclico).
*314. D em ostrar que un determ inante cíclico de orden 2/¡ puede
representarse com o el producto de un determ inante cíclico de orden
;i por un determ in an te hem icíclico de orden n.
315. C alcular el determ inante
" , " s " l •
" , " i •
M"„ a , . " , , - S
M"s h"s .. « ,
§ 7. Problem as diversos
316. D em ostrar que si
o ,, (a.) . ■ » „ W
A (A) - "s, (*) o « W ■ . 0 .„ U )
"» i W a,.2(x > ■ • " „ ,,W
■19
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entonces
t-v) " L W • • 0 ¡ u (
A ' ( k > —
“ i , (x ) • a 2II
‘b u W « „ „ ( > ) . ■ a m ((•*)
a„<x) a n (x) . ■ o , „ ( x )
aSÍ(x) a „ ( x ) .
“ n , (-V) a'n t(x) . • «¡mí*)
a „ - x • « i. + x « n a , , .
“t t - f X a „ ¡- x . — X « i.
« « » + * . - ;- .r “ ,n ü n t ■
- M X 2 -4 /* .
* = i/ —i
donde A a. es el com plem ento algebraico del elem ento a ik .
318. A plicando el resultado del problem a 317, calcular los
determ inantes de los problem as 200, 223 , 224 , 225 , 226 227, 228,
232, 233, 248, 249, 250.
319. D em ostrar que la sum a de los com plem entos algebraicos
de todos ios elem entos del determ inante
es igual a
<r,i « „ . . « i »
« al « 32 . .
a „ i o,,., . .
1 I i
« i . — « I I a „ — a it
a
1
« b u — » » - , . i e * . i , 4 a il,l * * « - !,«
D em ostrar los teoremas:
320. La sum a de los com plem entos algebraicos de lodos los
elem entos de un determ inante no varía si a todos los elem entos
del determ inante se les agrega un m isino núm ero.
321. Si todos los elem entos de una fila (colum na) de un d e te r
m inante son iguales a la unidad, entonces la sum a de los com ple
m entos algebraicos de lodos los elem entos del determ inante es
igual al determ inante mismo.
322. C alcular la sum a de los com plem entos algebraicos de todos
los elem entos del determ inante del problem a 250.
50
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*323. Calcular el determ inante
(at + b .) - ' .. (a, ^
(a a-l-ú ,)"’ (a„ . . <o,
Í « . + W
324. Indicando con P„ y Q„ los determ inantes
a" 1 0 .. 0 (I
— 1 "i 1 .. . 0 0
0 ü 0 .. 1
0 (1 0 .. . — 1 a „ -i
1 0 . . 0 0
— 1 a. 1 . . 0 0
0 0 0 . . 1
0 0 ü . . . — i a » .,
dem ostrar que
c a 0 . . 0 0 32G. /> <7 0 . . 0 0
h c n . . 0 0 2 /' ■7 - . 0 0
0 b c . . 0 0 0 1 P ■ . 0 0
(1 0 0 . . o a 0 (1 0 . /> Q
0 0 0 . . b c 0 0 0 . . 1 P
*327. R epresentar el determ inante
a n + - a ,j • - <*ln
at . alt + x . G*„
Q„t
en forma de un polinomio, dispuesto según las potencias de
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*328. C alcular el determ inante de (2n — l)-és¡m o orden, cuyos
prim eros ir — I elem entos rie la diagonal principal son iguales a la
unidad, los dem ás elem entos de la diagonal principal son ¡guales
a n. E n cada una de las prim eras n — I filas, n elem entos situ a
dos a la derecha de la diagonal principal son iguales a la unidad,
en cada una do las últim as n filas, los elem entos situados a la
izquierda de la diagonal principal son n — i, n — 2, . . . , 1. Los de
más elem entos del determ in an te son iguales a cero.
P or ejem plo,
1 1 1 I 0 1 1 1 1 1 0 0
0 I I 11 I 0
o 0 I I 1 1 1
I 2 3 4 0 0 0
0 1 2 3 4 0 0
0 0 1 2 3 4 0
0 0 0 1 2 3 4
0 1 i I I
I 2 3 0 0
0 1 2 3 0
0 0 1 2 3
*329. .v- 1
— n x — 2
0 — ( r — 1 )
0 0
2 0
x — 4 3
0 0
0 o
o o
y ’'y 0 ü . . . — 1 x — 2n
330. a- 1 0 0 . . . 0 0
n — 1 a 2 0 . . . 0 0
0 n —2 x 3 . . . 0 O
0 0 O 0 . . . 1 a
331. x a 0 0 . . . 0 0
i H u — I) a — 1 2<; 0 . . . 0 0
0 (n — l i t a — 1) x — 2 3n . . . 0 0
0 o 0 0 . . . u - 1 x — n
332. I"~ ' 2 " -'
2 n ~ i i
- 1 ( a 1 ) - ~ ‘ . . . ( 2 /1 — 1 / * -
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333.
1 i
1 1 1 I
2 3 4 • ■■/ , + !
r v ~r ' _ _ i _
n n-(-1 n-j-2 ’ ' ' 2« — 1
334. H allar el coeficiente ile
determ inan te
la potencia inferior de
(1 -- *-)«** vl+x)"*»*
(1 -f x)"’b'
( i + x r * *
( i : x Y 1^ »
x en el
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C A P I T U L O 3
SISTEM AS DE ECUACIONES LINEALES
§ I. Teorema de Crarner
Resolver los sistem as de ecuaciones:
335. 2a-,— a , — X ,- , 4, 336. .v,-¡- x . 2 x , = — 1,
3a-, -I- 4 x . — 2 x , = 11, 2 x ,— .v, + 2x;, — 4,
3a-, — 2.v, -I- 4x., = -1 1 . 4.r, i- a , -r 4.v, — — '2.
337. 3 x , - 2a, | a-,,--. 5 . 338. x ,-|-2 .v .|-4.v, = 3 1 ,
2a-, l 3a-, , a- ,— 1, 5 a- ,- t- a- ,- 1- 2 a: , — 29,
2 a , i- a- , | 3 x , — 11. 3a-,— x a + .V, = 10.
339. a", -|- a, -|-2x„ 3 x , — 1,
3a' i — a, — a, — 2a‘, = — 4,
2 a-, H 3a. — v , — a , - — 6 ,
A",-| 2 x . + 3 x , — a, i » — 4 .
340. a , -|- 2a5 -|- 3a;i — 2a, — G.
2a , — x . — 2a, — 3a, = 8,
3a , -'-2 a, — a, -.-2 a, = 4.
2.-, — 3a, -f- 2a, H- a, = — 8.
3 4 1. a, 2a ,3a, -I- 4a, = 5,
2a , -i- x , -|- 2 a., -i- 3 a, — I ,
3a , |- 2 a, -|- a-., , 2a, — 1,
4a , -i- 3a-, 4- 2a, I- a , = — 5.
342. a , — 3 a , + 4.a, = — 5,
a, — 2 a, | 3a, = — 4 ,
3a , — 2a, — 5a, = 12,
4a , -i-3 x s — 5.V, = 5 .
343. 2a , — a., 4 3 a, + 2a, = 4 .
3a , -h 3a. - - 3.V, f 2.v, = G.
3a, — a, — a, H- 2a, — 6.
3.v,— a- , - | 3.a,— a , = 6 .
54
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344. a , 4- x ,- |- xs -!- v, = 0,
a , — 2x., -!- 3 a , 4.v, 0.
x, — 3 a , 4 6a , 4- 10a, = 0,
a , 4 4 a , |- 10a, 4 - 20a, - 0 .
345. x, - 3a, -i- 5a, + 7a, 12,
3 a, -f ^ a H ^X:¡_|“ a , — O,
5 a, + 7 x ¡ + x , ¡ 3a , r_ 4,
7a, - f a, |- 3a-., 4- 5.v, - 16.
346. A, 4 - x ¿ -|- a-, I A , = 0,
x, — x 2■|■ 2a , — 2a-, i 3 a, O,
A-, -1-A-j-l- 4a, 4 - 4a, 4- 9a„ -- O,
A-,— 8a, — 8 a, I 27a5— tí,
a, — a, ~ 16a, H- 16a,- '-8 1 a5 = 0 .
347. a , 2a- I-3a., -á- 4 a , - O,
a , + a , + 2.Aj | 3 a , = 0.
a , 5 a, -I- a , -I- 2a , •-=O,
a , + 5 a , + 5 a , -h 2 a, ^ 0.
348. a, -f- A, 4- a, 4~ A, — O,
a, 4 - a, 4- a, 4- a, — O,
a, 4- 2 a, -|- 3a, 4- — 2,
A, 4- 2a'34 - 8a , — 2,
a, i- 2a, i- 3a, — 2.
349. a , + 4 a . + 6a , 4- 4a , 1 a , = 0,
a , 4- a , 4 - 4 a , r 6a , 4Aj = 0,
4 a, 4- a , 4- a , 4- 4 a, 6 a , - 0,
6a , 4 - 4 a ,4 - a , 4 - a , 4 - 4 a ,-» O,
4 a, 4- 6a , -f-4 a , -i- x , 4- a , —0.
350. 2a, 4" A, 4“ A , A , 4“ A , —¿f
a, 4- 2a, — a, 4- A, 4- a, = 0,
A, 4- A , 4 - 8a , 4- A, 4- A , = 3,
A, 4- A., |- A, 4- 4a, - f A, = 2,
A, -|- A, • A, -j- A, — 5 a , — O.
351. A, 4- 2a, 4- 3Ag4- 4a, 4 - 5a, = 13.
2a, 4- a, 4- 2a:, + 3a, 4 -4a, — lü ,
2a, -1-2as -(- a34 - 2 a, 4 -3 a, = 11,
2a , 4 - 2a, 4- 2a, 4- a, |- 2a, = 6,
2a , 4- 2a, 4 - 2a, 4- 2a, 4 - a, = 3.
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352. a-, + 2a, - 3a, -|- 4a-, - ^ M - ! ,
2a-, — A-, -i- 3a, — 4a, -i- 2a5 = 8,
3*i t -Vj— xa-f-2xt — *»= 3,
4 a , -| 3,Vj -I- 4 a 3 2 a , - f 2 a s = — 2,
a , — a , — jr, 2 a ,— 3 a , = — 3 .
353. 2a , — 3.r„-¡- 4 v, — 4 a, — O,
3 a , — a . l 1l.v,— 13 a, -= O,
4a , ¡ 5 a. — 7a':í— 2 a, = 0 .
13 a , — 2 5 a, I- x , + 11 a, = 0 .
Comprobar ijue el sistem a tiene la solución *, = * „ = ,vs = x , = 1, y
calcular el delerm inantc del sistem a.
354. D em ostrar que el sistem a
tiene solución única, si a, b, c, d son reales y no son todos igua
les a cero.
355. « a, |- cía. •I cu-*., 4- flA„ =
CíA, -I- CíA, + . . . p.V „. , 4 - « A „ = ü „ _ „
|ÍA, I CÍA, -I- . . . 4-CíA„_] +ÍÍ.V ,,—
donde c c ^ fl.
*■ -»J . X„ __ .
í’i - l'c ■*A -I'! ' r ■' ' + b. -p "- ‘ *’
*1 , | A„___
K - I»."1" * ,— fe"1" • ' f n- P „
donde b,, ¿>„ . . . . /•„, [>,, (i.,. . . . . son todos distinios.
(ix 4- b y + c z + d t = 0,
b x - a y - - d z — el — 0,
c x — dij— a z + b l — 0,
dx | c y — bz— al — 0
357. a , r •■•4"A„
+x„a„.A,CS, | A,C¡,
AjCtj,”1 , ¡- . . . 4 -A„CÍ^-J =
donde a,, a,.., ..., a„ son lodos distinios.
5<;
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358. x, + x ta , + . . . + x„cí'¡-' = u , ,
x , + .*,0 , H- . . . + x,/-4‘- - «...
x , + x , ,a „ -i- . . . + ■*
donde a l> « s . . . . , a„ SOI) todos distintos.
3 5 9 . X, + X, I- ■• - - 1" x „
x , a , + x„a2 + • ■ • - |- x „ c t„ = » s .
x .a ? - 1+ xta “~ ■• • - r x na r
donde cc o :., . . . . a „ son todos d istin to s.
3 6 0 . 1 + Xi "I* x . - 1- ■• x„ — 0,
1 -I- 2x . 2".v„ -- 0,
1 n x , - n-xt -¡- . . . -|- n nx „ -= 0 .
§ 2. Rango de una m atriz
361. ¿C uántos d eterm in an tes de A-ésimo orden se pueden for
m ar de una m atriz de ni filas y n colum nas?
362. Form ar una m atriz de rango: a) 2; b) 3.
363. D em ostrar que el rango de una m atriz no varía:
a) al su stitu ir las filas por las colum nas;
b) al m u ltip licar los elem entos de una fila o una colum na por
un núm ero d istin to de 0;
c) al perm utar dos filas o dos colum nas;
d) al agregar a los elem entos de una fila (colum na) los elem en
tos de o tra fila (colum na), m ultiplicados por algún núm ero.
364. Se llam a sum a de dos m atrices de igual cantidad de filas
y colum nas, a la m atriz cuyos elem entos son las sum as de los
elem entos correspondientes de las m atrices que se sum an. Demos
tra r que el rango de la sum a de dos m atrices no es superior a la
sum a de los rangos de las m atrices que se sum an.
365. ¿Cómo puede alterarse el rango de una m atriz si se le
agregan: a) 1 colum na; b) 2 colum nas?
C alcular los rangos de las m atrices:
366.
/ 0
4 10 i k
367. / 75 0 116 39 0'
j' 4 8 18 7 ( 171 - - Ü9 402 123 45
i 10
18 40 17 • l 301 0 87 — 417 — 169
1 7 17 3 / f 114 - -46 268 82 30
368.
/ 2 1 11 2 369. /1 4 12 6 8 2
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104 21 í) 17 i
1l 11 4 5G 5 i!• ( 7 6 3 4 1 r
2 — 1 5 - - e / 3 5 30 15 20 •r»/
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] 0 0 1 4 371. ( 1 - 2 3 — 1 — 1 - 2
0 1 0 2 5 2 — 1 1 n — 2 - 2
0 0 1 3 G -2 - 5 8 — 4 3 — 1
1 2 a 14 32 G 0 - 1 2 _“ —5
4 ') r> 32 77 - 1 — 1 i — 1 2 1
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3 - 1 ~ 5 7 2 - 7 ;
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o 1 1) 0 0 0 1 — 1 2 0 1
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1 2 1 1 0
4 — 1 J 1 - 8 ;
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§ 3 . S is te m a s d e f o r m a s lin e a le s
3 8 1 . a) Escribir (los form as lineales independientes,
b) Escribir tres formas lineales independientes.
3 8 2 . Form ar un sistem a de cuatro form as lineales de cinco
variables, de modo que dos de ellas sean independíenles y las
demás sus com binaciones lineales.
H allar las dependencias fundam entales en tre las form as del
sistem a:
3 8 3 . y , = 2 a , 4- 2x¡ +• 7 a , — a , ,
;/3= '¿x,— x,---2xH-T 4a„
ij .,= x , + a , + 3a-., - x ,.
3 8 4 . //, = 3.v, -|- 2 a-, — 5 a , , 4 a „
(/, = & « ,— x t ~ 3 a , — 3 a ,,
y., = 3 a , - f 5 x 2— 1óx.j + 1 I a ,.
3 8 5 . y , = 2 a , -i- — 4 * ,— .v„
J t ~ a , — 2 x , + JCa - | 3 .r „
//.,- = 5 a , — 3 a . — .v , - |- 8 a „
y , — 3 a , + 8 a 3 — 9 a , — 5 a 4.
3 8 6 . y , — 2 a ! + a „ — a , ¡- a „
U i = A-, F 2 a 3 + A ,— A j,
¡Ai — A ,-F A , i 2A , ‘- A ..
387. y, — A| -- 2 a . -j- 3 a ;i -F a , , 388. y , —2A,-F x2,
y.¡ = 2 a , F 3 a.. .v, 2 a , , ti, - 3 a , - f 2 a . ,
y ., = 3 a ,- F a , ¡ - 2 a .,— 2 a „ y .,-- a , - F a , ,
y , = 4 a 3 • 2 a , + o a , . y, - 2 a , + 3 a , .
3 8 9 . y , — a , + a „ + a , ' a , - F a „
y , = a , + 2 a , -F 3 a :,- F 4 a , + a 5,
y , = x, + 3 a , + 6 a., f I O a, - f a 5 ,
y, = a, |- 4a, - 10A,-F 2 0 a , -Fa5.
3 9 0 . y , — a ,-F 2 .V , F 3 a , — 4.v „ 3 9 1 . y , = 2 a , 4 - a, — 3 a,,
y , = 2a , — a, + 2 a , , 5 a„ y , —3 a , -F x , — 5 a„
y , = 2a , — a , -f 5a , — 4 a „ y , - 4 a ,-{ -2 a, — a„
y , = 2 a ,- F 3 a , — 4 a , t a ,, y, - a , — 7 x 3.
3 9 2 . y , — 2 a , + 3 a 2 - - 5 a , — 4 a , — a „
y , = a , — a , - :- 2 a , F 3.v,-FO A ,,
y„ = 3 a , - f 7 a , — 8 a ,,— 1 1a, — 3 a ,,
y , = a , — A .+ a s — 2 a , -F 3 as.
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393. y, 2x, — x24- 3x¡ + 4 x , — xs,
Vi — -v, -!- 2x, — 3x3 I- .v, -]-2x„,
i/:, = 5x, — 5xa-I-!2x3H- 1ix4— 5.v0,
¡/4= x, — 3 * ,-|- C,x,+ 3x4— 3xv
394. //, - x¡ + 2xs -f- x ,— 2x4+ x6,
//, -= 2x, — x .+ x.,-i-3x,+ 2x5,
i/a -- x, -r 2x, — X.+3.V-Í,
i/, —2x, -|- x; —3x:,+ x4 2x6,
l/s = A', Vj-j 3.V.,— X4 !-7xs.
395. y, = 4xI -r3xa— x3-f xa— x6,
</.*- 2x, xa 3x3-)-2x4 5xs,
3x. x ,— 2x4,
y , - x, -|- 5x. -I--2xs — 2x, + 6x-,
396. //, = x, •!-2x.— xs 4- 3 x ,— x6-f-2x„
;/. ~ 2.v,— x„-|-3x;l— 4xa + xr,— x6,
- 3x, |- x ,— x.,-1- 2x,-(- x4-| 3x„
y, - - 4x,—7xs 4-8x3— 15x, -¡-Gx5—5x„
V¡ - 5.v, ¡ 5x, —6x, + 11x4 -j- 9xe.
397. y ,-- x, 2 x .¡- x..— 3x44 -2 a,
!/•<— 2x, -|- x .-f xa4 - x4—3x5,
y :, == x, + a-„-r 2.V., |- 2x4— 2x6,
y , = '2x, I- 3x2—5x3— 17x, -|- l x ,,.
Elegir Á de tal modo que la cuarta forma sea combinación lineal
de las tres primeras.
§ 4. Sistem as de ecuaciones lineales
398. Resolver el sistema de ecuaciones:
x , — 2x8-|-xs -|- x4= 1,
x , — 2x2+ x.,— x4= — 1,
x ,— 2xl 4 -x ¡,-f-5x1=*5.
399. Elegir X de tal modo que el sistema de ecuaciones tenga
solución:
2 a ,— x a-|- x.-|- x4= 1,
x ,-; 2xa— x , 4- 4x, = 2,
x, -|- 7 x ,— 4x3- ¡ - 11 x , = X.
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R esolver los sistem as de ecuaciones:
4 0 0 . x . - l - x , — 3 x , = — 1, 4 0 1 ■ 2 x ,+ x t + x -.<— 2.
2 x , + x t — 2 x s = I , a-, -|- 3 x 3 - r * , ~ 5 ,
* | + .v .-l- x 3 = 3 . x s | 5 . v . , - - 7 ,
x , + 2x, - 3.v., = 1. 2 x , + 3 x , — 3 x , - 1 4 .
4 0 2 . 2 x , — x . - h 3x., — 3 .4 0 3 . x , - r 3 x , + 2 x , = 0 ,
3 x , + x s - 5 x , = 0 , 2 x , x s ¡ 3x., ■ 0 ,
4 x , — x t + x 3 - - 3 , 3 x ,— 5 x ,-|-4 -v 3 = 0 .
x , + 3 xj— 13xa = -C». x. |- 17*, ¡-4x, —0
4 0 4 . 2 x , - f x , — x :. + x , = I ,
3 x , — 2 .v , + 2 x a — 3 x , -= 2 ,
5 x ,H - * , — x :l H- 2.v, — 1,
2 x , — x . * a — 3 x , — 4.
4 0 5 . 2 * , — x . I- X:, — A , = l .
2 x , — x , 3 x ,= s 2 ,
3 * . — x , “ — 3 ,
2 x , 4- 2 x , — 2 x , 5 = — b .
4 0 6 . X ,— 2 x , H - 3 * ,— 4 x , = 4 , 4 0 7 . x , |- 2 x a 3 v., 4 - 4 x 4 = 1 1 .
x ,— x 3 - r x, = — 3 , 2x ,-|-3x a I 4 x , I- x, = 12,
x, -f 3 x j —3 * ,= 1, 3v. l-4.vvl- x , -|- 2.v.— 13,
—7 x ,+ 3 x ,t X ..- - 3 . 4.V.-I- x,H-2x, H-3*4= 14.
4 0 8 . 2 X . + 3 .V ,— x , + 5 * , = 0 , 4 0 9 . 3 x , I- 4 x L, - 5 x , + 7.v4 = 0 .
3 x , - x , - f 2 x s — 7 x , = - ü , 2 x , — 3 * .,- ,- 3 x 3 - 2 x 4 - 0 ,
4 x , + x.; — 3 x , - r ( ) í , = 0 . 4 .v . - - I l x . — 1 3 * , - |- 1 6 x , = 0 ,
* , — 2 x , - ¡- 4 * , — 7 * , = 0 . 7 x , — 2 x „ - |- 3 x 4 = 0 .
4 1 0 . x , + x a — 3 * , — x , = 0,
x,— x, + 2x,— *4 = 0,
4 x , — 2 x s -j- 6 x., + 3 x 4— 4 x „ — 0 ,
2 x , - f 4 x , — 2 * a I- 4 x , —- 7 x s — 0 .
411. x , + X ,- ;- x . , x , + x , — 7 ,
3 x , - ¡ - 2 x ,- ¡ - X;¡ —|— x 4 3Xa"— 2 .
* 2 -i 2 x :,-i- 2 x , 1- 6 x 4 - = 2 3 ,
5 x . + 4 x , , 3 x s - r 3.Vj x 6 - 1 2 .
4 1 2 . x , — 2 .V ,- !-* ,— x , x „ - 0 ,
2 x , - |- x 3 — x 3 + 2 x 4— 3 x . = = 0 ,
3 x , — 2 x a — x., |- x 4— 2 x 4 = 0 ,
2 x , — 5 x , - f x , — 2 x , + 2 x 5 = 0 .
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413.a , — 2a, + a, + a , — a, — O,
2x, - - a .— a , — .v. -• ,Vj = 0 .
x , + 7 a , — 5 a , — 5 a , 4 - 5a , — 0,
3 x , — a , — 2 a ,-|- a , — a . ^ 0 .
414. 2 a, -h -V. — xs— ,v ,+ a j = 1,
A-,— X .- f A, -|- X, 2 x , = 0,
3 x , -¡- 3a. — 3a, — 3 x , -|- 4.v,, — 2.
4a-, -! 5a-. — 5 a , — 5a-, + 7x„ = 3.
415. 2a , - 2a-,-I- .V, * , + x , = 1,
X , + 2.V, — X ,+ A,— 2xs ^ 1,
4a , — 1Oa, -I- 5a, — 5a, -I- 7a, = 1,
2a , — 14x, i- 7a3— 7a, -j- 1 1a, — — 1
416. 3 a ,-;- a., — 2a-, | a , — a 5— I,
2a , — a, 4- 7a, — 3a , 4- 5a. = 2,
a , 3a-, — 2 a , I- 5 a ,— 7 a , = 3,
3 a , — 2 a , 7 a ,— 5 a , + 8a , = 3.
417. a, 4 2a, — 3a, 4- 2a, — 1,
a , — a . — 3 a ,-,1- a-,— 3 a , — 2,
2 a , — 3 a . 4- 4 a , — 5 a , 4- 2 a , — 7.
9 a ,— 9 a . 4- 6a , — I6a , + 2 a , = 25.
418. a , 4 - 3a, ~1~5a, — 4a, = 1,
a, H- 3a. 4- 2a, — 2a, 4 - a, — — 1,
A, ¿X. -|- A, Aj A, = 3,
A, — 4 a , X., + A ,— A ,= 3,
A, ¡- 2.V, — A-,— A, 4- A, = — 1.
419. a , -|- 2a.,-|-3 a, — a, =-- 1,
3a , 4 - 2a.-T A,— A,»-. I,
2-v, + 3 a , -i- a - •-a , — 1,
2 a.-I-2 a.-I-2 .v -,— a , = 1,
5 a , -|- 5 a , — 2 a, — 2.
420. a , — 2 a , + 3 a ,— 4 a , + 2a , = — 2,
a , -r 2 a .— a , — a , — 3,
A ,— A. ; 2a.,— 3 a , — 10,
-V,— A, — A",— 2a, — - 5,
2a, -¡-3.V,— a.,-; a, + 4a, = 1.
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421. El sistem a
ay + bx = c,
ex 4-02 = 0,
la 4- cu = a
tiene solución única. D em ostrar que ubc^+l) y hallar la solución.
422. X x + y + 2 = 1 , 423. Xx -|- 1l-'r 2 + = 1,
x + X y + 2 =*X, X-J-Xí/4- 2 -r = x .
* + u --X2 = x ¡ x 4* Í/4-X2-I- = X2,
X + y + 2 4“ X = x a-
424. x 4- ay + a~z = o’ 425 •v-t- 1/4- 2 - 1.
a:-|- by -i- h-z = b:‘, ax - - by 4- <‘2 =d,
x + cy 4- c!z = c <i2.v4- b‘y |-f=2 -ií2.
426. 0*4- !/ + a —4, 427 íi.v 4- by 4- 2 1,
x + by + z^= 3, x -1- aby 4- 2 b.
X + 201/ -|-2 = 4. * 4 - b y + a z • 1.
428. a x 4- 1/4- 2 = ni 429. x-(- m /4- a-z -1 .
x -i-ai/4 - z ~ n , .v-|- ay ala -a.
x + y 4- e/a = p bx + a-y + a‘bz- ■■a‘b.
430. (X + 3) x 4-
_L
r
t?
ii
),.v 4- (X— 1)!/ + 2 = 2X,
3(X -)-l).v4- X//4-(X4-3) 2 = 3 .
431. X.vJ - Xi/ 4- (X 4 -1 )2 = /.,
Xx + Xy + (X— 1) z —X,
(X -(- 1) x 4- Xy + (2X -|- 3) z — 1.
432. 3 fe e+ (2 ft+ !)?/ + (* + ) z = k,
( 2 k - 1) X + (2 fc - 1);/ -r (fe— 2) 7= k + 1,
(4k— I) x -|- 3*1/4- 2 k z = i .
433. a x + b y + 2 2 = 1 ,
a* 4 -(2 0 — I);/4 - 3 2 = 1 ,
a x + ¿«i/-f-(i»+ 3 ) a = 2ft— 1.
434. a) 3nrx+ (3/n— 7) y + ( m — 5) 2 = m — 1,
(2m — 1) jcH- (*1m — l) ;/4 - 2;h 2 = m i4- 1,
4/nx -i- (5m— 7) y + (2m— 5)z = 0.
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b) (2 /M + 1 )x —• m y + l ) z = m — 1,
(m — 2) x (m — 11ij+ (m — 2) z = m,
(2m — l ) x -|-(m — 1) y + (2m — 1) z =-/«.
c) (ó*. | Ii.v-I- 2 X i/+ (4 ? .H -l)? -= l J-?-.
( 1/v— 11x -|- (á — I) i/H- (4X— I)z — - 1,
2(3X.-¡-1) x |- 2 > .j/4-(5K -|-2)z-= 2— X.
435. a) (2c ¡ i ) x — c y — ( c + l ) z = 2c,
3<x— (2c— 1 )//— (3c— l ) z — c |- 1,
(c-| 2) ,v— y — 2cz — 2.
b) 2 (?. 1) x :iy -|- ).z = >.-!- 4,
(4?.— 1) x -H * J - l ) V -!- (2*. - 1)2 = 2?. -1- 2.
(5Á— 4) x -}-(?. -|- 1) í/J- (3?.— 4) ? = ?.— 1.
c) d x -!• (2rf — I );/ + (i -1- 2) 2 = 1,
(£Í--l)i/H - {d— 3 )z = I + d ,
dx -i- (3rf— 2) y | (3d + 1) z = 2 — rf.
d) (3n — 2 o / / - |- ( 3 a + l ) z = l .
2a x H- 2ííi/ -|- (3a -(- i) z - t i ,
(a + 1) x -|- (a -|- 1) (/-|- 2 (a - |- 1) z = a*.
436. H allar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
M , (* ,,{/,), M t ( x , . u t).
437. ¿Cuál es la condición para que tres puntos M ,( í „ ;/,);
/«¡(X j. i/..); 44-(x3, i/„) estén situados en una recta?
438. ¿Cuál es la condición para que tres rectas a , x -i-b ,y + c , — 0;
fljjt + ¿»íi)-|-c, = 0 ; u ,x - j-bHij+ c3= 0 pasen por un punto?
439. ¿Cuál es la condición para que cuatro puntos A4„(x„, y0);
44, (x,, //,); 44, (x ,, if2); A i, ( x „ ;/..,) estén situados en una circunfe
rencia?
440. E scribir la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos M , (2. 1); .41,(1, 2); A'í.,(0, I).
441. H allar la ecuación de la curva de 23 orden que pasa pol
los puntos 4 1 ,(0 , 0); A i.(1 ,0 ); yVI.,(— !, 0); 4 4 ,(1 , 1) y 4 4 ,(— 1, 1).
442. H allar la ecuación de la parábola de tercer grado que
pasa por los puntos M ,(1 ,0 ); 4 4 ,( 0 ,— 1); 4 Í8(— 1 , —2) y 44,(2, 7).
443. Form ar la ecuación de la parábola de n-ésim o grado
y —■aQx’‘ -|-o,.v"“ 1 | . . . -j-o„ que pasa por n + 1 p untos M a(x„, y,);
41, (x,, //,); 4 4 ,(x „ i/J; . . . ; M „ (xn, y„).
444. ¿Cuál es la condición para que cuatro punios M , (x,. y„ z,);
44. (x?, </., z.l; 443(xsl i/3, z,); M t (x „ y „ z t) estén situados en un
plano?
M
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445. Form ar la ecuación de la esfera que pasa por los punios
M ,( 1, 0, 0); M .( l. I, 0); M a ( l, 1. 1); M ,(0 , 1, I).
446. ¿Cuál es la condición para que n puntos M , (x,, y,):
M , (x4, ¡/,); M ,(x „ y.,); . . . ; /Vt„(x„, y„) estén situados en una recta?
447. ¿Cuál es la condición para que n rectas <i1.v + ó ,;/j -í:i = 0;
g2x + />,!/+ c3 = 0; . . . : a„x--b„t/~cn = 0 pasen por un punto?
448. ¿Cuál es la condición para que n puntos Af, y„ ?,);
Aí2( x . , y ,, za); . . . ; M„ (x,„ y„, z„) estén situados en un plano,
y cuál es la condición para que estos puntos estén situados en
una recta?
449. ¿Cuál es la condición para que n planos A¡x B¡t/--C¡z -p
--D¡ = 0 (¿ = 1, 2, . . . , n) pasen por un punto, y cuál es la con
dición para que todos estos planos pasen por una recta?
450. E lim inar x ,, x , x„_, entre el sistem a de n igual
dades:
m soluciones de un sistem a de ecuaciones lineales homogéneas.
E stas soluciones se llam an linealm ente dependientes, si existen
unas constantes c¡, c, r,„, no sim ultáneam ente iguales a cero,
tales que
Si las igualdades (2) se cum plen solam ente cuando c , — c.¿= . . .
. , . = c „ = 0 , las soluciones se llam an linealm ente independientes.
Convengamos en escribir las soluciones como filas de una m a
triz. Así, pues, el sistem a de soluciones (I) se escribirá en forma
de )a m atriz
D em ostrar que si el rango de la m atriz A es igual a r, el
sistem a (1) tiene r soluciones linealm ente independientes, y todas
ot¡x , + a !tx,
n12x , + . . . ,,-,*,,-,-1-011, = 0
a „ x ,-r- . . . 4-Oj, + aa„ = 0
a„ixt + a„.x, + ■■■+ a,„ ,x„. , - f u„„ = 0 .
451, Sean
= « u : xj"
xi5' — ra2l; x F '- c tj,;
Ci«1( + c,a2, + ■■■+ cma,m = 0
( ¿ = 1 . 2 ..............n).
(2)
3 3aKaa 1371
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las dem ás soluciones del sistem a (1) son com binaciones lineales de
ellas.
452. D em ostrar que si el rango de un sistem a de ni ecuaciones li
neales homogéneas con n incógnitas es igual a r, entonces e x is
ten n — r soluciones linealm ente independientes del sistem a y to
das las dem ás soluciones del sistem a son com binaciones lineales
d e ellas
Tal sistem a de n — r soluciones se llam a sistem a fundam ental
de soluciones.
/ I - 2 1 ü 0
[ 1 — 201 0 1
453. ¿Es l 0 01 -1 0 ) un slsten,a
l — 23 — 2 0 /
fundam ental de soluciones del sistem a de ecuaciones
* , + x.t + xa+ x , + a-s = 0 .
3.r, + 2x.¿ -|- x3+ x , — 'Ax¿= 0,
x., -!- 2x, + 2xi + Cixr, = 0,
5 .e ,H 4a-s -| - 3a-, - j- 3 x t — x a = 0 ?
454. Escribir el sistem a fundam ental de soluciones del sistem a
de ecuaciones del problem a 453.
/' 1 — 2 1 0 0
455. ¿Es [ 0 0 — 1 I 0 j un sistem a
4 0 0 —6 2.,'
fundam ental de soluciones del sistem a del problem a 453?
456. D em ostrar que si A es una m atriz de rango r que form a
un sistem a fundam ental de soluciones de un sistem a de ecuaciones
lineales hom ogéneas y D es una m atriz no singular a rb itraria de
r-ésim o orden, entonces la m atriz B A tam bién form a un sistem a
fundam ental de soluciones del m ism o sistem a de ecuaciones,
457. D em ostrar que si dos m atrices A y C de ran g o r form an
unos sistem as fundam entales de soluciones de un sistem a de ecua
ciones lineales hom ogéneas, entonces una de ellas e s el producto
de una m atriz no singular B, de r-ésim o orden, por la o tra, es
decir, A = BC.
458. Sea
a ie ■■ a . n
a . , a 25 -•■• “ zn
« , i .. ■ < W
un sistem a fundam ental de soluciones de un sistem a de ecuaciones
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lineales homogéneas; dem ostrar que
xl = c 1a I,+ c ¡la ,1+ . ••
x¡ = c f l u -|- c t a 3 i + . . . -f-cf» ,„
x„ = r,» !,,+ < * * » + ■- • + crt rn
es la solución general de este sistem a de ecuaciones, es decir, que
cualquier solución del sistem a puede obtenerse de ésta para cier
tos valores de c„ c„ . . . . cr, y reciprocam ente.
459. Escribir la solución general del sistem a del problema 453.
460. Comprobar que (11, I, —7) es un sistem a fundam ental de
soluciones del sistem a del problem a 403, y escribir la solución
general.
461. Escribir las soluciones generales de los sistem as de tos
problem as 408, 409. 410, 412, 413.
462. Conociendo la solución general del problema 453 (véase
la respuesta del problema 459) y sabiendo que x , = — 16, *s = 23.
x3= a:4= x s = 0 es una solución particular del sistem a 411, hallar
la solución general del sistem a 411.
463. Escribir las soluciones generales de los sistem as de los
problem as 406, 414, 415.
3*
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C A P I T U L O 4
MATRICES
§ I. Operaciones con las m atrices cuadradas
464. M ultiplicar las m atrices:
• > G 3) • c 1 >
1
b ) G - ? ) • (
/3 1 l .1 1 -
c) ( 2 1 2 j - i 2 - 1
> 2 3 / Vi 0 1/
/ I 2 3 / - i — 2 - 4
d) j 2 4 6 ; ■( ~ i — 2 - 4 ) ;
V3 6 9/ V 1 2 4 /
/ I 2 r . ,■ 2 3 >' / ! 2 1
e) ( 0 1 2 ) • 1 - 1 1 ° J . I 0
- 1 / 3
1 2 I;
3 1 1/ V 1
2 1 1 /
I a
6
c
/ I a
C
f) [ c b
a ]
■ 1 b 1-
VI 1 1/ l <• «y
j ¿>
465. E fectuar las operaciones:
n i/ 2 1 l
a) ( 3 1 0
¡ '
Vo I 2,1
/ I 1"
d ) ( o
c) í
/
■*■466. H allar
b)
I 3
c)
sentp coscp/
1 -
n
3 2 v
- 4 — 2 '
, a es un núm ero real.
467. D em ostrar que si A B = B A , se tiene
a) (A + BY- = A* + 2 A B + B-; b) A'— B°- = (A + B ) ( A - B y .
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c)(A + B)" = A" + T A * - ' B + . . . + B a.
468. C alcular A B — B A , si:
i 2 1 / 4 1 >
a) A = 2 1 2 . ñ = - -4 2
° ]1 2 3 / V 1 2 1 /
/ 2 1 0' ' 3 1
b) A = 1 1 2
• B=[ 3 —2
- l 2 1.! - 3 5
469. H allar todas las m atrices que son conm utables con la
m atriz A:
a>a=L _?)• b>A- ( l !); e>ÁrT
470. H allar H A):
( 2 1 1
a) f ( x ) — X‘ — x — 1, A = | 3 1 2
b ) f ( x ) = x¡— 5x- 3, A =
1 — 1 0 /
2 “ ' ) •—3 3 /
a 6;
c d /
471. D em ostrar que toda m atriz de segundo orden i
satisface a la ecuación
x* — (a + di -v-|- (ad— be) —0.
472. D em ostrar que para cualquier m atriz ciada A existe un
polinom io ¡(x) tal que /(/1 ) = 0, y que todos los polinom ios que
poseen esta propiedad son divisibles por uno de ellos.
*473. D em ostrar que la igualdad A B — B A = E es imposible.
474. Sea /4* = 0. Dem ostrar que ( E — A )~ ' = E -|- A . . .
. . . + A*->.
475. H allar todas las m atrices de segundo orden, cuyos cua
drados son ¡guales a la m atriz nula.
476. H allar todas las m atrices de segundo orden, cuyos cubos
son iguales a la m atriz nula.
477. H allar todas las m atrices de segundo orden, cuyos cuadra
dos son iguales a la m atriz unidad.
478. Resolver y discutir la ecuación X 7 1 = 0 , donde A es una
m atriz dada y X es la m atriz incógnitade segundo orden.
479. Resolver y discutir la ecuación X* = A. donde A es una
m atriz dada y X es la m atriz incógnita de segundo orden.
69
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480. H allar la m atriz inversa de A:
f a b
-M i ly b) 71 =
1 2 — 3
c ) A = O IO I
0 O
2
1 ¡
d) A =
g) A .
1 3
2 — 1 2
i) A
1 B'“
3
0 ; f) ¿ =
)
) 0
’ ° 1í 4 J
; h) A
'■ 3 /
1 ... 1
6- . . . E"-
H* . . . E="
g»»-J ... el"-
! I 1 . . . O
o-j 2-i
donde e = eos -|- i sen — ;
ii n
' 2 — 1 0 . . . 0
-1 2 — 1 . . . 0
i) A = 0 — 1 2 . . . 0 :
ü 0 0 . . . - 1 2}
1 3 5 7 . . . 2n — 1
2n — I 1 3 5 . . . 2 — 3
k) A = 2/ --- 3 2 ;:— 1 1 3 . . . 2n - 5
3 5 7 9 1
1 O 0 . . . 0 c,
0 1 0 . . . 0 6a
1) A =
0 0 1 . . . 0 c3
*
0 0 0 . . . 1 c„
bi í>2 b3 . . . b„ a
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m ) A ‘
n) A =
— X 0 0'
1 — X 0
0 0 . . 1 — .V
*
a . a „ </„
+5 i 1 1
1
>+¿ l 1
1 1
l+¿ -
1
1 1 1 . 1+f'■n
o) Siendo B ~ ' una m atriz conocida, hallar !a m atriz inversa
para la m atriz orlada ^ .
481. H allar la .m atriz incógnita X de las ecuaciones:
* > (
5
3 /
X =
e
/ I 1 — i
/ '
- 1 3
b) X - 2 1 0 1= 1 4 3 2
Vi — 1 1! v i - 2 5 /
l 1 1 .. r2 1 0 . . O''
0 1 1 . . l 1 2 1 . . 0
c) 0 0 1 . . 1 •A' = 0 1 2 .. 0
p 0 0 .. 1, 0 0 0 . . 2
« (
2 1
3 2) . * . (
- 3
5
II
OJco
1
( - ! -
e)
' 1 1 1 .. 1 1 1 — 1 0 . . 0
— 1 1 0 . . 0 0 1 1 — 1 . . 0
0 — 1 1 . . 0 0 X- 1 0 1 . . 0 -
0 0 0 . . . - 1 b vi 0 0 . ■’ 1,
1 0 0 .. 0 0
0 2 - 1 .. 0 0
0 - 1 2 0 0
0 0 0 .. 2 - 1
0 0 0 .. — 1 2
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482. D em ostrar que si A B = B A , se tiene: A ~ ‘B — B A " '.
484. H allar todas las m atrices reales de segundo orden, cuyos
cubos son iguales a la m atriz unidad.
485. H allar todas las m atrices reales de segundo orden, cuyas
cuartas potencias son iguales a la m atriz unidad.
486. Establecer e! isom oríism o del cam po de núm eros com ple
jos y del conjunto de las m atrices de la form a siendo
a y b reales.
488. Represenlar (0 'i-¡-ú í+ c f-M í) («* + &[+<?»-M i') en form a de
una suma de cuatro cuadrados do expresiones ¿¡lineales.
489. D em ostrar que las siguientes operaciones con Jas m atrices:
a) perm utación de dos filas,
bj agregación a los elem entos de una fila los núm eros propor
cionales a ios elem entos de o tra fila,
c) m ultiplicación de los elem entos de una fila por un núm ero
distin to de 0,
se realizan m ultiplicando la m atriz a la izquierda por unas m atri
ces no singulares.
Las m ism as operaciones con las colum nas se realizan m u lti
plicando a la derecha.
490. D em ostrar que toda m atriz puede expresarse en la forma PRQ,
donde P y Q son m atrices no singulares y R es una m atriz dia
gonal de la forma
*491. Dem ostrar que toda m atriz puede representarse en forma
de un producto de m atrices £ + ae,6, donde elk es una m atriz cuyo
elem ento de la í-ésim a fila y é-ésim a colum na es igual a 1, m ien
tras que todos los dem ás elem entos son iguales a 0.
487. Establecer que las m atrices de la forma
siendo «, b, c, d reales, form an un anillo sin divisores de cero.
R=--
0
0
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*492. Dem ostrar que el rango del producto de dos matrices
cuadradas de orden n no es inferior a r , + r 2— n. donde r, y r,
son los rangos de los factores.
493. Dem ostrar que toda m atriz cuadrada de rango 1 tiene la
forma
A d ‘i k .m • ■- ^ltbA
j *•#» ■• • 1
.. K í ' - j
*494. H allar todas las m atrices de tercer orden, cuyos cuadra
dos son iguales a 0.
*495. H allar todas las m atrices de tercer orden, cuyos cuadrados
son iguales a la m atriz unidad.
*496. Supongam os que las m atrices rectangulares A y B tienen
una m isma cantidad de lilas. Representem os por (.4. B) la m atriz
que se obtiene al agregar a la m atriz A todas las colum nas de la
m atriz 13. Dem ostrar que rango (A , 8 ) < rango >1 !-rango B.
*497. D em ostrar que si A - = E. entonces rango (£ -|- A ) 1-rango
(E — A ) = n, donde n es el orden de la m atriz A.
*498. D em ostrar que la m atriz A que posee la propiedad 4 S= £ ,
puede representarse en la forma P B P ~ donde P es una m atriz
no singular y B es una m atriz diagonal cuyos elem entos son todos
¡guales a ± 1.
499. Hallar la condición a que debe satisfacer una m atriz de
elem entos enteros para que lodos los elem entos de la m atriz inversa
sean enteros.
500. D em ostrar que toda m atriz no singular de elem entos nu
m éricos enteros puede representarse en la forma P R , donde P es
una m atriz tinim odular de elem entos numéricos enteros y R es una
m atriz triangular de elem entos numéricos enteros, cuyos elem entos
situados debajo de la diagonal principal son tollos iguales a cero,
los elem entos diagonales son positivos, y los elem entos situados
encim a de la diagonal principal son no negativos y m enores que
los elem entos diagonales de la misma columna.
*501. Reunam os en una clase todas las m atrices de elementos
num éricos enteros que se obtienen una de otra m ultiplicando a la
izquierda por m atrices unim odulares de elem entos num éricos enteros.
Calcular el núm ero de clases de m atrices de /t-ésiino orden que
tienen un determ inante dado k
502. Demostrar que toda m atriz de elem entos num éricos enteros
puede representarse en la forma PRQ, donde P y Q son matrices
unim odulares de elem entos num éricos enteros y R es una m atriz
diagonal de elem entos num éricos enteros.
503. Demostrar que toda m atriz unim odular de elem entos nu
méricos enteros de segundo orden, con el determ inante 1, puede
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representarse en form a de un producto de potencias (positivas y
negativas) de las m atrices
504. D em ostrar que toda m atriz unim odular de segundo orden
de elem entos num éricos enteros, puede representarse en form a de
un producto de potencias de las m atrices
505. D em ostrar que toda m atriz de tercer orden' de elem entos
num éricos enteros, d istin ta de la m atriz unidad, con determ inante
positivo y que satisface a la condición A - = E , puedo representarse
en la forma QCQ~‘ , donde Q es una m atriz unim odular de elem en
tos num éricos enteros y C es una de las m atrices
1 0 0 , /] — 1 0
0 — 1 0 | y I 0 — I 0
0 0 — 1 / 0 0 — l
§ 2. M atrices rectangulares. Algunas desigualdades
506. M ultiplicar las m atrices:
*>G¿!>!-)< »' i 0J
(c) I | y (1 2 3); d) (1 2 3) y
3 /
507. H allar el determ inante del producto de ia m atriz
3 2 1 2
por la traspuesta.
4 1 1 3 /
508. M ultiplicar la m atriz ^ ^ por la traspuesta y ap li
car el teorem a del determ inante "de! producto.
509. E xpresar el m enor de m -ésim o orden del producto de dos
m atrices m ediante los m enores de los factores.
510. D em ostrar que todos los m enores principales (diagonales)
de la m atriz A A son no negativos. Aquí A es una m atriz real y
A es la m atriz traspuesta de A .
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511. D em ostrar que si todos los menores principales de fc-ésimo
orden de la m atriz A A son iguales a cero, los rangos de las m a
trices A A y A son m enores que k. Aquí A es una m atriz real y A
es la m atriz traspuesta de ella.
512. Dem ostrar que las sum as de todos los m enores diagonales
de un orden dado k, calculados para las m atrices AA y A A , son
iguales.
513. Em pleando la m ulliplicación de m atrices rectangulares,
dem ostrar la identidad
(a + a l + ■■■+ u r ,)W + l> l+ ■■■+ t t ) -
— (n,í>, H -H & + . . . + a „ b „ y= 2 ( a f o — aj,)*.
/< *
514. Dem ostrar la identidad
2 Ia¡ r ■2 11>¡|-— 2 ap't = 2 Ia p k — Ia-
■=1 1 = 1 1 = 1 I C h
Aquí a¡, b¡ son números complejos, b'¡ son los números conjugados
con b¡.
515. D em ostrar la desigualdad de Buniakovski
n 2 n n
2 afi, ) < 2 ^ - 2 b¡
para a¡, b¡ reales, partiendo de la identidad del problema 513.
516. D em ostrar la desigualdad
2 a,b'¡
i — i
< 2 k l ! - 2 | í > , - l ‘
i= i í=i
para a¡, b¡ complejos.
■“517. Sean B y C dos m atrices rectangulares reales, tales que
(B, C) = A es una m atriz cuadrada [el sentido del la notación
(B, C) es el mismo que en el problema 4961. D em ostrar que
*518. Sea A = ( B , C) una m atriz rectangular de elem entos rea
les. D em ostrar que
|/ M K |B B |- |C C |.
519. Sea A una m atriz rectangular real
A ■
Dem ostrar que
(Olí ■■■
: «n a-u ... a„,
<W
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520. Sea A una m atriz rectangular de elem entos com plejos
y sea A * la m atriz traspuesta de la m atriz com pleja conjugada de A.
D em ostrar que el determ inante de la m atriz A * A es un núm ero
real no negativo y que este d eterm inante es igual a 0. si y sólo
si, el rango de A es m enor que el núm ero de colum nas.
521. Sea A --- (/i, C) una m atriz rectangular com pleja. D em ostrar
que A * A < * ll i * B C*C.
522. D em ostrar que si el m ódulo del determ inante
axx . ■ a,„
‘hi a „ . ■ a,,.
a„i “n-2 ■ ■ o„n
no es superior a M "n" 2 .
*523. D em ostrar que si aik son reales y están situ ad o s en el
intervalo 0 aik < M , el valor absoluto del determ inante form ado
por los núm eros aik no es superior a M '‘2 _"-(u -¡- 1) 3 -
524. D em ostrar que para los determ inantes de elem entos complejos,
la cota expuesta en el problem a 522 es exacta y no puede m ejorarse.
525. D em ostrar que para los determ inantes de elem entos reales,
la cota expuesta en el problem a 522 es exacta para n = 2'a.
526. D em ostrar que el m áxim o de los valores absolutos de los
determ inantes de n-ésim o orden, cuyos elem entos son reales y no
superiores a 1 en valor absoluto, es un núm ero entero divisible
por 2"-1 .
‘ 527. H allar el m áxim o de los valores absolutos de los deter
m inantes de órdenes 3 y 5, form ados por núm eros reales no supe
riores a 1 en valor absoluto.
*528. Se llam a m atriz recíproca de una m atriz dada A , aquella
cuvos elem entos son los m enores de ( « — l)-ésim o orden de la m atriz
inicial en su disposición natural. D em ostrar que la m atriz recíproca
de la reciproca, es Igual a la m atriz inicial m ultiplicada por su
determ inante elevado a la potencia ti— 2.
*529. D em ostrar que los m enores de ra-ésimo orden de la m a
triz recíproca son iguales a los m enores com plem entarios a los
menores correspondientes de la m atriz inicial, m ultiplicados por A™-1 .
530. D em ostrar que la m atriz reciproca al producto de dos m a
trices es igual al produelo de las m atrices reciprocas en el m ism o orden.
531. Supongam os que se lian num erado de algún m odo todas
las com binaciones /«-arias de los núm eros 1. 2, . . . . n.
Se da una m atriz cuadrada A («,>) de orden n . Sea A ,f el
m enor de m -és¡ino orden de la m atriz A , cuyos índices de las íilas
form an la com binación de índice ct y los índices de las colum nas
form an la com binación de índice f5. E ntonces, con todos estos
m enores se puede construir una m atriz A'„, -- !■'!„-.) de orden C"1,
E n particular, A't - A , A ’„-t es la m atriz reciproca de A.
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D em ostrar que {AB)'m = A'mB'm, E'„, = E , M " ’)» —
532. D em ostrar que si A es una m atriz "triangular" de la íorma
jf «*,. a ,. . • • 11u,
aJ 0 ai t .

V 0 0 . ■■ a„n /
entonces, m ediante uria num eración adecuada de las combinaciones,
la m atriz A'm será tam bién triangular.
533. D em ostrar que el determ inante de la m atriz A'„, es igual
. ,WJI-1
a A .
534. Supongam os que se ha establecido de algún modo una
num eración de ios pares (í, k ); i — 1, 2 n; fc— I, 2, . . . , m.
Se llam a producto de Kronecker de dos m atrices cuadradas A y B
de órdenes n y m, respectivam ente, a la m atriz C -- A x B de orden nm
con los elem entos c,flt — a,¡rbkiki, donde a , es el índice del par
(i,, k,) y a 2 es el índice de (i., k.¡). D em ostrar que
a) (,41± , 4 :,) x B = M 1X B ) ± ( ,4 2x B ),
b) A x ( B , ± B 2) = ( A x B ¡) ± ( A x B 2),
c) (<4'X B ') ( A " x B " ) = (A '- A “) x ( B ' ■B").
*535. D em ostrar que el determ inante de A x B es igual a
l i41*-| fi |".
536. Supongam os que las m atrices A y B de orden m n se han
dividido en n! m allas cuadradas, de modo que tienen la forma
/ A ,, A ,. . . . <4,„ /B¡¡ B n . . . B,„
A = [ /' 31 ^ 22 "■ j , B = i " ■ ®2" J
A//2 ■■■ A un) B n, B,,2 ■■■ B,nJ
donde A,k y B ik son m atrices cuadradas de orden m. Supongamos
que se ha formado su producto C y que éste se ha dividido del
m ismo modo en m allas C¡k. D em ostrar que
C,k — AltB.k-|- A¡„B,lk.
Por lo tanto, el producto de m atrices divididas en m allas se
efectúa form alm ente según la m isma regla, como si en las mallas
no hubiesen m atrices, sino números.
*537. Supongam os que una m atriz C de orden m n se ha divi
dido en n- m allas cuadradas iguales. Supongamos que las m atrices
Aik form adas por ios elem entos de cada m alla por separado son
conm utables dos a dos al m ultiplicarlas. Con las m atrices A ik se
forma el “determ inante" A . . . A „„„ -- B E ste “deter
m inante” es una m atriz de orden m. D em ostrar que el determ inante
de la m atriz C es igual al determ inante de la m atriz B.
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C A P I T U L O ,1
PO LIN O M IO S Y FUNCIONES RACIONALES
D E UNA VARIABLE
§ I. Operaciones con los polinomios. Fórm ula de Taylor.
Raíces múltiples
538. M ultiplicar los polinomios:
a) <2**— x3+ *» + * + !)(*»— 3.V+1);
b) (x3+ **— X— 1 )(jc*— 2x— I).
539. Efectuar la división con resto de:
a) 2*‘ — 3 ^ + 4x! — 5 x + 6 por *«— 3 * + l;
b) j:*— 3a:*— x— 1 por 3*»— 2 # + I .
540. ¿Bajo qué condición el polinomio X * p x + q es divisible
por un polinomio de la forma x ! + m x — 1?
541. ¿Bajo qué condición el polinomio x ' + px* + q es divisible
por un polinomio de la forma jc3+ m * + l?
542. Sim plificar el polinomio
, _ x + x J ^ - ) _ + ( _ | y . * ( r - Q . . . 0 C - H + 1) _
543. Efectuar la división con resto de:
‘ a) — 2 x '+ 4 x t — 6* + 8 por x — I;
b) 2z‘— 5**— 8* por jc-f-3;
c) 4x?+x* por x + 1+ i ;
á) x*— x*— x por x — l + 2 l .
544. Aplicando la regla de H orner, calcular /(*„):
a) / (x) = jc4— 3x* 6x3— 1Ojc-f-16, x„ = 4;
b) f{x)= x !>+ ( ] + 2 i ) x t - ( i + 3 i ) x > + 7, x , = - 2 - ¡ .
545. Aplicando la regla de H orner, desarrollar el polinomio
f(x ) según las potencias de x — x,:
a) f ( x ) = x , + 2 x 3- 3 x ’ - 4 x + ¡ , Jtr0 = — I;
b) f ( x ) ~ x jc0 = I;
c) f ( x ) = x 4— 8 x "+ 24.í3- 5 ( k + 9 0 , x , = 2;
d) f(x) = x, + 2 ix 3— (I-j-í)* 3_ 3 * + 7 + i:, x , = — i;
76 i
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e) /( x ) = x ‘ + ( 3 — 8[)x5— (21 + I8f)x*—
— (33 — 20¿)x-j- 7 + 1 8 /, x, = — 1 -f 2¿.
546. Aplicando la regla de H orner, descomponer en fracciones
simples:
a, £ = £ ± i . b) ^ - ^ + 3 ,
' (x—2y> 1 ' (x + i)6
*547. Aplicando la regla de Horner, desarrollar según las po
tencias de x:
a) ¡ ( x + 3 ) , donde f(x ) = x 4— x * + I;
b) (x — 2)‘ - M ( x — 2)5+ 6 ( x — 2)»-|-10(x— 2) + 20.
548. H allar los valores del polinomio f(x ) y de sus derivadas
para x = x„:
a )/(x )= x 5 _ 4 r> -t-6 x 3- 8 x + 1 0 , x0= 2;
b) /( x ) = x ‘ —3(x3—4xJ+ 5ix — 1; x , = l + 2 i .
549. ¿Cuál es el orden de m ultiplicidad de la raíz:
a) 2 para el polinomio x ‘— 5.t4-t- 7x3— 2x‘ -f- 4x— 8;
b) — 2 para el polinomio xs + 7x*-f-16jí3H-8xa— 16x— 16?
550. D eterm inar el coeficiente a de tal modo que el número
— 1 sea una raíz m últiple de orden no inferior a dos del polino
m io xi — ax*— a x + 1.
551. D eterm inar A y B de tal modo que el trinomio ,4x*-|-
+ Sat, -|-1 sea divisible por (x— 1)'J.
552. Determ inar A y B de tal modo que el trinomio Ax"*l +
•f sea divisible por (x — 1)J.
*553. Demostrar que para los polinomios:
a) x u — nx*+1+ n x " '1— 1;
b) x M+l— (2 n + l) x » t l H -t2n-l-l)Jt" — 1;
c) (n — 2m)xr'— nx"-” + n x f — {n— 2m)
el número 1 es una raíz m últiple, de tercer orden.
554. Dem ostrar que el polinomio
j.sn+ 1 « ( n + l ) ( 2 / » + l ) | (« — 1) (/i + 2 ) ( 2 n + 1)________
( / > - ! ) ( « + 2 ) ( 2 « - H ) ^ | n ( n + Q ( 2 n + 1) )
es divisible por (x— 1)* y no es divisible por (x— 1)*.
*555. Dem ostrar que para que el polinomio
f (x) = a„x" -fo .x " -' + . . . + an
sea divisible por (x— l)*+l, es necesario y suficiente que se cum-
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