C04 teoria de errores en topografia

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Pontificia Universidad Católica del Perú
TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
INTRODUCCION A LAS MEDICIONES Y
TEORIA DE ERRORES
• EXACTITUD Y PRECISION
• ERRORES Y FUENTES DE ERROR
• TEORIA DE PROBABILIDADES
• METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

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MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES
INTRODUCCION
Como cada técnica de medición tendrá errores inevitables, el ingeniero debe
considerar todas las fuentes y clase de error, así como la forma en que se
combinan a fin de minimizarlos .
En el caso de realizar una medición: si el error obtenido es menor al tolerado es
posible realizar un ajuste, en caso contrario, es preciso realizar el trabajo de
campo nuevamente.
El proceso de efectuar mediciones y realizar
cálculos, requiere una combinación de equipo
adecuado, destreza humana y buen criterio.
Sin embargo, a pesar de realizar estas
operaciones con mucho cuidado las
mediciones nunca son exactas y siempre
contendrán errores.

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EXACTITUD Y PRECISION
EXACTITUD: de una medida está en función de su
absoluta cercanía con la medida real.
Para conocer el valor más probable de una medición necesitamos una muestra
de mediciones finitas, las cuales pueden ser exactas o precisas:
Ejemplo: Si la longitud verdadera es 100 m, y las mediciones efectuadas
dan los siguientes valores:
100.04 m
99.98 m
99.95 m
100.03 m
El promedio = “valor real”, entonces la medición es exacta
VALOR REAL = 100 M

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PRECISION: es el grado de refinamiento con el que se pueden
realizar un conjunto de mediciones, las cuales
presentan pequeñas discrepancias. Es decir, se
refiere a qué tan cerca está una medida de la otra.
La precisión depende del grado de perfección de los equipos y/o procedimientos
aplicados.
Recomendación: Antes de iniciar un trabajo verifique los instrumentos a fin de
evitar errores de calibración.
EJEMPLO: Si la longitud verdadera es 100 m, y las mediciones efectuadas dan los
siguientes valores:
90.05 m
89.98 m
90.02 m
El promedio  “valor real”, entonces la medición NO es exacta
Una medición es muy similar a la siguiente, entonces es precisa
VALOR REAL = 100 M
EXACTITUD Y PRECISION

- 50 -
ERRORES
A pesar de que se obtenga la precisión requerida, es necesario presentar
un plano que no presente errores de cierre, para lo cual se realiza un
ajuste.
Error: es la diferencia que existe entre el valor medido y el valor real de una
magnitud.
Los errores pueden minimizarse mediante un trabajo cuidadoso combinado
con la aplicación de ciertas correcciones numéricas, sin embargo nunca
pueden eliminarse.
Error
Perímetro
1
Precisión 

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FUENTES DE ERROR
a) Fuentes de error Instrumentales: se deben a imperfecciones en la
construcción o ajuste de los instrumentos empleados.
Fuentes de error.- son de tres tipos:
b) Fuentes de error Personales: se originan básicamente en las
limitaciones propias de los sentidos humanos. Ejemplo: hilo vertical del
teodolito no alineado sobre el objetivo; estadal no vertical.
c) Fuentes de error Naturales: son causados por variaciones del viento,
temperatura, humedad, presión atmosférica, etc. Ejemplo; longitud
variable de una cinta debida a cambios de temperatura.

- 52 -
CLASES DE ERROR
a) Equivocación: es un error del observador cometido por descuido,
fatiga, error de comunicación o una apreciación equivocada. Por lo
general son equivocaciones grandes y por ello no se pueden
compensar. Se debe eliminar revisando cuidadosamente todo el
trabajo o parte de él.
Clases de error:
Ejemplo: 30.368
30.366
30.635
30.364

- 53 -
Clases de error:
b) Errores Sistemáticos: resultan de factores que comprenden el
“sistema de medición” (medio ambiente, instrumentos y observador).
Son errores que en igualdad de condiciones se repiten siempre en la
misma proporción o con el mismo signo.
Debido a las condiciones del sistema los errores se mantendrán
constantes o variables. Son factibles de corregir.
20.456 m
20.462 m
A B
CLASES DE ERROR
Error por Catenaria= 0.006 m

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Clases de error:
c) Errores Aleatorios: ocasionados por factores que quedan fuera del
control del observador. Dependen del azar; son factibles de ajustar si es
que se ha alcanzado la precisión requerida. Se caracterizan por:
 Son errores pequeños.
 Son tanto positivos como negativos.
Estos errores obedecen las leyes de probabilidad y pueden ajustarse
aplicando el “Método de los Mínimos Cuadrados”
CLASES DE ERROR

- 55 -
Error Total
CLASES DE ERROR
Equivocaciones Errores Sistemáticos Errores Aleatorios
Se eliminan Se corrigen Se redistribuyen
“Mínimos Cuadrados”

- 56 -
TEORIA DE PROBABILIDADES
Probabilidad:
Es la relación entre el número de veces que un resultado debe ocurrir en
el número total de posibilidades.
Ejemplo:
Si lanzamos un dado, existe una
probabilidad de 1/6 que aparezca el
número 3.

- 57 -
Para poder aplicar la teoría de probabilidades en el ajuste de errores se
debe haber eliminado las equivocaciones y corregido los errores
sistemáticos, de modo tal que queden sólo los errores aleatorios que
procederemos a ajustar.
• Los residuos pequeños ocurren con mayor frecuencia que los grandes, es
decir su probabilidad de ocurrencia es mayor.
• Los errores grandes ocurren con poca frecuencia y los “muy grandes” son
por lo general equivocaciones.
• Los errores positivos y negativos de la misma magnitud ocurren con igual
frecuencia.
• El valor verdadero de una cantidad es la media de un número infinito de
observaciones análogas.
Leyes Generales de la Probabilidad:

- 58 -
Valor más probable:
Se puede obtener si se realizan mediciones redundantes. El valor más
probable de una magnitud medida varias veces con el mismo equipo, mismo
personal, procedimiento y bajo condiciones climatológicas similares, es la
media aritmética.
Es la diferencia entre cualquier valor medido de una magnitud y su valor más
probable.
Residuo:

- 59 -
= 164.120 m
Histograma
Histograma:
Muestra los tamaños de las
medidas o residuos versus su
frecuencia de aparición.
Valor medido (m) Nº de veces
164.086 1
164.095 1
164.101 2
164.108 4
164.123 10
164.126 4
164.129 1
164.136 1
164.140 2
164.15 1
27
Valor medido (m) Nº de veces Vi (cm)
164.086 1 -3.4
164.095 1 -2.5
164.101 2 -1.9
164.108 4 -1.2
164.123 10 0.3
164.126 4 0.6
164.129 1 0.9
164.136 1 1.6
164.140 2 2.0
164.15 1 3.0
27
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
residuos
frecuencias

- 60 -
Construcción del Histograma:
Primero establecemos la marca de clase, que es la mínima división constante
de variación de las mediciones (para el ejemplo anterior 1 cm):
Intervalo del Frecuencia
Histograma (cm) Absoluta
-3.5 a -2.5 1
-2.5 a -1.5 3
-1.5 a -0.5 4
-0.5 a +0.5 10
+0.5 a +1.5 5
+1.5 a +2.5 3
+2.5 a +3.5 1
Luego tabulamos las medidas de campo, teniendo
en cuenta la “marca de clase”
0
5
10
15
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Marca de clase
(residuos)

- 61 -
Sobre el histograma, si unimos con líneas rectas los puntos superiores
centrales de cada barra obtenemos el llamado “polígono de frecuencias”
Si se incrementa el número de mediciones, disminuye el intervalo de clase.
Finalmente el polígono de frecuencias se aproximará a una curva uniforme
continua en forma de campana, denominada “curva de distribución normal”.
Polígono de frecuencias
Curva de Distribución Normal
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
residuos
frecuencias

- 62 -
Es un término estadístico utilizado para para expresar la precisión de un conjunto
de medidas.
1
2



n
vi

xxv ii 
n: # de mediciones
x: promedio de mediciones
Si n>30 el denominador del
radical se convierte en n
Desviación Estándar ó Error Estándar ():
 fija los límites dentro de los cuales se espera que las
mediciones queden el 68% de las veces. E68= 
Punto de
Inflexión
 
68% del
área total
Error

- 63 -
Punto de
Inflexión
 
1.645  1.645 
(E90) (E90)
]2x,2x[E95%deadprobabilidconerrordeIntervalo
σ]x,x[68%deadprobabilidconerrordeIntervalo




)(
)(
95
Errores 50%, 90% y 95%:
E50 (error 50) es el llamado error probable y
fija los límites dentro de los cuales han de
permanecer las mediciones un 50% de las
veces :
E50 = ± 0.6745 
Los errores E90 y E95 se usan comúnmente
para especificar precisiones necesarias en
trabajos topográficos:
E90 = ± 1.645 
E95 = ± 1.960  = ± 2 
2 
(E95)
2 
(E95)
Error

- 64 -
Errores 50%, 90% y 95%:
Para determinar el grado de precisión de un trabajo utilizamos la relación:
Error de la media:
Es el intervalo (-Em, + Em) dentro de cuyos límites puede encontrarse el verdadero
error, producido en forma accidental por el cálculo de valores medidos de manera
individual:
95E
X
1
Precisión 
Ep: Error con un determinado porcentaje de
probabilidad
n: Número de términos de la muestra.

- 65 -
PROPAGACION DE ERRORES
Como todas las mediciones tienen errores, las cantidades calculadas con
dichos valores contendrán asimismo errores. El proceso de evaluar estos
errores se conoce como “Propagación de Errores”.
Si tenemos una función M=f(x,y,z) con errores Ex, Ey, Ez, el error EM se
calcula:
Ejemplo:
Se tiene un tanque cilíndrico de radio R y altura H, las dimensiones
obtenidas con un 95% de error fueron: R=12±0.005 m, H=15±0.007 m.
Calcule el error esperado al determinar el volumen.
222
... 



















 zyxM E
z
M
E
y
M
E
x
M
E

- 66 -
Solución:
Para calcular el volumen: M=V=πR2H
22
.. 











 HRM E
H
M
E
R
M
E
2
2 R
H
M
HR
R
M
 





Reemplazando en EM
Derivadas parciales:
   
   
3
222
222
48.6
007.012005.015122
.2
mE
E
ERERHE
M
xxxxxM
HRxM






- 67 -
Si se requiere calcular la propagación de errores en la suma de
cantidades que contiene, cada una, diferentes errores:
Error de una suma:
Error de una serie:
Si cada cantidad medida tiene un error de igual magnitud, en ese caso la
fórmula anterior se simplifica:

- 68 -
EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS
Es la técnica a utilizar para ajustar o corregir los errores aleatorios.
También se emplea para realizar las curvas de ajuste cuando se realizan
varias observaciones.
El método de los mínimos cuadrados consiste en que la suma de
cuadrados de los residuos sea mínima.
Cuando se utilizan varias técnicas, con diferentes pesos se puede
emplear:
mínimaV
n
i
i 1
2
mínimaVp
n
i
ii 1
2
2
1
i
ip

Donde:

- 69 -
1. Expresar cada medida como el valor medido más un residuo (Vi).
2. Expresar cada residuo como una función de las mediciones.
3. Escribir la sumatoria Vi
2
4. Hallar las derivadas parciales de la función mínimos cuadrados con respecto
a las mediciones halladas e igualar a cero.
5. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
Pasos para aplicar el método de los Mínimos Cuadrados:
Ejemplo:
Para hallar la distancia entre los puntos A y B se tomaron las siguientes
medidas. Determine el valor más probable de AB.
26.462 m
11.134 m 15.322 m
A B

- 70 -
Solución:  
 
 
 
mdmymx
yx
yx
sistemaeloresolviendyceroaderivadaslasIgualando
yyx
y
V
xyx
x
V
V
yxyxV
yV
xV
yxV
Vy
Vx
Vyx
AB
i
i
i
i
460.26324.15136.11
784.412
596.372
:
)322.15(2)462.26(2
)(
)134.11(2)462.26(2
)(
0)(4
)322.15()134.11()462.26(3
322.15
134.11
462.262
322.15
134.11
462.261
2
2
2
2222
3
2
1
3
2
1



















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