SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 25
Downloaden Sie, um offline zu lesen
1
TRIGONOMETRI
ATRIÂNGULO RETÂNGULO
2
TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo
sen α =
cos α =
tg α =
b
a
c
a
b
c
Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa
que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra.
Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3
e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus,
que a rampa formará com o solo.
m
12m
34
α
3
3
αtg
12
34
αtg
=
=
α = 30o
3
( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x
3 0 ° 6 0 °
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
tg 30o
=
x x – 38
y
60o
30o
y
x
3
3 y
x
tg 60o
=
y
x – 38
3 =
x – 38
y
(x – 38) 3 = y
=
3
3
=
(x – 38) 3
x
x = 3(x – 38)
x = 3x – 114
114 = 2x
57 = x
4
TRIGONOMETRI
ASENO COSSENO TANGENTE E
DEMAIS RELAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
5
SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
+ 1
– 1
+ +
__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2
x + cos2
x = 1
tg x =
sen x
cos x
xsen
=xcossec
1
xcos
=xsec
1
xsen
xcos
xtg
=xcotg
1
=
6
a) cos x
sen2
x + cos2
x = 1
1cos
25
16 2
=+ x
25
16
1cos2
−=x
25
9
cos2
=x
5
3
xcos =
1xcos
5
4 2
2
=+





−
tg x =
sen x
cos x
5
3
5
4
xtg
−
=
3
4
xtg −=
b) tg x
c) cotg x
Sendo sen α =
5
4
− e πα
π
2
2
3
<< , calcule:
4
3
xtg
1
xcotg −==
d) sec x
3
5
xcos
1
xsec ==
e) cossec x
4
5
xcos
1
xcossec −==
SENO
+ +
__
COSSENO
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
7
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
π 180o
x 225o
225o
π = x.180o
4
5π
=x
01. A medida em radianos de um arco de 225º
é rad
6
11π
F
02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2 ≤ m ≤ 3
– 1 ≤ 2m – 5 ≤ 1
– 1 + 5 ≤ 2m ≤ 1 + 5
4 ≤ 2m ≤ 6
2 ≤ m ≤ 3
V
8
04. Se sen x > 0, então cossec x < 0
sen 30o
= 1/2 cossec 30o
= 2
sen 210o
= - 1/2
F
FP
180o
160o
200o
cossec 210o
= - 2
08. Se tg 20º
= a, o valor de 2-éo
oo
tg200
tg340tg160 +
F
360o
340o
tg 160o
=
tg 200o
=
tg 340o
=
– tg 20o
=
tg 20o
=
– tg 20o
=
– a
a
– a
+
+
_
_
o
oo
tg200
tg340tg160 +
a
a)(a- −+
a
2a−
– 2
V
9
16. Para todo x ∈ 1o
quadrante, a expressão
(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2
x é igual a cos2
x
(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2
x
xsen
x
xsen
xx
xsen
x
2
coscos
1
.
coscos
1
−





+





−
xsen
x
xsen
x
xsen 2
cos
1
.
cos
1
−




 +





 −
xsen
x
xsen 2
2
22
cos
1
−




 −
xsen
x
xsen 2
2
2
cos
1
−




 −
xsen
x
x 2
2
2
cos
cos
−





sen2
x + cos2
x = 1
sen2
x = 1 – cos2
x
cos2
x = 1 – sen2
x
1 – sen2
x
cos2
x
V
10
6
π
6
5 π
32. A solução da equação 2sen2
x + 3sen x = 2 para 0 ≤ x ≤ 2π é
x = ou x =
2 sen2
x + 3 sen x – 2 = 0
∆ = b2
– 4ac
∆ = 32
– 4.2.(-2)
∆ = 25
a
b
x
2
∆±−
=
4
53±−
=xsen
2
2
1
−== xsenouxsen
2
1
=xsen
++
30o
150o






=
6
5
,
6
ππ
S
V
11
( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o
valor da expressão 9.(sec2
x + tg2
x) é:
cossec x =
4
5
sen x =
5
4
sen2
x + cos2
x = 1
1cos
5
4 2
2
=+





x
1cos
25
16 2
=+ x
25
16
1cos2
−=x
25
9
cos2
=x
5
3
cos =x
3
5
sec =x
tg x =
sen x
cos x
5
3
5
4
=xtg
3
4
=xtg
9.(sec2
x + tg2
x)












+





22
3
4
3
5
9




+
9
16
9
25
9




9
41
9 41
12
TRIGONOMETRI
AOPERAÇÃO COM ARCOS
13
Adição e Subtração de Arcos
sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a
cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b
sen 75º =
sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a
2
3
.
2
2
2
2
.
2
1
+
sen 75º =
4
62 +
cos 15º =
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b
cos 15º =
4
62 +
2
1
.
2
2
2
3
.
2
2
+
14
O valor de cos 10o
cos 35o
– sen 10o
. sen 35º
, é:
sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a
cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b
cos 10o
. cos 35o
– sen 10o
. sen 35ºcos (10º
+ 35o
) =
cos 10o
. cos 35o
– sen 10o
. sen 35º
cos 45o
=
= cos 10o
. cos 35o
– sen 10o
. sen 35º
2
2
15
Seno e Cosseno do arco duplo
sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a
cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2
x - sen2
x
sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x
cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
16
Cálculo do sen x
sen2
x + cos2
x = 1
1
25
16
xsen2
=+
25
16
1xsen2
−=
25
9
xsen2
=
5
3
xsen −=
1
5
4
xsen
2
2
=





+
Sendo cos x =
5
4
e π
π
2
2
3
<< x , calcule sen 2x e cos 2x:
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2
x - sen2
x
sen (2x) = 











−
5
4
.
5
3
.2
sen (2x) =
25
24
−
cos (2x) =
25
9
25
16
−
cos (2x) =
25
7
17
TRIGONOMETRI
AFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GRÁFICOS
18
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO y = sen x
sen x
π
π
π
π
2
2
3
2
0
0 + 1 0 - 1 0
0o
90o
180o
270o
360o
x
x
IMAGEM:
DOMÍNIO: REAIS
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
1º. e 4º. q
2º. e 3º. q
PERÍODO: 2π
19
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO COSSENO y = cos x
cos x
π
π
π
π
2
2
3
2
0
+1 0 - 1 0 +1
0o
90o
180o
270o
360o
x
x
IMAGEM:
DOMÍNIO: REAIS
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
3º. e 4º. q
1º. e 2º. q
PERÍODO: 2π
20
FUNÇÕES DA FORMA:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto
imagem de:
a) y = 2 + sen x
sen x
π
π
π
π
2
2
3
2
0
0 + 1 0 - 1 0
0o
90o
180o
270o
360o
x
x
2 + sen x 2 3 2 1 2
IMAGEM: [1, 3]
PERÍODO: 2π
21
FUNÇÕES DA FORMA:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto
imagem de:
b) y = 3sen x
sen x
π
π
π
π
2
2
3
2
0
0 + 1 0 - 1 0
0o
90o
180o
270o
360o
x
x
3sen x 0 3 0 -3 0
IMAGEM: [-3, 3]
PERÍODO: 2π
22
FUNÇÕES DA FORMA:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b]
CONCLUSÕES: a → desloca o gráfico
b → estica o gráfico
Determinar a imagem da
função f(x) = 2 + 3sen x
f(x) = 2 + 3 sen x
f(x) = 2 + 3 (-1)
f(x) = 2 + 3 (1)
= - 1
= 5
IMAGEM: [-1, 5]
Determinar a imagem da
função f(x) = 5 + 2cos x
f(x) = 5 + 2 cos x
f(x) = 5 + 2 (-1)
f(x) = 5 + 2 (1)
= 3
= 7
IMAGEM: [3, 7]
23
PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
m
2π
T =Período
Determinar o período da função
f(x) = sen 2x
FUNÇÕES DA FORMA:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
π==
2
2π
TPeríodo
Determinar o período da função
f(x) = 3sen x/2
π4==
2
1
2π
TPeríodo
24
Determine o período da função f(x) = cos4
x – sen4
x é:
Um pouquinho de matemática
básica
(a + b)(a – b) = a2
– b2
(x + 3)(x – 3) = x2
– 9
= x2
– 25(x + 5)(x – 5)
= cos4
x – sen4
x(cos2
x + sen2
x )(cos2
x – sen2
x)
= cos4
x – sen4
x(1)(cos2x)
f(x) = cos4
x – sen4
x
f(x) = cos 2x
π==
2
2π
TPeríodo
m
2π
T =Período
= cos4
x – sen4
xcos2x
fórmulas do arco duplo
sen 2x = 2sen x.cos x
cos 2x = cos2
x – sen2
x
25
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO TANGENTE y = tg x
tg x
π
π
π
π
2
2
3
2
0
0 não 0 não 0
existe existe
0o
90o
180o
270o
360o
x
x
IMAGEM:
DOMÍNIO:
REAIS
CRESCENTE: SEMPRE
PERÍODO: π
{x ∈ ℜ|x ≠
2
π
+ kπ}
O domínio da função f(x) = tg 2x é:
24
2
2
2
2
ππ
π
π
π
π
k
x
k
x
kx
+≠
+
≠
+≠

Más contenido relacionado

Was ist angesagt?

Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricasMackenzie Solano
 
A Função Cosseno
A Função CossenoA Função Cosseno
A Função Cossenoguest9bcf
 
21 aula graficos de funcoes reais
21 aula   graficos de funcoes reais21 aula   graficos de funcoes reais
21 aula graficos de funcoes reaisjatobaesem
 
Transformações nos gráficos de funções 10 ano
Transformações nos gráficos de funções  10 anoTransformações nos gráficos de funções  10 ano
Transformações nos gráficos de funções 10 anoAna Tapadinhas
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pJean Silveira
 
Hl lista segundo grau 23
Hl lista segundo grau 23Hl lista segundo grau 23
Hl lista segundo grau 23celiomelosouza
 
Graficos de funcoes
Graficos de funcoesGraficos de funcoes
Graficos de funcoesdebyreis
 
Recuperação paralela
Recuperação paralelaRecuperação paralela
Recuperação paralelairaciva
 
Função quadrática 10º exercicios
Função quadrática 10º exerciciosFunção quadrática 10º exercicios
Função quadrática 10º exerciciosAna Tapadinhas
 
Exercícios de Função 2 grau.doc
Exercícios de Função 2 grau.docExercícios de Função 2 grau.doc
Exercícios de Função 2 grau.docalenumeros
 
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercícios
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercícios9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercícios
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercíciosAndréia Rodrigues
 

Was ist angesagt? (19)

Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricas
 
A Função Cosseno
A Função CossenoA Função Cosseno
A Função Cosseno
 
21 aula graficos de funcoes reais
21 aula   graficos de funcoes reais21 aula   graficos de funcoes reais
21 aula graficos de funcoes reais
 
Funcoes
FuncoesFuncoes
Funcoes
 
Transformações nos gráficos de funções 10 ano
Transformações nos gráficos de funções  10 anoTransformações nos gráficos de funções  10 ano
Transformações nos gráficos de funções 10 ano
 
Td 7 matemática ii
Td 7   matemática iiTd 7   matemática ii
Td 7 matemática ii
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
 
Hl lista segundo grau 23
Hl lista segundo grau 23Hl lista segundo grau 23
Hl lista segundo grau 23
 
Td 10 matemática ii
Td 10   matemática iiTd 10   matemática ii
Td 10 matemática ii
 
Td 2 matemática ii
Td 2   matemática ii Td 2   matemática ii
Td 2 matemática ii
 
Graficos de funcoes
Graficos de funcoesGraficos de funcoes
Graficos de funcoes
 
Td 1 matemática ii
Td 1   matemática iiTd 1   matemática ii
Td 1 matemática ii
 
Lista m3
Lista m3Lista m3
Lista m3
 
Recuperação paralela
Recuperação paralelaRecuperação paralela
Recuperação paralela
 
Função quadrática - definições e exercícios - AP 12
Função quadrática - definições e exercícios - AP 12Função quadrática - definições e exercícios - AP 12
Função quadrática - definições e exercícios - AP 12
 
Função quadrática 10º exercicios
Função quadrática 10º exerciciosFunção quadrática 10º exercicios
Função quadrática 10º exercicios
 
Exercícios de Função 2 grau.doc
Exercícios de Função 2 grau.docExercícios de Função 2 grau.doc
Exercícios de Função 2 grau.doc
 
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercícios
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercícios9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercícios
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercícios
 
Td 9 matemática ii
Td 9   matemática iiTd 9   matemática ii
Td 9 matemática ii
 

Andere mochten auch

Ejercicios de limites y funciones final 1
Ejercicios de limites y funciones final 1Ejercicios de limites y funciones final 1
Ejercicios de limites y funciones final 1Leomar Martinez
 
Questões de Matemática - Bonjorno
Questões de Matemática - BonjornoQuestões de Matemática - Bonjorno
Questões de Matemática - BonjornoEverton Moraes
 
Mat potenciação é uma multiplicação
Mat potenciação é uma multiplicaçãoMat potenciação é uma multiplicação
Mat potenciação é uma multiplicaçãocomentada
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas icon_seguir
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidostrigono_metrico
 
Mat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iiiMat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iiitrigono_metrico
 
Trigonometria senos - cossenos e tangentes
Trigonometria   senos - cossenos e tangentesTrigonometria   senos - cossenos e tangentes
Trigonometria senos - cossenos e tangentesAndré Luís Nogueira
 

Andere mochten auch (7)

Ejercicios de limites y funciones final 1
Ejercicios de limites y funciones final 1Ejercicios de limites y funciones final 1
Ejercicios de limites y funciones final 1
 
Questões de Matemática - Bonjorno
Questões de Matemática - BonjornoQuestões de Matemática - Bonjorno
Questões de Matemática - Bonjorno
 
Mat potenciação é uma multiplicação
Mat potenciação é uma multiplicaçãoMat potenciação é uma multiplicação
Mat potenciação é uma multiplicação
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
 
Mat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iiiMat 140 questoes resolvidas vol iii
Mat 140 questoes resolvidas vol iii
 
Trigonometria senos - cossenos e tangentes
Trigonometria   senos - cossenos e tangentesTrigonometria   senos - cossenos e tangentes
Trigonometria senos - cossenos e tangentes
 

Ähnlich wie Trigonometria PARTE 2

Ita2008 3dia
Ita2008 3diaIta2008 3dia
Ita2008 3diacavip
 
Ita2006 3dia
Ita2006 3diaIta2006 3dia
Ita2006 3diacavip
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisWilson Kushima
 
Algebra basica
Algebra basicaAlgebra basica
Algebra basicanyltton
 
Matematica 2 grau (reparado)
Matematica 2 grau (reparado)Matematica 2 grau (reparado)
Matematica 2 grau (reparado)Aldenor Jovino
 
Ita2011 3dia
Ita2011 3diaIta2011 3dia
Ita2011 3diacavip
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6Bowman Guimaraes
 
Ita2009 3dia
Ita2009 3diaIta2009 3dia
Ita2009 3diacavip
 
Apostila bastante completa de matematica
Apostila bastante completa de matematicaApostila bastante completa de matematica
Apostila bastante completa de matematicaRoberio Figueiredo
 
Apostila nivelamento cal
Apostila nivelamento calApostila nivelamento cal
Apostila nivelamento calAndré Piazza
 

Ähnlich wie Trigonometria PARTE 2 (20)

Ita2008 3dia
Ita2008 3diaIta2008 3dia
Ita2008 3dia
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Ita2006 3dia
Ita2006 3diaIta2006 3dia
Ita2006 3dia
 
Aulaomit
AulaomitAulaomit
Aulaomit
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
 
Algebra basica
Algebra basicaAlgebra basica
Algebra basica
 
Trigonometria fórmls exc
Trigonometria fórmls excTrigonometria fórmls exc
Trigonometria fórmls exc
 
Gab complexo formatrigonometrica2010
Gab complexo formatrigonometrica2010Gab complexo formatrigonometrica2010
Gab complexo formatrigonometrica2010
 
Matematica 2 grau (reparado)
Matematica 2 grau (reparado)Matematica 2 grau (reparado)
Matematica 2 grau (reparado)
 
Td 3 matemática ii
Td 3   matemática ii Td 3   matemática ii
Td 3 matemática ii
 
Produtos notáveis 1 cnepcar 2014
Produtos notáveis 1 cnepcar 2014Produtos notáveis 1 cnepcar 2014
Produtos notáveis 1 cnepcar 2014
 
Ita2011 3dia
Ita2011 3diaIta2011 3dia
Ita2011 3dia
 
Formulario 12º ano
Formulario 12º anoFormulario 12º ano
Formulario 12º ano
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
 
Ita2009 3dia
Ita2009 3diaIta2009 3dia
Ita2009 3dia
 
Apostila bastante completa de matematica
Apostila bastante completa de matematicaApostila bastante completa de matematica
Apostila bastante completa de matematica
 
Apostila nivelamento cal
Apostila nivelamento calApostila nivelamento cal
Apostila nivelamento cal
 
Dicas ufsc-ricardinho
Dicas ufsc-ricardinhoDicas ufsc-ricardinho
Dicas ufsc-ricardinho
 
mma12_res_qte2 (6).pdf
mma12_res_qte2 (6).pdfmma12_res_qte2 (6).pdf
mma12_res_qte2 (6).pdf
 

Mehr von PROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES

Poliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicas
Poliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicasPoliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicas
Poliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicasPROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES
 

Mehr von PROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES (20)

Conjuntos numericos - Números Racionais
Conjuntos numericos - Números RacionaisConjuntos numericos - Números Racionais
Conjuntos numericos - Números Racionais
 
ANÁLISE DE GRAFICOS CARTESIANOS
ANÁLISE DE GRAFICOS CARTESIANOS ANÁLISE DE GRAFICOS CARTESIANOS
ANÁLISE DE GRAFICOS CARTESIANOS
 
AulaoENEM - 2019 - ECIT MESTRE SIVUCA
AulaoENEM - 2019 - ECIT MESTRE SIVUCA AulaoENEM - 2019 - ECIT MESTRE SIVUCA
AulaoENEM - 2019 - ECIT MESTRE SIVUCA
 
Numeros Reais - conjuntos numéricos
Numeros Reais - conjuntos numéricosNumeros Reais - conjuntos numéricos
Numeros Reais - conjuntos numéricos
 
Poliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicas
Poliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicasPoliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicas
Poliedros e corpos redondos - classificação e caracteristicas
 
Resolução das questões do aulão meta
Resolução das questões do aulão metaResolução das questões do aulão meta
Resolução das questões do aulão meta
 
3º aulão meta ...QUESTÕES E RESOLUÇÕES
3º aulão meta ...QUESTÕES E RESOLUÇÕES3º aulão meta ...QUESTÕES E RESOLUÇÕES
3º aulão meta ...QUESTÕES E RESOLUÇÕES
 
I aulão META
I aulão META I aulão META
I aulão META
 
Trigonometria 4 equaçoes
Trigonometria 4 equaçoesTrigonometria 4 equaçoes
Trigonometria 4 equaçoes
 
PIRÂMIDES BY GLEDSON
PIRÂMIDES  BY GLEDSONPIRÂMIDES  BY GLEDSON
PIRÂMIDES BY GLEDSON
 
Funçoes, graficos by gledson
Funçoes, graficos by gledsonFunçoes, graficos by gledson
Funçoes, graficos by gledson
 
Geometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledsonGeometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledson
 
Geometria espacial BY GLEDSON
Geometria espacial BY GLEDSONGeometria espacial BY GLEDSON
Geometria espacial BY GLEDSON
 
Geometria analítica conicas BY GLEDSON
Geometria analítica conicas BY GLEDSONGeometria analítica conicas BY GLEDSON
Geometria analítica conicas BY GLEDSON
 
Funções trigonometricas BY GLEDSON
Funções trigonometricas BY GLEDSONFunções trigonometricas BY GLEDSON
Funções trigonometricas BY GLEDSON
 
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃOGEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
 
LOGARITMOS BY GLEDSON
LOGARITMOS BY GLEDSONLOGARITMOS BY GLEDSON
LOGARITMOS BY GLEDSON
 
L
LL
L
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Logaritmos
 

Último

Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAldoBlfia1
 
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfLAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfVivianeFerreiradaSil5
 
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024excellenceeducaciona
 
Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.
Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.
Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.marianedesouzapadua
 
Texto sobre dengue, com atividades e caça palavras
Texto sobre dengue, com atividades e caça palavrasTexto sobre dengue, com atividades e caça palavras
Texto sobre dengue, com atividades e caça palavrasEdileneAlves18
 
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...atividademapa3
 
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogiatrabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogiakarinareserva924
 
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artesdouglasfronja07
 
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestreDensidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestreAnaPaulaAmaral44
 
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino ReligiosoEnsino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino ReligiosoLUZIATRAVASSO1
 
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...Unicesumar
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...excellenceeducaciona
 
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 PTrabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 PWallasTmara
 
Como bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdf
Como bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdfComo bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdf
Como bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdfTiagoGarros
 
Capitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdf
Capitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdfCapitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdf
Capitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdfEliakimArajo2
 
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptxSlides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 

Último (20)

Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
 
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfLAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
 
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024
 
Jogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdf
Jogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdfJogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdf
Jogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdf
 
Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.
Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.
Jean Piaget - Trajetória, teoria e contribuições para educação.
 
Sugestões para a montagem e desenvolvimento de slides.pdf
Sugestões para a montagem e desenvolvimento de slides.pdfSugestões para a montagem e desenvolvimento de slides.pdf
Sugestões para a montagem e desenvolvimento de slides.pdf
 
Texto sobre dengue, com atividades e caça palavras
Texto sobre dengue, com atividades e caça palavrasTexto sobre dengue, com atividades e caça palavras
Texto sobre dengue, com atividades e caça palavras
 
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
 
NBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdf
NBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdfNBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdf
NBR 6023/2018 (Corrigida em 2020). Referências. 1s24.pdf
 
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogiatrabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
 
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
8_704__8o_ano_aula_N1_2024.pptx para aulas de artes
 
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestreDensidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
 
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino ReligiosoEnsino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
Ensino Religioso Ensino Religioso Ensino Religioso
 
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
 
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 PTrabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
Trabalho Faculdade AD1 Didática - 2024 P
 
Como bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdf
Como bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdfComo bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdf
Como bem castigar os escravos - Jorge Benci 1700.pdf
 
Os textos contemporâneos na construção da opinião.
Os textos contemporâneos na construção  da opinião.Os textos contemporâneos na construção  da opinião.
Os textos contemporâneos na construção da opinião.
 
Capitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdf
Capitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdfCapitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdf
Capitulo-3-Portas-Logicas-e-Algebra-Booleana.pdf
 
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptxSlides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
 

Trigonometria PARTE 2

  • 2. 2 TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo sen α = cos α = tg α = b a c a b c Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3 e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. m 12m 34 α 3 3 αtg 12 34 αtg = = α = 30o
  • 3. 3 ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x 3 0 ° 6 0 ° A B CD AD = x DC= x - 38 BD = y tg 30o = x x – 38 y 60o 30o y x 3 3 y x tg 60o = y x – 38 3 = x – 38 y (x – 38) 3 = y = 3 3 = (x – 38) 3 x x = 3(x – 38) x = 3x – 114 114 = 2x 57 = x
  • 4. 4 TRIGONOMETRI ASENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
  • 5. 5 SENO E COSSENO E TANGENTE SENO + 1 – 1 + + __ COSSENO + 1– 1 + + _ _ TANGENTE + + _ _ RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen2 x + cos2 x = 1 tg x = sen x cos x xsen =xcossec 1 xcos =xsec 1 xsen xcos xtg =xcotg 1 =
  • 6. 6 a) cos x sen2 x + cos2 x = 1 1cos 25 16 2 =+ x 25 16 1cos2 −=x 25 9 cos2 =x 5 3 xcos = 1xcos 5 4 2 2 =+      − tg x = sen x cos x 5 3 5 4 xtg − = 3 4 xtg −= b) tg x c) cotg x Sendo sen α = 5 4 − e πα π 2 2 3 << , calcule: 4 3 xtg 1 xcotg −== d) sec x 3 5 xcos 1 xsec == e) cossec x 4 5 xcos 1 xcossec −== SENO + + __ COSSENO + + _ _ TANGENTE + + _ _
  • 7. 7 Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: π 180o x 225o 225o π = x.180o 4 5π =x 01. A medida em radianos de um arco de 225º é rad 6 11π F 02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2 ≤ m ≤ 3 – 1 ≤ 2m – 5 ≤ 1 – 1 + 5 ≤ 2m ≤ 1 + 5 4 ≤ 2m ≤ 6 2 ≤ m ≤ 3 V
  • 8. 8 04. Se sen x > 0, então cossec x < 0 sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2 sen 210o = - 1/2 F FP 180o 160o 200o cossec 210o = - 2 08. Se tg 20º = a, o valor de 2-éo oo tg200 tg340tg160 + F 360o 340o tg 160o = tg 200o = tg 340o = – tg 20o = tg 20o = – tg 20o = – a a – a + + _ _ o oo tg200 tg340tg160 + a a)(a- −+ a 2a− – 2 V
  • 9. 9 16. Para todo x ∈ 1o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2 x é igual a cos2 x (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2 x xsen x xsen xx xsen x 2 coscos 1 . coscos 1 −      +      − xsen x xsen x xsen 2 cos 1 . cos 1 −      +       − xsen x xsen 2 2 22 cos 1 −      − xsen x xsen 2 2 2 cos 1 −      − xsen x x 2 2 2 cos cos −      sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1 – cos2 x cos2 x = 1 – sen2 x 1 – sen2 x cos2 x V
  • 10. 10 6 π 6 5 π 32. A solução da equação 2sen2 x + 3sen x = 2 para 0 ≤ x ≤ 2π é x = ou x = 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0 ∆ = b2 – 4ac ∆ = 32 – 4.2.(-2) ∆ = 25 a b x 2 ∆±− = 4 53±− =xsen 2 2 1 −== xsenouxsen 2 1 =xsen ++ 30o 150o       = 6 5 , 6 ππ S V
  • 11. 11 ( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: cossec x = 4 5 sen x = 5 4 sen2 x + cos2 x = 1 1cos 5 4 2 2 =+      x 1cos 25 16 2 =+ x 25 16 1cos2 −=x 25 9 cos2 =x 5 3 cos =x 3 5 sec =x tg x = sen x cos x 5 3 5 4 =xtg 3 4 =xtg 9.(sec2 x + tg2 x)             +      22 3 4 3 5 9     + 9 16 9 25 9     9 41 9 41
  • 13. 13 Adição e Subtração de Arcos sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b sen 75º = sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a 2 3 . 2 2 2 2 . 2 1 + sen 75º = 4 62 + cos 15º = cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b cos 15º = 4 62 + 2 1 . 2 2 2 3 . 2 2 +
  • 14. 14 O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o . sen 35º , é: sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b cos 10o . cos 35o – sen 10o . sen 35ºcos (10º + 35o ) = cos 10o . cos 35o – sen 10o . sen 35º cos 45o = = cos 10o . cos 35o – sen 10o . sen 35º 2 2
  • 15. 15 Seno e Cosseno do arco duplo sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
  • 16. 16 Cálculo do sen x sen2 x + cos2 x = 1 1 25 16 xsen2 =+ 25 16 1xsen2 −= 25 9 xsen2 = 5 3 xsen −= 1 5 4 xsen 2 2 =      + Sendo cos x = 5 4 e π π 2 2 3 << x , calcule sen 2x e cos 2x: sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x sen (2x) =             − 5 4 . 5 3 .2 sen (2x) = 25 24 − cos (2x) = 25 9 25 16 − cos (2x) = 25 7
  • 18. 18 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO y = sen x sen x π π π π 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOMÍNIO: REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 1º. e 4º. q 2º. e 3º. q PERÍODO: 2π
  • 19. 19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO COSSENO y = cos x cos x π π π π 2 2 3 2 0 +1 0 - 1 0 +1 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOMÍNIO: REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 3º. e 4º. q 1º. e 2º. q PERÍODO: 2π
  • 20. 20 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: a) y = 2 + sen x sen x π π π π 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x 2 + sen x 2 3 2 1 2 IMAGEM: [1, 3] PERÍODO: 2π
  • 21. 21 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: b) y = 3sen x sen x π π π π 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x 3sen x 0 3 0 -3 0 IMAGEM: [-3, 3] PERÍODO: 2π
  • 22. 22 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b] CONCLUSÕES: a → desloca o gráfico b → estica o gráfico Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3sen x f(x) = 2 + 3 sen x f(x) = 2 + 3 (-1) f(x) = 2 + 3 (1) = - 1 = 5 IMAGEM: [-1, 5] Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2cos x f(x) = 5 + 2 cos x f(x) = 5 + 2 (-1) f(x) = 5 + 2 (1) = 3 = 7 IMAGEM: [3, 7]
  • 23. 23 PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO m 2π T =Período Determinar o período da função f(x) = sen 2x FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x π== 2 2π TPeríodo Determinar o período da função f(x) = 3sen x/2 π4== 2 1 2π TPeríodo
  • 24. 24 Determine o período da função f(x) = cos4 x – sen4 x é: Um pouquinho de matemática básica (a + b)(a – b) = a2 – b2 (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 = x2 – 25(x + 5)(x – 5) = cos4 x – sen4 x(cos2 x + sen2 x )(cos2 x – sen2 x) = cos4 x – sen4 x(1)(cos2x) f(x) = cos4 x – sen4 x f(x) = cos 2x π== 2 2π TPeríodo m 2π T =Período = cos4 x – sen4 xcos2x fórmulas do arco duplo sen 2x = 2sen x.cos x cos 2x = cos2 x – sen2 x
  • 25. 25 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO TANGENTE y = tg x tg x π π π π 2 2 3 2 0 0 não 0 não 0 existe existe 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOMÍNIO: REAIS CRESCENTE: SEMPRE PERÍODO: π {x ∈ ℜ|x ≠ 2 π + kπ} O domínio da função f(x) = tg 2x é: 24 2 2 2 2 ππ π π π π k x k x kx +≠ + ≠ +≠