Corso di Fisica per CTF Università degli Studi di Siena AA 2013-14

1. Meccanica
1 - Cinematica
1

2. Spazio, tempo, movimento
Introduzione alla Fisica Classica
2

3. Movimento
 Nella visione aristotelica la Terra è al
centro dell’universo e questo ha enormi
conseguenze per la nostra comprensione
del movimento
 Nel cielo i pianeti cambiano direzione
perché sono attaccati a delle sfere che per
loro natura sono eternamente in
rotazione
 Questo non capita mai agli oggetti sulla
Terra: qualsiasi cosa spingiamo o lanciamo
di li a poco si ferma
 Questo è lo stato naturale degli oggetti
che sono attaccati alle sfere celesti
 Quindi nell’universo di Aristotele e
Tolomeo vi è una grande distinzione fra
movimento e quiete!

4. Movimento
 La proposta di Copernico che trasformava la Terra in un pianeta come gli
altri era sconvolgente!
 Se la Terra è un pianeta allora
è in continuo movimento con
gli altri pianeti. Ma com’è
possibile??
 Infatti se la Terra è in
movimento com’è che non ce
ne accorgiamo??

5. Movimento
 La soluzione dell’enigma fu la prima grande unificazione della scienza
 L’unificazione del movimento con la quiete
 Com’è possibile che non vi sia differenza fra movimento e quiete?
 Per capirlo occorre rendersi conto che il fatto che un corpo sia in
movimento o in quiete deve avere senso solo relativamente ad un
osservatore che può essere a sua volta in movimento o in quiete …

6. Movimento
 Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno
fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.

7.  Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno
fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.
 Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la stessa
velocità del pulman (50 Km/H)
Movimento

8.  Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno
fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.
 Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la stessa
velocità del pulman (50 Km/H)
Si noti che è importante disporre di due sistemi di riferimento in
moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, per fare
ragionamenti sul fatto che il moto è relazione
Movimento

9. Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di
alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti;
siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto
qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro
vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate
diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso le
parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i
versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando
all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella
parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si
dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete
diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello
sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia
velocità ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non
riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè da alcuno di
quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma

10. Movimento
 In questo passo Galileo afferma in sostanza che le leggi fisiche risultano le
stesse per chi le sperimenta in un laboratorio fisso e per chi le sperimenta
in un laboratorio che si muove uniformemente (e non fluttuante in qua e
là)
 Nel pensiero di Galileo non è ancora perfettamente chiaro che cosa si
intende con moto uniforme, sicuramente egli intendeva che la velocità
doveva essere costante come valore ma non è del tutto chiaro se aveva
compreso che essa doveva essere costante anche in direzione
 In alcune pagine del Dialogo, ad esempio, sembra intendere che i moti
uniformi sono quelli circolari, dimostrando così di non essersi liberato del
tutto dall’influenza di Aristotele
 … ma non possiamo certo biasimarlo per questo!

11. Vettori
Introduzione alla Fisica Classica
11

12. Quando il moto avviene non su una retta ma su un piano, lo
spostamento complessivo non indica la traiettoria seguita.
Bisogna dare anche la direzione e il verso del moto.
Il moto non rettilineo

13. 

s
Lo spostamento è caratterizzato da:
• distanza tra punto di partenza e punto di arrivo;
• direzione del movimento (retta su cui avviene lo spostamento);
• verso del moto.
Il simbolo è una freccia
sulla lettera:
Lo spostamento

14. Lo spostamento risultante
è dunque la “somma” dei due
spostamenti successivi.
Se tre ragazzi, giocando a calcio, mandano il pallone da A a B e
poi da B a C, lo spostamento complessivo della palla è quello da A
a C.
Si può quindi scrivere:
Somma di più spostamenti

15. E' importante notare che scrivere
NON significa c = a + b.
La somma di più spostamenti è nulla quando il punto di partenza e
quello di arrivo coincidono.
Somma di più spostamenti

16. Per sommare due spostamenti, si riporta la coda del
secondo, spostandolo parallelamente a se stesso, fino a
coincidere con la punta del primo.
Lo spostamento è un VETTORE
Somma di più spostamenti

17.  I vettori sono grandezze che:
 hanno una direzione, un valore numerico detto intensità o modulo e un
verso;
 si sommano con il metodo punta-coda (o simili).
 Esempi: lo spostamento, la velocità, la forza.
 Gli scalari sono invece grandezze descritte solamente da un
numero.
 Esempi: la temperatura, la pressione.
Vettori e scalari

18.  Per i vettori non è importante il punto di applicazione (“coda”):
due frecce parallele rappresentano lo stesso vettore.
 Se si scrive la lettera del vettore senza la freccia soprastante,
si indica la sola intensità del vettore:
 ad esempio v = 5 m/s indica il valore numerico del vettore
velocità.
Vettori e scalari

19. Somma di due vettori: con il metodo “punta-coda” o con il metodo
del parallelogramma.
Operazioni con i vettori

20. Scomposizione di un vettore lungo due rette: è l'operazione
inversa della somma. Date due direzioni, si cercano i due vettori la
cui somma dia quello di partenza.
Operazioni con i vettori

21.  Moltiplicazione di un vettore per un numero
• è un vettore con la stessa direzione, verso
• uguale od opposto a seconda del segno del numero, intensità
moltiplicata per il numero stesso.
Operazioni con i vettori

22.  Differenza di due vettori
 si esegue sommando al primo vettore l'opposto del secondo.
Operazioni con i vettori

23. Le componenti
è possibile proiettare un vettore lungo la direzione di un altro.
Operazioni con i vettori

24. Segno delle componenti
Operazioni con i vettori

25. Le componenti lungo vettori perpendicolari:
ax e ay sono le componenti del vettore lungo gli assi cartesiani x e y:
Operazioni con i vettori

26.  ax e ay sono le componenti cartesiane del vettore:
i e j sono i versori (vettori di modulo
unitario) degli assi x e y
Rappresentazione cartesiana di un vettore
ji

yxyx aaaaa

27. Rappresentazione cartesiana di un vettore
x
y
x
y
yx
y
x
a
a
arctgtg
a
a
aaaa
aa
aa
cos
sin
sin
cos
22

28. z
x
y
vxî
vy ĵ
vzk^
kvjvivv zyx
ˆˆˆ
2
z
2
y
2
x vvvv

θ
φ
x
y
z
v
v
arctan
v
v
arccosθ 
Rappresentazione cartesiana di un vettore
 Vettore nello spazio

29.  E' un'operazione che, dati due vettori, associa quel numero
che si ottiene moltiplicando il modulo del primo vettore per la
componente del secondo lungo il primo:
Il prodotto scalare

30. Il valore del prodotto scalare dipende dalla posizione reciproca dei
due vettori:
Il prodotto scalare

31.  Il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli dei due
vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso:
 Il prodotto scalare gode della
proprietà commutativa:
ovvero
Il prodotto scalare

32. Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due
perpendicolari fra loro, si ha che:
1kk0jk0ik
0kj1jj0ij
0ki0ji1ii
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane,
si ha:
kbjbibb
kajaiaa
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ

 zzyyxx babababa

22
z
2
y
2
x aaaaaa

Il prodotto scalare

33. Moti nel piano
Introduzione alla Fisica Classica
33

34. Per descrivere il moto di un punto materiale sul piano, servono:
• un riferimento cartesiano;
• un metro per misurare le coordinate xp e yp del punto;
• un cronometro per misurare i tempi.
Posizione e spostamento

35. Misurare lo spazio e il tempo
 L’intervallo di tempo
 Per misurare la durata di un fenomeno (intervallo di tempo tra l’inizio e
la fine) si conta quante volte la durata di un fenomeno periodico è
contenuta nella durata da misurare.

36. Il secondo
Misurare lo spazio e il tempo
 L’unità di misura dell’intervallo di tempo è il secondo (s), definito come
l’intervallo di tempo impiegato da una particolare onda elettromagnetica,
emessa da atomi di cesio, per compiere 9 192 631 770 oscillazioni.

37. Misurare lo spazio e il temp
 L’unità di misura della lunghezza è il metro (m), definito come
la distanza percorsa dalla luce, nel vuoto, in un intervallo di
tempo pari a 1/299 792 458 di secondo.

38.  Vettore posizione: individua il punto P
della traiettoria in cui si trova il punto
materiale ad un dato istante.
 Vettore spostamento: è la variazione
del vettore posizione in un intervallo di
tempo.
Vettore posizione e vettore spostamento

39.  Il vettore spostamento si determina sottraendo i due
vettori posizione corrispondenti a due diversi istanti di
tempo, t1 e t2.
Il vettore definisce direzione, verso e lunghezza
dello spostamento.


s


s
Il vettore spostamento

40.  Lo spostamento di un punto materiale durante un intervallo
di tempo sempre più piccolo diventa un vettore tangente alla
traiettoria.
Il vettore spostamento

41. Nel moto di un punto materiale sul piano, le informazioni che
riguardano la velocità sono:
• la direzione (nella figura, la retta Bologna-Faenza);
• il verso (da Faenza a Bologna);
• il valore, o modulo, della velocità (30 km/h).
Il vettore velocità

42.  Quindi la velocità è un vettore (il cui punto di applicazione non è
rilevante) definito come:
 t finito: velocità media
 t piccolissimo: velocità istantanea
Il vettore velocità

43.  Il vettore velocità è ottenuto moltiplicando il vettore spostamento
per il numero 1/ t:
 Perciò ha sempre il verso e la direzione dello spostamento e la
velocità istantanea è tangente alla traiettoria.
Il vettore velocità
Le dimensioni della velocità sono [l][t]-1
Utilizzando le unità di misura del SI si misura
pertanto in m/sec

44. Moto rettilineo uniforme
 Se la velocità è costante questo significa che nel tempo
rimangono inalterati sia la sua intensità, sia la direzione che il
verso;
 Quindi non potendo cambiare direzione il moto risultante è
rettilineo ed essendo l’intensità della velocità costante il moto
risulta anche uniforme;
 In questo caso dalla definizione di velocità segue subito la
legge oraria seguita dal corpo
kvts
svtvtsttvsstvs 0000

45. Consideriamo una persona che si sposta su una nave in movimento:
Composizione di spostamenti e velocità

46.  Se un corpo è soggetto a due spostamenti simultanei, lo spostamento
complessivo è dato dalla somma vettoriale dei due spostamenti:
 Per le velocità vale la stessa legge: dividendo la formula
per t :
 la velocità totale è la somma vettoriale delle velocità.
Composizione di spostamenti e velocità

47. Una ragazza che nuota in direzione perpendicolare alla spiaggia (fig.A), in presenza di
corrente (fig.B) si muoverà seguendo una direzione obliqua (fig.C).
Composizione di spostamenti e velocità

48. Velocità media e velocità istantanea
 Se un punto si muove di moto rettilineo uniforme la sua velocità è costante
al passare del tempo e dunque coincide con la velocità media.
 Che cosa accade invece se la velocità di un punto materiale non è
costante?
 In questo caso è utile introdurre il concetto di velocità istantanea. E’ il
valore della velocità calcolata in un preciso istante di tempo t
 Ha senso parlare di velocità media?
 Si. Essa è quella velocità che il punto
dovrebbe mantenere costantemente per
percorrere nello stesso intervallo di tempo
Δt la stessa distanza Δs
 Supponiamo di essere in automobile.
 La velocità istantanea è quella indicata
istante per istante dal tachimetro

49. Velocità media e velocità istantanea
 Raramente i movimenti che si osservano in natura avvengono
con velocità costante.
 Quasi sempre la velocità di un corpo varia continuamente nel
tempo.
 La variazione di velocità nell’unità di tempo si chiama
accelerazione.

50.  Definiamo il vettore accelerazione come:
 t finito: accelerazione media
 t piccolissimo: accelerazione istantanea
Il vettore accelerazione

51. Nel moto rettilineo si ha accelerazione se cambia il valore scalare
della velocità.
Nel moto in un piano si ha un vettore accelerazione non nullo se:
 cambia il valore del vettore velocità
 cambia la direzione o/e il verso del vettore velocità.
Il vettore accelerazione rappresenta la rapidità con cui varia il
vettore velocità.
Direzione e verso del vettore accelerazione

52. Moto rettilineo uniformemente accelerato
 Partiamo dalla formula dell’accelerazione
 Se ora poniamo il tempo iniziale t1 = 0 e per semplicità indichiamo con v0
la velocità iniziale al tempo iniziale t1 e con v2 la velocità finale v2 al tempo
t2 allora la formula diventa
 Da cui si ricava facilmente
12
12
tt
vv
Δt
Δv
ma
t
vv
tt
vv 0
12
12
ma
tvv(t) 0 ma

53. Moto rettilineo uniformemente accelerato
 Poiché l’accelerazione è costante, la velocità media del corpo
all’istante t è data da
 e la distanza s coperta nel tempo t è
2
0 vv
v
2
00
2
0
000
2
1
)(
2
1
22
attvsts
attvt
atvv
st
vv
tvs

54. Moto rettilineo uniformemente accelerato
 La legge oraria del moto nel
grafico t vs. x ha la
rappresentazione grafica di
una funzione di secondo
grado
 la velocità ha la
rappresentazione grafica di
una retta passante per
l'origine
 mentre l'accelerazione è una
retta parallela all'asse
temporale in quanto è
costante.

55. Moto rettilineo uniformemente accelerato
 ESEMPIO
 Un’automobile accelera da ferma con un’accelerazione costante di 2.5
ms-2 su una strada dove il traffico si muove a velocità costante di 24 ms-1.
Calcolare (a) quanto tempo impiega l’automobile a raggiungere tale
velocità e (b) quanta strada viene percorsa in tale tempo.
 SOLUZIONE
 Poiché l’auto parte da ferma, abbiamo v0 = 0 e quindi possiamo scrivere
t = v / a = 24 ms-1 / 2.5 ms-2 = 9.6 s. Dall’equazione oraria del moto
uniformemente accelerato con x0 = 0 e v0 = 0 possiamo scrivere
msmsatx 2.115)6.9)(5.2(
2
1
2
1 212

56.  In un moto su una curva, il vettore accelerazione è diretto
sempre verso l'interno della curva.
Direzione e verso del vettore accelerazione

57. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
 Il moto di un oggetto nel
campo gravitazionale è un
tipo di moto bidimensionale
esprimibile attraverso la
combinazione di due moti
rettilinei simultanei ed
indipendenti:
 moto rettilineo uniforme
 moto uniformemente
accelerato.

58. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
 La più significativa realizzazione di tale moto è fornita dal moto
del proiettile in cui si utilizzano le seguenti esemplificazioni
(approssimazioni della fisica e della geometria del problema):
 tutta la massa e la geometria del corpo sono concentrate in un unico
punto;
 l'accelerazione del moto è verticale; il suo modulo è pari
all'accelerazione di gravità sulla crosta terrestre: g = 9.81 m/s2. Dunque,
il corpo si trova in un campo di gravità uniforme ed indipendente dal
tempo;
 le eventuali forme di attriti legate alla resistenza dell'aria sono
trascurabili.

59. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
 Il moto lungo l’asse x non è accelerato, quindi trascurando la resistenza
dell’aria si tratta di un moto rettilineo uniforme con velocità
000 cosvvx

60. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
 Il moto lungo l’asse y è uniformemente accelerato con accelerazione e
velocità iniziale pari a
000 sin, vvga y

61. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
 Abbiamo quindi due equazioni
orarie, una per il moto lungo
l’ascissa e una per il moto lungo
l’ordinata
 Eliminando la variabile tempo
otteniamo l’equazione della
traiettoria
2
00
00
2
1
)(
)(
gttvyty
tvxtx
y
x

62. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
2
0
0
0
0
0
0
2
00
0
0
00
)(
2
1
)()(
2
1
)(
)(
)(
xx
y
y
x
x
v
xtx
gxtx
v
v
ytygttvyty
v
xtx
ttvxtx
 Assumendo per semplicità y0 = 0 e x0 = 0 otteniamo infine
 Si tratta dell’equazione di una parabola con concavità rivolta verso il
basso.
)(
cos2
)()(
2
1
)()( 2
0
22
0
0
2
2
00
0
tx
v
g
txtgtx
v
g
tx
v
v
ty
xx
y

63. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
 Gittata
 La gittata è la distanza orizzontale del punto di lancio del corpo dal punto in cui il
corpo tocca il suolo. Se consideriamo la traiettoria espressa in un piano
cartesiano Oxy, per calcolare la gittata possiamo utilizzare l'equazione della
traiettoria vista sopra. In relazione alla curva che forma la traiettoria del corpo (e
quindi una parabola) per poter calcolare la gittata occorrono i punti di
intersezione della curva con l'asse delle ascisse y=0, che nel caso in cui il punto
di lancio del corpo sia l'origine degli assi sono:
 La soluzione non banale (diversa dall’origine) è
0)(
cos2
)(
0
22
0
0 tx
v
g
tgtx
g
v
tg
g
v
v
g
tg
xG
0
2
0
00
2
2
0
0
22
0
0 2sin
cos2
cos2

64. Moto di un oggetto nel campo gravitazionale
 Altezza massima
 Per determinare l’altezza massima sfruttiamo il fatto che il punto di
altezza massima è un punto di massimo della curva della traiettoria e
quindi il punto di massimo della parabola.
 Trovarlo quindi consiste nel porre la derivata prima dell'equazione della
traiettoria uguale a zero e ricavare dall'equazione ottenuta l'ascissa del
punto cercato x, sostituendo nell'equazione della traiettoria si ottiene
anche l'ordinata yM
g
v
y
g
v
v
g
tg
x
x
v
g
tg
dx
dy
x
v
g
xtgxy
MM
2
sinsincos
cos
0
coscos2
)(
0
22
000
2
0
0
22
0
0
0
22
0
0
2
0
22
0
0

65.  E' un moto in cui:
 la traiettoria è una circonferenza;
 il modulo (valore) della velocità non cambia;
 il punto materiale percorre archi di circonferenza che
sono direttamente proporzionali ai tempi impiegati.
P .
Moto circolare uniforme

66.  Scegliamo un sistema di riferimento con origine nel
centro della traiettoria.
Il vettore velocità

67.  Periodo (T): tempo impiegato a percorrere un giro
completo di circonferenza (es. la lancetta dei secondi di un
orologio ha un periodo di 60 s).
 Frequenza (f): numero di giri compiuti in un secondo (es. la
lancetta dei secondi ha una frequenza di 1/60 Hz).
Periodo e frequenza

68. Poiché nel moto circolare uniforme il modulo della velocità è
costante, il suo valore è dato dal rapporto s/ t , dove:
s = la lunghezza della circonferenza = 2 r e
t = il tempo impiegato a percorrerla = T
Il valore della velocità tangenziale

69. Consideriamo un satellite in moto circolare intorno alla
Terra.
La velocità angolare

70. L'angolo si misura in radianti.
Definiamo velocità angolare il rapporto tra l'angolo al centro,
, ed il tempo necessario a spazzarlo, t.
La velocità angolare

71. Ricordiamo che la misura di un angolo , espressa in radianti, è il rapporto tra la
lunghezza l dell'arco AB corrispondente ad e quella del raggio r della circonferenza:
La velocità angolare

72.  Nel moto circolare uniforme gli angoli al centro spazzati dal
raggio vettore sono direttamente proporzionali agli intervalli di
tempo impiegati.
 Per calcolare prendiamo = 2 e t = T:
 Quindi v si può scrivere:
La velocità angolare

73.  Nel moto circolare uniforme, il vettore velocità cambia
continuamente in direzione e verso: quindi c'è
un'accelerazione.
 Essa è detta accelerazione centripeta perché è un vettore
rivolto sempre verso il centro della circonferenza.
 Si indica con il simbolo
L’accelerazione centripeta

74.  Costruzione del vettore
L’accelerazione centripeta

75. , da cui
Si dimostra che il modulo dell'accelerazione centripeta è:
poiché v = r,
L’accelerazione centripeta

76. Il vettore velocità compie un giro completo ogni volta che il raggio vettore
percorre un giro, quindi ha lo stesso periodo T.
L’accelerazione centripeta

77.  Il vettore “velocità della velocità” rappresenta l'accelerazione
centripeta.
La relazione tra a e v è la stessa
che c'è tra v e r:
L’accelerazione centripeta

78. E' il moto di un punto che oscilla avanti e indietro lungo lo stesso
tragitto. Esempi: l'altalena; una molla appesa al soffitto.
Moto armonico

79. E' il movimento che si ottiene proiettando su un diametro il moto circolare
uniforme di un punto.
Moto armonico

80. Foglio fermo Foglio in moto a v costante
Per ottenerlo, si può attaccare una penna al pesetto appeso alla
molla e farla tracciare su un foglio che si srotola a velocità
costante:
Moto armonico

81. Si ottiene un grafico periodico
caratterizzato da:
 ampiezza: distanza del massimo
spostamento dall'origine.
 periodo (T): durata di un'oscillazione
completa.
 frequenza (f) : numero di oscillazioni in
un secondo.
Moto armonico

82. Il grafico periodico è quello della funzione cosinusoide:
• s: distanza del punto dall'origine.
• r: raggio della circonferenza.
• : velocità angolare del moto circolare o pulsazione
del moto armonico.
Moto armonico

83. posizione velocità accelerazione
I vettori posizione, velocità e accelerazione del moto armonico
sono le proiezioni dei rispettivi vettori nel moto circolare
uniforme:
Moto armonico

84. La velocità è massima al centro e diminuisce verso gli
estremi (dove si annulla).
Il moto armonico è rettilineo non uniforme:
La velocità nel moto armonico

85. Il vettore accelerazione è proporzionale al vettore posizione ed
ha sempre verso opposto.
L’accelerazione nel moto armonico

86. Il segno meno nella formula vettoriale indica che i due vettori
hanno sempre verso opposto.
I triangoli OPQ e LMP sono simili, perciò si può scrivere la
proporzione:
L’accelerazione nel moto armonico