1. Integrales
Universidad Politécnica Territorial “Alonso Gamero”
Programa Nacional de Formación en Informática
Asignatura: Matemática II
T2T1
Estudiante
Giannicola Cadetto
C.I. 29.513.055
Docente
Airam Colina
2. Integral Indefinida
La integral indefinida es el
conjunto de las infinitas
primitivas que puede tener una
función.
No poseen limites de integración
y se obtendrá una solución
general en base a la función de
una constante.
14. Se usa para convertir una
función en otra más sencilla de
integrar
Consiste en encontrar la u y du,
que reemplazan a las funciones
correspondientes, luego de lo
que se calcula la integral y se
vuelven a insertar las funciones.
Método de Sustitución
15. Paso 1: Elegir la expresión para U
El denominador corresponde a u en la gran
mayoría de las divisiones. Podemos observar que
en este caso si el denominador es derivado, se
obtiene el numerador.
Método de Sustitución
16. La letra du es simplemente la derivada de u,
y se le añade dx al final por que x ha sido
derivada . Ya que son dos funciones, se
encuentran entre paréntesis.
Método de Sustitución
Paso 2: Calcular du
17. Como se puede observar el denominador en este
caso que corresponde a u y el numerador que es
igual a du. Son reemplazados por las letras que
tocan
Método de Sustitución
Paso 3: Reemplazar por u y du según
corresponda
18. En este caso, la integral de du sobre u es
logaritmo natural del valor absoluto de u mas c.
Método de Sustitución
Paso 4: Calcular la integral
19. Finalmente, reemplazamos la u por el valor que le
corresponde en este caso. De esta manera la
integral está resuelta
Método de Sustitución
Paso 5: Reemplazar las letras por sus
valores
29. Ejemplo N#2
Ya que du difiere en esta ocasión del
numerador, se pasa el número 4 al otro lado,
con la operación opuesta (división), de manera
que du entre 4 es esencialmente el numerador
en el integrando.
30. Ejemplo N#2
Se reemplazan los valores con las letras
que corresponden. Debido a que x es du
entre 4, obtenemos du sobre 4u. El 4 que
estaba dividiendo multiplicó a u, que
también esta dividiendo.
31. Ejemplo N#2
Se retira el número 4, que actúa como
denominador a su vez del número 1.
34. Esta fórmula que es fácilmente recordable con la frase “un día vi
una vaca vestida de uniforme” es fundamental para llevar a cabo
las integrales por partes. Es necesario encontrar u, dv, du y v
para reemplazar y llevar a cabo operaciones.
Integrales por Partes: Fórmula
35. A fin de hallar las funciones que correspondan a las letras se
deben tomar en el orden de ILATE, que es una manera de
recordar el orden o “jerarquía”. La función por encima de la otra
en ILATE será u, y la otra dv.
Integrales por Partes: ILATE
36. Es necesario encontrar el valor de u y dv para
proseguir, teniendo en cuenta el orden de ILATE.
Integrales por Partes
Paso 1: Hallar u y dv
Inversas
Logarítmicas
Algebraicas
Trigonométricas
Exponenciales
37. X es algebraica y coseno de x es trigonometrica.
Debido a que las funciones algebraicas están
por encima de las trigonométricas en ILATE u es
x y dv es cosx dx.
Integrales por Partes
Paso 1: Hallar u y dv
38. Luego de escribir la fórmula,
podemos observar que faltan du y v.
Integrales por Partes
Paso 2: Hallar du y v
39. Esencialmente du es la derivada de
u y v es la integral de dv.
Integrales por Partes
Paso 2: Hallar du y v
45. Integrales Racionales: Propias e Impropias
Propia Impropia
La diferencia está en que las impropias poseen un
grado mayor (máximo exponente de x) en el
numerador que en el denominador. Las propias
son lo contrario: mayor grado en el denominador
46. Integrales Racionales: Propias e Impropias
Las integrales racionales impropias se resuelven a través de la
división de las expresiones algebraicas. Posteriormente se
comprueba la división y se usa el resultado para reemplazar a
la expresión original, luego de esto, se integra. Más adelante se
verá el proceso detallado,
47. Integrales Racionales: Propias e Impropias
Existen varios tipos de integrales
racionales propias observables luego de
la factorización del denominador (si es
que no está ya factorizado), lo que
conlleva a ciertas variaciones en los
métodos que se realizan. Sin embargo,
todos estas variaciones consisten en la
descomposición de las expresiones para
posteriormente integrar con mayor
facilidad.
49. Ejemplo #1: Propia
Paso 1: Comprobar el grado
(x+4). (x-1) es igual a x²-x+4x-4, lo que
indica que el grado del denominador es 2,
mientras que el del numerador es 1
51. Ejemplo #1: Propia
Paso 2: Hallar las fracciones
parciales de la expresión
Colocamos en dos fracciones (una por cada denominador en
este caso) en una suma de fracciones. Necesitamos conocer
el valor de los numeradores que nos permitirían obtener la
expresión original con la suma de fracciones. Por ahora
podemos simplemente llamarles A y B
52. Ejemplo #1: Propia
Paso 2: Hallar las fracciones
parciales de la expresión
Llevamos a cabo la suma de fracciones.
53. Ejemplo #1: Propia
Paso 2: Hallar las fracciones
parciales de la expresión
Podemos eliminar los denominadores, ya que son iguales
54. Ejemplo #1: Propia
Paso 3: Hallar A y B
A continuación, llevaremos a
cabo la eliminación de alguna
letra, a través de cambios al valor
de x.
92. La integral definida es usada
para determinar el valor de las
áreas delimitadas por una
gráfica dentro de un intervalo y
el eje horizontal.
Son las que poseen límites de
integración que ya están
definidos, ubicados arriba y
abajo del signo de integración
Integral Definida
102. El resultado de aplicar la
propiedad que corresponde a
este caso es el número 4
Ejemplo
103. La regla de Barrow permite el cálculo de la integral definida de
una función a partir de cualquiera de sus primitivas. Entre sus
aplicaciones, destaca el cálculo del área delimitada por la gráfica
de una función.
Regla de Barrow
104. Para resolver el presente ejercicio con la regla de barrow,
hemos primero de integrar la presente función
Ejemplo
106. Cuando existe una x elevada a un exponente n podemos
hacer uso de esta propiedad, que consiste en sumarle 1 al
exponente y usar el exponente +1 de denominador para la
x.
Ejemplo
108. Podemos en este punto
volver a establecer los
límites de integración.
3
2
Ejemplo
109. Ahora aplicamos la Regla de Barrow, con dos
instancias de las funciones integrandos, donde
cada x se reemplazará por cada límite, de
arriba a abajo. Posteriormente estas instancias
serán restadas.
3
2
Ejemplo
