1.
1.1 Definición de derivada e interpretación geométrica.
Definición. La derivada de una función f en un número a, denotada con 𝑓′(𝑎), es
𝑓′(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Si el límite existe.
La recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥), en (𝑎, 𝑓(𝑎)), es la recta que pasa por (𝑎, 𝑓(𝑎)) cuya pendiente
es igual a 𝑓′(𝑎), la derivada de 𝑓 en 𝑎.
La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), en (𝑎, 𝑓(𝑎)) se puede escribir:
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
La derivada 𝑓′(𝑎) es la razón instantánea de cambio de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a x cuando
𝑥 = 𝑎.
Ejemplos. Calcula 𝑓′(𝑎) mediante la definición
1) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
1 + (𝑎 + ℎ) − 2(𝑎 + ℎ)2
− (1 + 𝑎 − 2𝑎2)
ℎ
= lim
ℎ→0
1 + 𝑎 + ℎ − 2𝑎2
− 4𝑎ℎ − 2ℎ2
− 1 − 𝑎 + 2𝑎2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ − 4𝑎ℎ − 2ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(1 − 4𝑎 − 2ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0
(1 − 4𝑎 − 2ℎ) = 1 − 4𝑎
𝑓´(𝑎) = 1 − 4𝑎
2) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝟐𝒙−𝟏

2.
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑎 + ℎ
2(𝑎 + ℎ) − 1
−
𝑎
2𝑎 − 1
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑎 + ℎ)(2𝑎 − 1) − 𝑎[2𝑎 + 2ℎ − 1]
[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑎2
− 𝑎 + 2𝑎ℎ − ℎ − 2𝑎2
− 2𝑎ℎ + 𝑎
[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
ℎ
1
= lim
ℎ→0
−ℎ
ℎ[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
= lim
ℎ→0
−1
[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
=
−1
(2𝑎 − 1)2
𝑓´(𝑎) =
−1
(2𝑎−1)2
3) 𝒇(𝒙) =
𝟐
√𝟑−𝒙
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
2
√3 − (𝑎 + ℎ)
−
2
√3 − 𝑎
ℎ
= lim
ℎ→0
2√3 − 𝑎 − 2√3 − (𝑎 + ℎ)
√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎
ℎ
1
= lim
ℎ→0
2√3 − 𝑎 − 2√3 − (𝑎 + ℎ)
ℎ√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎
∗
2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ)
2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ)
= lim
ℎ→0
4(3 − 𝑎) − 4(3 − 𝑎 − ℎ)
ℎ√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎 (2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ))
= lim
ℎ→0
4ℎ
ℎ√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎 (2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ))
= lim
ℎ→0
4
√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎 (2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ))
=
4
(3 − 𝑎)4√3 − 𝑎
=
1
(3 − 𝑎)
3
2
=
1
(√3 − 𝑎)
3
𝑓´(𝑎) =
1
(√3 − 𝑎)
3
4) 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝒙𝟑
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
3(𝑎 + ℎ) + (𝑎 + ℎ)3
− (3𝑎 + 𝑎3)
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑎 + 3ℎ + 𝑎3
+ 3𝑎2
ℎ + 3𝑎ℎ2
+ ℎ3
− 3𝑎 − 𝑎3
ℎ
= lim
ℎ→0
3ℎ + 3𝑎2
ℎ + 3𝑎ℎ2
+ ℎ3
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(3 + 3𝑎2
+ 3𝑎ℎ + ℎ2)
ℎ
= lim
ℎ→0
(3 + 3𝑎2
+ 3𝑎ℎ + ℎ2) = 3 + 3𝑎2
𝑓´(𝑎) = 3 + 3𝑎2
5) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙𝟐−𝟏

3.
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑎 + ℎ
(𝑎 + ℎ)2 − 1
−
𝑎
𝑎2 − 1
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑎 + ℎ)(𝑎2
− 1) − 𝑎[(𝑎 + ℎ)2
− 1]
[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
ℎ
1
= lim
ℎ→0
(𝑎 + ℎ)(𝑎2
− 1) − 𝑎[(𝑎 + ℎ)2
− 1]
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
𝑎3
− 𝑎 + 𝑎2
ℎ − ℎ − 𝑎(𝑎2
+ 2𝑎ℎ + ℎ2
− 1)
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
𝑎3
− 𝑎 + 𝑎2
ℎ − ℎ − 𝑎3
− 2𝑎2
ℎ − 𝑎ℎ2
+ 𝑎
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
−𝑎2
ℎ − ℎ − 𝑎ℎ2
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
ℎ(−𝑎2
− 1 − 𝑎ℎ)
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
−𝑎2
− 1 − 𝑎ℎ
[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
=
−𝑎2
− 1
(𝑎2 − 1)2
= −
𝑎2
+ 1
[(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)]2
=
Ejercicios. Calcula 𝑓´(𝑎) usando la definición
1) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 1
2) 𝑓(𝑥) =
1
√2𝑥
3) 𝑓(𝑥) =
5
𝑥2
4) 𝑓(𝑥) = 8 + 2𝑥 − 5𝑥2
5) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥+4