Presentación de los números reales

1. PRESENTACION
GIAN FRANCO PEREZ MUJICA
SECCION 113
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO-EDO-LARA

2. Es una colección de elementos considerada en si misma como un
objeto. Dichos objetos pueden ser cualquier cosa: personas,
números, letras, frutas, colores.
Ejemplo: conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
Los conjuntos se detonan por letras mayúsculas.
Los objetos que los componen se llaman elementos o miembros. Se
dice que pertenecen al conjunto, el símbolo con el que se indican
es ∈ se lee pertenece a. Para la idea contraria se usa el símbolo ∉.
Ejemplo: 3∈A
Amarillo ∉ B,
Existen varias maneras de referirse a un conjunto; una la definición
o por compresión, donde se especifica una propiedad que todos
sus elementos poseen.

3. Las operaciones con conjuntos también conocidas como
álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre
los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones
con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Ven se tendría lo siguiente
EJEMPLO:

4. Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto
en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre
menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de
manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓
EJEMPLO:
La suma de dos números reales tiene como resultado
otro número real, a esto se le conoce como ser cerrada,
es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.

5. Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales
son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades
estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden
estricto.
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de
ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se
encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que
“cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”.
Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución
nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si
x es igual o superior a 3 (x≥3).

6. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que
resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores
concretos y completar las operaciones. Una misma expresión
algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en
función del número que se asigne a cada una de las variables de la
misma.
La única precaución necesaria es respetar el orden y las
propiedades de las operaciones. Por ejemplo, no tiene sentido
calcular el valor numérico de 1/x para x=0, porque no se puede
dividir entre cero. En la siguiente animación puedes ver cómo se
haría la sustitución para calcular el valor numérico de (3x+2y)/z para
x=2, y=-1 y z=4. Faltaría completar las operaciones (el resultado final
es 1), pero lo más importante es que te fijes en los elementos que se
añaden al hacer la sustitución: El punto del producto entre el 3 y el 2
(valor de x) y los paréntesis de -1 (valor de y), que son necesarios
para indicar la multiplicación con el 2.

7. Absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la
Física y las Matemáticas, por ejemplo en las nociones de magnitud,
distancia, y norma. En casos más complejos es un concepto muy útil,
como en las definiciones de cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o
espacios vectoriales.
Absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número
pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener
en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, absoluto del
número −4 se representa como |−4| y equivale a 4, y el valor absoluto de
4 se representa como |4|, lo cual también equivale a 4.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a la distancia
que existe de un punto al origen. Por ejemplo, si se recorren 4 unidades
del cero hacia la izquierda o hacia la derecha, llegamos a −4 o a 4,
respectivamente; el valor absoluto de cualquiera de dichos valores es 4.

8. La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .

9. Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

10. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor
que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos
casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a
| > b , entonces a > b O a < - b .

11. Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

12. 1. https://es.scribd.com/document/480905894/Numeros-Reales#
2. https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-
OperacionesConjuntos.php#:~:text=Las%20operaciones%20con%20conjuntos%20tambi%C3
%A9n,diferencia%2C%20diferencia%20sim%C3%A9trica%20y%20complemento.
3. https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html.
4. https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-
matematica/#:~:text=Las%20desigualdades%20matem%C3%A1ticas%20est%C3%A1n%20for
madas,dos%20es%20superior%20a%20nueve%E2%80%9D.
5. https://www.edu.xunta.gal/centros/espazoAbalar/aulavirtual/pluginfile.php/2556/mod
_imscp/content/1/valor_numrico_de_una_expresin_algebraica.html#:~:text=DEFINICI%C
3%93N%20El%20valor%20num%C3%A9rico%20de,concretos%20y%20completar%20las%20ope
raciones.
6. http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/34_Valor_Absoluto_html/index.htm
l
7. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities