La rappresentazione
della relatività

Hermann Minkowski
Il matematico lituano Hermann Minkowski è il fautore di quello che è il piano sulla quale si può
rappresentare geometricamente la relatività ristretta. Minkowski fu professore al politecnico di
Zurigo nello stesso periodo in cui Albert Einstein vi era studente. Fu qui, probabilmente, che entrò
a contatto con la relatività ristretta. Nel piano di Minkowski si riassumono le formule di Lorentz e
le teorie relativistiche di Einstein; questo esclusivamente se si parla di sistemi di riferimento
inerziali.

La storia di
Minkowski
Minkowski nasce in Lituania da una famiglia ebrea ma vive prevalentemente in
Germania. Il suo genio si mostro in giovane età quando a diciotto anni fu
premiato dall'Accademia delle scienze di Parigi per un suo lavoro sulle forme
quadratiche aritmetiche. Uno degli aspetti più importanti delle sue scoperte
sono le rappresentazioni di varie entità fisiche o matematiche; prima tra tutte la
dimostrazione geometrica della relatività ristretta e delle formule di Lorentz. La
sua idea, come quella dei suoi contemporanei, era la stessa teorizzata da
d'Alembert nella seconda metà del 700 dove sosteneva che il tempo era legato
allo spazio. Con le formule di Lorentz e il piano di Minkowski abbiamo infatti
affiancato alle tre dimensioni spaziali anche una dimensione temporale ct.

La vita
accademica
Minkowski insegna nel politecnico di Zurigo dal 1902 al 1909,
anno in cui morì all'età di 44 anni. In questo periodo ha avuto
un gran impatto sulla fisica del tempo infatti tra i suoi studenti
era presente Albert Einstein che avvicinò Minkowski alla teoria
della relatività.

Il contesto storico
Ci troviamo tra la fine dell'ottocento e l'inizio del 900; questo è un momento di grande progresso culturale e sociale. Infatti negli anni
50 di quel secolo si tennero le prime esposizioni universali che misero in contatto tutte le comunità culturali sociali del mondo. Questo
non solo creò un grande miglioramento nei rapporti socio-economici dei vari paesi ma fece iniziareun momento estremamente
favorevole nel progresso che si basa principalmentesulla fiducia nel progresso. Sono qui che si hanno molte invenzioni e scoperte in
ambito scientifico e nascitadi correnti artistichee filosofiche. Per quanto riguarda l'ambito scientifico si ricordano le scoperte dei raggi
x nel 1895, dell'elettrone e dei tubi catodici nel 97 e anche le ricerche di Marie Curie sulle radiazioninel 1903. Dal punto di vista
artisticosi hanno grandi innovazioni nell'ambito dell'architettura data anche le innovazioni nell'ambito siderurgico si riescono a costruire
strutture completamente in ferro, come la torre Eiffel o a qusto periodo risale il primo prefabbricatodella storia, il Cristal Palace di
Londra. Un altro evento importante sarà l'ultima esposizione che avvenne in America mentre in Europa scoppiavala grande guerra
dove fu inaugurato il canale di Panama.

Struttura matematica
Il piano ha come coordinate lo spazio in x e il tempo come y; ma per mettere anche come ordinata una
lunghezza viene messa ct. Sul piano sono presenti varie curve:
• Due iperboli, dette iperboli di calibrazione,che non sono altro che la formula dell'IST(invariate spazio
temporale)
• Due rette che delimitano il nuovo sistema di riferimentoe che hanno un inclinazionerispetto agli assi
inizialidipendente dalla velocità relativa tra i sistemi di riferimento. Quella più vicina all'asse delle x è detta
x' mentre l'altra è detta ct'.
• La bisettrice del primo e terzo quadrante che sta ad indicare la velocità della luce.

Le iperboli di
calibrazione
La relatività ristretta ci ha insegnato che lo spazio e il tempo non sono assoluti
ma dipendono dal punto di osservazione dell'evento. Di conseguenza un unita
di spazio di uno dei sistemi di riferimento non corrisponde con l'unità di spazio
dell'altro sistema. Quindi abbiamo bisogno di un valore costanteche ci
permette di connettere i due sistemi. La relatività presenta due invariabili
importanti:quella che lega l'energia con la quantità di motoe quella che lega lo
spazio e il tempo. Nel piano di Minkowski usiamo la seconda che viene
chiamata IST, ovvero invariante spazio temporale; la cui formula è la seguente.
IST=x2-y2=Δx2-(cΔt)2
Di conseguenza ponendo l'IST=1 troveremo l'unità del nuovo sistema di
riferimento che sarà la distanza tra l'origine e il puntodi intersezione tra
l'iperbole e la retta che rappresenta il nuovo asse x'.

L'inclinazione delle rette
Le rette, come abbiamo detto, sono inclinate in base alla velocità relativa tra i due sistemi. In particolareprendiamo in considerazioneil
valore β che è uguale al rapportotra la velocità relativa tra i sistemi di riferimento e la velocità della luce; questo valore non è altro
che la tangente dell'angolo tra la retta delle x e quella di x' e tra quella di ct e quella di ct'. Dalla definizione di β possiamocapire
che se i due sistemi si muovono con velocità relativa tendente a 0 le rette che definiscono il nuovo sistema tendono a quelle vecchie
e di conseguenza non si vedono le dilatazioni e contrazioni spaziotemporali dettate dalla relativitàristretta. Questo è il motivo per cui ci
si pose il problema solo nella seconda parte 1800 perché gli esperimentiavvenivano a velocità trascurabili rispettoa quella della luce.
Soltanto una volta scoperte le forze elettriche e magnetiche si capi che i conti della relativitàgalileiana non ridavano e si cerco una
risposta.Nel piano di Minkowski è presente anche la bisettrice che segna un limite, infatti dato che β è una velocità fratto c non
potrà mai essere maggiore di 1 quindi la retta x' non potrà mai essere superiore alla bisettrice e ct' minore.

Come calcolare le lunghezze
Il paino di Minkowski unisce due piani cartesiani che rappresentano due sistemi di riferimento;
tuttavia questi sistemi non sono propriamente uguale e di conseguenza vediamo un sistema in
maniera normale e uno distorto con gli assi inclinati. Questo crea una difficolta nel calcolare le
lunghezze nel nuovo sistema dato che misurando il segmento con le misure degli assi normali
troviamo la lunghezza nel vecchio sistema. Ora entrano in campo le iperboli di calibrazione che.
Come visto precedentemente, ci indicano la nuova unità del sistema di riferimento con gli assi
inclinati. Di conseguenza per calcolareuna lunghezza dovremo misurarla nel vecchio sistema
per poi dividerla per la nuova unità

La posizione di
un punto
Per calcolare le nuove coordinate di un punto suddividiamo l'incarico in
due parti: l'individuazione dei segmenti sugli assi che identificano le
coordinate e nella seconda parte il calcolo delle loro lunghezze tramite
la nuova unità del sistema di riferimento.
Per la prima parte dobbiamo capire come trovare le proiezioni del
punto scelto sui nuovi assi cartesiani; per fare ciò dobbiamo tracciare
una retta parallela ad un asse e passante per il punto e la proiezione di
quest'ultimo sarà l'intersezione della retta parallela con l'altro asse:
prendiamo in considerazione la proiezione su x', per trovarla faremo la
parallela di ct' passante per il punto e individueremo il punto di
intersezione con x', quella sarà l'immagine del punto su x'.
Per calcolare le coordinate basta applicare il calcolo delle lunghezze ai
segmenti che uniscono le proiezioni sugli assi con l'origine.

Precisazione
Dal punto di vista matematico noi parliamo di punti in un sistema ma nel piano
di Minkowski ciò che rappresentano i punti non sono altro che degli eventi presi
in considerazione che avvengono in un determinato spazio e in un determinato
tempo. Un segmento non è un semplice segmento ma è il punto di collegamento
tra due eventi o lo spostamento di un evento. Se in un segmento x è costante
allora avremo due eventi che, nel primo sistema di riferimento, avvengono nello
stesso punto spaziale a diversi tempi. Nel caso ct è costante all'ora avremo due
eventi che, sempre nel primo sistema di riferimento, sono simultanei ma
avvengono su luoghi diversi.

Pratica
Per capire meglio il funzionamento del piano ecco una sua riproduzione creata da me stesso
dove presento tre importanti usi del piano di Minkowski:
• Le coordinate di un punto nei due sistemi di riferimento
• La dilatazione temporale
• La contrazione spaziale
Creato da Francesco Fellone