Invers matriks gauss jordan menggunakan code Python

1. :
Adilla Nurfadhlah 1182070001
Bobby Adam Aprilian 1182070012
Fidiyati Umaroh 1182070022
Intan Julianti Diningsih 1182070029
Kelompok 8
INVERS MATRIKS
&
METODE GAUSS-JOURDAN

2. Invers matriks
• Matrisk merupakan Jajaran empat persegi panjang dari bilangan
• Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks
• Mencari solusi dari sistem persamaan linear yaitu dengan memanfaatkan invers
matriks.
• Matriks dapat diartikan sebagai susunan bilangan-bilangan (real atau kompleks)
• Selanjutnya bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Entri dari matriks A
yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan 𝑎𝑖𝑗.

3. Invers Matriks
• Invers matriks dapat didefinisikan dengan “Jika A adalah suatu
matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B
sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik
(invertible) dan B dinamakan invers dari A”.
– Invers dari matriks kuadrat A, ditulis A-1 adalah suatu matriks
yang memenuhi sifat A.A-1 = A-1.A = I.

4. Metode untuk mencari matriks
• Operasi baris elementer
Untuk mencari invers suatu matriks A yang dapat dibalik yaitu dengan mencari urutan operasi baris elementer
tereduksi A pada matriks satuan dan kemudian melakukan urutan operasi yang sama ini pada In untuk mendapatkan A-1.
A I I ] operasi baris elementer [ I I A-1 ]
• Adjoin matriks
Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka𝐴−1
=
1
det 𝐴
𝑎𝑑𝑗 𝐴
Adj A adalah adjoin matriks A yang merupakan transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut dan
dilambangkan dengan Adj A = (𝑘𝑖𝑗)𝑡
. (𝑘𝑖𝑗) merupakan kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari
matriks A serta dilambangkan dengan
𝑘𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗
|𝑀𝑖𝑗| = −1 𝑖+𝑗
det(𝑀𝑖𝑗)
dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah submatriks hasil ekspansi baris atau ekspansi kolom dari suatu matriks.

5. Metode untuk mencari matriks
 Invers Matriks Orde 2 x 2
Jika 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
Maka 𝐴−1
=
1
det(𝐴)
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
; 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 det 𝐴 ≠ 0
Contoh :
𝐴 =
1 −2
3 4
𝐴−1
=
1
𝐴
4 2
−3 1
= −
1
2
4 2
−3 1
=
−2 −1
3
2
−
1
2

6. Metode Untuk Matriks
 Invers Matriks Orde 3 x 3
Jika 𝐵 =
𝑝 𝑞 𝑟
𝑠 𝑡 𝑢
𝑣 𝑤 𝑥
Maka 𝐵−1
=
1
det(𝐵)
𝑎𝑑𝑗 𝐵 ; 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 det(𝐵) ≠ 0
Adj B adalah adjoin matriks B yang merupakan transpose dari kofaktor-kofaktor matriks
tersebut dan dilambangkan dengan Adj B = (𝑘𝑖𝑗)𝑡
. (𝑘𝑖𝑗) merupakan kofaktor suatu elemen baris
ke-i dan kolom ke-j dari matriks B serta dilambangkan dengan
𝑘𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗
|𝑀𝑖𝑗| = −1 𝑖+𝑗
det(𝑀𝑖𝑗)
dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah submatriks hasil ekspansi baris atau ekspansi kolom dari suatu matriks.

7. Sifat-Sifat Invers Matriks
Sifat
1) Jika A dan B non singular atau invertibel, maka :(A.B)-1=
B-1. A-1
2) A matriks bujur sangkar maka : 𝐴𝑛
= 𝐴. 𝐴. 𝐴, … 𝐴 →
𝑛𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
3) 𝐴0
= 1
4) 𝐴−1
= (𝐴−1
)𝑛
= 𝐴−1
𝐴−1
𝐴−1
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
5) (𝐴−1
)−1
= 𝐴
6) 𝑃 − 𝐴 −1
= 𝑃−1
. 𝐴−2
=
1
𝑃𝐴−1
Contoh
𝐴 =
1 2
3 4
𝐴−1
= ⋯ ?
𝐴. 𝐴−1
= 1
• Misalkan
𝐴−1
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
→
1 2
3 4
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
−
1 0
0 1
𝑎 + 2𝑐 = 1 𝑏 + 2𝑑
3𝑎 + 4𝑐 3𝑏 + 4𝑑
=
1 0
0 1
𝑎 + 2𝑐 = 1 𝑏 + 2𝑑 = 0
3𝑎 + 4𝑐 = 0 3𝑏 + 4𝑑 = 1

8. Metode Eliminasi Gauss Jordan
• Metode eliminasi Gauss-Jordan dan metode eliminasi Gauss
memiliki jumlah operasi yang sama.
• Tidak sulit untuk mengetahui mengapa demikian halnya. Kedua
metode dimulai dengan mereduksi matriks yang diperbesar
(agmented matrix) menjadi bentuk eselon baris.
• Hal ini disebut sebagai fasa maju (forward phase) atau alur maju
(forward pass).
• Kemudian solusinya diselesaikan dengan cara substitusi balik pada
metode eliminasi Gauss dan dengan reduksi yang berlanjut hingga
mencapai bentuk eselon baris tereduksi pada metode eliminasi
Gauss-Jordan. Proses ini disebut sebagai fasa mundur (backward
phase) atau alur mundur (backward pass).

9. Aplikasi Untuk Mencari Invers
Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam
matriks persegi, metode tersebut dapat
digunakan untuk menghitung invers dari
matriks.
Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan
dengan menambahkan dengan matriks identitas
dengan dimensi yang sama, dan melalui
operasi-operasi matriks:
𝐴𝐼 → 𝐴−1
𝐴𝐼 → 𝐼𝐴−1
Keterangan : A = matriks
I = matriks identitas
𝐴−1
= invers matriks
Dimana matriks identitasnya adalah 𝐼 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

10. Contoh
• matriks persegi yang diberikan
𝐴 =
2 − 1 0
−1 2 − 1
0 − 1 2
• Kemudian, ditambahkan dengan matriks
identitas
𝐴𝐼 =
2 − 1 0 1 0 0
−1 2 − 1 0 1 0
0 − 1 2 0 0 1
Dengan melakukan operasi baris dasar pada
matriks [AI] sampai A menjadi matriks
identitas, maka didapatkan hasil akhir
𝐼 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝐴−1 =
3
4
1
2
1
4
1
2
1
1
2
1
4
1
2
3
4

11. Prosedur umum untuk metode
eliminasi Gauss - Jordan
1. Ubah sistem persamaan linear
yang ingin dihitung menjadi
matriks augmentasi (perluasan
matriks).
• Dari sistem persamaan linear :
𝑎12𝑥1 + 𝑎12𝑥2+. . . +𝑎12𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥2 + 𝑎22𝑥2+. . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎𝑚1𝑥2 + 𝑎𝑚2𝑥2+. . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
• Menjadi matriks augmentasi :
𝑎12 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏1
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
2. Lakukan operasi berbasis elementer pada matriks
augmentasi 𝐴 𝑏 untuk mengubah matriks A menjadi dalam
bentuk basis eselon yang tereduksi.
Proses mereduksi baris di dalam matriks yang
diperbesar yang bersesuaian dengan pengerjaan pada
sistem persamaan disebut operasi basis elementer,
yaitu :
a. Kalikan sebuah baris dengan konstanta tertentu yang
tidak sama dengan nol.
b. Pertukaran dua baris
c. Tambahkan kelipatan suatu baris kepada baris yang lain.

12. Kesimpulan
• Matriks dapat diartikan sebagai susunan bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang
berbentuk persegi panjang dan disusun berdasarkan aturan baris dan kolom dan Metode
eliminasi Gauss-Jordan dan metode eliminasi Gauss memiliki jumlah operasi yang sama.
• Perkembangan matematika, khususnya integral memberikan kontribusi yang besar kepada
bidang ilmu teknik dan sains, salah satu dari kontribusi integral adalah menghitung gaya dan
usaha yang dilakukan oleh fluida pada sisi-sisi wadah, apabila bentuk wadah tidak datar
maupun wadah yang asimetris atau tidak teratur.