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  1. Carlos H. J. Calderón Chamochumbi, PhD, OPM Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica & Instituto de Investigación Facultad de Ingeniería y Arquitectura UNIVERSIDAD DE SAN MARTÍN DE PORRES
  2. A physical – mathematical formulation for the general solution of the coordinate determination of n identical point charges on the surface of a conducting sphere based on the electrostatic force law and symmetry considerations is presented. The corresponding case for four charges is solved.
  3. “Espejo Acústico con Inversión del Tiempo” 32 tranductores acústicos uniformemente distribuidos sobre una superficie esférica. Cinco sólidos de caras poligonales regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro:triángulos, cuadrados, pentágonos. Teorema de Euler para poliedros convexos: C + V = L + 2 Adosando 12 pirámides pentagonales al dodecaedro se logró un hexacontaedro pentagonal de 32 vértices y caras.
  4. ¿Y si, por ejemplo, hubiesen sido 31 o 33 los transpondedores acústicos requeridos? No existe respuesta exacta para la pregunta y se opta por el tanteo. Se anota, sin embargo, la similitud con el problema electrostático de n cargas puntiformes sobre la superficie de una esfera conductora. Aunque no es posible lograr equilibrio estable electrostáticamente, si es factible el equilibrio precario. Al definir como Polo Norte la posición de cualquiera de las cargas y ubicando en el Meridiano Principal a una de sus cargas adyacentes se logra la formulación físico – matemática del problema. Finalmente, se resuelve el caso para n = 4.
  5. Condición de mínima energía es equivalente a configuración de máxima separación entre las cargas. Sea q el valor de cada carga; a, el radio de la esfera y ûri a, el vector de posición de la i – ésima carga sobre la esfera. Fuerza en cada carga no puede poseer componente tangencial. Configuración debe ser simétrica. La fuerza sobre cada carga es estrictamente radial; módulo es igual para todas las cargas. Se descarta la configuración de las cargas a lo largo de un círculo máximo de la esfera.
  6. Fuerza sobre i – ésima carga producida por la j – ésima carga está dada por la expresión: Fij = [q^2 / (8√20a^2)] (ûri – ûrj)/ (1– ûri.ûrj)^3/2 Fuerza total sobre i – ésima carga producida por las demás n – 1cargas viene dada por: Fi = [q^2 / (8√20a^2)] j1 [(ûri – ûrj)/ (1– ûri.ûrj)^3/2]; i, j = 1, 2, 3… n Fuerza normal sobre i – ésima carga causada por las demás n – 1cargas viene dada por: Ni = ûri [q^2 / (8√20a^2)] j1 1/ (1– ûri.ûrj)^1/2]; i, j = 1, 2, 3… n
  7. Fuerza tangencial sobre i – ésima carga causada por las demás n – 1cargas es: Ti = Fi – Ni; i, j = 1, 2, 3…n; j  i. Ti = [q^2/ (8√20a^2)] j1 [(ûri (ûri.ûrj) – ûrj)/(1– ûri.ûrj)^3/2]; i, j = 1, 2, 3…n; j  i. ûri = i Seni Cosi + j Seni Seni + k Cosi ûi = i Cosi Cosi + j Cosi Seni – k Seni ûi = – i Seni + j Cosi i = ûri Seni Cosi + ûi Cosi Cosi – ûi Seni j = ûri Seni Seni + ûi Cosi Seni + ûi Cosi K = ûri Cosi – ûi Seni
  8. ûrj = i Senj Cosj + j Senj Senj + k Cosj ûrj = ûri [Seni Senj Cos(i – j) + Cosi Cosj] + ûi [Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj] + ûi Senj Sen(i – j) ûri . ûrj = Seni Senj Cos(i – j) + Cosi Cosj Ti = [q^2/(8√20a^2)] ij   {– ûi [Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj] + ûi Senj Sen(i – j)} / {1 – [Seni Senj Cos(i – j) +Cosi Cosj]}^3/2
  9. ji  {– ûi [Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj] + ûi Senj Sen(i – j)} / {1 – [Seni Senj Cos(i – j) +Cosi Cosj]}^3/2  = 0; i, j = 1, 2, 3…n. N = [q^2/(8√20a^2)] ij  1/ (1- ûri . ûrj)^1/2; i, j = 1, 2, 3…n. N  8√20a^2/q^2 i=1  n ûri = 0 i=1  n Mi = 0
  10. i=1  n Seni Cosi = 0 i=1  n Seni Seni = 0 i=1  n Cosi = 0 ji  [1/(1 – ûri .ûrj)^1/2] = N; i, j = 1, 2, 3…n. ji  {[Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj]/ (1- ûri . ûrj)^3/2 = 0; i, j = 1, 2, 3…n. ji  {Senj Sen(i – j)/(1- ûri . ûrj)^3/2 = 0; i, j = 1, 2, 3…n.
  11. Caso n = 4: Primera carga en el Polo Norte  1 = 0; Sen1 = 0, Cos1 = 1 Segunda carga en el Meridiano Principal  2, 2 = 0; Sen2 = 0, Cos2 = 1 Sen2 + Sen3 Cos3 +Sen4 Cos4 = 0 Sen3 Sen3 +Sen4 Sen4 = 0 1 + Cos2 + Cos3 + Cos4 = 0
  12. [1/(1 – Cos2)^1/2] + [1/(1 – Cos3)^1/2] + [1/(1 – Cos4)^1/2] = N [1/(1 – Cos2)^1/2] + [1/(1 – ûr2 . ûr3)^1/2] + [1/(1 – ûr2 .ûr4)^1/2] = N [1/(1 – Cos3)^1/2] + [1/(1 – ûr2 . ûr3)^1/2] + [1/(1 – ûr3 .ûr4)^1/2] = N [1/(1 – Cos4)^1/2] + [1/(1 – ûr2 . ûr4)^1/2] + [1/(1 – ûr3 .ûr4)^1/2] = N
  13. Las fuerzas tangenciales de la j – ésima carga están expresadas en función de los vectores unitarios esféricos de la i – ésima carga pero el ángulo  es indeterminado en el eje z porque es igual a Arctan y/x así que û ni û pueden ser definidos en los Polos Norte o Sur. La primera carga se halla en el Polo Norte así que las respectivas ecuaciones cambian a: ji  {[Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj]/ (1- ûri . ûrj)^3/2 = 0; i  1, j = 1, 2, 3…n. ji  {Senj Sen(i – j)/(1- ûri . ûrj)^3/2 = 0; i  1, j = 1, 2, 3…n.
  14. Insertándoles los valores posibles de i y j, las dos ecuaciones próximas anteriores devienen en las siguientes seis expresiones: – Sen2/(1- Cos2)^3/2 + (Cos2 Sen3 Cos3 – Sen2 Cos3)/ (1- ûr2 . ûr3)^3/2 + (Cos2 Sen4 Cos4 – Sen2 Cos4)/ (1- ûr2 . ûr4)^3/2 = 0 – Sen3/(1- Cos3)^3/2 + (Cos3 Sen2 Cos3 – Sen3 Cos2)/ (1- ûr2 . ûr3)^3/2 + (Cos3 Sen4 Cos(4 – 3) – Sen3 Cos4)/ (1- ûr2 . ûr3)^3/2 = 0
  15. – Sen4/(1- Cos4)^3/2 + (Cos4 Sen2 Cos3 – Sen3 Cos4)/ (1- ûr2 . ûr3)^3/2 + (Cos3 Sen4 Cos(3 – 4) – Sen3 Cos4)/ (1- ûr3 . ûr4)^3/2 = 0 Sen3 Sen3/(1- ûr2 .ûr3)^3/2 + Sen4 Sen4/(1- ûr2 .ûr4)^3/2 = 0 Sen2 Sen3/(1- ûr2 .ûr3)^3/2 + Sen4 Sen(3 – 4)/(1- ûr3 .ûr4)^3/2 = 0 Sen2 Sen4/(1- ûr2 .ûr4)^3/2 + Sen3 Sen(4 – 3)/(1- ûr3 .ûr4)^3/2 = 0
  16. La simetría de la configuración de equilibrio requiere que las distancias angulares entre cargas consecutivas sean iguales, por tanto, ûr1 . ûr2 = ûr2 . ûr3 = ûr3 .ûr4 Insertando las últimas ecuaciones en las de las fuerzas radiales resulta también: ûr1 . ûr2 = ûr2 . úr4, ûr1 .ûr3 = ûr3 .ûr4 Cos2 = ûr1 . ûr2, Cos3 = ûr1 .ûr3, Cos4 = ûr1 .ûr4 2 = 4
  17. El conjunto de ecuaciones del módulo de la fuerza radial se reduce a: [2/(1 – Cos2)^1/2] + [1/(1 – Cos3)^1/2] = N Análogamente, la ecuación de la suma de los cosenos se convierte en: Cos3 = (- Cos2)^1/2 Luego, 2 = 4  /2 Las componentes circunferenciales rinden:
  18. Sen3 = Sen(4 – 3) Entonces, 4 = 23,  Las componentes tangenciales polares dan: Sen2 (1 + 3Cos2) + Cos3 Sen3 [Cos3 – Cos(4 – 3)] = 0 Sustituyendo cualquiera de los valores de 4 en la última ecuación genera: Cos2 = – 1/3
  19. ûr2 . ûr3 = Sen2 Sen3 Cos3 + Cos2 Cos3 (Sen2)^2 Cos3 + (Cos2)^2 = – 1/3 3 = 2/3 La primera opción de 4 rinde: 4 = 4/3 Para la segunda opción de 4 se calcula: ûr2 . ûr3 = (Sen2)^2 Cos3 + (Cos2)^2
  20. (Sen2)^2 Cos4 + (Cos2)^2 = – 1/3 Insertando 4 =  ó despejando 4 en la última ecuación resulta un contrasentido por lo que esta opción de 4 debe ser descartada. Así, N = 33/2, N = 36q^2/(320a^2) N 1 = 0; 2 = 109 28’ 16.4”, 2 = 0; 3 = 109 28’ 16.4”, 3 = 120; 4 = 109 28’ 16.4”, 4 = 240
  21. Las coordenadas obtenidas coinciden con las de los vértices del tetraedro circunscrito por una esfera al yacer uno de los vértices en el Polo Norte y otro en el Meridiano Principal de la esfera. RESULTADOS CONCLUSIONES RECOMENDACIÓN AGRADECIMIENTO
  22. BIBLIOGRAFÍA L. M. Magid, Electromagnetic Fields, Energy, and Waves, John Wiley & Sons, Inc., New York, London, Sydney, Toronto, pp. 49 – 59. DESPEDIDA Adiós, Paqarincaman, Goodbye, Au revoir, Auf Wiedersehen, До свидания, Zài jiàn, Do Widzenia, Arrivederci, Sayonara.
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