2. Un día, cuando los empleados llegaron a trabajar, encontraron en la recepción un
enorme letrero en el que estaba escrito: “ayer falleció la persona que impedía el
crecimiento de usted en esta empresa. Está invitado al velorio en el área de Deportes".
Al comienzo, todos se entristecieron por la muerte de uno de sus compañeros, pero
después comenzaron a sentir curiosidad por saber quien era el que estaba impidiendo
el crecimiento de sus compañeros y la empresa. La agitación en el área deportiva era
tan grande que fue necesario llamar a los de seguridad para organizar la fila en el
velorio conforme las personas iban acercándose al ataúd, la excitación aumentaba:
¿Quién sería el que estaba impidiendo mi progreso? ¡Qué bueno que el infeliz murió!!,
Uno a uno, los empleados agitados se aproximaban al ataúd, miraban al difunto y
tragaban en seco. Se quedaban unos minutos en el más absoluto silencio, como si les
hubieran tocado lo más profundo de su alma. Pues bien, en el fondo del ataúd había un
espejo,… cada uno se veía a si mismo… con el siguiente letrero: “solo existe una persona
capaz de limitar tu crecimiento: ¡TU MISMO!”
MURIÓ LA PERSONA QUE IMPEDÍA TU CRECIMIENTO
3. Tu eres la única persona que puede hacer una revolución en tu vida, tu eres la única
persona que puede perjudicar tu vida, y tu eres la única persona que se puede
ayudar a si mismo.
TU VIDA NO CAMBIA CUANDO CAMBIA TU JEFE, CUANDO TUS AMIGOS
CAMBIAN, CUANDO TUS PADRES CAMBIAN, CUANDO TU PAREJA CAMBIA. TU
VIDA CAMBIA, CUANDO TU CAMBIAS. ERES EL UNICO RESPONSABLE POR ELLA.
“EXAMINATE… Y NO TE DEJES VENCER”.
“El mundo es como un espejo, que devuelve a cada persona, el reflejo de sus
propios pensamientos. La manera como tu encaras la vida es lo que hace la
diferencia”
REFLEXION
4. Para el Estudiante
La matemática puede ser una experiencia agradable, en especial
cuando se conoce el lenguaje de ella y se expone directo y con poco
misterio. A mí personalmente me encanta la matemática y espero
transmitirte mí entusiasmo por ella a medida que vayas estudiando
esta asignatura
Esta asignatura la trataremos un poco más práctica para que tú como
estudiante, te des cuenta que no están complicado el manejo de ella,
solo se trata de saber aplicar las operaciones correctamente y manejar
con atención los conceptos teóricos para resolver los problemas que
se te presenten.
Cuando te des cuenta que la matemática es fascinante estoy seguro
que serás un estudiante excelente en la asignatura y el orgullo de esta
clase y de tu familia.
5. Para el desarrollo de esta asignatura vas a
necesitar los siguientes materiales
1. Una libreta cuadriculada
2. Un libro de matemática de noveno
3. Una escuadra de 60º, un compás y un transportador
4. Para todas las clases debes traer papel milimetrado y los demás útiles
escolares
6. PROGRAMACION
1. Repaso
2. Ecuaciones lineales
3. Sistema de ecuaciones lineales
4. Determinantes y matrices
5. Ecuaciones cuadrática
6. Funciones cuadrática
7. Funciones exponenciales
8. Sucesiones y progresiones
9. Potenciación y Radicación
10. Números Imaginarios y Números Complejos
7. PRODUCTOS NOTABLES
1. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
= 𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑏
= 𝑎2
+2𝑎𝑏 + 𝑏2
2. CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
𝑎 − 𝑏 2
= 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏
= 𝑎𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏𝑏
= 𝑎2 −2𝑎𝑏 + 𝑏2
REGLA
Cuadrado del primer término más dos veces el
primero por el segundo más el cuadrado del
segundo
Cuando es menos se intercalan los signo
comenzando con menos
Ejemplos
1. 𝑥 + 2 2
Aplicamos la regla
𝑥 + 2 2
= 𝑥2
+ 2 𝑥 2 + 22
= 𝑥2 + 4𝑥 + 4
2. 3𝑦 − 5 2
= 3𝑦 2
− 2 3𝑦 5 + 52
= 9𝑦2
− 30𝑦 + 25
3. 3𝑥𝑚
+ 7𝑦𝑛 2
= 3𝑥𝑚 2
+ 2 3𝑥𝑚
7𝑦𝑛
+ 7𝑦𝑛 2
= 9𝑥2𝑚+42𝑥𝑚𝑦𝑛 + 49𝑦2𝑛
8. TALLER 1
𝑎. 3𝑋 + 7 2
𝑏.
𝑚
3
+
𝑛
6
2
𝑐.
3
4
𝑏 + 8𝑐
2
𝑑. 𝑥𝑎 − 𝑦𝑏 2
𝑒.
7
4
𝑑2
−
4
7
𝑓
2
𝑓. 3𝑥 − 5𝑦 2
𝑔. 1 +
3𝑥
𝑦
2
ℎ. 5𝑥2
+
1
2
𝑥
2
𝑖.
3
4
𝑏 + 8𝑐
2
CUBO DE SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
CANTIDADES
𝑎 ± 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
REGLA
Cubo del primer término mas tres veces el cuadrado del
primero por el segundo mas tres veces el primero por el
cuadrado del segundo mas el cubo del segundo, si el
signo es menos se intercalan los signos comenzando
con menos
Ejemplo
𝑎. 2𝑘 − 3 3
= 2𝑘 3
− 3(2𝑘)2
3 + 3(2𝑘)(3)2
− 33
= 8𝑘3
− 36𝑘2
+ 54𝑘 + 27
𝑏. 5𝑑2
+ 1 3
= 5𝑑2 3
+ 3(5𝑑2)2
1 + 3(5𝑑2
)(1)2
+ 12
𝑐. 𝑚4
+ 6 3
= (𝑚4
)3
+ 3(𝑚4
)2
6 + 3 𝑚4
62
+ (6)3
= 𝑚12 + 18𝑚8 + 108𝑚4 + 216
1
2
𝑥 −
4
3
3
= (
1
2
𝑥)3
− 3(
1
2
𝑥)2
(
1
4
) + 3(
1
2
𝑥)(
4
3
)2
−
4
3
3
=
1
8
𝑥3
− 𝑥2
+
8
3
𝑥 −
64
27
TALLER 2
𝑎. 3𝑋 + 7 3
𝑏.
2
3
𝑎 − 5𝑏
3
𝑐. 2𝑥𝑦 + 3 3
𝑑. 𝑚2 + 𝑚 3
𝑒.
1
2
𝑥2
− 𝑥
3
𝑓. 5𝑥2
− 4𝑦3 3
= 125𝑑6
+ 75𝑑4
+ 15𝑑2
+ 1
9. FACTORIZACION
Factorizar: es transformar una expresión de tal
manera que ella quede, en forma equivalente,
indicada como el producto de otras
Por ejemplo
12 = 3 ∗ 4 = 3 ∗ 2 ∗ 2
De igual forma las expresiones algebraicas se
puede transformar como producto de dos o
mas expresiones
Por ejemplo
𝑎2 = 𝑎 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑏 2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Aquí vamos a repasar los casos mas
importantes y que necesitaremos para el
desarrollo de esta asignatura
a. FACTOR COMUN
Es un caso que se puede aplicar a
binomios, trinomio etc.
Un facto es común cuando aparece
en todos los términos del polinomio
Ejemplo
𝑎. 5𝑥 + 10𝑦
𝑏. 7𝑥2 + 9𝑥
Regla
Se identifica el factor común entre los
coeficientes si los hay luego el factor
común entra las variables con su menor
exponente
Se extraen los factores comunes
numéricos y literales y se colocan como
facto del resto del polinomio
10. 𝑎. 5𝑥 + 10𝑦 = 5𝑥 + 2 ∗ 5𝑦
Ejercicios
= 5(𝑥 + 2𝑦)
𝑏. 7𝑥2
+ 9𝑥 = 7𝑥 ∗ 𝑥 + 9𝑥
= 𝑥(7𝑥 + 9)
18𝑥2 + 27𝑥 = 9 ∗ 2𝑥 ∗ 𝑥 + 9 ∗ 3𝑥
= 9𝑥(2𝑥 + 3)
Taller 3
𝑎. 3𝑦5
− 5𝑦4
+ 7𝑦3
𝑏. 12𝑥 + 19𝑦
𝑐. 14𝑎2
+ 21𝑎𝑏
𝑑. 9𝑥 − 9
𝑒. 6𝑥2 + 12𝑥4
𝑓. 45𝑥3
+ 27𝑥2
− 63𝑥
𝑔. 19𝑚𝑘 + 38𝑛 + 57
ℎ. 45𝑎2
𝑏 + 90𝑎𝑏2
FACTOR COMUN POR AGRUPACION
Se agrupa de dos o más término de tal forma
que en cada agrupación queden factores
comunes entre los número y entre las letras,
se repite el caso anterior dos veces
Ejemplo
𝑚3
+ 2𝑚2
− 10𝑚 − 20 = (𝑚3
+ 2𝑚2
− (10𝑚 + 20)
= (𝑚2 𝑚 + 2𝑚2) − (10𝑚 + 10 ∗ 2)
= 𝑚2(𝑚 + 2)-10(m+2)
= (𝑚 + 2)(𝑚2
+ 10)
Taller 3.1
𝑎. 𝑡𝑢 − 7𝑡 + 4𝑢 − 28
𝑏. 𝑥3
+ 17𝑥2
− 3𝑦 − 51
𝑐. 2𝑥2
− 5𝑥𝑦 + 6𝑥 − 15𝑦
𝑑. 63 + 28𝑎 + 21𝑏 + 14𝑎𝑏
𝑒. 10𝑚𝑛 − 20𝑛2 − 25𝑛 + 3𝑎𝑛
11. DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO
Es un binomio de cuadrado perfecto
separado por el signo menos
𝑎2 − 𝑏2
Para factorizarlo se extrae la raíz de ambos
términos y se coloca el producto de la
suma de las raíces por la diferencia de las
mismas
𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑎 𝑏
Ejemplo
𝐴. 𝑥2
− 25 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
B.
1
4
𝑥2
− 9 = (
1
2
𝑥 + 3)(
1
2
𝑥 − 3)
Taller 3.2
𝑎. 16𝑚4 − 81
𝑏.
16
9
𝑚2
− 121
𝑐. 49𝑎2 − 81𝑏2
𝑑.
9
16
𝑚4 −
25
81
𝑛6
𝑒. 20𝑎6𝑏 − 180𝑏3
TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
Debe cumplir lo siguiente.
1. Estar ordenado
2. El primer y tercer término deben ser
cuadrado perfecto
3. Es segundo termino debe se el doble
producto del primero por el segundo
4. El signo del tercer término siempre
debe ser positivo
Regla
Se extrae la raíz del primer y tercer
termino, se colocan las raíces entre
paréntesis separado por mas o por
menos y se elevan al cuadrado
Ejemplo
9𝑥2
+ 24𝑥𝑦 + 16𝑦2
= 3𝑥 + 4𝑦 2
3𝑥 4𝑦
12. TRINOMIO DE FORMA 𝑋2 ± 𝐵𝑋 ± 𝐶
Regla
1. Se extrae la raíz del primer término, se abren dos
factores se coloca en cada factor la raíz del primer
término, el signo del primer facto es el mismo del primer
término, el signo del segundo factor es el producto de los
signos del trinomio.
Se consiguen dos números m y n que cumplan
𝑚 ∗ 𝑛 = 𝑐
𝑚 + 𝑛 = 𝑏 𝑜 𝑚 − 𝑛 = 𝑏 𝑠𝑖 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜.
El número mayor siempre se coloca en el primer
término
Ejemplo
𝑎. 𝑥2
+ 7𝑥 − 18 = (𝑥 + 9)(𝑥 − 2)
𝑥
b. 𝑥2 + 7𝑥 − 30 = ( 𝑥 + 10 )( 𝑥 − 3 )
TALLER 4
𝑎. 𝑥2
+ 2𝑥+3
𝑏. 𝑥4
− 𝑥2
− 12
𝑐. 𝑥2
+ 𝑥 − 156
𝑑. 𝑥2 + 5𝑥 − 6
𝑒. 𝑥4 + 3𝑥2 + 2
𝑓. 𝑥2 + 10𝑥 − 96
𝑔. 𝑥2
− 5𝑥 − 300
𝑥
