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Radiciação
Ao final dessa aula                   você saberá: Identificar os elementos envolvidos em na  radiciação Relacionar potê...
Quais são os elementos            envolvidos na radiciação? Toda operação com raiz apresenta um radical, um índice e o rad...
Qual é a relação entre            radiciação e potenciação?     A radiciação é a operação inversa dapotenciação.Exemplos: ...
Por que não existe raiz com               índice par de um número              negativo no conjunto real?  Porque não exis...
Como calculamos raiz de                     um número grande?Usando a decomposição em fatores primos.Exemplos:          44...
Como simplificamos o                      radicando com o índice?Basta dividir o expoente do radicando pelo índice.Exemplo...
E se o resultado da                             divisão não for exato?    Só sai da raiz se o resultado for exato, caso   ...
E se o índice for                          maior que o expoente                             do radicando?    Podemos apena...
Tente fazer sozinhoSimplifique o radical:                  3 12 6            6                8x y z
Solução6    8x y z = 2 x y z =      3   12 6    6       3   3 12 6y z 2 x =y z 2 x    2 6   3   3       2
Como indicamos uma raiz                     sem usar o radical?    Trocando o índice e o expoente do radicando    por um e...
O que são radicais                 semelhantes?  São os radicais que apresentam o mesmoíndice e o mesmo radicando.Exemplo:...
Como somamos e             subtraímos radicais?Basta somar ou subtrair a quantidade de radicais                  semelhant...
Como multiplicamos                    e dividimos radicais                     de mesmo índice?Basta juntar os radicandos ...
E se os índices forem                 diferentes?Basta igualar os índices e juntar os radicandos.         Como igualamos o...
Tente fazer                    sozinho(Vunesp) O valor da expressão                       3                               ...
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Como extraímos a                   raiz de um                    radical?           Basta multiplicar os índices.Exemplos:...
Tente fazer sozinhoSabendo que a = 2 e b = 4 2 ,        calcule   3                      ab .
Solução          3               ab =   3                           2 2=                              4                 mm...
O que é             racionalização?  É o cálculo que usamos para tirar umradical do denominador de uma fração.Como raciona...
1º) Quando o denominador é um produto e oíndice do radical é 2.    Basta multiplicar o numerador e o denominador          ...
2º) Quando o denominador é um produtoe o índice do radical é diferente 2.  Basta multiplicar o numerador e o denominador  ...
Exemplo:                      7   3             7    3      7   3   18           18. 3              18. 3           18. 3 ...
Solução           3   1 55     243 +   +  −  3=           4   3 6         3 1 5 3 10 5     3    3 5 35     3 +      5     ...
3º) O denominador é uma soma ou subtração.Basta multiplicar numerador e denominador pelo  conjugado.           2− 3       ...
Tente fazer                sozinho(UFSE) Racionalizando-se o denominador de            3                    obtém-se:     ...
Solução  3      =                       (                   3. 2 + 5                            =                         ...
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  1. 1. Radiciação
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá: Identificar os elementos envolvidos em na radiciação Relacionar potências e raízes Calcular uma raiz de 2 formas diferentes Todas as regras e propriedades da radiciação Somar, subtrair, multiplicar e dividir radicais Elevar um radical a uma potência e extrair sua raiz. Racionalizar denominadores
  3. 3. Quais são os elementos envolvidos na radiciação? Toda operação com raiz apresenta um radical, um índice e o radicando. índice radicalExemplos: 3 5 216 144 32 radicando Note que quando indicamos a raiz quadrada, não colocamos o 2 no lugar do índice.
  4. 4. Qual é a relação entre radiciação e potenciação? A radiciação é a operação inversa dapotenciação.Exemplos: 32 = 9 9 =3 53 = 125 3 125 = 5
  5. 5. Por que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto real? Porque não existe um número que, elevadoa expoente par, tenha como resultado umnúmero negativo.Veja: −9 Não existe um número que elevado ao quadrado dá -9, pois -3 e 3 elevado ao quadrado dá 9.
  6. 6. Como calculamos raiz de um número grande?Usando a decomposição em fatores primos.Exemplos: 448 3 3375 448 2 2 3375 3 224 2 1125 3 3 112 2 375 3 2 56 2 125 5 28 2 25 5 5 2 14 2 5 5 7 7 1 1 448 = 8 7 3 50625 = 3 x5 = 15
  7. 7. Como simplificamos o radicando com o índice?Basta dividir o expoente do radicando pelo índice.Exemplos: 3 7 =7 18 6 54 = 52 Note que no último exemplo foi 2500 = 2 2.54 = 2.52 = 50 necessário decompor o número para simplificar. Essa é outra forma de calcular uma raiz.
  8. 8. E se o resultado da divisão não for exato? Só sai da raiz se o resultado for exato, caso contrário, continua lá dentro.Exemplos: 125 = 5 = 5 .5 3 2 5 35 b .c 42 = b c c =b c 5 35 40 2 7 85 c 2
  9. 9. E se o índice for maior que o expoente do radicando? Podemos apenas dividir pelo mesmo número, mas sem tirar de dentro da raiz.Exemplos: 9 1,7 6 = 3 1,7 2 15 ( a + 1) 5 = 3 ( a + 1)
  10. 10. Tente fazer sozinhoSimplifique o radical: 3 12 6 6 8x y z
  11. 11. Solução6 8x y z = 2 x y z = 3 12 6 6 3 3 12 6y z 2 x =y z 2 x 2 6 3 3 2
  12. 12. Como indicamos uma raiz sem usar o radical? Trocando o índice e o expoente do radicando por um expoente fracionário.Exemplos: O expoente do 2 = ( 2) 5 3 5 3 radicando vira numerador e o índice vira 23 = ( 23) 1 2 denominador.
  13. 13. O que são radicais semelhantes? São os radicais que apresentam o mesmoíndice e o mesmo radicando.Exemplo:5 2e3 2 são semelhantes5 2e5 24 não são semelhantes 4 5 2e7 2 4 são semelhantes 3 3 9e 12 não são semelhantes
  14. 14. Como somamos e subtraímos radicais?Basta somar ou subtrair a quantidade de radicais semelhantes.Exemplo: 3 7 + 7 − 6 7 = −2 7 Caso fosse 3 2 + 5 − 6 7 nada poderíamos fazer, pois os radicais não são semelhantes.
  15. 15. Como multiplicamos e dividimos radicais de mesmo índice?Basta juntar os radicandos dentro de um radical.Exemplo: 6.11 5 5 6 . 11 : 3 = 5 5 5 = 22 3
  16. 16. E se os índices forem diferentes?Basta igualar os índices e juntar os radicandos. Como igualamos os índices?Basta achar o mmc entre os índices e ajustar osexpoentes dos radicandos. 3 2 4Exemplo: 5 . 7 mmc (3,4) =12. Assim, temos: 12 8 12 5 . 7 3 Juntando no mesmo radical, temos: 12 8 3 5 .7
  17. 17. Tente fazer sozinho(Vunesp) O valor da expressão 3 4 16 4 2 1 : 2 é igual a: 8 8 3a) 2-1 b) 20 c) 21/2 d) 24 e) 26
  18. 18. Solução (2 ) 3 4 4 3 4 4 4 3 416 24 16 2 2 : 2 = 3 : = : 6 = 183 8 8 23 ( ) 2 2 2 4 12 4 3 6 2 2 2 2 : 6 = ⋅ 4 =2 4 2 2 2 2
  19. 19. Como elevamos um radical a uma potência?Basta elevar o radicando a essa potência.Exemplos: ( 3 ) = 3 = 27 4 3 4 3 4 (2 5 ) = 8 5 = 8 125 3 3
  20. 20. Como extraímos a raiz de um radical? Basta multiplicar os índices.Exemplos: 3 5 = 2 x3 5 = 6 5 4 3 6 = 4 x3x 2 6= 24 6
  21. 21. Tente fazer sozinhoSabendo que a = 2 e b = 4 2 , calcule 3 ab .
  22. 22. Solução 3 ab = 3 2 2= 4 mmc (2,4) = 4. Logo, igualando os índices, temos:3 4 2 24 2= 3 4 4.2 = 3 4 8= 8 12
  23. 23. O que é racionalização? É o cálculo que usamos para tirar umradical do denominador de uma fração.Como racionalizamos um denominador? Existem 3 procedimentos, que serão descritos a seguir.
  24. 24. 1º) Quando o denominador é um produto e oíndice do radical é 2. Basta multiplicar o numerador e o denominador 2por .Exemplos: . 2 5 5 5 2 = = 2 2. 2 2 3 3. 2 3 2 3 2 = = = 4 2 4 2 . 2 4.2 8
  25. 25. 2º) Quando o denominador é um produtoe o índice do radical é diferente 2. Basta multiplicar o numerador e o denominador pelo fator racionalizante. O que é o fator racionalizante?É o radical mais conveniente para eliminar o radical do denominador. 3 7. 7 = 7 = 7 3 2 3 3Veja: Fatores racionalizantes 5 32 .5 33 = 5 35 = 3
  26. 26. Exemplo: 7 3 7 3 7 3 18 18. 3 18. 3 18. 3 = = = =6 3 7 3 7 34 7 34 .7 33 7 37 3 Tente fazer sozinho Indique o valor da expressão: 3 1 5 5 243 + + − 3 4 3 6
  27. 27. Solução 3 1 55 243 + + − 3= 4 3 6 3 1 5 3 10 5 3 3 5 35 3 + 5 + − = 3 + + − = 4 3 6 2 3 6 3 3 5 3 6 3 +3 3 + 2 3 −5 3 3+ + − = = 2 3 6 6 6 3 = = 3 6
  28. 28. 3º) O denominador é uma soma ou subtração.Basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado. 2− 3 2+ 3Veja: é conjugado de . 7+ 5 7− 5 é conjugado de . 2 = ( 2. 7 + 3 = )Exemplo: 7− 3 ( 7 − 3. 7 + 3 ) ( ) ( 2 7+ 3 2 7+ 3 = = 7+ 3 ) 7−3 4 2
  29. 29. Tente fazer sozinho(UFSE) Racionalizando-se o denominador de 3 obtém-se: 2+ 5
  30. 30. Solução 3 = ( 3. 2 + 5 = ) 2+ 5 ( 2+ 5 2+ 5)( ) ( )3. 2 + 5 3. 2 + 5 = ( =− 2+ 5 ) 2−5 −3

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