Fundamentos de teoría de conjuntos y probabilidad

1. Fundamentos de teoría de
conjuntos y probabilidad
por:
Santiago Castiello
Gustavo Arias

2. Objetivo:
Convencerlos de la
utilidad del nomograma
de fagan

3. Experimento
• Cualquier procedimiento capaz de generar datos observables:
• Criterios:
• Ser reproducible
• Los resultados posibles pueden ser determinados de antemano
• Ejemplos:
• Disparejo para ver quien compra las chelas
• Chin-guas-pul para ver quien paga la cena
• Tirar dos dado para avanzar en el monopoli

4. Conjunto
• Colección bien definida de objetos:
• A = {a, e, i, o, u}
conjunto de las vocales
• B = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
conjunto de las consonantes
A
B

5. Espacio muestral
• El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se
llama espacio muestral y se denota como S:
• S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
todas las letras del abecedario en español
• En este caso el espacio muestral es la unión de A y B
S = A ∪ B
Todas las letras del abecedario se componen por las vocales y las consonantes
A
B
S

6. Espacio muestral
• El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se
llama espacio muestral y se denota como S:
• Tirar un dado:
• A = { , , } resultados bajos
• B = { , , } resultados altos
• S = { , , , , , }

7. Espacio muestral
• El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se
llama espacio muestral y se denota como S:
• Tirar un dado:
• A = {1, 2, 3} resultados bajos
• B = {4, 5, 6} resultados altos
• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} todos los resultados posibles
• S = A ∪ B cuando A y B son mutuamente excluyentes
A = {1, 2,
3}
B = {4, 5,
6}
S = {1, 2, 3,
4, 5, 6}

8. Cardinalidad
• Es el número o cantidad de elementos de un conjunto A, su notación
es #(A).
• #(tiro de dado) =
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• #(desenlace de cirugía) =
S = {Vive, Muere}
• #(reyes en un mazo de cartas) =
Reyes = { ¿ ?}
Mazo_Cartas = { ¿ ?}

9. Cardinalidad
• Es el número o cantidad de elementos de un conjunto A, su notación
es #(A).
• #(tiro de dado) = 6
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• #(desenlace de cirugía) = 2
S = {Vive, Muere}
• #(reyes en un mazo de cartas) = 4
Reyes = {R_corazones, R_diamantes, R_trébol, R_espadas}
Mazo_Cartas = {todas las cartas de un mazo}

10. • Una llega a consulta:
• S = {enfermo, sano}
• S = {1, 0}
• #(S) = 2
• Después de una cirugía una persona:
• S = {muerte, vive}
• S = {0, 1}
• #(S) = 2
Experimentos dicotómicos
enfermo
sano
Mutuamente excluyentes pero son independientes.
Una persona no puede estar enfermo y sano a la vez, si está
enfermo, forzosamente no está sano

11. Evento
Por ejemplo:
Si un cirujano tiene 3 cirugías, y los desenlaces son que sus pacientes viven (V) o mueren (M).
¿Cuál es el espacio muestral y la cardinalidad de los resultados de las 3 cirugías?
• Es un subconjunto del espacio muestral
• Un subconjunto es cuando un conjunto A pertenece a S

12. Evento
• Es un subconjunto del espacio muestral
• Un subconjunto es cuando un conjunto A pertenece a S
CX 1 CX 3CX 2
Experimento = CX
S = {V, M}
Cardinalidad = 2
… pero son 3 CX
Por ejemplo:
Si un cirujano tiene 3 cirugías, y los desenlaces son que sus pacientes viven (V) o mueren (M).
¿Cuál es el espacio muestral y la cardinalidad de los resultados de las 3 cirugías?

13. Evento
• Es un subconjunto del espacio muestral
• Un subconjunto es cuando un conjunto A pertenece a S
CX 1 CX 3CX 2
Experimento = CX
S = {V, M}
Cardinalidad = 2
… pero son 3 CX
Por ejemplo:
Si un cirujano tiene 3 cirugías, y los desenlaces son que sus pacientes viven (V) o mueren (M).
¿Cuál es el espacio muestral y la cardinalidad de los resultados de las 3 cirugías?
2 2 2 = #(CX)³ = 2³ = 8

14. Eventos
• Es un subconjunto del espacio muestral
• Un subconjunto es cuando un conjunto A pertenece a S
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
Por ejemplo:
Si un cirujano tiene 3 cirugías, y los desenlaces son que sus pacientes viven (V) o mueren (M).
¿Cuál es el espacio muestral y la cardinalidad de los resultados de las 3 cirugías?

15. Inclusión
• Cuando un subconjunto A pertenece a S, su notación es:
A ⊂ S o A → S
• Subconjunto A es cuando 2 de 3 cirugías son exitosas
• A = {VVM, VMV, MVV}
• #(A) = 3
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
A

16. Intersección
• Es un subconjunto del espacio muestral
A ∩ S
• Si A ⊂ S, la intersección de A y S es A
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
A
Recuerdan:

17. Unión
• Si A y B son 2 eventos cualquiera entonces:
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) – #(A ∩ B)
• A = {VVM, VMV, MVV}
• B = {VVM, VMM, VMV, VVV}
#(A) + #(B) – #(A ∩ B) =
3 + 4 – 2 = 5
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
A
B
Recuerdan:

18. Probabilidad
𝑃 𝐴 =
#𝐴
#𝑆

19. Probabilidad
• Si un experimento tiene un espacio muestral finito, y todos sus
elementos son igualmente factibles, la probabilidad de que ocurra el
evento A es el cociente del número de eventos de A entre el espacio
muestral. Su notación es:
𝑃 𝐴 =
#𝐴
#𝑆
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(A) * 100 = A%

20. Probabilidad
• Por ejemplo:
• P(A) =
• P(B) =
• P(A ∩ B) =
• P(A ∪ B) =
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
A
B

21. Probabilidad
• Por ejemplo:
• P(A) = 3 / 8 = 0.375
• P(B) = 4 / 8 = 0.5
• P(A ∩ B) = 2 / 8 = 0.25
• P(A ∪ B) = 5 / 8 = 0.625
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
A
B

22. Probabilidad condicional
• La probabilidad de un evento A dado que sucedió un evento B. Su
notación es: P(A|B)
• P(A ∩ B) = 2 / 8 = 0.25
• P(B) = 4 / 8 = 0.5
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
= 0.5
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
A
B

23. Probabilidad condicional
• La P(A|B) ≠ P(B|A)
P(A|B) = 0.5
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
=
2/8
3/8
= 0.666
MMMMMV
MVM
VMM
VVV
VVM
VMVMVV
A
B

24. diagrama de árbol
• Se lanza una moneda y después un dado
• P(dado = 2) =
• P(cara ∩ 6) =
• P(4|Sello) =
Cara
Moneda
P(moneda)
Dado
P(dado)
1 2 3 4 5 6
P(volado ∩ dado)
1/61/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Sello
1 2 3 4 5 6
1/61/6 1/6 1/6 1/6 1/6
ExperimentoInicio
1/121/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/121/12 1/12 1/12 1/12 1/12
1/2 1/2
= 1

25. diagrama de árbol
• Se lanza una moneda y después un dado
• P(dado = 2) = 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6 = 0.1666
• P(cara ∩ 6) = 1/12 = 0.8333
• P(4|Sello) = (1/12) / (1/2) = 1/6 = 0.1666
Cara
Moneda
P(moneda)
Dado
P(dado)
1 2 3 4 5 6
P(volado ∩ dado)
1/61/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Sello
1 2 3 4 5 6
1/61/6 1/6 1/6 1/6 1/6
ExperimentoInicio
1/121/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/121/12 1/12 1/12 1/12 1/12
1/2 1/2
= 1

26. Axiomas
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• P(~A) = 1 – P(A)
• P(A) = 1 , si y solo si P(A) = P(S)
• P(Ø) = 0
• P(A|S) = P(S|A)

27. Ejercicios
P(A) = 0.6, P(B) = 0.6, P(C) = 0.7
C = P(A ∪ B)
• P(A ∩ B) =
• P(~A) =
• ~P(B ∪ A) + P(B) =

28. Ejercicios
P(A) = 0.6, P(B) = 0.6, P(C) = 0.7
C = A ∪ B
• P(A ∩ B) =
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
 P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= P(A) + P(B) – P(C)
= 0.6 + 0.6 – 0.7
= 0.5

29. Ejercicios
P(A) = 0.6, P(B) = 0.6, P(C) = 0.7
C = A ∪ B
• P(~A) = 1 – P(A)
= 1 – 0.6
= 0.4

30. Ejercicios
P(A) = 0.6, P(B) = 0.6, P(C) = 0.7
C = A ∪ B
• ~P(B ∪ A) + P(B) =
= ~P(C) + 0.6
= 1 – 0.7 + 0.6
= 0.9

31. Teorema de Bayes
• P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
• P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)
o o o
o o o
o o
o o
A
o o
B
P(A ∩ B) = 2/12
P(B) = 6/12
P(A) = 8/12
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
= (2/12) / (6/12)
= 1/3
P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)
= (2/8) * (8/12)
= 16/96
= 1/6

32. Teorema de Bayes
• P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
• P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐵 𝐴 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
o o o
o o o
o o
o o
A
o o
B
P(A ∩ B) = 2/12
P(B) = 6/12
P(A) = 8/12
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
= (2/12) / (6/12)
= 1/3
P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)
= (2/8) * (8/12)
= 16/96
= 1/6

33. Ejercicios

34. Ejercicios
P(D+|T+) = ¿?
Por teorema de bayes tenemos que:
𝑷(𝑫 + |𝑻+) =
𝑷(𝑻 + |𝑫+) 𝑷(𝑫+)
𝑷(𝑻+)
P(T+|D+) = 0.99
P(T-|D-) = 0.99
P(D+) = 0.01

35. Ejercicios
P(D+|T+) = ¿?
Por teorema de bayes tenemos que:
𝑷(𝑫 + |𝑻+) =
𝑷(𝑻 + |𝑫+) 𝑷(𝑫+)
𝑷(𝑻+)
P(T+|D+) = 0.99
P(T-|D-) = 0.99
P(D+) = 0.01
D+
0.01
D-
0.99
T+
0.99
T-
0.01
T-
0.99
T+
0.01

36. Ejercicios
P(D+|T+) = ¿?
Por teorema de bayes tenemos que:
𝑷(𝑫 + |𝑻+) =
𝑷(𝑻 + |𝑫+) 𝑷(𝑫+)
𝑷(𝑻+)
P(T+ ∩ D+) = P(T+|D+) P(D+)
= 0.99 * 0.01
= 0.0099
P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)
P(T+|D+) = 0.99
P(T-|D-) = 0.99
P(D+) = 0.01
D+
0.01
D-
0.99
T+
0.99
T-
0.01
T-
0.99
T+
0.01
T+ ∩ D+
0.0099
T+ ∩ D-
0.0099
T- ∩ D-
0.9801
T- ∩ D+
0.0001

37. Ejercicios
P(D+|T+) = ¿?
Por teorema de bayes tenemos que:
𝑷(𝑫 + |𝑻+) =
𝑷(𝑻 + |𝑫+) 𝑷(𝑫+)
𝑷(𝑻+)
P(D+) = P(T+ ∩ D+) + P(T- ∩ D+)
= 0.0099 + 0.0001
= 0.01
P(T+|D+) = 0.99
P(T-|D-) = 0.99
P(D+) = 0.01
D+
0.01
D-
0.99
T+
0.99
T-
0.01
T-
0.99
T+
0.01
T+ ∩ D+
0.0099
T+ ∩ D-
0.0099
T- ∩ D-
0.9801
T- ∩ D+
0.0001

38. Ejercicios
P(D+|T+) = ¿?
Por teorema de bayes tenemos que:
𝑷(𝑫 + |𝑻+) =
𝑷(𝑻 + |𝑫+) 𝑷(𝑫+)
𝑷(𝑻+)
P(T+) = P(T+ ∩ D+) + P(T+ ∩ D-)
= 0.0099 + 0.0099
= 0.0198
P(T+|D+) = 0.99
P(T-|D-) = 0.99
P(D+) = 0.01
P(T+) = 0.0198
D+
0.01
D-
0.99
T+
0.99
T-
0.01
T-
0.99
T+
0.01
T+ ∩ D+
0.0099
T+ ∩ D-
0.0099
T- ∩ D-
0.9801
T- ∩ D+
0.0001

39. Ejercicios
P(D+|T+) = ¿?
Por teorema de bayes tenemos que:
𝑷(𝑫 + |𝑻+) =
𝑷(𝑻 + |𝑫+) 𝑷(𝑫+)
𝑷(𝑻+)
P(T+|D+) = 0.99
P(T-|D-) = 0.99
P(D+) = 0.01
P(T+) = 0.0198
P(D+|T+) = (P(T+|D+) P(D+)) / P(T+)
= (0.99 * 0.01) / 0.0198
= 0.5
D+
0.01
D-
0.99
T+
0.99
T-
0.01
T-
0.99
T+
0.01
T+ ∩ D+
0.0099
T+ ∩ D-
0.0099
T- ∩ D-
0.9801
T- ∩ D+
0.0001

40. Razón de verosimilitud
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅+ =
𝑃 𝑇 + 𝐷 +
𝑃 𝑇 + 𝐷 −
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅− =
𝑃 𝑇 − 𝐷 +
𝑃 𝑇 − 𝐷 −

41. Razón de verosimilitud
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅+ =
𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
1 − 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅− =
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

42. Razón de verosimilitud
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅+ =
𝑃 𝑇 + 𝐷 +
𝑃 𝑇 + 𝐷 −
=
𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
1 − 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅− =
𝑃 𝑇 − 𝐷 +
𝑃 𝑇 − 𝐷 −
=
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
LR+ = P(T+|D+) / P(T+|D-)
= 0.99 / (0.01)
= 99
o
LR+ = sensibilidad / 1 – especificidad
= 0.99 / (1 – 0.99)
= 0.99 / 0.01
=99

43. Nomograma de Fagan
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅+ =
𝑃 𝑇 + 𝐷 +
𝑃 𝑇 + 𝐷 −
=
𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
1 − 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
= 99
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅− =
𝑃 𝑇 − 𝐷 +
𝑃 𝑇 − 𝐷 −
=
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
= 0.01
P(D+)
LR+
P(D+|T+)=50%

44. Nomograma de Fagan
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅+ =
𝑃 𝑇 + 𝐷 +
𝑃 𝑇 + 𝐷 −
=
𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
1 − 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
• Razón de verosimilitud positiva
𝐿𝑅− =
𝑃 𝑇 − 𝐷 +
𝑃 𝑇 − 𝐷 −
=
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

45. Probabilidad Pre y Post Test

46. • Paciente femenino de 48 años de edad que mediante
autoexploración detecta masa en región superior externa de
la mama derecha.
• A la exploración física presenta retracción del pezón de la
mama derecha, se palpa masa indurada con bordes bien
definidos, no móvil y no dolorosa a la plapación.
• Tiene antecedente de Abuela con cáncer de mama a los 55
añós.

47. Esta paciente tiene
cáncer de Mama?

50. • Paciente masculino de 25 años de edad, que ha realizado 3
revisiones sistemáticas y pasa en la computadora alrededor
de 10 horas al día desde hace 4 años.
• Actualmente presenta dolor en mano derecha sobre todo al
trabajar en la computadora, parestesias nocturnas en ambas
manos.
• A la exploración física, debilidad en la aducción del pulgar,
signo de phanel +,

52. Este paciente tiene
síndrome del túnel del
carpo?

56. • Paciente femenino de 45 años de edad, se encontraba en su
casa cenando cuando inicia con dolor en hipocondrio
derecho, de tipo cólico, que se acompaña de nausea y
vomito.
• A su llegada a urgencias no presenta fiebre, signo de Murphy
dudoso
• Paracrlinicos sin alteraciones.

57. Este paciente tiene
colecistitis aguda?