Conceitos básicos de cinemática escalar para pré-vestibular

FÍSICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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detentor dos direitos autorais.
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
732 p.
ISBN: 978-85-387-0576-5
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

Tópicos de
cinemática
escalar: MRU
(movimento retilíneo
uniforme)
Serão apresentados neste tópico os conceitos
clássicos de posição e trajetória. Deve existir um cui-dado
muito grande, em Física, com os termos utiliza-dos
porque várias palavras usadas no cotidiano trazem
confusão na hora de resolver problemas. Portanto,
devemos usar sempre uma linguagem científica.
Cinemática
Definimos Cinemática como a parte da Física
que estuda os movimentos, sem preocupação de sua
causa ou do elemento que executa esse movimento.
Móvel é o nome utilizado para o elemento que
executa o movimento e será considerado, quase sem-pre,
um ponto material, isto é, suas dimensões podem
ser desprezadas em comparação com as demais di-mensões
envolvidas no problema.
O ponto material será determinado por uma posi-ção,
associada a um eixo ou a um plano, como fazemos
em matemática com as coordenadas cartesianas.
Para se entender o conceito de movimento ou
repouso, considere o seguinte exemplo:
002
FIS_Um homem está sentado, dentro de um ônibus
V_que trafega em uma rua, tendo ao seu lado uma
EM_criança adormecida. Uma mulher está na calçada,
1 aguardando a possibilidade de atravessar a rua. Para
essa mulher, a criança está em movimento e para o
homem, a criança está em repouso.
Como se nota por esse exemplo, o conceito de
movimento está relacionado ao referencial ou sistema
de referência adotado. É possível, então, um corpo
estar em movimento em relação a um dado referencial
e estar em repouso em relação a outro.
Definidos o movimento de um corpo como a
mudança de posição em relação a um determinado
referencial, no decorrer de um intervalo de tempo;
o repouso representa a não-variação de posição no
decorrer do tempo.
Como sabemos, tudo no Universo tem movimen-to
e, portanto, quando necessitamos de um referen-cial
"parado" adotamos algo que, em relação ao mó-vel,
tenha um movimento desprezível; por exemplo,
para a Terra uma estrela é um referencial "parado";
no laboratório, uma haste fixa é um referencial "pa-rado"
para um corpo que colocamos em movimento.
Observe que o termo "parado" pode significar que o
referencial está executando um movimento idêntico
ao do móvel, como pode ser observado no caso de
alguns satélites artificiais: o satélite está executando
um movimento aproximadamente circular, gastando
o mesmo tempo que a Terra em seu movimento de
rotação, isto é, em relação à Terra o satélite está
"parado" (geoestacionário).
No estudo de dinâmica definiremos um referencial
inercial, ou seja, um referencial que, supostamente,

2
EM_V_FIS_002
não sofre modificação no seu estado de movimento
ao longo do tempo.
Chamamos trajetória à linha obtida unindo-se
os pontos sucessivamente ocupados pelo móvel.
As trajetórias podem ser consideradas:
1) Abertas, quando o móvel, após um intervalo
de tempo, não passa pelo ponto considerado
como partida.
2) Fechadas, quando o móvel, após um intervalo
de tempo, passa novamente pelo ponto con-siderado
como partida; algumas trajetórias
fechadas, de forma geométrica bem definida,
são chamadas de órbitas.
Quanto às trajetórias abertas, podemos consi-derá-
las retilíneas ou curvilíneas.
Imaginemos a trajetória representada pela
figura abaixo e marquemos sobre ela dois pontos
A e B:
A
B
Podemos considerar, sobre essa trajetória, dois
sentidos: o de A para B e o de B para A; qualquer
um deles pode ser tomado, arbitrariamente, como
positivo e o outro, oposto a esse, será o negativo.
O movimento executado no sentido positivo é
chamado movimento progressivo; se for no sentido
negativo será chamado de movimento retrógrado.
Vamos, agora, associar essa trajetória a um par
de eixos cartesianos:
A
B
x
y
Admitindo-se que no instante em que iniciamos
a nossa observação (t0 = 0), o móvel estava no ponto
A, chamaremos essa posição de posição inicial (S 0);
após decorrer um intervalo de tempo ( t = t 1 – t 0 ,
t 1 0) o móvel estará ocupando a posição B, que será
chamada de posição final (S 1).
Definimos a coordenada da posição de um móvel
à medida algébrica do arco orientado, medido a partir
de um ponto escolhido como posição inicial.
Em função do exposto, podemos definir uma
variação de posição ( S), como a diferença entre a
posição final e a posição inicial de um móvel numa
trajetória, e escrevemos:
S = S 1 – S 0
Note que a variação de posição ( S) nem sem-pre
corresponde ao espaço percorrido; se um móvel
parte de um ponto qualquer e, independente do
tipo de trajetória, retorna ao ponto de partida, sua
variação de posição é nula ( S = 0), mas o espaço
percorrido não.
Equação horária
do movimento
Se um móvel executa movimento em uma traje-tória,
podemos representar tal fenômeno por meio de
um gráfico ou de uma expressão matemática.
Essa expressão matemática é chamada a fun-ção
horária ou equação horária do movimento. Como
a cada instante o móvel ocupa uma posição definida,
podemos escrever:
S = f (t)
Na representação por meio de um gráfico,
marcamos no eixo x vários instantes e no eixo y as
posições ocupadas pelo móvel nos instantes cor-respondentes.
Observe que o gráfico não nos dá a
trajetória, mas como o movimento ocorreu, é possível
que um móvel que descreve uma trajetória retilínea
tenha por gráfico uma curva.
`` Exemplo
1) Um móvel tem, como função horária, a seguinte
equação S = 5 + 5 t (SI) ; montaremos o gráfico entre
os instantes t0=0 e t4=4s, construindo uma tabela:
tempo posição tempo posição
0s 5m 3s 20m
1s 10m 4s 25m
2s 15m
25
20
15
10
5
1 2 3 4 t(s)
S(m)
Como já era previsível, obtivemos, com o gráfico do
movimento, uma reta; realmente, sendo a função horária
uma equação de 1.º grau, a representação gráfica seria,
obrigatoriamente, uma reta.

`` Exemplo
2) Um móvel tem como função horária a seguinte
equação S = 5 + 5 t 2 (SI); montaremos o gráfico
entre os instantes t0=0 e t3=3s e outra vez, cons-truindo
a tabela:
tempo posição
0s 5m
1s 10m
2s 25m
3s 50m
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
5
1 2 3 4 t(s)
S(m)
Como já era previsível, obtivemos, com o gráfico do mo-vimento,
uma curva; realmente, sendo a função horária
uma equação de 2.º grau, a representação gráfica seria,
obrigatoriamente, uma curva.
É preciso que se tome muito cuidado com os
conceitos matemáticos já adquiridos. Toda equação
de 1.º grau é representada graficamente por uma
reta e toda equação de 2.º grau é representada por
uma curva.
Existem vários tipos de curvas: circunferência,
parábola, elipse, hipérbole, catenária etc. Cada uma
delas tem uma equação, não do 1.º grau, diferente.
Por exemplo:
a) a representação gráfica da equação x2 + y2 = a
é uma circunferência;
b) a representação gráfica da equação a
y = x
é uma hipérbole equilátera (muito cuidado:
essa equação não é de 1.º grau);
c) a representação gráfica da equação ax2+bx
+c = y é uma parábola.
Velocidade escalar média
A velocidade escalar média representa a razão
entre a variação de posição e o intervalo de tempo
gasto nesse movimento:
t S
v =
As suas unidades são:
1) No SI: m/s ou ms– 1
2) No CGS: cm/s ou cms– 1 ,
1 m/s = 10 2 cm/s
3) Outras: km/h ou kmh– 1,
1 km/h =
1
3,6 m/s ou
36 km/h = 10 m/s;
nó (milha por hora) = 1,85km/h
Esta última é muito usada em navegação e, por
isso, usamos a milha marítima (1 milha marítima =
1 852m); existe a milha terrestre (1 milha terrestre
= 1 609m ).
É importante para os exercícios envolvendo or-dem
de grandeza conhecermos algumas velocidades
médias, para que possamos fazer comparações:
v de um caramujo = 1mm/s
v de um pedestre = 1,6m/s
v de um nadador = 1,7m/s
v da gota de chuva = 9m/s
v de um corredor = 10m/s
v de um navio = 50km/h
v de um avião = 900km/h
A velocidade escalar média, como o próprio
nome indica, nos dá a ideia de como o movimento
total entre duas posições foi realizado.
Velocidade média
A velocidade média representa a razão entre
o deslocamento e o intervalo de tempo gasto nesse
movimento
002
S FIS_V =
mt
V_EM_3 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

4
EM_V_FIS_002
Vamos usar um exemplo para concretizar essas
ideias.
Um carro viaja da cidade de São Paulo para a
cidade do Rio de Janeiro e retorna, em seguida, para
São Paulo, gastando, no total dessa viagem, 10 ho-ras.
A sua velocidade escalar média (v) é zero, pois
saiu de uma dada posição e no final do movimento
ocupa a mesma posição de onde partiu ( S f= S i
S = 0 );a sua velocidade média (vm) é de 80km/h,
pois percorreu o espaço de 800km (400 na ida e 400
na volta) em 10h.
Em ambos os casos, temos uma ideia geral de
como o movimento aconteceu, mas não sabemos
como decorreu a viagem em cada intervalo de tem-po,
isto é, se aproveitando a descida o motorista
desenvolveu uma velocidade maior do que 80km/h,
se houve um congestionamento e ele reduziu essa
velocidade para 40km/h, se durante a viagem o carro
parou para que o motorista trocasse um pneu furado
ou para tomar um lanche.
Gráfico da velocidade
pelo tempo
Como visto no tópico anterior, o gráfico da posi-ção
em função do tempo, para um móvel cuja função
horária é S = 5 + 2t (SI), é dado por:
25
20
15
10
5
S(m)
1 2 3 4 t(s)
Observando esse gráfico, podemos ver que a
tangente do ângulo poderia ser escrita como a
relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente
a ele, isto é, tg = St
; isso fisicamente correspon-de
à equação da velocidade, mostrando que, num
gráfico de S . t, a tangente à curva representa a
velocidade.
Instante
O instante representa um intervalo de tempo
tão pequeno quanto se consiga ou, usando uma
linguagem matemática, t tende para zero, isto é, a
diferença de tempo entre o instante final e o instante
inicial é tão pequena, que se aproxima de zero; note
bem que ela não é zero, mas chega bem perto desse
valor, para os parâmetros definidos.
Dentro da Matemática usamos um processo
definido como limite para calcular essas situações.
Velocidade escalar instantânea
Voltemos ao exemplo anterior; se quisermos
saber, em cada instante, qual era a velocidade do
carro, vamos dividir o intervalo de tempo de 10h em
porções tão pequenas quanto possível e observar o
comportamento da velocidade.
Dizemos que a velocidade escalar instantânea
corresponde ao limite da razão entre variação de po-sição
e o intervalo de tempo, quando esse intervalo
de tempo tende para zero.
v = lim
S ou v = lim v
t 0 t
t 0
Conceito de derivada e
significado geométrico
Em matemática definimos a derivada de uma
função como sendo o limite da variação dessa função
em um intervalo que tende a zero. Então, quando
escrevemos
v = lim v
t 0
podemos, usando o conceito de derivada, dizer
que
v = dS
dt
ou, a velocidade instantânea representa a deri-vada
da posição em função do tempo.
O gráfico seguinte refere-se ao segundo exem-plo
do tópico anterior.
`` Exemplo
1) Um móvel tem como função horária a seguinte
equação S = 5 + 5 t 2 (SI); montaremos o gráfico
entre os instantes t 0 = 0 e t 3 = 3s e outra vez, cons-truindo
a tabela:
tempo posição tempo posição
0s 5m 2s 25m
1s 10m 3s 50m

55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
S(m)
5
1 2 3 4 t(s)
-5
St
A curva, agora, é um arco de parábola; traçando-se a
reta r , tangente à curva que passa pelo ponto 3s , vamos
ter, novamente tg = , representando a velocidade
naquele instante, ou seja, a velocidade escalar instantânea
em t = 3s.
Aceleração escalar média
A aceleração escalar média representa a razão
vt
entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo
gasto nessa variação a– = .
As suas unidades são:
1) No SI : m/s 2 ou ms – 2
2) No CGS : cm/s 2 ou cms – 2 ,
1 m/s 2 = 10 2 cm/s 2
Aceleração
escalar instantânea
Dizemos que a aceleração escalar instantânea
corresponde ao limite da razão entre variação de velo-cidade
e o intervalo de tempo quando esse intervalo
tende para zero.
a = lim t 0
Vt
ou
a = lim a
t 0
Podemos, usando novamente o conceito de de-rivada,
dizer:
_
(0,1) = =
002
FIS_V_EM_a= dv
dt
5 ou, a aceleração instantânea representa a deri-vada
da velocidade em função do tempo.
Movimento
retilíneo uniforme
Dizemos que um móvel executa movimento
retilíneo uniforme (MRU), relativamente a um dado
sistema de referência, quando a sua trajetória pode
ser considerada uma reta e sua velocidade perma-nece
inalterada.
Consideremos um móvel que percorre a trajetó-ria
no eixo Ox da figura abaixo.
O S0
t0
S1
t1
S2
t2
x
Se iniciarmos as nossas observações no instante
em que ele está na posição S0, dispararemos nesse
instante um cronômetro e consideraremos t0=0. Ao
passar pela posição S1 o cronômetro registrará o ins-tante
t1(t1> t0) e ao passar pela posição S2 teremos o
instante t2 (t2 > t1).
A velocidade escalar média do móvel, entre os
instantes t1 e t0 será:
S(0,1)
t(0,1) t1 - t0
v
S1 - S0
Como a velocidade não varia, podemos dizer
que a velocidade escalar média é a mesma em to-dos
os instantes, isto é, ela será igual à velocidade
instantânea e tendo admitido t0=0s, escrevemos:
v = S1 - S0
t1
ou S1 – S0 = v t1, donde
S1 = S0 + v t1
Para o ponto S2 teremos S2 = S0 + v t2 e genera-lizando
para um instante t qualquer, teremos:
S = S0 + v t
que é a equação horária do MRU
Como pode ser notado, ao escolhermos, arbi-trariamente,
um instante t0, podemos ter instantes
positivos ou negativos mas, como t será sempre o
instante final menos o instante inicial, t será obri-gatoriamente
positivo; quanto a S, ele poderá ser
positivo, se a posição final tiver um valor maior que
a posição inicial ou negativo, em caso contrário.
Se
Sfinal - Sinicial
v= t podemos afirmar que o sinal
de v só dependerá do sinal de S; se S > 0 v > 0
(movimento progressivo) e se S < 0 v < 0 (movi-mento
retrógrado).

6
EM_V_FIS_002
t
S
S0
Nesse gráfico, a velocidade é negativa, já que
o ângulo entre a reta e o eixo t é de 2.º ou 4.º qua-drante,
o que caracteriza uma tangente negativa; o
movimento é retrógrado.
Como a velocidade é constante, o gráfico da velo-cidade
para esse movimento será sempre uma paralela
ao eixo do tempo.
t
v
v
t1 t2
A área sombreada representa a variação de
posição S entre os instantes t 1 e t 2.
Como a aceleração escalar média é definida
_
= vt
como a
, e sendo a velocidade constante, v será
igual a zero e o gráfico da aceleração para esse
movimento _
será sempre uma reta sobre o eixo do
tempo (a
= a).
a
t
a
1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Para filmar um botão de rosa
que desabrocha e transforma-se numa rosa aberta,
foram tiradas fotografias de 2 em 2 horas. Essas fotos,
projetadas à razão de 24 fotos/segundo, mostraram
todo o transcurso acima descrito em 2 segundos. O
desabrochar da rosa ocorreu realmente em um número
de horas igual a:
a) 6
b) 12
c) 24
d) 48
e) 96
Um caso bastante importante e com grande in-cidência
nas provas vestibulares, é a situação teórica
de um móvel que executa dois ou mais movimentos
com velocidades constantes e distintas.
Considere, por exemplo, um móvel que partindo
de uma posição S0 com velocidade constante v1, atin-ge
a posição S1 no instante t1 . Nesse momento, muda
instantaneamente para uma velocidade v2 , também
constante. Num instante t2, atinge uma posição S2,
tal que S2– S1 = S1 – S0 e S2 – S0= d .
O S0
t0
S1
t1
S2
t2
x
d / 2 d / 2
Vamos determinar a v(0,2) =
SS– S(0,2) t=
2 0
t– t(0,2)
2 0 Como t2 – t0 = (t2 – t1) + (t1 – t0) e
(t2 – t1)=
S2 – S1
v2
e (t1 – t0)=
S1 – S0
v1
v(0,2) = d
d/2 + d/2
v2 v1
= d
d(v1+v2)
2v1v2
ou v(0,2) =
2v1v2
v1+v2
Se tivermos n trechos iguais, cada um percorrido
com velocidade constante, podemos escrever:
1
v
_ 1
n
1 + 1 + ... + 1
v1 v2
vn
=
que representa a média geométrica das veloci-dades
em cada trecho.
Gráficos do MRU
Como vimos anteriormente, a equação horária
do MRU é S = S 0 + v t, e sendo essa equação de 1.º
grau, concluímos que a representação gráfica S x t do
MRU será uma reta oblíqua traçada pelo ponto S0.
t
S
S0
Nesse gráfico, como a velocidade corresponde
ao coeficiente linear da reta, ela é positiva, já que
o ângulo entre a reta e o eixo t é de 1.º ou 3.º qua-drante,
o que caracteriza uma tangente positiva; o
movimento é progressivo.

`` Solução:
Como o tempo total de projeção foi de 2s podemos
concluir que foram projetadas 48 fotos; como o intervalo
de tempo (t) entre duas fotos é de 2 horas, podemos
escrever
t real 48 . 2 horas = 96 horas
Letra E
2. (Unificado) Uma formiga movimenta-se sobre um fio
de linha. Sua posição (S) varia com o tempo, conforme
mostra o gráfico.
0 2,0 4,0 6,0
t(s)
O deslocamento entre os instantes t = 0s e t = 6,0s é:
a) 0,5cm
b) 1,0cm
c) 1,5cm
d) 2,0cm
e) 2,5cm
S(cm)
6,0
4,0
2,0
`` Solução:
Pelo gráfico vemos que t0=0 S0=2,0cm e t1=6,0s
S1=1,0cm ; então, como S = S1–S0 , S = 1,0 – 2,0
S = –1,0cm; a variação de posição é de –1,0cm ,
mas quando se fala em deslocamento considera-se o
valor absoluto.
Letra B
3. (FEI-SP) A posição de um ponto varia no tempo con-forme
a tabela:
s (m) 25 21 17 13 9 5
t (s) 0 1 2 3 4 5
A equação horária desse movimento é:
a) s = 4 - 25t
b) s = 25 + 4t
c) s = 25 - 4t
d) s = -4 + 25t
e) s = -25 - 4t
`` Solução:
Vamos montar um gráfico
25
21
17
13
9
5
s(m)
0 1 2 3 4 5
t(s)
Como o gráfico nos mostra uma reta, a posição é uma
função linear onde o termo independente vale 25 e o co-eficiente
linear da reta (tg ) vale tg = 5 - 25
5 - 0
= -20
5
tg = –4; a equação será, então s = 25 – 4t
Letra C
4. (UFRJ) Um foguete foi lançado da Terra com destino a
Marte. Na figura abaixo estão indicadas as posições da
Terra e de Marte, tanto no instante do lançamento do
foguete da Terra, quanto no instante de sua chegada a
Marte. Observe que, a contar do lançamento, o foguete
chega a Marte no instante em que a Terra completa 3/4
de uma volta em torno do Sol.
Marte no instante
de chegada
Terra no instante
de chegada
Sol
Terra no instante
do lançamento
Marte no instante
do lançamento
Calcule quantos meses durou a viagem desse foguete
da Terra até Marte.
`` Solução:
Como pode ser observado na figura, o intervalo de tempo
da viagem do foguete é igual ao intervalo de tempo gasto
pela Terra para percorrer 3
4 da sua órbita em torno do
Sol. Como para a Terra chamamos esse intervalo de
tempo de 1 ano ou 12 meses, temos:
tfoguete = 34
002
. 12 meses t= 9 meses.
FIS_foguete V_EM_7 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

8
EM_V_FIS_002
5. (Cesgranrio) Um fabricante de automóveis anuncia que
determinado modelo atinge 80km/h em 8 segundos (a
partir do repouso). Isso supõe uma aceleração média
próxima de:
a) 0,1m/s 2
b) 3m/s 2
c) 10m/s 2
d) 23m/s 2
e) 64m/s 2
`` Solução:
Se o automóvel parte do repouso, sua velocidade inicial
(v 0) é igual a 0; sua velocidade final (v) será transformada
em m/s para que a resposta possa ser dada em m/s 2 ;
então, v = 80
_
= vt
3,6 m/s v = 22, 22m/s; como a
tere-mos
_
= 22,22 - 0
a
8
_
= 2,78; como os dados foram
ou a
apresentados com 2 AS e 1 AS, tendo feito uma divisão,
a resposta só poderá conter um algarismo significativo.
Letra B .
6. (UEL-PR) A velocidade escalar média de um automóvel,
num percurso de 300km, foi de 60km/h. Então, é válido
afirmar que:
a) em uma hora o automóvel percorreu 60km.
b) a velocidade do automóvel, em qualquer instante,
não foi, em módulo, inferior a 60km/h.
c) a velocidade do automóvel, em qualquer instante,
não foi superior a 60km/h.
d) se o automóvel manteve durante 2h a velocidade
média de 50km/h, deve ter mantido durante mais
2h a velocidade média de 100km/h.
e) se o automóvel percorreu 150km com velocidade
média de 50km/h, deve ter percorrido os outros
150km com velocidade média de 75km/h.
`` Solução:
Opção A errada: o valor da velocidade média não
representa nem a velocidade em um instante, nem a
velocidade média em um intervalo de tempo durante
a viagem.
Opção B errada: a velocidade instantânea pode ter tido
qualquer valor, inclusive zero.
Opção C errada: a velocidade instantânea pode ter tido
qualquer valor, maior ou menor do que a velocidade
média.
Opção D errada: se o percurso foi de 300km e sua velo-cidade
média foi de 60km/h, o tempo gasto no percurso
S ou 300
foi de t = v
t = 60 donde Δt = 5h;
como a opção relata 2h para o primeiro movimento e 2h
para o segundo, o tempo de viagem seria de 4h.
Opção E certa: o percurso total nos dá 300km que é o
dado no exercício; no primeiro movimento teríamos
150
50
t 1= t 1 =3h; no segundo teríamos ⇒ Δ
150
t 75 2= t 2 = 2h; como o tempo total é a soma
t1 + t 2 teríamos ttotal = 5h, que é o tempo calculado
na opção D.
7. (MACK -SP) Um carro faz um percurso de 140km em 3h.
Os primeiros 40km ele faz com certa velocidade escalar
média e os restantes 100km com velocidade média que
supera a primeira em 10km/h. A velocidade média nos
primeiros 40km foi de:
a) 50km/h
b) 47km/h
c) 42km/h
d) 40km/h
e) 28km/h
`` Solução:
A velocidade escalar média nos primeiros 40km será tal
que t1= 40
v _
; a velocidade escalar média nos 100km
seguintes será tal que 100
v _
t + 10 2= ; como o tempo total
de movimento foi de 3h, teremos Δt 1 + Δt 2 = 3h ou
substituindo 40
v _
+ 100
v _
+ 10
= 3; resolvendo-se a equação
de segundo grau teremos, como raízes, 40 e – 10
3 ; não
interessando a resposta negativa, diremos então que
v
_
= 40m/s.
Letra D
8. (PUC-SP) Numa corrida de carros, suponha que o ven-cedor
gastou 1h 30min para completar o circuito, desen-volvendo
uma velocidade média de 240km/h, enquanto
que um outro carro, o segundo colocado, desenvolveu
a velocidade média de 236km/h. Se a pista tem 30km,
quantas voltas o carro vencedor chegou à frente do 2.º
colocado?
a) 0,2 volta.
b) 0,4 volta.
c) 0,6 volta.
d) 0,8 volta.
e) 1,2 voltas.
`` Solução:
O primeiro carro terá S1 = 30n onde n representa o
número de voltas que ele deu no intervalo de tempo Δ

t=1h 30min; o segundo carro terá S2 = 30n’ onde n’
representa o número de voltas que ele deu no mesmo in-tervalo
de tempo Δt , já que uma corrida de carros termina
quando o primeiro colocado recebe a bandeirada.
Como v _
= St
podemos escrever, para o primeiro carro,
240 = 30n
1,5
observando que as unidades estão coerentes
(v em km/h , comprimento da pista em km e o tempo
foi passado para horas); portanto n = 240 . 1,5
30
ou
n = 12 voltas; repetindo o mesmo cálculo para o segundo
carro, vem 236= 30n'
1,5 e portanto n’ = 236 . 1,5
30 ou
n’ = 11,8 voltas; então, a diferença no instante da che-gada
foi x = n – n’ x = 0,2 volta.
Letra A.
9. (FGV-SP) Um batalhão de infantaria sai do quartel para
uma marcha de exercícios às 5 horas da manhã, ao passo
de 5km/h. Depois de uma hora e meia, uma ordenança
sai do quartel de jipe para levar uma informação ao
comandante da marcha, ao longo da mesma estrada,
a 80km/h. Quantos minutos a ordenança levará para
alcançar o batalhão?
a) 11min.
b) 1min.
c) 5,625min.
d) 3,5min.
e) 6min.
`` Solução:
Aplicando a equação de posição para o batalhão e para
a ordenança:
batalhão Sf = S0 + 5 t b onde tb é o tempo gasto pelo
batalhão.
ordenança Sf = S0 + 80 t o onde t o é o tempo gasto pela
ordenança.
Tendo ambos partido do quartel, S0 é o mesmo e como
vão se encontrar, isto é, ocupar uma mesma posição,
Sf também é o mesmo ou 5tb= 80 to e, simplificando,
tb=16 to.
O tempo de marcha do batalhão vale o tempo de viagem
do jipe mais o intervalo de tempo entre os dois inícios; en-tão
tb = t o + 1,5 e substituindo 16 to = to + 1,5, donde
15 to = 1,5 ⇒ t o = 0,1h; como o exercício pede em
minutos to = 0,1 . 60min ⇒ to = 6min
Letra E
10. (U.F.MG) Duas esferas se movem em linha reta e
com velocidades constantes ao longo de uma régua
centimetrada. Na figura estão indicadas as velocidades
das esferas e as posições que ocupavam num certo
instante.
5cm/s 3cm/s
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
As esferas irão colidir na posição correspondente a:
a) 15cm
b) 17cm
c) 18cm
d) 20cm
e) 22cm
`` Solução:
Chamaremos a esfera preta de 1 e a branca de 2;
esfera 1: S= 10cm; v= 5cm/s
01
1 esfera 2: S02
= 14cm; v2 = 3cm/s
Como a foto mostra um dado instante e elas vão se en-contrar,
os tempos de movimento são iguais; as equações
horárias serão S1= S01
+ v1t e S2= S02
+ v2t; no ponto de
encontro S1= S2 e, portanto, S01
+ v1t = S02
+ v2t.
Substituindo os valores teremos 10 + 5 t = 14 + 3 t ou
2t = 4 ou t = 2 s; para calcular o ponto de encontro pode-mos
usar a equação da esfera 1 ou da 2; usando a 1.
S1 = 10 + 5 . 2 ⇒ S1 = 20cm
Letra D
11. (UEL-PR) Duas cidades, A e B, distam entre si 400km.
Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B;
no mesmo instante, parte de B outro móvel O dirigindo-se
a A. Os móveis P e O executam movimentos uniformes
e suas velocidades escalares são de 30km/h e 50km/h,
respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de
encontro dos móveis P e O, em km, vale:
a) 120
b) 150
c) 200
d) 240
e) 250
`` Solução:
002
Como haverá encontro as posições finais dos móveis
FIS_serão iguais; montaremos o esquema

10
EM_V_FIS_002
vp v0
A 400km B
Considerando-se S= 0 e S0P
0O
= 400 estaremos orien-tando
o eixo e admitindo que é positivo para a direita;
como os módulos das velocidades de P e O são 30 e 50
e tendo os móveis partido no mesmo instante (t= t= t),
POescrevemos suas equações horárias
S= S+ 30t e S= S+ (– 50)t; igualando:
p0p
O0O
0 + 30t = 400 – 50t ou 80t = 400 ⇒ t = 5h; como o
exercício pede a distância de A à posição do encontro,
podemos fazer para o móvel P:
Sp= 0 + 30 x 5 ⇒ Sp= 150km. Resposta letra B, já que
adotamos o ponto A como referencial.
12. (EMC-RJ) Uma substância injetada na veia da região
dorsal da mão vai até o coração, com velocidade média
de 20cm/s e retorna ao ponto de partida, por via arterial
de igual percurso, com velocidade média de 30cm/s.
Logo, podemos concluir que:
a) a velocidade média no percurso de ida e volta é
24cm/s;
b) o tempo gasto no trajeto da ida é igual ao de volta;
c) a velocidade média do percurso de ida e volta é de
25cm/s;
d) a velocidade média no trajeto de ida e volta é de
28cm/s.
e) nenhuma das respostas anteriores.
`` Solução:
Como a distância percorrida na veia é igual à distância
percorrida na artéria, podemos usar 2vavv
_
= onde
va + vv
v
va é a velocidade média na artéria e vv é a velocidade
média na veia, ficando v _
= 2 . 30 . 20
30 + 20
, ou v _
= 1 200
50
_
= 24m/s
e, portanto, v
Letra A
13. (AMAN) Uma representação gráfica aproximada da
velocidade em função do tempo desenvolvida por um
motorista típico carioca é apresentada na figura abaixo.
Qual a velocidade média no percurso correspondente
ao intervalo de tempo entre t = 0 e t = 240s?
SINAL FECHADO SINAL FECHADO
km/h
t(seg)
120
120 180 240
60
0 60
Obs: Os trapézios são iguais e a base menor é
desconhecida.
a) 120km/h
b) 80km/h
c) 65km/h
d) 35km/h
e) 15km/h
`` Solução:
Dado um gráfico v x t, a área sob a curva nos dá a va-riação
de posição (Δ S). A base superior, desconhecida,
será chamada de b; teremos, então Δ S = 2 . área do
trapézio ou S = 2 . (60 + b) . 120
2
o que resolvendo dá
S = (60+b) 120 ; como a velocidade escalar média
é v _
= St
240 v _
= (60 + b) . 120
ou (60 + b)
v _
=
2 v _
= 30 + b
2
; apesar de b ser desconhecido, o gráfico nos
_
os
mostra que 0 < b < 60 ; substituindo na equação de v
_
< 60.
valores limítrofes de b, obteremos: 30 < v
Letra D
É interessante notar que, apesar do tempo estar em
segundos e a velocidade em km/h, não precisamos fazer
transformação de unidades; se quiser ter certeza da nossa
afirmativa pegue a expressão a e coloque as unidades:
(60 + b)s .120 km/h 240s v _
= ; facilmente se nota que 60
e b estão expressos em segundos, que _
vai eliminar a
unidade s do denominador; com isso, v
estará expressa
em km/h.
14. (UFCE) Um automóvel move-se numa estrada conforme
o gráfico v X t na figura abaixo.
90
60
30
1 2 3 4 5
v(km/h)
t(h)
Determine a velocidade média, em km/h, após 5h.
`` Solução:
No gráfico v X t a área sob a curva nos dá a variação de
posição (ΔS); então Δ S total = Δ S (0,1) + Δ S (1,3) + ΔS (3,5)
e, portanto,
Δ S total = ( 30 . 1 ) + ( 90 . 2 ) + ( 60 . 2 )
Δ S total = 30 + 180 + 120 = 330; como a velocidade
escalar média é v _
_
= ou v
t 330
= S
5
v
_
= 66km/h .

15. (FM ABC-SP) O gráfico ao lado mostra o espaço (s) de
um corpo em função do tempo (t).
S
t
A partir deste gráfico, podemos afirmar que a velocidade
escalar do corpo é:
a) constante, diferente de zero.
b) uniformemente crescente.
c) uniformemente decrescente.
d) variável, sem uniformidade.
e) constante e sempre nula.
`` Solução:
Como o gráfico S X t é uma reta, podemos dizer que a
velocidade é constante, positiva e diferente de zero.
Letra A
16. (UFRJ) A coruja é um animal de hábitos noturnos que
precisa comer vários ratos por noite.
Um dos dados utilizados pelo cérebro da coruja para
localizar um rato com precisão é o intervalo de tempo
entre a chegada de um som emitido pelo rato a um
dos ouvidos, e a chegada desse mesmo som ao outro
ouvido.
Imagine uma coruja e um rato, ambos em repouso; num
dado instante, o rato emite um chiado. As distâncias da
boca do rato aos ouvidos da coruja valem d 1 = 12,780m
e d 2 = 12,746m.
Sabendo que a velocidade do som no ar é de 340m/s,
calcule a intervalo de tempo entre as chegadas do chiado
aos dois ouvidos.
`` 1.ª Solução (gráfica):
Como num gráfico v X t a a área corresponde ao Δ S, no
gráfico abaixo a área sombreada representa a diferença
d1 – d2 . Admitida a velocidade do som no ar constante
podemos ver que d 1 – d 2 = 340 (t1 – t2) e substituindo
pelos valores dados, teremos : 12,780 – 12,746 = 340
(t1 – t2) donde (t1 – t2 ) = 1,00 . 10 – 4s.
v (m/s)
t1 t2
340
t
`` 2.ª Solução (analítica):
Como consideramos a velocidade do som no ar cons-tante,
podemos escrever Δ S = vt ; para d1 teremos d1=
340t1 e para d2 teremos d2= 340t2; subtraindo as duas
expressões vem d1– d2= 340 (t1– t2)e substituindo pelos
valores do exercício 12,780 – 12,746 = 340 (t1– t2) donde
(t1– t2) = 1,00 x 10– 4 s.
1. (FESP-SP) Das afirmações :
I. Uma partícula em movimento em relação a um re-ferencial
pode estar em repouso em relação a outro
referencial.
II. A forma da trajetória de uma partícula depende do
referencial adotado.
III. Se a distância entre dois corpos permanece constan-te,
então um está em repouso em relação ao outro.
São corretas:
a) apenas I e II.
b) apenas III.
c) apenas I e III.
d) todas.
e) apenas II e III.
2. (Covest-PE) Um atleta caminha com uma velocidade
escalar constante dando 150 passos por minuto. O atleta
percorre 7,2km em 1,0h com passos do mesmo tamanho.
O comprimento de cada passo vale:
a) 10cm
b) 60cm
11 EM_V_FIS_002

12
EM_V_FIS_002
c) 80cm
d) 100cm
e) 120cm
3. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um relógio de ponteiros
funciona durante um mês. Nesse período, o ponteiro
dos minutos terá dado um número de voltas mais apro-ximadamente
igual a:
a) 3,6 x 102
b) 7,2 x 102
c) 7,2 x 105
d) 3,6 x 105
e) 7,2 x 106
4. (UERJ) Na figura abaixo, o retângulo representa a janela
de um trem que se move com velocidade constante e
não-nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento
do trem em relação ao solo.
Dentro do trem, um passageiro sentado nota que
começa a chover. Vistas por um observador em repouso
em relação ao solo terrestre, as gotas da chuva caem
verticalmente. Na visão de um passageiro sentado
no lado esquerdo do trem, a alternativa que melhor
descreve a trajetória das gotas através da janela é :
a)
b)
c)
d)
5. (AMAN-RJ) A posição de um ponto material varia no
decurso do tempo de acordo com o gráfico.
10
5
s (m)
1 2 3 4 5 6 7 t (s)
Qual será o espaço percorrido no intervalo de tempo
entre 2 e 4 segundos e o instante em que o móvel passa
pela origem ?
6. (FGV-SP) A equação da posição de um móvel, no SI, é
dada por S = 20t – 5 t2 . Em que instantes, em segundos,
a posição desse móvel é S = 0 ?
a) 0 e 2
b) 0 e 4
c) 2 e 4
d) 3 e 6
e) 2 e 6
7. (AFA) Assinale a alternativa correta.
a) Um satélite artificial em órbita da Terra é um corpo
em repouso.
b) Um passageiro sentado, no interior de um trem, pa-rado
na plataforma, está em repouso.
c) Os conceitos de movimento e repouso dependem de
referenciais que também devem estar em repouso.
d) Um corpo poderia estar em movimento, em relação
a um referencial e em repouso, em relação a outro.
8. (ASSOCIADO-RJ) Entre os gráficos seguintes, o único
que apresenta uma situação impossível é :
a) S
o t
b)
S
o t

c) S
o t
d)
S
o t
9. (AFA) De uma aeronave em movimento retilíneo e unifor-me,
uma bomba é abandonada em queda livre. A trajetó-ria
dessa bomba, em relação à aeronave, será um:
a) arco de elipse.
b) arco de parábola.
c) segmento de reta.
d) ramo de hipérbole.
10. (UERJ) A figura abaixo representa uma escuna atracada
ao cais.
Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro
– ponto O. Nesse caso, ela cairá ao pé do mastro–ponto
Q. Quando a escuna estiver se afastando do cais, com
velocidade constante, se a mesma bola for abandonada
do mesmo ponto O, ela cairá no seguinte ponto da
figura :
a) P
b) Q
c) R
d) S
11. (Cesgranrio) Os dois corpos P e Q são ligados por um
fio inextensível que passa por cima da roldana fixa R.
Quando o sistema está em movimento, as distâncias y1
e y2, mostradas na figura, variam.
R
O
y1
y2
P
Q
Qual das alternativas abaixo melhor representa o gráfico
de y1 em função de y2 ?
a)
y1
y2
b)
y1
y2
c)
y1
y2
d)
y1
y2
e)
y1
002
FIS_y2

14
EM_V_FIS_002
12. (UFRJ) Um ônibus parte do Rio de Janeiro, às 13:00
horas e termina sua viagem em Varginha, Minas Gerais,
às 21:00 horas do mesmo dia. A distância percorrida do
Rio de Janeiro a Varginha é de 400km.
Calcule a velocidade escalar média do ônibus nessa
viagem.
13. (UEL-PR ) Um automóvel mantém uma velocidade esca-lar
constante de 72,0km/h. Em uma hora e dez minutos
ele percorre, em km, uma distância de:
a) 79,2
b) 80,0
c) 82,4
d) 84,0
e) 90,0
14. (PUC-RS) Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta
a uma velocidade de 72km/h quando acionou os freios
e parou em 4,0s. A aceleração imprimida à motocicleta
pelos freios foi, em módulo, igual a:
a) 72km/h2
b) 4,0m/s2
c) 5,0m/s2
d) 15m/min2
e) 4,8km/h2
15. (UFPE) Um automóvel que vinha a 72km/h é freado e
para em 2,0s. Qual o valor absoluto da aceleração média
do automóvel durante a freada?
a) zero
b) 3,6m/s2
c) 72m/s2
d) 10m/s2
e) 13m/s2
16. (EFOMM) Um móvel está com aceleração de 10m/s2.
Isto significa que:
a) a cada segundo, ele percorre 10m.
b) em cada segundo, sua velocidade varia de102m/s.
c) em cada segundo, ele percorre 102m.
d) em cada segundo, sua velocidade varia de 10m/s.
e) a velocidade não varia, pois a aceleração é cons-tante.
17. (UFCE - adaptado) Um automóvel move-se em uma
autoestrada retilínea observado por um sistema de radar,
de tal modo que sua posição em função do tempo é
representada no gráfico a seguir.
x(m)
100
80
60
40
20
0 1 2 3 4 5 6 7
t (s)
Entre t1= 2,0s e t2= 3,0s houve uma pane no sistema de
observação e nada foi registrado no gráfico. Determine
o módulo da velocidade escalar média no intervalo de
tempo entre t1 e t2.
18. (UFRS) O gráfico mostra as posições (x) de dois móveis,
A e B, em função do tempo (t). Os movimentos ocorrem
ao longo do eixo Ox. Analisando o gráfico, pode-se
verificar que :
x (m)
4
2
A
B
0 2 4 6 t (s)
a) em nenhum instante o móvel A possui velocidade
instantânea nula.
b) o movimento do móvel B é uniformemente variado.
c) o móvel B alcança o móvel A no instante t = 4s.
d) o módulo da velocidade instantânea do móvel A é
sempre maior do que o do B.
e) no instante t = 3s, o módulo da velocidade instantâ-nea
do móvel B é maior do que a do A.
19. (PUC-RJ) Um carro avança com velocidade constante
cujo módulo vale 80km/h. Que distância percorre o carro
em 15 minutos?
20. (UGF-RJ) Um carro passou pelo marco 24km de uma
estrada, às 12 horas e 7 minutos. A seguir, passou pelo
marco 28km da mesma estrada às 12 horas e 11 minutos.
A velocidade média do carro entre as duas passagens
pelos dois marcos foi, em km/h, de aproximadamente :
a) 12
b) 24
c) 28
d) 60
e) 80

21. (Integrado-RJ) Um objeto, movendo-se em linha reta,
ocupa a posição 5m, em relação a um referencial, no
instante 0,2s. No instante 0,5s, a posição ocupada, em
relação ao mesmo referencial, é 8m. A velocidade média
do objeto, nesse intervalo de tempo é, em m/s:
a) 10
b) 13
c) 16
d) 25
e) 43
22. (MACK-SP) Sejam M e N dois pontos de uma reta e P
o ponto médio de MN. Um homem percorre MP com
velocidade constante de 4,0m/s e PN com velocidade
constante de 6,0m/s. A velocidade média do homem
entre M e N é:
a) 4,8m/s
b) 5,0m/s
c) 5,2m/s
d) 4,6m/s
e) n.d.a.
23. (FEMC-RJ) Um carro vai do Rio a São Paulo com a
velocidade média de 60km/h e volta com a velocidade
média de 40km/h. Logo, para ir e voltar gastando o
mesmo tempo, a velocidade deverá ser de:
a) 70km/h
b) 40km/h
c) 45km/h
d) 50km/h
e) 48km/h
24. (UFRN) Um móvel percorre uma estrada retilínea AB,
onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido e
com movimento uniforme em cada um dos trechos AM
e MB. A velocidade no trecho AM é de 100km/h e no
trecho MB é de 150km/h.
A M B
A velocidade média entre os pontos A e B vale:
a) 100km/h
b) 110km/h
c) 120km/h
d) 130km/h
e) 150km/h
25. (UEL-PR) Um trem de 200m de comprimento, com
velocidade escalar constante de 60km/h, gasta 36s
para atravessar completamente uma ponte. A extensão
da ponte, em metros, é de:
a) 200
b) 400
c) 500
d) 600
e) 800
26. (UEL-PR) Duas cidades, A e B, distam entre si 400km.
Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B;
no mesmo instante, parte de B outro móvel O dirigindo-se
para A. Os móveis P e O executam movimentos
uniformes e suas velocidades escalares são de 30km/h
e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao
ponto de encontro dos móveis P e O, em km, vale:
a) 120
b) 150
c) 200
d) 240
e) 250
27. (Fuvest) Um ônibus sai de São Paulo às 8h e chega a
Jaboticabal, que dista 350km da capital, às 11h30min.
No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente
45km, sua velocidade foi constante e igual a 90km/h.
a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São
Paulo/Jaboticabal?
b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí/
Campinas?
28. (UERJ) A velocidade normal com que uma fita de vídeo
passa pela cabeça de um gravador é de, aproximadamente,
33mm/s.
Assim, o comprimento de uma fita de 120 minutos de
duração corresponde a cerca de:
a) 40m
b) 80m
c) 120m
d) 240m
29. (PUC) Um trem de passageiros sai de uma estação e
trafega à velocidade de 70km/h. Outro trem parte, no
mesmo instante, de uma estação distante 100km da
primeira e viaja na direção oposta à do trem de passa-geiros
com velocidade de 30km/h. Em quantos minutos
irão se encontrar?
15 EM_V_FIS_002

16
EM_V_FIS_002
30. (EN) Um trem e um automóvel viajam paralelamente,
no mesmo sentido, em um trecho retilíneo. Os seus
movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel
é o dobro da do trem. Considerando-se desprezível o
comprimento do automóvel e sabendo-se que o trem
tem 100m de comprimento, qual a distância (em metros)
percorrida pelo automóvel desde o instante em que
alcançou o trem e o instante em que o ultrapassou?
a) 100
b) 200
c) 250
d) 400
e) 500
31. (PUC) Sobre uma estrada encontram-se dois carros
movendo-se com velocidades de 60km/h e 40km/h.
Num certo instante a distância entre eles era 50km.
Determinar quanto tempo depois os carros se encontram
em cada um dos casos abaixo:
a) Os carros viajam em sentidos contrários.
b) Os carros viajam no mesmo sentido.
32. (PUC) Ao passar do verde para o vermelho, um sinal de
trânsito permanece durante 4s no amarelo. Durante esse
intervalo de tempo, que distância percorre um automóvel
que trafega a 54km/h?
33. (MACK-SP) Os módulos das velocidades dos móveis,
cujas equações horárias estão representadas através dos
gráficos (I) e (II) abaixo são, respectivamente:
20
10
0 1 2 3
(I)
x(m)
t(s)
20
10
0 1 2 3
(II)
x(m)
t(s)
4
a) zero e 10m/s
b) 5m/s e zero
c) 10m/s e 5m/s
d) 10m/s e zero
e) 20m/s e 20m/s
34. (UFRN) Um móvel desloca-se em MRU, cujo gráfico
v X t está representado na figura abaixo.
V (m/s)
t (s)
10
0 1 2 3 4
Determine o valor do deslocamento do móvel entre os
instantes t = 2,0s e t = 3,0s.
a) zero
b) 10m
c) 20m
d) 30m
e) 40m
35. (UFPR)
S (m)
t (s)
Dado o diagrama horário do movimento de um ponto
material, podemos afirmar que:
a) a função horária do espaço é S = 30 + 10 t.
b) o ponto material move-se sempre em trajetória cur-vilínea.
c) o ponto material muda o valor da sua velocidade no
instante t = 3s.
d) o ponto material muda o sentido de sua velocidade
no instante t = 3s.
e) o deslocamento entre os instantes t = 0s e t = 3s
é ΔS = 30m.
36. (FGV-SP) O gráfico abaixo representa a velocidade
de um ciclista em função do tempo, num determinado
percurso.
24
12
1 2 3 t (h)
v
(km/h)
A velocidade média do ciclista foi, em km/h:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22

37. (EMC-RJ) Dois móveis partem simultaneamente de um
ponto A, em movimentos retilíneos uniformes, na mes-ma
direção mas com sentidos opostos, tendo ambos a
mesma velocidade. Caso você pretendesse representar
graficamente a variação da distância entre os dois mó-veis,
em função do tempo, obteria:
a) uma exponencial.
b) uma parábola.
c) uma reta que passa pela origem dos eixos.
d) uma reta paralela ao eixo das abscissas.
e) uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
38. (EFOMM) O gráfico desta questão ilustra a velocidade
de um certo móvel
v (m/s)
t (s)
5 10 15 20
80
50
30
Calcule, em m/s, o valor aproximado de sua velocidade
média de 0 a 15s.
a) 62
b) 57
c) 51
d) 45
e) 43
39. (Unitau-SP) O gráfico abaixo mostra como a posição de
um corpo varia com o tempo.
S (cm)
t (s)
002
FIS_A velocidade, no instante t = 5s, vale:
V_EM_17 a) zero
b) 20cm/s
c) 40cm/s
d) 90cm/s
e) 100cm/s
40. (ESPCEX) Dois móveis, M e N, deslocam-se numa
mesma reta. Suas posições, em função do tempo, estão
registradas no gráfico abaixo:
S (m)
t (s)
Com base nele, o encontro dos móveis M e N dá-se
no instante:
a) 10s
b) 5s
c) 20s
d) 8s
e) 9s
41. (Cesgranrio) Um automóvel percorre 180km com velo-cidade
média de 40km/h. Um outro carro faz o mesmo
percurso, partindo meia hora depois do primeiro. Se
os dois carros chegam juntos ao final do percurso, a
velocidade média do segundo carro é :
a) 35km/h
b) 45km/h
c) 50km/h
d) 55km/h
e) 70km/h
1. (FCM-RJ) O gráfico a seguir representa a posição de
um móvel em função do tempo.

18
EM_V_FIS_002
t (s)
20
10
–10
–20
S (m)
0 1 2 3 4 5
Com base no gráfico, calcule :
a) quanto o móvel percorreu efetivamente no intervalo
de tempo entre 0 e 5s.
b) o instante em que o móvel passa pela origem dos
espaços.
c) o espaço percorrido pelo móvel enquanto em mo-vimento
progressivo.
d) o espaço percorrido pelo móvel enquanto em mo-vimento
retrógrado.
2. (UFPB) Um observador, situado em um veículo que se
move para a direita com velocidade v, deixa cair uma
pedra.
a)
b)
c)
d)
e)
Qual dos gráficos acima melhor representa o movimento
dessa pedra, do ponto de vista de um segundo
observador que se move, também para a direita, com
velocidade v em relação ao primeiro?
3. (UERJ) Um avião se desloca com velocidade constante,
como mostrado na figura:
Ao atingir uma certa altura, deixa cair um pequeno objeto.
Desprezando-se a resistência do ar, as trajetórias
descritas pelo objeto, vistas por observadores no avião
e no solo, estão representadas por :
Observador no avião Observador no solo
a)
b)
c)
d)
e)
(PUC-RS) Esta explicação se refere aos exercícios 4 e 5.
Dois móveis, A e B, percorreram uma trajetória retilínea,
conforme as equações horárias SA= 30 + 20t e
SB= 90 – 10t, sendo a posição S em metros e o tempo
t em segundos.
4. No instante t = 0s, a distância entre os móveis, em me-tros,
era de:
a) 30
b) 50
c) 60

d) 80
e) 120.
5. O instante de encontro dos dois móveis, em segundos,
foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6. (Cesgranrio) Um trem anda sobre trilhos horizontais
retilíneos com velocidade constante igual a 80km/h.
No instante em que o trem passa por uma estação, um
objeto, inicialmente preso ao teto do trem, cai.
v = 80km/h
A trajetória do objeto, vista por um passageiro parado
dentro do trem, será :
a)
b)
c)
d)
e)
7. (Cesgranrio) Em relação à situação descrita na pergunta
anterior, qual é a trajetória do objeto vista por um ob-servador
parado na estação?
(A seta imediatamente abaixo representa o sentido do
movimento do trem para esse observador).
a)
b)
c)
d)
e)
8. (AFA). O gráfico abaixo representa o deslocamento de
duas partículas A e B.
Obs: considerar as retas paralelas.
Pela interpretação do gráfico pode-se afirmar que as
partículas partem de (do):
a) pontos diferentes com velocidades diferentes.
b) mesmo ponto com a mesma velocidade.
c) mesmo ponto com velocidades diferentes.
d) pontos diferentes com a mesma velocidade.
9. (Cesgranrio) O gráfico mostra como varia, com o tempo
(t), o nível da água (h) em um recipiente, inicialmente va-zio,
o qual se enche com uma bica de vazão constante.
Nível da água (h)
002
FIS_V_Tempo
EM_19 H
T T
2
H2

20
EM_V_FIS_002
O recipiente utilizado foi um dos cinco representados
nas opções propostas. Assinale-o .
a)
H
b)
H
c)
H
d)
H
e)
H
10. (Fuvest) Um filme comum é formado por uma série de
fotografias individuais que são projetadas à razão de
24 imagens (ou quadros) por segundo, o que nos dá a
sensação de um movimento contínuo. Esse fenômeno
é devido ao fato de que nossos olhos retêm a imagem
por um intervalo de tempo um pouco superior a 1/20
de segundo. Essa retenção é chamada de persistência
da retina.
a) Numa projeção de filme com duração de 30 segun-dos,
quantos quadros são projetados ?
b) Uma pessoa, desejando filmar o desabrochar de
uma flor cuja duração é de, aproximadamente, 6,0
horas, pretende apresentar esse fenômeno num
filme de 10 minutos de duração. Quantas fotogra-fias
individuais do desabrochar da flor devem ser
tiradas ?
11. (UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um
passageiro decide calcular a velocidade escalar média do
ônibus. Primeiramente, verifica que os marcos indicativos
de quilometragem na estrada estão dispostos de 2,0 em
2,0km. O ônibus passa por três marcos consecutivos e o
passageiro observa que o tempo gasto pelo ônibus entre
o primeiro marco e o terceiro é de 3 minutos.
Calcule a velocidade escalar média do ônibus nesse
trecho da viagem, em km/h.
12. (Cesgranrio) Um certo tipo de foguete, partindo do
repouso, atinge a velocidade de 12km/s após 36s. Qual
foi sua aceleração média, em km/s2, nesse intervalo de
tempo?
a) 0
b) 3
c) 2
d) 1/2
e) 1/3
13. (Cesgranrio) Uma linha de ônibus urbanos tem um trajeto
de 25km. Se um ônibus percorre esse trajeto em 85 minu-tos,
a sua velocidade média é aproximadamente de:
a) 3,4km/h
b) 50km/h
c) 18km/h
d) 110km/h
e) 60km/h
Os exercícios 14, 15 e 16 referem-se ao seguinte
enunciado.
(UGF-RJ) Nos gráficos a seguir são representadas as
distâncias x à origem, em uma trajetória retilínea, em
função do tempo t.
I.
x
t
II.
x
t
III.
x
t

IV.
x
t
V.
x
t
14. Em quais dos movimentos acima representados a velo-cidade
da partícula adquire o valor zero ?
a) I e V
b) II e V
c) III e IV
d) III e V
e) I e IV
15. Em qual dos movimentos acima representados a veloci-dade
da partícula pode ter valores negativos ?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
16. Em qual dos movimentos acima a aceleração é nula ?
a) I e V
b) I e II
c) III e IV
d) IV e V
e) IV
17. (UGF-RJ) Um ponto móvel está em x = 10m quando
t = 0 s; em x = – 14m quando t = 12s e em x = 4,0m
quando t = 20s. Qual o módulo da velocidade média
do ponto no decurso dos primeiros 12s e no percurso
total ?
a) 2,0m/s e 0,30m/s;
b) 4,0m/s e 8,0m/s;
c) 2,0m/s e 3,0m/s;
d) 6,0m/s e 8,0m/s;
e) 3,0m/s e 0,30m/s.
18. (FATEC-SP) Nos diagramas horários I e II, a compa-ração
das velocidades instantâneas v 1 em t1 , v2 em t2 ,
v3 em t3 e v4 em t4 resulta :
s (m)
t t (s) 1 t2
s (m)
t t (s) 3 t4
a) v1 > v2 e v3 > v4
b) v1 < v2 e v3 = v4
c) v1 = v2 e v3 = v4
d) v1 > v2 e v3 = v4
e) v1 < v2 e v3 < v4
19. (UFRJ) Em sua viagem da descoberta da América, Cris-tovão
Colombo gastou 37 dias para ir das Ilhas Canárias
até a Ilha de Guanahani, num percurso de cerca de
6 000km, conforme indica o mapa.
Escala 1:150.000.000
0 1500 3000 6300
km
Calcule, em km/h, a velocidade escalar média das cara-velas
de Colombo nesse trecho da viagem.
20. (UFRJ) O gráfico abaixo mostra a abscissa da posição
de uma partícula que se move ao longo do eixo x em
função do tempo t e destaca três instantes distintos
t 1 , t 2 e t 3 .
x(m)
002
FIS_V_EM_t 5 t10 15 t20 t(s)
1 2 3 21 10

22
EM_V_FIS_002
Coloque em ordem crescente os valores das velocidades
escalares instantâneas da partícula nos instantes t1 , t2
e t3. Justifique sua resposta.
21. (ITA-SP) Um motorista deseja perfazer a distância de
20km com a velocidade média de 80km/h. Se viajar
durante os 15 minutos com a velocidade de 40km/h, com
que velocidade deverá fazer o percurso restante?
a) 120km/h.
b) 160km/h.
c) é impossível atingir a velocidade média desejada
nas circunstâncias apresentadas.
d) nula.
e) nenhuma afirmação é correta.
22. (AFA) Dois trens A e B, de comprimentos A e B,
deslocam-se no mesmo sentido, em linhas paralelas,
com velocidades escalares constantes de módulos vA e
vB, respectivamente. O intervalo de tempo t gasto pelo
trem A para ultrapassar B é dado por :
a) A – B
vA – vB
b) A – B
vA + vB
c) A + B
vA + vB
d) A + B
vA – vB
23. (AFA) Uma estrada de ferro retilínea liga duas cidades
A e B separadas por uma distância de 440km. Um trem
percorre esta distância com movimento uniforme em 8h.
Após 6h de viagem, por problemas técnicos, o trem fica
parado 30 minutos. Para que a viagem transcorresse
sem atraso, a velocidade constante, em km/h, que o
trem deveria percorrer o restante do percurso seria de
aproximadamente:
a) 55,0
b) 61,2
c) 73,3
d) 100,0
24. (AFA) Uma esteira rolante com velocidade v, transporta
uma pessoa de A para B em 15s. Essa mesma distân-cia
é percorrida em 30s se a esteira estiver parada e a
velocidade da pessoa for constante e igual a vp. Se a
pessoa caminhar de A para B, com a velocidade vp sobre
a esteira em movimento, o tempo gasto no percurso, em
segundos, será:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 30
25. (FAC MED – UFRJ) Um móvel parte de um ponto A,
passa por B e atinge C, sempre em movimento retilíneo
uniforme. Sabendo-se que a distância AC é de 100m e
que a diferença entre as distâncias AB e BC é de 20m,
podemos concluir que a relação entre os tempos gastos
para percorrer o maior e o menor trecho será:
a) 2 para 1
b) 3 para 2
c) 4 para 1
d) 4 para 3
e) 5 para 1
26. (Fuvest) Após chover na cidade de São Paulo, as águas da
chuva descerão o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo
cerca de 1 000km. Sendo de 4km/h a velocidade média
das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas
águas da chuva em, aproximadamente:
a) 30 dias.
b) 10 dias.
c) 25 dias.
d) 2 dias.
e) 4 dias.
(CIAGA-RJ) Um avião iraniano decola da base aérea de
Teerã e, 5 minutos depois, é detectado pelo radar de
um porta-aviões americano fundeado no Golfo Pérsico.
Sabemos que o radar emite ondas eletromagnéticas de
rádio-frequência e que o sinal emitido leva 3 × 10–4 s
(segundos) para atingir o alvo e retornar à antena do
radar.
27. Qual a distância do alvo ao porta-aviões no instante da
detecção?
a) 90km
b) 45km
c) 180km
d) 60km
e) 100km
28. O porta-aviões lança um míssil contra o avião, 2 minutos
após a detecção. Qual o tempo até o impacto, supondo a
velocidade do avião 540km/h e a do míssil 1 800km/h e
que ambos se deslocam na mesma direção em sentidos
contrários?
a) 60,00s
b) 15,24s
c) 27,74s

d) 85,46s
e) 41,54s
29. Qual a distância do ponto de impacto ao porta-aviões?
a) 30 715m
b) 20 769m
c) 6 535m
d) 28 325m
e) 13 845m
30. (FAC CIENC MED – UEG) Uma substância injetada
numa veia, na altura do cotovelo, chega ao coração em
t1 segundos e leva mais t2 segundos para atingir a língua.
A velocidade média da circulação sanguínea no trajeto
braço-língua é proporcional:
a) ao tempo t1
b) ao tempo t2
c) ao tempo t1 + t2
d) ao quadrado de t1 + t2
e) ao inverso de t1 + t2
31. (UFRJ) Duas pessoas partem simultaneamente de um
dos extremos de uma pista retilínea, com o objetivo de
ir ao outro extremo e retornar ao ponto de partida. Uma
se desloca correndo e a outra andando, ambas com
movimentos uniformes. Transcorridos 30min, a distân-cia
entre elas é 5,0km. Decorridos mais 30min, elas se
cruzam no meio da pista.
Desprezando o tempo da virada no extremo oposto ao
da partida, calcule a extensão da pista.
32. (PUC) A tabela abaixo fornece os dados de uma viagem
feita por um móvel, em três intervalos independentes e
na sequência 1, 2 e 3.
INTERVALO
DURAÇÃO DO
INTERVALO
(h)
VELOCIDADE
(km/h)
1
2
3
0,10
0,40
0,20
20
60
20
a) Construir o gráfico da velocidade, em km/h, em
função do tempo, em h.
b) Calcular a distância total percorrida pelo móvel.
c) Indicar no gráfico o tempo que o móvel gasta para
percorrer os primeiros 11km.
33. (UF. Juiz de Fora) Num laboratório de Física, um pes-quisador
002
FIS_observou os movimentos de duas partículas e
V_EM_representou a variação da posição de cada uma delas
no tempo, de acordo com o gráfico a seguir:
23 A partir do gráfico, pode-se afirmar que:
a) a partícula A está subindo e a partícula B está des-cendo.
b) as duas partículas estão se deslocando no mesmo
sentido com velocidades iguais.
c) a partícula B é mais lenta que a partícula A e tem
sentido oposto a esta.
d) a partícula A é mais rápida que B e se desloca no
mesmo sentido desta.
e) a partícula B é mais rápida que A e tem sentido
oposto a esta.
(UMC) O gráfico abaixo mostra, em função do tempo,
a posição de dois estudantes A e B que caminham
no mesmo sentido, pela mesma calçada, em trajetórias
retilíneas e paralelas.
Com base no gráfico, resolva as questões que se
seguem.
34. Determine a velocidade escalar do estudante A.
35. Determine a velocidade escalar do estudante B.
36. Determine a distância que A percorreu até ser alcançado
por B.
37. (PUC) A posição de um corpo, em movimento ao longo
de uma trajetória retilínea, varia em função do tempo,
de acordo com o diagrama abaixo, onde S é medido em
metros e t em segundos.

24
EM_V_FIS_002
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
–5,0
–10,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
S
t
A velocidade média do corpo, no intervalo de tempo de
1,0s a 5,0s, tem valor:
a) 6,25m/s
b) –6,25m/s
c) 7,50m/s
d) – 7,50m/s
e) 8,33m/s
38. (Associado) Um botânico, estudando o efeito da auxina
sob ação de luz, observa que nos dia de chuva a planta
cresce 0,5mm por dia e nos dias de Sol, 1,5mm por
dia. Construa o gráfico da velocidade de crescimento
da planta, sabendo-se que choveu nos dois primeiros
dias da semana, fez Sol nos três seguintes, choveu no-vamente
no sexto dia e no último dia fez Sol; determine
também a altura atingida pela planta.
39. (Integrado) Considere duas cidades A e B. De 20 em
20 minutos sai um ônibus de A para B e um de B para
A, contínua e simultaneamente. Os ônibus gastam 1
hora para fazer o percurso. Um certo ônibus cruzará,
na estrada, com quantos outros?

1. A
2. C
3. B
4. A
5. O espaço percorrido entre 2 e 4s é zero e ele passa pela
origem no instante 6s.
6. B
7. D
8. C
9. C
10. B
11. D
12. v = 50km/h
13. D
14. C
15. D
16. D
17. A posição inicial é S2 = 80m e a posição final é S3 = 80m;
aplicando 80 – 80
v = v = 3 – 2 = 0
1
; v = 0
18. E
19. = 20km.
20. D
21. A
22. A
23. E
24. C
25. B
26. B
27.
002
a) v =1 00km/h
FIS_V_b) t = 0,5h
EM_25 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

26
EM_V_FIS_002
28. D
29. t = 60min.
30. Vamos fazer um diagrama, mostrando a situação inicial,
quando o carro começa a ultrapassar o trem até o ins-tante
da ultrapassagem completa:
O diagrama nos mostra que Scarro= Strem+ trem; teremos
então vcarro t = vtrem t + trem e como vcarro=2vtrem ,
2vtrem t = vtrem t + 100 ⇒ vtrem t = 100 ou Strem= 100m ;
usando Scarro= Strem+ trem vem Scarro= 100 + 100 ou
Scarro= 200m
Letra B
31.
a) Fazendo o diagrama:
A 60km/h 40km/h B
50km/h
Como os tempos de movimento são iguais, podemos
então escrever:
SA + SB = 50km ou vA t + vB t = 50 ⇒ 60 t + 40
t = 50 ⇒ 100 t = 50 ou t = 0,5h
(quando se usa a expressão do S , o sinal é dado pelo
diagrama)
b) Fazendo o diagrama:
A 60km/h B 40km/h
50km/h
SA
SB
STREM
Como os tempos de movimento são iguais, podemos
então escrever:
SA = SB + 50km ou vA t = vB t + 50 ⇒ 60 t – 40
t = 50 ⇒ 20 t = 50 ou t = 2,5h
(confirmamos: quando se usa a expressão do S, o sinal
é dado pelo diagrama)
32. Como o automóvel tem velocidade constante:
S = 15 x 4 = 60m .
33. D
34. B
35. E
36. D
37. C
38. A
39. C
40. A
41. B
1.
a) 60m.
b) t = 1,5s .
c) 20m.
d) 40m.
2. B
3. C
4. C
5. B
6. A
7. C
8. D
9. Inicialmente o nível de água varia lentamente, depois
aumenta taxa de variação e finalmente o nível volta a
variar lentamente. Portanto, as áreas são grandes no
início e no fim e menores no meio, o que corresponde
à letra B.
10.
a) 720 quadros
b) 14 400 quadros.
11. v = 80km/h.
12. E

13. C
14. C
15. C
16. D
17. A
18. D
19. v = 6,8km/h.
20. Como a velocidade instantânea é dada pela tangente
do ângulo formado entre a linha tangente à curva no
instante considerado e o eixo dos tempos, traçando-se
essa linha tangente nos instantes t1, t2 e t3 verificamos
que o ângulo formado em t1 é maior do que o ângulo
formado em t3, e este é maior do que o ângulo forma-do
em t2 ( você pode ver que em t2 a linha tangente é
praticamente paralela ao eixo dos tempos, o que quer
dizer que o ângulo é zero e, portanto, a velocidade nesse
instante é zero ); portanto, v1 > v3 > v2.
A justificativa só pode ser pela ideia da derivada:
como o que foi dito acima corresponde à significação
geométrica da derivada, a velocidade instantânea é
dada pela derivada da posição em função do tempo ou
seja v = dS
dt
.
21. C
22. D
23. C
24. B
25. B
26. Como S = v t, substituindo pelos valores dados na
questão teremos 1 000 = 4 x t e portanto t = 250h;
montando a regra de três:
1 dia ≡ 24h
y ≡ 250h
teremos y = 10,42
ou aproximadamente 10 dias (opção B).
27. B
28. E
29. B
30. Considerando-se o caminho percorrido como Δ S B L
podemos escrever:
SBL = vΔt onde Δ t = t1 + t2; a velocidade do sangue
fica, então:
v Δt =
SBL
t1+ t2
; como SBL é constante v Δ+ ∝ =
1
t1+ t2
A B
A B
002
FIS_(opção E)
V_EM_27 31. Fazendo um diagrama e chamando vc à velocidade do
que corre e va à velocidade do que anda:
em 30min de movimento (Δt = 0,5 h)
5km
SC
SA
VA VC
SC= SA+ 5km ou vcx 0,5 = vAx 0,5 + 5 ⇒ 0,5 (vC– v A)
= 5 ⇒ vC – vA = 10 ( I )
em mais 30min de movimento (t = 1h)
VA VC
AB
2
AB
2
SĆ = 3
AB
2
e SÁ = 3
AB
2
⇒ SĆ = 3 SÁ
vC x 1 = 3 x vA x 1 ou vC = 3vA e substituindo em ( I )
3 vA – vA = 10 ⇒ vA = 5km/h
Como S’A =
AB
2
= vA x 1 ⇒ AB = 2 x 5 = 10km.
32.
Para S’ = 11km, deveremos ter o 1.º intervalo de tempo
( S0;10 = 2,0km) mais um pedaço do segundo, já que
S0;10; 0.50 = 60 x 0,40 = 24km; então:
S’ = S0; 0,10+ S0,10; T = 2,0 + (T – 0,10) 60 = 11 e,
portanto,
T – 0,10 = 11– 2
60
⇒ T – 0,10 = 0,15 ou T = 0,25h
33. E
34. vA = St
= 5 – 1
1
⇒ vA = 4,0km/h
35. vB = St
= 5 – 0
1
⇒ vB = 5,0km/h
36. dA = S1 – S2 = 5 – 1 = 4km
37. B
38. Construindo o gráfico Vf(t)

28
EM_V_FIS_002 Dias da
semana
Como a área sob a curva nos dá S, calculamos as 4
áreas:
S0;2 = 0,50 x 2 = 1,0mm
S2;5 = 1,5 x 2 = 4,5mm
S5;6 = 0,50 x 1 = 0,50mm
S6;7 = 1,5 x 1 = 1,5mm; o crescimento total será a
soma dessas áreas:
S total = 7,5mm
39. Construímos um gráfico S = f(t) colocando no eixo x os
instantes de partida dos ônibus; no próprio eixo x estará
a partida dos ônibus de A ; traçamos uma paralela ao
eixo x que mostrará, nos mesmos instantes, as partidas
de ônibus de B; as linhas pontilhadas representam
então, alguns dos ônibus que partem de B e as linhas
cheias representam alguns dos ônibus que partem de A;
peguemos, como caso genérico, o ônibus que parte de
A no instante 0; observa-se facilmente que ele cruzará,
na estrada, com 5 ônibus que saem de B.

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