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Derivadas
Derivadas
(24-03-2009 e 31-03-2009)
Derivadas Matem´atica II 2008/2009
Derivadas
Recta Tangente
Seja C uma curva de equa¸c˜ao y = f(x). Para determinar a recta
tangente a C no ponto P de coorde...
Derivadas
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) ´e a
recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao
m = lim
...
Derivadas
Velocidade
Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordo
com a equa¸c˜ao y = s(t), onde s ´e o d...
Derivadas
A velocidade m´edia nesse intervalo ´e
velocidade m´edia =
deslocamento
tempo
=
s(a + h) − s(a)
h
que ´e igual `...
Derivadas
Suponha que a velocidade m´edia ´e calculada em intervalos cada
vez menores [a, a + h], isto ´e, fazemos h tende...
Derivadas
Taxa de varia¸c˜ao
(Recordemos...)
Suponha que y ´e uma quantidade que depende de outra
quantidade x. Assim, y ´...
Derivadas
Consideremos as taxas m´edias de varia¸c˜ao em intervalos cada vez
menores (fazendo h tender para 0, logo ∆x ten...
Derivadas
Assim, a velocidade de uma part´ıcula ´e a taxa de varia¸c˜ao do
deslocamento em rela¸c˜ao ao tempo.
Seja R = R(...
Derivadas
Derivadas
O limite da forma
lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
surge sempre que calculamos uma taxa de varia¸c˜ao em v´ar...
Derivadas
Algumas nota¸c˜oes alternativas para a derivada da fun¸c˜ao y = f(x):
f′
(x), y
′
,
dy
dx
,
df
dx
Por exemplo, s...
Derivadas
Assim,
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) ´e a
recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao m...
Derivadas
Em aulas anteriores j´a determin´amos a derivada de algumas
fun¸c˜oes. Por exemplo, vimos que a derivada da fun¸...
Derivadas
Fazendo uma an´alise ao gr´afico da fun¸c˜ao constante f(x) = c
observamos que o gr´afico ´e a recta horizontal y ...
Derivadas
Derivada de uma fun¸c˜ao constante
Se f(x) = c, para c uma constante, ent˜ao f′(x) = 0.
Exemplos
Se f(x) = 5 ent...
Derivadas
Iremos apresentar a derivada de v´arias fun¸c˜oes sem fazer a
respectiva demonstra¸c˜ao.
Regra da potˆencia
Se n...
Derivadas
Fun¸c˜ao exponencial f(x) = ex
Se f(x) = ex ent˜ao f′(x) = ex.
Fun¸c˜ao exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a = 1...
Derivadas
Fun¸c˜ao logaritmo neperiano f(x) = ln x
Se f(x) = ln x ent˜ao f′(x) = 1
x.
Fun¸c˜ao logaritmo de base a f(x) = ...
Derivadas
Fun¸c˜ao seno
Se f(x) = sin x ent˜ao f′(x) = cos x.
Fun¸c˜ao cosseno
Se f(x) = cos x ent˜ao f′(x) = − sin x.
Qua...
Derivadas
Constante c a multiplicar por uma fun¸c˜ao g
Se f(x) = cg(x) ent˜ao f′(x) = cg′(x).
Exemplos
Se f(x) = 3x ent˜ao...
Derivadas
Soma de fun¸c˜oes
Se f(x) = g(x) + h(x) ent˜ao f′(x) = g′(x) + h′(x), i.e,
[g(x) + h(x)]′
= g′
(x) + h′
(x)
”a d...
Derivadas
Multiplica¸c˜ao de fun¸c˜oes
Se f(x) = g(x)h(x) ent˜ao f′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x), i.e,
[g(x)h(x)]′
= g′
(x)h...
Derivadas
Quociente de fun¸c˜oes
Se f(x) =
g(x)
h(x)
ent˜ao f′(x) =
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
, i.e,
g(x)
h(x)
′
=
g′(...
Derivadas
g(x)
h(x)
′
=
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
Exemplo
Se f(x) =
cos x
2x
ent˜ao
f′(x) =
cos x
2x
′
=
(cos x)′(2x) ...
Derivadas
Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes
Se f(x) = g(x) ◦ h(x) ent˜ao f′(x) = g′(h(x)).h′(x), i.e,
[g(x) ◦ h(x)]′
= g′
(h(x)).h...
Derivadas
Tabela de Derivadas
f = f(x), g = g(x) fun¸c˜oes, c =constante e α =uma constante
n˜ao nula
(c)′ = 0 (ef )′ = f′...
Derivadas
Exerc´ıcios
1 Determine uma equa¸c˜ao da recta tangente `a par´abola
y = x2 + 1 nos pontos indicados.
(a) (0, 1)...
Derivadas
Monotonia de uma fun¸c˜ao
Se uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente ...
Derivadas
Extremos de uma fun¸c˜ao
M´aximo
Uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tem um m´aximo local (ou m´aximo relativo)
em c se f(c) ≥...
Derivadas
M´ınimo
Uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tem um m´ınimo local (ou m´ınimo relativo)
em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver na...
Derivadas
Os valores m´aximos e m´ınimos locais de uma fun¸c˜ao f s˜ao
chamados extremos locais.
A derivada f′(x) pode mud...
Derivadas
Exemplo
Esta fun¸c˜ao tem dois m´aximos locais, um em x = a e outro em
x = c. Em x = a a derivada ´e zero e em x...
Derivadas
Como determinar m´aximos e m´ınimos locais de uma fun¸c˜ao f
1 Calcular f′(x).
2 Determinar os valores cr´ıticos...
Derivadas
Exemplo
Determinar os m´aximos e m´ınimos locais de
f(x) = 1
3 x3 − x2 − 3x + 2.
1 Calculemos f′(x). f′(x) = x2 ...
Derivadas
Exemplo (cont.)
3 Calculemos f′(x) em alguns valores de x `a esquerda e `a
direita de cada valor cr´ıtico (fazen...
Derivadas
Exemplo (cont.)
Pela an´alise gr´afica podemos confirmar a localiza¸c˜ao do m´aximo e
do m´ınimo.
Derivadas Matem´...
Derivadas
Se a primeira derivada de f for zero no valor cr´ıtico c mas n˜ao
mudar de positiva para negativa ou de negativa...
Derivadas
Aplica¸c˜ao: Rectˆangulo de ´area m´axima
Suponhamos o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos ...
Derivadas
A ´area ´e dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectˆangulos distintos com ...
Derivadas
Vamos escrever a fun¸c˜ao ´area como uma fun¸c˜ao de uma s´o
vari´avel.
Como o per´ımetro ´e 100 metros, temos
2...
Derivadas
Determinemos o(s) m´aximo(s) da fun¸c˜ao ´area
A(x) = x(50 − x) = −x2
+ 50x
Comecemos por determinar a sua deriv...
Derivadas
Calculemos A′(x) em valores de x `a esquerda e `a direita de x = 25
(fazendo um quadro de sinais).
A′
(24) = 2 >...
Derivadas
Conclu´ımos que os quatro lados tˆem o mesmo comprimento e a
´area m´axima ´e atingida se o rectˆangulo for um q...
Derivadas
Aplica¸c˜ao: Rectˆangulo de per´ımetro m´ınimo
Suponhamos agora o seguinte problema.
Pretende-se determinar as m...
Derivadas
A ´area ´e dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectˆangulos distintos com ...
Derivadas
Vamos escrever a fun¸c˜ao per´ımetro como uma fun¸c˜ao de uma s´o
vari´avel.
Como a ´area ´e 100 metros, temos
x...
Derivadas
Determinemos o(s) m´ınimo(s) da fun¸c˜ao per´ımetro
P(x) = 2x +
200
x
Comecemos por determinar a sua derivada.
P...
Derivadas
Calculemos P′(x) em valores de x `a esquerda e `a direita de x = 10
(fazendo um quadro de sinais).
P′
(9) = −
38...
Derivadas
Conclu´ımos que os quatro lados tˆem o mesmo comprimento e o
per´ımetro m´ınimo ´e atingido se o rectˆangulo for...
Derivadas
Exerc´ıcio
A receita semanal de um filme lan¸cado recentemente ´e dada por
R(t) =
50t
t2 + 36
, t ≥ 0
onde R est´...
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Matemática básica derivada e integral

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Matemática básica derivada e integral

  1. 1. Derivadas Derivadas (24-03-2009 e 31-03-2009) Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  2. 2. Derivadas Recta Tangente Seja C uma curva de equa¸c˜ao y = f(x). Para determinar a recta tangente a C no ponto P de coordenadas (a, f(a)), i.e, P(a, f(a)), come¸camos por considerar um ponto Q(x, f(x)), com x = a e calculamos a inclina¸c˜ao da recta secante PQ: mP Q = f(x) − f(a) x − a Depois, ”aproximamos o ponto Q” do ponto P, fazendo x tender para a. Se mP Q tender para um n´umero m, ent˜ao definimos a recta tangente t como a recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao m. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  3. 3. Derivadas A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) ´e a recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao m = lim x→a f(x) − f(a) x − a ( ou m = lim h→0 f(a + h) − f(a) h ) desde que esse limite exista. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  4. 4. Derivadas Velocidade Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordo com a equa¸c˜ao y = s(t), onde s ´e o deslocamento do objecto a partir da origem. A fun¸c˜ao s que descreve o movimento ´e chamada fun¸c˜ao posi¸c˜ao do objecto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a + h, a varia¸c˜ao na posi¸c˜ao ser´a de s(a + h) − s(a) Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  5. 5. Derivadas A velocidade m´edia nesse intervalo ´e velocidade m´edia = deslocamento tempo = s(a + h) − s(a) h que ´e igual `a inclina¸c˜ao da recta secante PQ. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  6. 6. Derivadas Suponha que a velocidade m´edia ´e calculada em intervalos cada vez menores [a, a + h], isto ´e, fazemos h tender para 0. Definimos velocidade (ou velocidade instantˆanea), v(a), no instante t = a como o limite dessas velocidades m´edias: v(a) = lim h→0 s(a + h) − s(a) h Assim, a velocidade no instante t = a ´e igual `a inclina¸c˜ao da recta tangente a y = s(t) em P(a, s(a)). Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  7. 7. Derivadas Taxa de varia¸c˜ao (Recordemos...) Suponha que y ´e uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y ´e uma fun¸c˜ao de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de a para a + h, ent˜ao a varia¸c˜ao de x ´e ∆x = (a + h) − a = h e a varia¸c˜ao correspondente de y ´e ∆y = f(a + h) − f(a) O quociente ∆y ∆x = f(a + h) − f(a) h designa-se por taxa m´edia de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x no intervalo [a, a + h]. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  8. 8. Derivadas Consideremos as taxas m´edias de varia¸c˜ao em intervalos cada vez menores (fazendo h tender para 0, logo ∆x tende para 0). O limite das taxas m´edias de varia¸c˜ao ´e designado por taxa (instantˆanea) de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x em x = a. lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim h→0 f(a + h) − f(a) h se este limite existir. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  9. 9. Derivadas Assim, a velocidade de uma part´ıcula ´e a taxa de varia¸c˜ao do deslocamento em rela¸c˜ao ao tempo. Seja R = R(x) a fun¸c˜ao de receita total para um produto. Definimos receita marginal para um produto como a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de R em rela¸c˜ao a x. Assim, Se a fun¸c˜ao receita total para um produto for dada por y = R(x), onde x ´e o n´umero de unidades vendidas, ent˜ao, a receita marginal para a unidades ´e dada por lim h→0 R(a + h) − R(a) h desde que esse limite exista. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  10. 10. Derivadas Derivadas O limite da forma lim h→0 f(a + h) − f(a) h surge sempre que calculamos uma taxa de varia¸c˜ao em v´arias ´areas de estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, s˜ao dados a ele um nome e uma nota¸c˜ao especiais. Defini¸c˜ao A derivada de uma fun¸c˜ao f num ponto a, denotada por f′(a), ´e f′ (a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h se o limite existir. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  11. 11. Derivadas Algumas nota¸c˜oes alternativas para a derivada da fun¸c˜ao y = f(x): f′ (x), y ′ , dy dx , df dx Por exemplo, sendo y = f(x) = sin x ent˜ao a derivada pode ser designada por f′ (x) = cos x, y′ = cos x, dy dx = cos x, df dx = cos x Iremos utilizar mais a nota¸c˜ao f′(x). Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  12. 12. Derivadas Assim, A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) ´e a recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao m = f′(a). (´E a recta de equa¸c˜ao: y − f(a) = f′(a)(x − a) ) Se y = s(t) for a fun¸c˜ao posi¸c˜ao de um objecto, ent˜ao a velocidade do objecto no instante t = a, v(a), ´e s′(a). A taxa de varia¸c˜ao (instantˆanea) de y = f(x) em rela¸c˜ao a x quando x = a ´e f′(a). Se a fun¸c˜ao receita total para um produto for dada por y = R(x), onde x ´e o n´umero de unidades vendidas, ent˜ao, a receita marginal para a unidades ´e R′(a). Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  13. 13. Derivadas Em aulas anteriores j´a determin´amos a derivada de algumas fun¸c˜oes. Por exemplo, vimos que a derivada da fun¸c˜ao f(x) = ex ´e f′(x) = ex, a derivada de g(x) = ln x ´e g′(x) = 1 x , a derivada de h(x) = sin x ´e h′(x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x ´e m′(x) = − sin x. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  14. 14. Derivadas Fazendo uma an´alise ao gr´afico da fun¸c˜ao constante f(x) = c observamos que o gr´afico ´e a recta horizontal y = c, cuja inclina¸c˜ao ´e 0, logo devemos ter f′(x) = 0. Por defini¸c˜ao podemos constatar que tal se verifica: f′(x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 c − c h = lim h→0 0 h = 0 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  15. 15. Derivadas Derivada de uma fun¸c˜ao constante Se f(x) = c, para c uma constante, ent˜ao f′(x) = 0. Exemplos Se f(x) = 5 ent˜ao f′(x) = 0. Se f(x) = 1 3 ent˜ao f′(x) = 0. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  16. 16. Derivadas Iremos apresentar a derivada de v´arias fun¸c˜oes sem fazer a respectiva demonstra¸c˜ao. Regra da potˆencia Se n for um n´umero real qualquer, ent˜ao para f(x) = xn vem f′(x) = nxn−1. Exemplos Se f(x) = x ent˜ao f′(x) = 1x0 = 1 Se f(x) = x2 ent˜ao f′(x) = 2x1 = 2x Se f(x) = x3 ent˜ao f′(x) = 3x2 Se f(x) = x 1 3 ent˜ao f′(x) = 1 3 × x(1 3 −1) = 1 3 × x− 2 3 Se f(x) = 1 x2 ent˜ao f(x) = x−2 logo f′(x) = −2x(−2−1) = −2x−3 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  17. 17. Derivadas Fun¸c˜ao exponencial f(x) = ex Se f(x) = ex ent˜ao f′(x) = ex. Fun¸c˜ao exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a = 1 Se f(x) = ax ent˜ao f′(x) = ax ln a. Exemplos Se f(x) = 2x ent˜ao f′(x) = 2x ln 2 Se f(x) = (2 3)x ent˜ao f′(x) = (2 3)x ln 2 3 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  18. 18. Derivadas Fun¸c˜ao logaritmo neperiano f(x) = ln x Se f(x) = ln x ent˜ao f′(x) = 1 x. Fun¸c˜ao logaritmo de base a f(x) = loga x, com a > 0 e a = 1 Se f(x) = loga x ent˜ao f′(x) = 1 x ln a . Exemplos Se f(x) = log3 x ent˜ao f′(x) = 1 x ln 3 Se f(x) = log1 4 x ent˜ao f′(x) = 1 x ln 1 4 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  19. 19. Derivadas Fun¸c˜ao seno Se f(x) = sin x ent˜ao f′(x) = cos x. Fun¸c˜ao cosseno Se f(x) = cos x ent˜ao f′(x) = − sin x. Quando uma fun¸c˜ao ´e formada a partir de outras fun¸c˜oes (das quais sabemos a sua derivada) por adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao ou divis˜ao, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadas dessas fun¸c˜oes, pelas regras que se seguem. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  20. 20. Derivadas Constante c a multiplicar por uma fun¸c˜ao g Se f(x) = cg(x) ent˜ao f′(x) = cg′(x). Exemplos Se f(x) = 3x ent˜ao f′(x) = (3x)′ = 3(x)′ = 3 × 1 = 3 Se f(x) = 2 sin x ent˜ao f′(x) = (2 sin x)′ = 2(sin x)′ = 2 cos x Se f(x) = 4x3 ent˜ao f′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4(3x2) = 12x2 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  21. 21. Derivadas Soma de fun¸c˜oes Se f(x) = g(x) + h(x) ent˜ao f′(x) = g′(x) + h′(x), i.e, [g(x) + h(x)]′ = g′ (x) + h′ (x) ”a derivada da soma ´e igual `a soma das derivadas” Exemplos Se f(x) = x2 + ln x e g(x) = 2x4 + cos x − ex ent˜ao f′(x) = (x2 + ln x)′ = (x2)′ + (ln x)′ = 2x + 1 x g′(x) = (2x4 + cos x − ex)′ = (2x4)′ + (cos x)′ + (−ex)′ = 2(x4)′ − sin x + (−1)(ex)′ = 2(4x3) − sin x + (−1)ex = 8x3 − sin x − ex Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  22. 22. Derivadas Multiplica¸c˜ao de fun¸c˜oes Se f(x) = g(x)h(x) ent˜ao f′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x), i.e, [g(x)h(x)]′ = g′ (x)h(x) + g(x)h′ (x) ”a derivada do produto ´e igual `a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda” Exemplo Se f(x) = x3 sin x ent˜ao f′(x) = (x3 sin x)′ = (x3)′ sin x + x3(sin x)′ = 3x2 sin x + x3 cos x Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  23. 23. Derivadas Quociente de fun¸c˜oes Se f(x) = g(x) h(x) ent˜ao f′(x) = g′(x)h(x) − g(x)h′(x) [h2(x)] , i.e, g(x) h(x) ′ = g′(x)h(x) − g(x)h′(x) [h2(x)] ”a derivada do quociente ´e igual `a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo a dividir pelo quadrado do denominador” Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  24. 24. Derivadas g(x) h(x) ′ = g′(x)h(x) − g(x)h′(x) [h2(x)] Exemplo Se f(x) = cos x 2x ent˜ao f′(x) = cos x 2x ′ = (cos x)′(2x) − (cos x)(2x)′ [2x]2 = (− sin x)(2x) − (cos x)(2) 4x2 = −2x sin x − 2 cos x 4x2 = −2(x sin x + cos x) 4x2 = −(x sin x + cos x) 2x2 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  25. 25. Derivadas Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes Se f(x) = g(x) ◦ h(x) ent˜ao f′(x) = g′(h(x)).h′(x), i.e, [g(x) ◦ h(x)]′ = g′ (h(x)).h′ (x) Exemplos Se f(x) = sin(3x5) ent˜ao (sin(u))′ = d du sin(u) = cos u, fazendo u = 3x5 vem cos(3x5) f′(x) = [sin(3x5)]′ = [cos(3x5)].(3x5)′ = [cos(3x5)].[3(x5)′] = [cos(3x5)].[3(5x4)] = [cos(3x5)].(15x4) = 15x4 cos(3x5) Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  26. 26. Derivadas Tabela de Derivadas f = f(x), g = g(x) fun¸c˜oes, c =constante e α =uma constante n˜ao nula (c)′ = 0 (ef )′ = f′ef (x)′ = 1 (af )′ = f′af ln a, a > 0, a = 1 (cf)′ = cf′ (ln f)′ = f′ f (f + g)′ = f′ + g′ (loga f)′ = f′ f ln a, a > 0, a = 1 (fg)′ = f′.g + f.g′ (sin f)′ = f′ cos f (f g )′ = f′.g−f.g′ g2 (cos f)′ = −f′ sin f (fα)′ = αf′fα−1 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  27. 27. Derivadas Exerc´ıcios 1 Determine uma equa¸c˜ao da recta tangente `a par´abola y = x2 + 1 nos pontos indicados. (a) (0, 1) (b) (−1, 2) (c) Fa¸ca um esbo¸co da par´abola y = x2 + 1 e das rectas obtidas nas al´ıneas anteriores. 2 Um proj´ectil ´e lan¸cado verticalmente do solo com uma velocidade inicial de 112 metros por segundo. Ap´os t segundos, a sua distˆancia ao solo ´e de 112t − 4, 9t2 metros. Determine: (a) a velocidade do proj´ectil para t = 2. (b) o instante em que o proj´ectil atinge o solo. (c) a velocidade em que o proj´ectil atinge o solo. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  28. 28. Derivadas Monotonia de uma fun¸c˜ao Se uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se cada recta tangente `a curva nesse intervalo tiver declive positivo, ent˜ao a curva est´a a subir no intervalo e a fun¸c˜ao ´e crescente. Mas, o declive da recta tangente a f em x ´e dado pela derivada de f em x, f′(x), logo, se f′(x) > 0 num intervalo, ent˜ao f(x) ´e crescente nesse intervalo. Se uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se cada recta tangente `a curva nesse intervalo tiver declive negativo, ent˜ao a curva est´a a descer no intervalo e a fun¸c˜ao ´e decrescente. Mas, o declive da recta tangente a f em x ´e dado pela derivada de f em x, f′(x), logo, se f′(x) < 0 num intervalo, ent˜ao f(x) ´e decrescente nesse intervalo. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  29. 29. Derivadas Extremos de uma fun¸c˜ao M´aximo Uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tem um m´aximo local (ou m´aximo relativo) em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c. Exemplo A fun¸c˜ao f(x) = −x2 tem um m´aximo local em 0 pois f(0) ≥ f(x) para valores de x pr´oximos de c. −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  30. 30. Derivadas M´ınimo Uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tem um m´ınimo local (ou m´ınimo relativo) em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c. Exemplo A fun¸c˜ao f(x) = x2 tem um m´ınimo local em 0 pois f(0) ≤ f(x) para valores de x pr´oximos de c. −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  31. 31. Derivadas Os valores m´aximos e m´ınimos locais de uma fun¸c˜ao f s˜ao chamados extremos locais. A derivada f′(x) pode mudar de sinal somente nos valores de x onde f′(x) = 0 ou f′(x) n˜ao est´a definida. Ponto cr´ıtico Um valor cr´ıtico de uma fun¸c˜ao f ´e um n´umero c no dom´ınio de f onde f′(c) = 0 ou f′(c) n˜ao existe. O ponto correspondente ao valor cr´ıtico c designa-se por ponto cr´ıtico. Se f tiver um m´aximo ou um m´ınimo local em c ent˜ao f′(c) = 0 ou f′(c) n˜ao est´a definida, isto ´e, c ´e um valor cr´ıtico. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  32. 32. Derivadas Exemplo Esta fun¸c˜ao tem dois m´aximos locais, um em x = a e outro em x = c. Em x = a a derivada ´e zero e em x = c a derivada n˜ao existe. Esta fun¸c˜ao tem um m´ınimo local em x = b e f′(b) = 0. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  33. 33. Derivadas Como determinar m´aximos e m´ınimos locais de uma fun¸c˜ao f 1 Calcular f′(x). 2 Determinar os valores cr´ıticos de f, isto ´e, determinar os x tais que f′(x) = 0 ou f′(x) n˜ao existe. 3 Calcular f′(x) em alguns valores de x `a esquerda e `a direita de cada valor cr´ıtico (fazendo um quadro de sinais). (a) se f′(x) > 0 `a esquerda e f′(x) < 0 `a direita do valor cr´ıtico, ent˜ao f tem um m´aximo local nesse valor cr´ıtico. (b) se f′(x) < 0 `a esquerda e f′(x) > 0 `a direita do valor cr´ıtico, ent˜ao f tem um m´ınimo local nesse valor cr´ıtico. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  34. 34. Derivadas Exemplo Determinar os m´aximos e m´ınimos locais de f(x) = 1 3 x3 − x2 − 3x + 2. 1 Calculemos f′(x). f′(x) = x2 − 2x − 3 2 Determinemos os valores cr´ıticos de f. Como f′(x) existe para todo o x em R, basta determinar os x tais que f′(x) = 0. f′(x) = 0 x = 2 ± 4 2 x2 − 2x − 3 = 0 x = −2 2 ∨ x = 6 2 x = 2 ± √ 4 + 12 2 x = −1 ∨ x = 3 x = 2 ± √ 16 2 Os valores cr´ıticos de f s˜ao x = −1 e x = 3. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  35. 35. Derivadas Exemplo (cont.) 3 Calculemos f′(x) em alguns valores de x `a esquerda e `a direita de cada valor cr´ıtico (fazendo um quadro de sinais). f′ (−2) = 5 > 0 f′ (0) = −3 < 0 f′ (4) = 5 > 0 −1 3 f′ + 0 − 0 + f ր M´ax ց min ր Como f′(x) > 0 `a esquerda e f′(x) < 0 `a direita do valor cr´ıtico x = −1, ent˜ao f tem um m´aximo local em x = −1. Como f′(x) < 0 `a esquerda e f′(x) > 0 `a direita do valor cr´ıtico x = 3, ent˜ao f tem um m´ınimo local em x = 3. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  36. 36. Derivadas Exemplo (cont.) Pela an´alise gr´afica podemos confirmar a localiza¸c˜ao do m´aximo e do m´ınimo. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  37. 37. Derivadas Se a primeira derivada de f for zero no valor cr´ıtico c mas n˜ao mudar de positiva para negativa ou de negativa para positiva conforme x passa por c, ent˜ao f n˜ao tem nem m´aximo nem m´ınimo local em c. Exemplo Os valores cr´ıticos da fun¸c˜ao f(x) = 1 4x4 − 2 3 x3 − 2x2 + 8x + 4 s˜ao x = −2 e x = 2. A fun¸c˜ao f tem m´ınimo local em x = −2 e n˜ao tem nem m´aximo nem m´ınimo em x = 2. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  38. 38. Derivadas Aplica¸c˜ao: Rectˆangulo de ´area m´axima Suponhamos o seguinte problema. Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectˆangulo, de per´ımetro igual a 100 metros, de modo ao rectˆangulo ter ´area m´axima. Designemos os comprimentos dos lados do rectˆangulo por x e y Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  39. 39. Derivadas A ´area ´e dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y Observemos que podemos ter rectˆangulos distintos com o mesmo per´ımetro e ´areas distintas. Por exemplo: para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400 para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600 O que se pretende aqui, ´e determinar os valores de x e de y para se ter P = 100 e obter o valor m´aximo para A. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  40. 40. Derivadas Vamos escrever a fun¸c˜ao ´area como uma fun¸c˜ao de uma s´o vari´avel. Como o per´ımetro ´e 100 metros, temos 2x + 2y = 100 x + y = 50 y = 50 − x Substituindo y por 50 − x em A = xy obtemos A = x(50 − x) que ´e uma fun¸c˜ao na (´unica) vari´avel x. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  41. 41. Derivadas Determinemos o(s) m´aximo(s) da fun¸c˜ao ´area A(x) = x(50 − x) = −x2 + 50x Comecemos por determinar a sua derivada. A′ (x) = −2x + 50 Determinemos os valores cr´ıticos de A. Como A′(x) existe para todo o x em R, basta determinar os x tais que A′(x) = 0. A′ (x) = 0 ⇔ −2x + 50 = 0 ⇔ x = 25 O (´unico) valor cr´ıtico de A ´e x = 25. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  42. 42. Derivadas Calculemos A′(x) em valores de x `a esquerda e `a direita de x = 25 (fazendo um quadro de sinais). A′ (24) = 2 > 0 A′ (26) = −2 < 0 25 A′ + 0 − A ր M´ax ց Como A′(x) > 0 `a esquerda e A′(x) < 0 `a direita do valor cr´ıtico x = 25, ent˜ao A tem um m´aximo local em x = 25. Uma vez que y = 50 − x, vem y = 50 − 25 = 25. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  43. 43. Derivadas Conclu´ımos que os quatro lados tˆem o mesmo comprimento e a ´area m´axima ´e atingida se o rectˆangulo for um quadrado. O valor m´aximo da ´area rectangular que ´e poss´ıvel conter dentro do per´ımetro 100 metros ser´a A = 25 × 25 = 625m2 Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  44. 44. Derivadas Aplica¸c˜ao: Rectˆangulo de per´ımetro m´ınimo Suponhamos agora o seguinte problema. Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectˆangulo, de ´area igual a 100 m2, de modo ao rectˆangulo ter per´ımetro m´ınimo. Designemos os comprimentos dos lados do rectˆangulo por x e y Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  45. 45. Derivadas A ´area ´e dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y Observemos que podemos ter rectˆangulos distintos com a mesma ´area e per´ımetros distintos. Por exemplo: para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104 para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50 O que se pretende aqui, ´e determinar os valores de x e de y para se ter A = 100 e obter o valor m´ınimo para P. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  46. 46. Derivadas Vamos escrever a fun¸c˜ao per´ımetro como uma fun¸c˜ao de uma s´o vari´avel. Como a ´area ´e 100 metros, temos xy = 100 y = 100 x (´E claro que x = 0, caso contr´ario a ´area seria nula. ´E tamb´em ´obvio que 0 < x ≤ 100 e 0 < y ≤ 100) Substituindo y por 100 x em P = 2x + 2y obtemos P = 2x + 2. 100 x = 2x + 200 x que ´e uma fun¸c˜ao na (´unica) vari´avel x. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  47. 47. Derivadas Determinemos o(s) m´ınimo(s) da fun¸c˜ao per´ımetro P(x) = 2x + 200 x Comecemos por determinar a sua derivada. P′ (x) = (2x+200x−1 )′ = 2+200(−1)x(−1−1) = 2−200x−2 = 2− 200 x2 Determinemos os valores cr´ıticos de P. Como P′(x) existe para todo o x em causa (0 < x ≤ 100), basta determinar os x tais que P′(x) = 0. P′ (x) = 0 ⇔ 2 − 200 x2 = 0 ⇔ 2x2 − 200 x2 = 0 Assim 2x2 − 200 = 0, logo x2 = 100, e portanto x = ∓10. Mas x = −10 n˜ao faz sentido (uma vez que x representa um comprimento). Assim, o ´unico candidato a valor m´ınimo de P, que nos interessa, ´e x = 10. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  48. 48. Derivadas Calculemos P′(x) em valores de x `a esquerda e `a direita de x = 10 (fazendo um quadro de sinais). P′ (9) = − 38 81 < 0 P′ (11) = 42 121 > 0 10 P′ − 0 + P ց m´ın ր Como P′(x) < 0 `a esquerda e P′(x) > 0 `a direita do valor cr´ıtico x = 10, ent˜ao P tem um m´ınimo local em x = 10. Uma vez que y = 100 x , vem y = 100 10 = 10. Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  49. 49. Derivadas Conclu´ımos que os quatro lados tˆem o mesmo comprimento e o per´ımetro m´ınimo ´e atingido se o rectˆangulo for um quadrado. O valor m´ınimo do per´ımetro rectangular que ´e poss´ıvel delimitar uma ´area de 100 metros quadrados ser´a P = 2 × 10 + 2 × 10 = 40m Derivadas Matem´atica II 2008/2009
  50. 50. Derivadas Exerc´ıcio A receita semanal de um filme lan¸cado recentemente ´e dada por R(t) = 50t t2 + 36 , t ≥ 0 onde R est´a em milh˜oes de euros e t em semanas. 1 Determine os extremos locais. 2 Durante quantas semanas a receita semanal aumentar´a? Derivadas Matem´atica II 2008/2009

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