2. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
Jika f(x) kontinu & tidak negatif dalam selang a ≤ x ≤ b, integral tertentu :
b
n
∫ f ( x)dx = lim ∑ f ( x
a
n → +∞
k =1
k
)∆ k x
& dijelaskan secara geometris. Misalkan selang a ≤ x ≤ b dibagi menjadi n
sub interval h1, h2,......hn yg panjangnya∆ 1 x = ∆ 2 x = ...... = ∆ n x
u/
mudahnya ambil sembarang titik x = xi pd masing-masing hi, & bentuk
persegi panjang yg alasnya hi(panjangnya) & tingginya f(xi). Persegi
panjang ini disebut persegi panjang pendekatan.
∆x
n Luas persegi panjang = f(xi) i
& jumlah luas n persegi panjang :
f ( x k )∆ k x
∑
k =1
yg mana merupakan pendekatan dari luas daerah dibatasi oleh
f(x), sumbu x serta garis-garis x = a dan x = b. Kalau , banyaknya
subinterval n → ∼ maka luas daerah tersebut adalah :
n
b
k =1
a
Luas = L = lim ∑ f ( x k )∆ k x = ∫ f ( x)dx
n →∞
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 2
3. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
Luasan dengan Integrasi
Langkah-langkah yg perlu u/ membentuk integral tertentu yg menghasilkan
luas yg diminta adalah :
(1) Buat suatu gambar, yg menunjukkan a) luas yang dicari, b) wakil pita,
& c) persegi panjang yg didekati. Yg akan ditunjukkan wakil sub
xk
yk
selang
yg lebarnya ∆x ( atau ∆y) & titik
atau
pada sub selang
tersebut.
(2) Tulis luas persegi panjang yg didekati & jumlahnya u/ n buah persegi
panjang
(3) Misalkan jumlah persegi panjang menuju tak terhingga & gunakan
teorema dasar integrasi.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 3
4. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
Contoh :
Tentukan luas daerah yg dibatasi oleh garis y = x , sumbu x, x = 1 & x = 3.
Penyelesaian :
3
Luas = ∫ x dx = 1/2 x
1
Integral
FT – BUDI LUHUR
2
1
3
=4
Slide - 4
5. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
U/ mudahnya, dapat disimpulkan sbb :
a)
Jika f(x) kontinu pd interval a ≤ x ≤ b & f(x) ≥ 0 pd interval tsb, maka
luas
daerah yg dibatasi oleh f(x), x = a, x = b & sumbu x adalah :
b
Luas = ∫ f(x)dx
a
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 5
6. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
(b)
Jika f(x) kontinu pd interval a ≤ x ≤ b & f(x) ≤ 0 pd interval tsb, maka luas
daerah yg dibatasi oleh f(x), x = a, x = b dan sumbu x adalah :
b
Luas = ∫ − f(x)dx
a
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 6
7. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
(c)
Jika f(x) kontinu pd interval a ≤ x ≤ b & bertukar tanda, maka luas
daerah
yg dibatasi oleh f(x) ≤ 0, x = a & x = b & sumbu x sama dengan
penjumlahan luas masing-masing daerah.
c
d
e
a
c
d
Luas = ∫ f(x)dx + ∫ − f(x)dx + ∫ f(x)dx
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 7
8. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
Contoh :
1) Hitung luas daerah yg dibatasi oleh parabola = x 2 − 4
y
3,
dan sumbu x.
Penyelesaian :
, garis x = 0, x =
2
3
Luas = ∫ − (x − 4)dx + ∫ (x 2 − 4)dx
2
0
2
2
= ( −1/3x + 4x) + (1/3x − 4x)
3
3
0
= 23/3
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 8
3
2
9. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
2)
Tentukan luas bidang datar yg dibatasi oleh parabola x 2
y=
1
garis x = 3 dan sumbu x.
Penyelesaian :
3
1 3
L = ∫ x dx = x
3
1
2
[
, garis x =
3
1
]
1
(3)3 − (1)3
3
26
=
satuan luas
3
=
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 9
10. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
3)
y
Hitung luas daerah yg dibatasi oleh parabola := −2x 2 + 1
y = x + 1.
Penyelesaian :
Tentukan titik-titik potong kurva, sebagai batas integral :
dan garis
-2x2 + 1 = x +1
-2x2 – x = 0
-x (2x + 1) = 0
x1 = 0
x2 = - ½
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 10
11. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi
Penyelesaian : (lanjutan)
0
L=
∫
−1/2
0
[( −2x + 1) − (x + 1)]dx =
2
( −2x 2 − x)dx
∫
−1/2
2 3 1 2 0
=− x − x
3
2 −1/2
2
1
2
1
= [ − (0)3 − (0)2 ] − [ − ( −1/2)3 − ( −1/2)2 ]
3
2
3
2
2 1
= −[ − ]
24 8
2
3 1
=−
+
= satuan luas
24 24 2
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 11
