1. Ecuaciones
Paramétricas
Eldiceth Lira
28462137

2. 2
Introduccion
La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen
numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma
paramétrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado
para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El
parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir
una relación particular con la ayuda de los parámetros. Por tanto, una ecuación
paramétrica es una ecuación que está basada en una variable en particular.
Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como
representación paramétrica. A continuación se explicara de manera detallada y
explicita los temas señalados.

3. Generalidades del Algebra
Vectorial
✔ El álgebra vectorial es una rama
de las matemáticas encargada de
estudiar sistemas de ecuaciones
lineales, vectores, matrices,
espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales.
✔ Se originó del estudio de los
cuaterniones (extensión de los
números reales) 1, i, j, y k, así
como también de la geometría
cartesiana promovida por Gibbs y
Heaviside, quienes se dieron
cuenta de que los vectores
servirían de instrumento para
representar varios fenómenos
físicos.
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4. Fundamentos
✔ El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
• Geométricamente : Los vectores son representados por rectas que tienen
una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por
números reales son definidas a través de métodos geométricos.
• Analíticamente: La descripción de los vectores y sus operaciones es
realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción
es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un
sistema de coordenadas.
• Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de
representación geométrica. 4

5. Ecuaciones Paramétricas
En matemáticas, un sistema de
ecuaciones paramétricas permite
representar una curva o superficie en el
plano o en el espacio, mediante valores
que recorren un intervalo de números
reales, mediante una variable , llamada
parámetro, considerando cada
coordenada de un punto como una
función dependiente del parámetro.
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6. Ejemplo
✔ Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y
la velocidad de un móvil.
En el caso de una función real de una variable real, y =f(x), en algunos casos es preferible,
tratándose del par ordenado (x,y) , expresar cada una de las coordenadas como una función;
esto es x= g(t) , y = h(t). De tal manera que a t se le denomina parámetro' y al sistema formado
por x= g(t) , y = h(t) se denomina ecuaciones paramétricas.de la función. Extendiendo este
concepto para el caso de curvas se puede hablar que las ecuaciones x= g(t) , y = h(t) definen
una curva recorriendo algún intervalo de números reales.
✔ Las ecuaciones paramétricas x = 2t-5, y = 4t - 7, que corresponden a la recta de ecuación
y=2x+3.
✔ Las de la cicloide son x = a(t-sent), y = a( 1-cost); siendo a el radio de la circunferencia rodante
sin resbalamiento por una recta horizontal; t el ángulo central de la circunferencia , cuyo uno de
los lados pasa por un punto de la cicloide y el otro, por el punto de contacto de la
circunferencia con la recta donde rueda.
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7. En el espacio
✔ En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por un sistema de tres
ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).
Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = a sen t, z = bt
✔ Para describir una superficie en el espacio R3 se emplean dos parámetros.: s, t. y el
correspondiente sistema de tres ecuaciones paramétricas es x = x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t),
resolviendo para s y t el sistema formado por las dos primeras ecuaciones y reemplazando en
la ecuación z= z(s,t) se puede obtener z= f(x,y) o bien F(x,y,z) = 0
Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones paramétricas es x = a cos s sent, y = asen s
sen t , z = a cos t.
✔ Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de curvatura de una curva plana, la curvatura y la
torsión de una curva en el espacio; plano tangente de una superficie., etc. y da motiva a la
llamada derivación de ecuaciones paramétricas con resultados peculiares.
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8. Ecuación Vectorial
La ecuación vectorial de una recta r que pasa por un punto fijo P0(x0, y0) y que tiene como vector
director v(v1, v2) se expresa de la siguiente manera:
Expresado en coordenadas viene dada por:
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9. 9
El sistema de coordenadas cartesianos está definido por un par de rectas
graduadas perpendiculares
que sirven para determinar la posición de los puntos del plano.
Todo punto P queda situado en un plano mediante un par de números (x, y)
llamadas coordenadas
cartesianas del punto P.
Los conjuntos de puntos que satisfacen una determinada ecuación son curvas
en el plano.
La ecuación en la forma F(x, y) = 0 es una ecuación implícita de la curva en
el plano. Si despejamos una variable, por ejemplo la y, obtenemos la
expresión y = f(x) que es la ecuación explícita de la curva.
Coordenadas Cartesianas

10. Grafica de Ecuaciones
Paramétricas

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Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas
x = t 2 , y = t + 1, -∞< t < ∞.
Elaboramos una pequeña tabla de valores, graficamos los puntos (x, y) y trazamos
una curva suave que pase por ellos). A cada valor de t corresponde un punto (x,
y) sobre la curva; por ejemplo, a t = 1 le corresponde el punto (1, 2). Si
pensamos que la curva es la trayectoria de una partícula en movimiento,
entonces, la partícula se desplaza a lo largo de la curva en la dirección de las
flechas que se muestran en la figura 11.2. Si bien los intervalos de tiempo son
iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados a lo largo de la curva no
están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. La razón es que la
partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la rama
inferior de la curva conforme t aumenta, y luego acelera después de alcanzar el
eje y en (0, 1) desplazándose a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de
valores para t está compuesto por números reales, no existe un punto inicial ni
uno final de la curva.
Curva o Superficie en el plano, mediante la aplicación
de las ecuaciones paramétricas

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13. Transformar las
ecuaciones paramétricas a
las cartesianas

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Cualquier punto P queda situado
mediante la terna de números (x, y,
z) llamados coordenadas
cartesianas.
Los planos de ecuación Ax + By +
Cz + D = 0 son ejemplos
de superficies en el espacio.

15. Determinar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que pasa por el punto y es
paralelo a los vectores y
Solución.
ecuación vectorial
Las ecuaciones paramétricas del plano son
Si eliminamos los parámetros y t obtenemos la ecuación cartesiana del plano es
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Demostración

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17. 17

18. Longitud de Arco en
Ecuaciones Paramétricas

19. Generalidades
Se dice que una curva C, dada paramétricamente por x = f(t), y = g(t) en [a,b] es alisada si f
' y g'son continuas en [a,b] y no son simultáneamente nulas en (a,b).
Si C es una curva alisada, entonces podemos calcular su longitud de la siguiente manera:
Hacemos una partición del intervalo [a,b] (del parámetro t) dada por a = t0 < t1 < t2 < ... < tn =
b A cada valor de t en la partición le corresponde un punto sobre la curva. Uniendo los
puntos consecutivos con una recta obtenemos una aproximación a la curva, y la suma de
las longitudes de las rectas es una aproximación a la longitud de la curva.
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20. Ejemplo
o x(t) = 2 + sen t
y(t) = t
Intervalo: 0 ≤ t ≤ 9π/5
La longitud de la curva es ≈ 6.77959
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21. Hallar la longitud de arco mediante las
ecuaciones paramétricas:
Derivando la ecuación paramétrica “x”:
Derivando la ecuación paramétrica “y”:
Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco:
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22. Sustituyendo
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23. Donde “u” representa “unidades”.
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24. Movimiento de un Proyectil
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El movimiento de una partícula a lo largo de una curva se llama movimiento
curvilíneo. Se demuestra que el movimiento de un proyectil ocurre en un plano,
digamos el plano xy, y que dicho movimiento está regido por el hecho de que su
aceleración en las direcciones x, y satisface las condiciones
 ax = 0, ay = - g, en donde g es la aceleración de la gravedad, y por definición de
aceleración,
 ax = x´´(t), ay = y´´(t).
En t = 0 se toma x = xo, y = yo y las componentes de la velocidad inicial vo son
vox = vo Cos(θ) ,voy = vo Sen(θ),

25. Ejemplo
vo = 10 m/s ânguloθ =π /6
vox = 10 cos (π/6) = 5(3)1/2
voy = 10 sen (π/6) = 5
Integrando las ecuaciones de las componentes de la aceleración con respecto al
tiempo, obtenemos las componentes de la velocidad en las direcciones x, y.
ax = 0;ay = -9.8
vx - vox = ˩ to ax dt = 0 vx = vox
vy - voy = ˩ to ay dt = -9.8 t vy = voy - 9.8 t
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26. Integrando estas con respecto al tiempo, obtenemos las componentes de la
posición. x = xo + vox t, y = yo +voy t - 1/2 g t2
En estas últimas ecuaciones, las coordenadas (x, y) de la partícula dependen de un parámetro, que
es el tiempo t. A ecuaciones de este tipo se les llama ecuaciones paramétricas y describen el
movimiento de la partícula en un intervalo 0 <= t <= T.
En el presente ejemplo, T es el tiempo en el que la partícula choca contra el suelo.
Observa el movimiento de la partícula, dadas las condiciones iniciales xo = 1, yo = 1.5, vo = 10 y
el ángulo θ = 30°.
x(t) = 1 + 5(3)1/2t
y(t) = 1.5 + 5t - 4.9t2
Las ecuaciones paramétricas dadas describen la trayectoria de la partícula, que en este caso es
una parábola. 26

27. Ejemplo
1) Halla la ecuación vectorial y paramétrica que pasa por el punto A(3, 1) y
tiene como vector director v(1, -2).
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28. 2) Encuentra la ecuación vectorial y paramétrica que
pasa por los puntos A(3 , 2) y B(1 , -1).
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29. Conclusión
Las ecuaciones paramétricas y vectoriales como
observamos tienen varios usos en diferentes campos de
las matemáticas, y nos permiten infinidad de soluciones.
Es imprescindible tener conocimiento de ello, para que
en un futuro gracias a las ecuaciones paramétricas
podamos hacer diversos cálculos en la vida cotidiana ya
sea para la mejora de la vida de toda una ciudad como
la facilitación de otra.
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30. Anexos
✔ https://youtu.be/9c_Auawm-6o
✔ https://youtu.be/VjSDKukHubA
✔ https://youtu.be/1x5zGY9DOdg
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Bibliografía
1. https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
2. http://www.pearsonenespanol.com/docs/librariesprovider5/files_recursosmcc/thomas_una_variable_13
e_cap11.pdf?sfvrsn=4
3. https://ekuatio.com/ecuaciones-vectorial-y-parametricas-de-la-recta-ejercicios-resueltos/
4. https://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/recta/teoria/ecuaciones_recta.html
5. https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
6. http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/ecsparam/ecspm_ecspm.html

32. ¡Gracias por su
Atención!
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