Unidad 2 Números reales

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
Universidad Politécnica Territorial Del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Edo Lara
Programa de formación Nacional
Distribución y logística
Trayecto inicial : 2 da unidad
Números reales
Nombre : Edicta Yuvicar Orta
CI : 11.425.881
Sección : 0300

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre
sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos
mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo:
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismoselementos.

3. Notación de Un conjunto :
Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa
una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen.
Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva , listando todos sus elementos
explícitamente.
Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo} C = {a, e, i, o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante
una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}D = {p : p es un palo de la baraja francesa}F = {n2 : n es un entero y 1
≤ n ≤ 10},

4. Tipos de conjuntos :
Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por ejemplo: los meses del año,
los días de la semana o los continentes.
Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Por
ejemplo: los números.
Conjunto unitario. Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento en el
conjunto “satélites naturales de la Tierra”.
Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos.
Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una misma clase o categoría.
Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase y categoría.
Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser:

5. Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la misma.
Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.
Se denomina subconjunto al conjunto que se encuentra dentro de otro conjunto, es decir, el conjunto A es
subconjunto del conjunto B, si todos los elementos de A están incluidos en B.

6. Operaciones con conjuntos
Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad, podemos crear unos nuevos a través
de las operaciones entre conjuntos. Aquí aprenderás de que se trata.
Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos y definidos como se muestra en la siguiente figura:
Podemos crear otro
conjuntos
con Elementos de
A y B

7. Intersección de conjuntos :
Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B
Ejemplo:
A = ( 1;2;3;4;5;6;7 ) y B = ( 5;6;7;8;9 )

8. Diferencias de conjuntos :
El conjunto ¨A menos B¨ que se representa A-B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a B

9. ¿ A – B = B – A ?
El conjunto ¨A menos B que se representa A- B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no
pertenecen a A
Complemento de un conjunto :
Dado un conjunto universal U y un conjunto formado por los elementos de A al conjunto formado por todos los elementos
del universo que no pertenecen al conjunto A notación :
A´ o A°
Simbólicamente : A ´= { x / x £ U ˄ x £ A }
A ´= U – B
Ejemplo U = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9; } y A = {1;3;5; 7; 9}

10. Números reales :
Es conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales,
se designa por . R
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando
negativo, y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

11. Ejemplo Recta Real
Representación de los números reales
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta
aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos
representarlos de forma exacta.

12. OPERACIONES DE NÚMEROS REALES
Suma de números reales
Propiedades:
Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b € R
Ǿ + Ԉ € R.
Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b ) . c = a . (b . c )
Conmutativa:
La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números
reales
a. b= b. a

13. Propiedad del Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
a. 1 = 1
a
Propiedad Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los
sumandos
a. (b+ c )=a . b+ a . c
Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar):
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a. b + a . C = a.( b + c )
Propiedades de los reales en la División
La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor .
Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden

14. La excepción es que el divisor no puede ser cero . Esto es, no se puede dividir entre cero
Pero, ojo, que el dividendo sí puede ser cero , y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero.
Por ejemplo:
0 ÷ 5,41 = 0

15. Desigualdad
Es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos:
desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones
de valores distintos.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
Menor que <
Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”. En tanto , que los casos de desigualdades formuladas como :
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Propiedades de la desigualdad
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.

16. Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes propiedades: Si se multiplica ambos
miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Definición de valor absoluto
Se llama valor absoluto de un número, al mismo número, si este es positivo, y al opuesto, si es negativo.
El valor absoluto se simboliza cerrando el número con dos barras.
Las operaciones en el conjunto de los números enteros Z, pueden dar resultados numéricamente iguales, pero de signo opuesto.
Esto puedo complicar los análisis numéricos, ya que cuando se efectúan, habrá que tener en cuenta todas las posibilidades de
signo que se presenten
Es por ello, que es importante el concepto de "valor absoluto" en matemática, ya que permite expresar e interpretar cuestiones
numéricas prescindiendo de los signos.
|a|=a si a ≥ 0
|a|=-a si a < 0
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica hasta un número o un punto.
Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su
signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los valores absolutos están
representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se lee como módulo de x).

17. Desigualdades con valor absoluto.
Es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.

18. Ejercicios de calcular el valor absoluto

19. Bibliografía:
https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/operaciones-entre-conjuntos/1/
https://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_con_conjuntos
https://www.giematic.unican.es/complejos/previos/Inecuaciones-con-valor-
absoluto.pdf
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/los-
numeros-reales.html