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Investigación de Operaciones en Ingeniería Agrícola
CESAR
AUGUSTO
LLANA YUFRA
1
ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS.-
Proyecto.- Combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden
antes que el trabajo completo pueda terminarse. A saber:
© Las actividades están interrelacionadas en secuencia lógica.
© Una actividad en un proyecto es un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminación.
© Un proyecto es un esfuerzo de un solo período, no es repetitivo.
En el pasado se hizo la programación con poca planeación, la mejor herramienta fue el Diagrama de
Barras de Gantt.
El diagrama de Barras de Gantt es un programa que indica los tiempos de inicio y terminación de
cada actividad en una escala de tiempo horizontal.
En la actualidad la administración de proyectos ha evolucionado y hoy se cuenta con dos técnicas
analíticas de planeación, programación y control de proyectos. Son el método PERT y CPM.
Técnica PERT.-
Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos, (Proyect Evaluation and Review Technique- PERT);
desarrollado para la Mariana de Estados Unidos de Norteamérica (1957-58) por una Consultora con
el fin de programar las actividades de investigación y desarrollo para el programa de misiles Polaris.
Técnica CPM.-
Método de la Ruta Crítica (Critical Path Method – CPM), desarrollado por las firmas E. I. Dupont de
Nemours y Mauchly Associates como una aplicación a los proyectos de construcción.
Ambas técnicas el PERT y CPM están orientados al tiempo, los dos métodos fueron desarrollados
independientemente, ambos son asombrosamente similares. Inicialmente las estimaciones de tiempo
en el CPM eran determinantes y en el PERT eran probables; ahora ambas técnicas son idénticas, las
diferencias son sólo históricas por ello se denominan ambas técnicas de programación de proyectos.
FASES DE LA PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS
 Planeación
 Programación
 Control
Planeación.- Se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas, las estimaciones de
tiempo se determinan luego; se construye la red de flechas donde cada arco o flecha representa una
actividad.
El diagrama de flechas completo da una representación gráfica de las interdependencias entre las
actividades del proyecto. La construcción del diagrama como fase de planeación facilita el análisis
de los trabajos, mejoras y ajustes antes de la ejecución.
Programación.- Consiste en construir un diagrama de tiempo que muestre los tiempos de iniciación
y terminación para cada actividad, así como, su relación con otras actividades; deben señalar las
actividades críticas en función del tiempo que requieran atención especial para terminar
oportunamente; para las actividades no críticas se debe mostrar los tiempos de holgura en caso de
demoras sabiendo que los recursos son limitados.
Control.- Fase final que implica el uso del diagrama de flechas y la gráfica de tiempo para hacer
reportes y seguimiento. La red puede actualizarse y analizarse y si es necesario reprogramar la parte
restante del proyecto.
CONSTRUCCIÓN DE RED DE FLECHAS
Flecha.- Representa una actividad, y la punta indica el sentido de avance del proyecto; la relación de
precedencia entre actividades se especifica utilizando eventos.

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2
Evento.-Representa un punto en el tiempo y significa la terminación de algunas actividades y el
comienzo de nuevas. El punto inicial y final de una actividad están descritos por dos eventos
conocidos como evento inicial y evento terminal.
Ejemplo.-
 Una representación común de una actividad (i,j) con un evento de inicio i, y su evento terminal
al j.
 Las actividades (1,3) y (2,3) deben terminar antes que pueda comenzar la actividad (3,4).
En la práctica una actividad está representada por un arco o flecha dirigido y cada evento está
simbolizado por un nodo, la longitud de arco no necesita ser proporcional a la duración tampoco tiene
que dibujarse como una línea recta.
Reglas para construir una Red de Flechas.-
1º. Cada actividad está representada por una y solo una flecha en la red: ninguna actividad puede
representarse dos veces en la red.
2º. Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos terminal y de inicio.
Ejemplo.- Las actividades A y B tienen el mismo evento final; y a fin de levantar la incoherencia se
introducen actividades ficticias “d” entre A o entre B y el evento final.
Actividades Ficticias (d).- Sirven para establecer relaciones lógicas en el diagrama de flechas y evitar
incorrecciones; esta no consumen tiempo o recursos.
Ejemplo.-
Si las actividades A y B preceden a C y E, está precedido de B solamente, de la siguiente manera:
3º. Relación de Precedencia.- Para un correcto diagrama de flechas, al agregar cada actividad en la
red debe considerarse:
a) ¿Qué actividades deben terminarse inmediatamente antes de que esta actividad pueda
comenzar?
b) ¿Qué actividades debe seguir a esta actividad?
c) ¿Qué actividades deben efectuarse simultáneamente con esta actividad?
d)
Ejemplo.-
Construya el diagrama de flechas que comprenda las actividades A, B, C, D, E, F, G; sabiendo que:
1. A y B son actividades iníciales del proyecto que comienzan simultáneamente.
2. A precede a C
3. C precede a D
4. D precede a E
5. B y E preceden a F
3 4
1
2
1 2
A
B
3
1
2
A
B d
3
1
2
A
B
d
1
2
A
A
B
C
E
B
C
E
d
Incorrecto
Correcto
i j

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3
6. E y F preceden a G
Solución.-
CÁLCULOS DE LA RUTA CRÍTICA
Una ruta crítica define una cadena de actividades críticas, las cuales conectan los eventos inicial y
final del diagrama de flechas, es decir la ruta crítica identifica todas las actividades críticas del
proyecto.
Los cálculos de ruta crítica comprenden dos fases:
1º. Cálculos hacia adelante (= >).-Donde los cálculos se comienzan en el nodo inicial y se mueven
al nodo de terminación, en cada nodo se calcula un número que representa el tiempo de
ocurrencia o iniciación más próximo del evento (TIP). En la práctica cuando llegan varias
actividades a un mismo nodo se encoge el de mayor duración.
2º. Cálculo hacia atrás (= <).-Comienzan con el nodo de terminación y se avanza hacia el modo de
inicio, este tiempo representa el tiempo de ocurrencia o terminación más tardío (TTT). En la
práctica cuando retornan varias actividades a un mismo nodo se escoge el de menor duración.
Tiempo de iniciación más próximo (TIP).-Es el tiempo de ocurrencia más próximo del evento i, si
i=0 es el evento de inicio luego para los cálculos de ruta crítica TIP0=0.
En general TIP j= max i { TIP i+Dij} para todas las actividades (i,j) definidas.
Tiempo de terminación tardío (TTT).-Es el tiempo de ocurrencia más tardío del evento i. Por
consiguiente si i = n es el evento de terminación.
Luego TTTn=TIPn
En general TTT i = min j { TTT j+Dij} para todas las actividades (i,j).
Duración (Dij).- Es la duración de la actividad desde el inicio i hasta el final j.
Ruta Crítica.- Es el camino o conjunto de actividades interlazadas entre sí que deben satisfacer las
3 condiciones siguientes:
1. TIPi = TTTi
2. TIPj = TTTj
3. TIPj - TIPj = TTTj - TTTi = Dij
Estas condiciones indican que no existen tiempo de holgura entre el inicio más próximo (terminación)
y el inicio más tardío (terminación) de la actividad. Puede existir más de una ruta crítica en un
proyecto.
Ejemplo.-
En el diagrama de flechas siguientes realizar los cálculos para determinar la ruta crítica.
1 2 3 4 5 6
2
7
1
A C D E
B
F
G
d
1
2
3
4
5
6
2
0
Inicio Terminacion
0
0
3
2
3
3
2
4
2
3
3
2
6
7
13
13
19
19
6
6
6
6
5
2
0

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Solución.-
Cálculos hacia adelante: Los tiempos acumulativos se sobreponen al nodo TIP0 = 0, existe solo una
actividad que entra de (0,1) al evento 1, con duración D01=2; y al (0,2) con D02=3.
TIP1 = TIP0 + D01 = 0 + 2 = 2
TIP2 = TIP0 + D02 = 0 + 3 = 3
Ahora al evento 3, entran 2 actividades (1,3) y (2,3)
TIP3 = max i=1,2 {TIPi + Di3}= max {2+2, 6+0}= 6
Para los eventos 4, 5 y 6 se realizan similarmente:
TIP6 = max i=3,4,5 {TIPi + Di6}= max {6+2, 6+5, 13+6}= 19
Cálculos hacia atrás: Los tiempos reducidos se anotan debajo del nodo. Comienzan desde el evento
de terminación nodo 6.
TTT6=TIP6=19
TTT5=TTT5 – D56=19-6=13
TTT4=mini=5,6 {TTTi – D4i}= min {13-7, 19-5}=6
TTT3=mini=4,5,6 {TTTi – D3i}= min {6-0, 13-3, 19-2}=6
TTT2=mini=3,4 {TTTi – D2i}= min {6-3, 6-2}= 3
TTT1=TTT3-D13=6-2=4
TTT0=mini=1,2 {TTTi – D0i}= min {4-2, 3-3}=0
Nótese que las actividades (2,4); (3,5); (3,6); (4,6) no cumplen las condiciones de ruta crítica, en
cambio las otras (0,2), (2,3), (3,4), (4,5) y (5,6) si cumplen las condiciones, por lo tanto: RUTA
CRÍTICA ES: 0-2-3-4-5-6
DETERMINACIÓN DE LAS HOLGURAS
Una actividad crítica debe tener una holgura cero; en cambio una actividad no crítica debe contener
holgura.
Holgura.- Es la diferencia de tiempo disponible para realizar una actividad y su duración.
Existen dos tipos de holgura: Holgura total y Holgura libre.
Holgura Total (HT).- La holgura total HTij para la actividad (i,j) es la diferencia entre el máximo
tiempo disponible para realizar la actividad y su duración, es decir:
HTij = TTTj –TIPi-Dij
Holgura Libre (HL).- La holgura libre HLij para la actividad (i,j) es exceso de tiempo disponible
sobre su duración, es decir:
HLij = TIPj –TIPi-Dij
Debido a las limitaciones de recursos disponibles en la programación de proyectos (personal y
equipo), las holguras totales para las actividades no críticas llegan a ser útiles.
Ejemplo.-
Actividad Duración TIPi TTTi TTTi - TIPi - Dij =HTij TIPj - TIPi - Dij =HLij
(i,j) Dij Próximo Tardio H. Total H. Libre
(0,1) 2 0 4 4-0-2=2 0
(0,2) 3 0 3 3-0-3=0* 0
(1,3) 2 2 6 6-2-2=2 2
(2,3) 3 3 6 6-3-3=0* 0
(2,4) 2 3 6 6-3-2=1 1
(3,4) 0 6 6 6-6-0=0* 0
(3,5) 3 6 13 13-6-3=4 4
(3,6) 2 6 19 19-6-2=11 11
(4,5) 7 6 13 13-6-7=0* 0

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(4,6) 5 6 19 19-6-5=8 8
(5,6) 6 13 19 19-13-6=0* 0
En el ejemplo anterior se observa que una actividad crítica (*), debe tener una holgura total cero; la
holgura libre también es cero si la holgura total es cero; la inversa no es cierta, ejemplo en el caso de
la actividad (0,1) HL=0 y HT=2.
PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON PROBABILIDAD Y COSTO
Consideraciones de probabilidad en la programación.-
Las consideraciones de probabilidad en la programación de proyectos están basadas en la estimación
de tiempo para cada actividad en función de los siguientes tipos de tiempos.
Tiempo Optimista (a).- Tiempo requerido si la ejecución va extremadamente bien.
Tiempo Pesimista (b).- Requerido cuando todo va muy mal.
Tiempo más probable (m).- Requerido si la ejecución del proyecto es normal.
Siguiendo una distribución Beta con su punto unimodal en m y sus puntos extremos en a y b, se
puede obtener el valor esperado (medio) y la desviación estándar del tiempo de terminación de una
tarea con las siguientes expresiones,
_
2
_ _
_
4
Tiempo Esperado o Media (D)
6
Desviacion Estandar ( )
6
Varianza (V)
6
, o
:
Tiempo programado,
Desviacion Estandar, Z= Punto
i i
i
a m b
b a
b a
TP D TP D
Zi Zi
V
Donde
TP D Media



 




 
  
 
 
 
 
 de distribucion
V=Varianza.
Ejemplo.-
Con las actividades mostradas y los tiempos estimados, calcular las Media (Dij) y la Varianza (Vij).
Resultados
Actividad Tiempos estimados Media Varianza
(i,j) a b m Dij Vij
(0,1) 1 3 2 2 0.11
(0,2) 2 8 2 3 1.00
(1,3) 1 3 2 2 0.11
(2,3) 1 11 1.5 3 2.78
(2,4) 0.5 7.5 1.0 2 1.36
(3,5) 1 7 2.5 3 1.00
(3,6) 1 3 2 2 0.11
(4,5) 6 8 7 7 0.11
(4,6) 3 11 4 5 1.78
(5,6) 4 8 6 6 0.44
a m b
Tiempo
optimista
Tiempo
mas probable
Tiempo
pesimista

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Ejemplo.-
Una constructora de viviendas familiares tiene el siguiente cuadro de tareas que se necesitan para
construir una casa, cada actividad se expresa en semanas.
Actividades
(i,j)
Descripción
Estimación de Tiempos en
semanas
Cálculo de Tiempo
a m b Media(Dij) Desv.Stand(σ)
A(0,1) Cimientos 2 3 4 3 0.333(*)
B (1.2) Armazón 4 7.5 8 7 0.667(*)
C (2,3) Techos 3 5.5 11 6 1.333(*)
D (1,4) Plomería 2.5 4 5.5 4 0.500
E (3,4)
Cableado
Eléctrico
2 3 4 3 0.333(*)
F (4,5)
Puertas y
Ventanas
3 5 7 5 0.667(*)
G (5,6)
Terminado
Interior
3 3.5 7 4 0.667
H (5,7)
Terminado
Exterior
2 5 8 5 1.000(*)
I (7,8) Inspección 1 1 1 1 0.000
Calcular:
1. Diagrama de Flechas
2. La probabilidad de construir la casa en 32 semanas
3. La duración del Proyecto para una confianza de 95%
Solución.-
a) Del árbol de flechas, la ruta crítica es: 0-1-2-3-4-5-7-8, la duración del proyecto se calcula en base
a los tiempos esperados de la ruta crítica.
Tiempo esperado de
terminación del proyecto
=
Suma de los tiempos esperados de terminación
de todas las actividades en la trayectoria crítica
Tiempo esperado de
terminación del proyecto
= 3+7+6+3+5+5+1 = 30
Varianza del
Proyecto (V=σ2)
=
Suma de las varianzas de los tiempos de terminación de las
actividades en la ruta crítica
Varianza del
Proyecto
= (0.333)2+(0.667)2+(1.333)2+(0.333)2+(0.667)2+(1.000)2
V=σ2 = 3.889
Para casos de más de una ruta crítica, se calcula el valor esperado para cada trayectoria y se escoge
aquella cuya varianza es la más grande.
La Desviación Estándar (σ)= V 3.889 1.972
 
1
2 3
4 5 6
2
0
Inicio
Terminacion
0
0
3
3
4
3
3
d
6
7
10
24
16
19 28
30
5
7
2
8
2
10 16
19 24 29
29
29
30
5
4
1

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b) Para calcular la probabilidad de terminar la casa en 32 semanas, usamos la relación:
( Pr ) ( ) 32 29
Z 1.521
1.972
(desviación estandar ó V)
TP tiempo ogramado D media

 
  

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Interpolando valores extraídos de la tabla:
X1=1.52 X=1.521 X2=1.53
Y1=0.4357 Y=? Y2=0.4370
 
 
1.521 1.52
*(0.4370 0.4357) (0.4357)
1.53 1.52
0.43583
Y
Y

  


Buscamos en la tabla de distribución normal estándar para Z=1.521, como la tabla nos da valores de
la mitad entonces vamos a encontrar 0.43583+0.5=0.93583. Es decir la probabilidad de acabar la casa
en 32 semanas es 93.58%.
c) La duración del proyecto para un nivel de confianza de 95%, se resuelve con la relación:
_
29
Z ; Z=1.615
1.972
TP D TP

 
 
X1=1.64 X=? X2=1.65
Y1=0.4495 Y=0.45 Y2=0.4505
0.45 0.4495
X ( )*(1.65 1.64) 1.64 1.615
0.4505 0.4495

   

Z=1.615
Z obtenemos de la tabla distribución normal estándar, luego:
TP =(Z)(1.9272)+29
TP =(1.615)(1.9272)+29
TP =32.170244 Semanas.
Es decir la duración del proyecto para un nivel de 95% será 32.17 Semanas.
Media=29 32=TP
=1.972

Media=29 TP
=1.972

95%

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CONSIDERACIONES DE COSTO EN LA PROGRAMACIÓN
El aspecto costo en la programación de proyectos se define en la relación duración-costo para cada
actividad. Los costos a considerar son los directos, los indirectos se excluyen del análisis hasta la fase
final, se considera una relación lineal para no complicar los cálculos.
Punto de duración Normal (Dn, Cn).- Representa la duración Dn y su costo asociado Cn si la
actividad se ejecuta en condiciones normales. La duración Dn puede disminuirse aumentando los
recursos asignados y por lo tanto aumentando los costos directos.
Punto de duración Mínima (Dc, Cc).- Es el límite, más allá del cual ninguna reducción adicional
puede ejecutarse en la duración. Cualquier aumento de recursos aumentará únicamente costos, sin
reducir la duración.
Después de definir las relaciones tiempo-costo se asignan sus duraciones normales a las actividades
del proyecto. Se calcula la ruta crítica y se calculan los costos directos asociados.
Para comprimir la duración al mínimo costo se debe calcular la actividad crítica que tenga la pendiente
tiempo- costo más pequeña. El costo asociado al nuevo programa debe ser mayor que el inmediato
anterior, la reducción se realiza en las actividades críticas hasta alcanzar a sus tiempos de duración
mínima.
Ejemplo.-
Se tiene el siguiente cuadro de la red con sus puntos normal y mínimo para cada actividad.
Actividad Normal Mínima Cálculos
(i,j)
Duración
Dn
Costo
Cn
Duración
Dc
Costo
Cc
Pendiente Actividad
(1,2) 8 100 6 200 50=(200-100)/(8-6) Crítica
(1,3) 4 150 2 350 100 No
(2,4) 2 50 1 90 40 No
(2,5) 10 100 5 400 60 Crítica
(3,4) 5 100 1 200 25 No
(4,5) 3 80 1 100 10 No
Calcular:
Los diferentes programas de costo mínimo, que pueden ocurrir entre los tiempos a duración normal
y a duración mínima.
Costo
Duracion
Cc
Cn
Dc Dn
Punto de duracion
minima
Punto normal
Cc-Cn
Pendiente=
Dn-Dc
1
2
3
4
5
Inicio
Terminacion
0
0
3
18
4
5
15
10
10
8
8
4
8
10
18
2

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10
Solución.-
1. Se hace los cálculos a tiempos normales y se obtiene la ruta crítica 1-2-5; el tiempo de duración
es 18 y el costo normal asociado es Cn. = (100+150+50+100+100+80)=580.
2. Se reduce el tiempo del proyecto, comprimiendo la actividad crítica con la mínima pendiente, en
nuestro caso la actividad (1,2) cuesta 50 y la (2-5) es 60. Se selecciona la actividad (1-2) por tener
el menor costo unitario y también tiene (10-8=2) dos unidades de tiempo para reducirse.
La reducción de una actividad crítica a su punto de duración mínima no necesariamente
significa que la duración del proyecto completo se reducirá en una cantidad equivalente. Es
decir puede aparecer una nueva ruta crítica, descartándose la anterior ruta.
Una forma de predecir si una nueva ruta crítica se desarrollará antes de llegar a los puntos de
duración mínima es considerar las holguras libres para las actividades no críticas.
Para determinar el límite de holgura libre se necesita reducir la duración de la actividad crítica
seleccionada en una unidad de tiempo.
Luego, se ve cual de las actividades han reducido sus holguras libres en una actividad, después se
determina la holgura libre más pequeña de tales actividades determinando el límite de holgura
libre necesario.
En la figura, se calculan las holguras libres en las actividades no críticas, al reducir la duración de la
actividad (1-2) en 1 unidad, el costo se incrementa en 580+(18-17)x50=630.
El límite de ruptura para (1,2) es 2 su límite de reducción, por otro lado al reducir (1,2) en 1 unidad
de tiempo la actividad (3,4) redujo su holgura libre a cero, por lo tanto, en la siguiente figura, se puede
ver:
HL={2,1}=1
Luego, se elige la actividad (1,2) nuevamente por tener 1 unidad de tiempo para llegar a su duración
mínima, la HL positiva no es necesario calcular porque cualquier HL es al menos igual a 1, como se
puede observar en la primera figura.
Tiempo de proyecto es 16 y su costo asociado=630+(17-16)x50=680
Tiempo: 17
Costo: 630
9
10
7
1
2
3
4
5
Inicio
Terminacion
0
0
3
17
4
5
14
4
7
9
17
2
HL=0
HL=0
HL=0
HL=5
7
Tiempo: 16
Costo: 680
2
16
8
10
1
3
4
5
Inicio
Terminacion
0
0
3
4
5
13
4
6
9
2
HL=1
HL=0
HL=0
HL=4
6
6
16
Tiempo: 18
Costo: 580
1
2
3
4
5
Inicio
Terminacion
0
0
3
18
4
5
15
10
10
8
4
8
10
18
2
HL=10-8-2=0
HL=4-0-4=0
HL=10-4-5=1
HL=18-10-3=5
8

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Como la actividad (1,2) ya no puede reducirse más, entonces se elige la actividad (2,5) para reducirse:
Límite a duración mínima=10-5=5
Límite HL=4, correspondiente a la actividad (4,5)
Límite de reducción = min {5,4}=4
Tiempo para el nuevo proyecto: 12
Costo asociado = 680+(16-12)= 920.
Aparecen 2 rutas críticas 1-2-5 y 1-3-4-5 y será necesario reducir el tiempo en las dos rutas críticas
simultáneamente.
En la ruta (1-2-5) se puede reducir (2,5) en 1 unidad.
En la ruta (1-3-4-5), la actividad (4,5) tiene la pendiente máxima y su límite a duración mínima es 2.
Límite a duración mínima para las 2 rutas es min{1,2}=1, entonces el límite HL de las 2 rutas a
duración mínima es 1.
Se tiene el nuevo programa:
Duración: 11
Costo asociado: 920+(12-11)x(10+60)=990, así:
Las dos rutas críticas del proyecto permanecen iguales; puesto que todas las actividades sobre la ruta
crítica (1-2-5) están en el tiempo de duración mínima; ya no es posible reducir el tiempo del proyecto,
quedando como programa final.
Finalmente, un resumen de los cálculos anteriores se da en la siguiente figura, representado el costo
directo del proyecto; sumando los costos indirectos se puede obtener el programa de costo mínimo
óptimo.
Tiempos y costos variados
T 18 17 16 12 11
C 580 630 680 920 990
Tiempo: 12
Costo: 920
2
12
9
6
1
3
4
5
Inicio
Terminacion
0
0
3
4
5
9
4
6
9
2
HL=1
HL=0
HL=0
HL=4
6
6
12
2
11
9
5
1
3
4
5
Inicio
Terminacion
0
0
2
4
5
9
4
6
9
2
HL=1
6
6
11
Costo
Duracion
0 14
Punto normal
1011 12 16 17 18
600
700
800
900
1000

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