LOGARITMES

1. Logaritmes … per què?
Els logaritmes apareixen en la història de la
humanitat fa uns 400 anys i van ser
utilitzats quasi uns 350 anys com la
principal eina de càlculs aritmètics,
estalviant, així, un increïble esforç per fer
càlculs.

2. La paraula logaritme vol dir “números proporcionats”.
Aquesta paraula composta està formada per logos (que
significa raó o quocient) i arithmós (que significa
número). Es defineix literalment logaritme com un
número que indica una relació o proporció.

3. Amb aquests números, les multiplicacions es van poder
substituir per sumes, les divisions per restes, les
potències en productes i les arrels per divisions, la qual
cosa va simplificar MOLT la realització manual de
càlculs matemàtics.
John Napier (1550 Edimburg – 1617 Edimburg) va ser
qui va desenvolupar el desenvolupament dels
logaritmes.

4. Si calculem, aplicant l’algoritme de la
multiplicació …
obtenim ...
SI ENETENEM COM VAN SORGIR ELS LOGARITMES, ENTENDREM
COM OPERAR AMB ELLS

6. Es podria construir una taula que contingués
algunes potències de base i exponent natural.
Localitzem en ella un dels resultats obtinguts.

8. Observa els resultats de la fila 13.
13 és l’exponent el qual s’ha d’elevar 2 per obtenir 8.192
o
13 és l’exponent el qual s’ha d’elevar 3 per obtenir 1.594.323
o
13 és l’exponent el qual s’ha d’elevar 4 per obtenir 67.108.864
o
...
Aquest exponent és el que es denomina logaritme.
Cal expressar-ho així:

9. EL LOGARITME D’UN NÚMERO ÉS
L’EXPONENT AL QUAL S’HA
D’ELEVAR LA BASE DEL LOGARITME
PER OBTENIR EL NÚMERO
(ARGUMENT) 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟖. 𝟏𝟗𝟐 = 𝟏𝟑
Per definició, la base és sempre un número real
positiu i diferent de 1
𝒃𝒂𝒔𝒆 > 𝟎 𝒊 𝒃𝒂𝒔𝒆 ≠ 𝟏
Per definició, l’argument també és un nombre
real positiu.

11. Per resoldre 16 · 512 i sense efectuar l’algoritme de la multiplicació
fem ...
Les multiplicacions s’han convertit en sumes.
Per resoldre 67.108.864 : 263.144
Les divisions s’han convertit en restes.

12. Cal parar atenció en la següent observació:
En la sèrie de potències de base igual a 2
La sèrie de resultats aconseguits es geomètrica de raó 2 i els
exponents formen una sèrie aritmètica de diferència 1

13. Una progressió geomètrica és una successió de nombres que
compleix que el quocient entre qualsevol dos membres
successius de la successió és una constant anomenada raó o
factor de progressió de la successió. També podem considera
que qualsevol element es pot obtenir a partir de l'element
anterior multiplicant-lo per la raó.
Ex: 1, 2, 4, 8, 16 ...
Una progressió aritmètica és una successió de nombres de
manera que la diferència de dos termes successius qualssevol
de la seqüència és una constant, quantitat anomenada
diferència de la progressió o simplement diferència o fins i tot
"distància".
Ex: 3, 5, 7, 9, ...

14. Segons el que hem expressat anteriorment
4 és l’exponent el qual s’ha d’elevar el 2 per obtenir 16.
És a dir ...
4 és el logaritme en base 2 de 16 i s’expressa
Amb el mateix criteri
Observem que 4 + 9 = 13
Per tant ...
EL LOGARITME D’UN PRODUCTE, en una base determinada, és la
suma dels logaritmes –en la mateixa base- de cada un dels factors.
Simbòlicament s’escriu:

15. Una cosa similar passa amb el LOGARITME D’UN QUOCIENT
Fent una anàlisi similar al que hem fet amb el producte
El LOGARITME D’UN QUOCIENT, en una base donada, és la diferència
entre els logaritmes del dividend i del divisor, en la mateixa base.

16. El LOGARITME RESPECTE DE LA POTÈNCIA és igual al producte de
l’exponent pel logaritme de la base. Un exemple
És a dir ...
Podríem pensar també ...
Per la propietat abans comentada sobre el logaritme d’un producte, tenim
7 vegades 𝑙𝑜𝑔2 4

17. El LOGARITME D’UN NÚMERO POSITIU, EN LA MATEIXA BASE és igual a 1.
𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑏 = 1
exemple 𝑙𝑜𝑔4 4 = 1

18. UTILITAT DELS LOGARITMES
LES ESCALES LOGARITMIQUES
En ocasions resulta avantatjós emprar escales logarítmiques per fer
representacions gràfiques quan les dades tenen una variació molt gran.
Exemple:
Suposem que volem recopilar informació sobre el pes mínim i màxim que tenen els
mamífers marins de la Patagònia Austral. Hi ha moltes dades i molt diferents.

19. Foca menjacrancs
Lobodon carcinophagus
Balena blava
Balaenoptera musculus

20. Representar els pesos mínims i màxims dels mamífers marins en una escala
aritmètica pot no aportar gaire informació per aquells animals més petits.
L’escala logarítmica resulta molt més adequada i fins i tot senzilla de realitzar.

21. Els terratrèmols
Per mesurar la magnitud d’un terratrèmol s’utilitza l’escala de Richter.
És una escala logarítmica arbitrària que assigna un número per
quantificar l'energia que allibera un terratrèmol, anomenada així en
honor del sismòleg nord-americà Charles Richter (1900-1985). Tots els
terratrèmols es comparen amb un terratrèmol de nivell zero amb una
lectura sismogràfica de 0’001 mm.
Els terratrèmols són registrats per aparells anomenats sismògrafs, que
en mesuren l’amplitud A i el període p. L’amplitud es mesura en
micròmetres (1μm = 𝟏𝟎−𝟒
𝒄𝒎) i el període es mesura en segons.

22. L'escala de magnitud Richter està basada en una escala logarítmica
decimal, és a dir, de base 10:
per cada increment d'una unitat en l'escala Richter
l'amplitud de l'ona del terratrèmol recollida al
sismògraf s'incrementa 10 vegades (es multiplica per 10).
Atenent a aquesta fórmula, un terratrèmol de magnitud 6 tindria una
amplitud d'ona 10 vegades més gran que un de magnitud 5; 100
vegades més gran que un de magnitud 4; 1 000 vegades més gran que
un de magnitud 3; i 10 000 vegades més gran que un de magnitud 2.
Aquesta variació en l'amplitud evidencia la necessitat d'utilitzar
logaritmes en la representació.

23. Es calcula la magnitud M del terratrèmol a
partir de la fórmula:
𝑀 = 𝑙𝑜𝑔
𝐴
𝑝

24. Exemple:
Quina magnitud té un terratrèmol l’amplitud del qual és de 10−1
𝑐𝑚 i el
període és d’1 segon?
Pas 1
Vetllar per tenir les unitats bé:
Els cm caldrà passar-los a μm: 10−1
𝑐𝑚 ×
10−4 𝜇
1 𝑐𝑚
= 103
𝜇𝑚
Pas 2
Anotar la fórmula: 𝑀 = 𝑙𝑜𝑔
𝐴
𝑝
Pas 3
Substituïm a la fórmula
𝑀 = 𝑙𝑜𝑔
103
1
= log 1000 = 3
Pas 4
Elaborar la resposta:
Es tracta d’un terratrèmol de magnitud 3.
PROBLEMA

25. Quantitat de carboni-14
després de t anys
Datació dels fòssils
Un procediment per esbrinar l’edat d’un fòssil consisteix en analitzar
la porció que el fòssil conté del carboni -14.
Tots els organismes vius l'absorbeixen de l’aire i quan moren, per ser
reactiu, es desintegra seguint una equació.
𝑸 = 𝑸 𝟎 × 𝒆−𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒 𝒕
Quantitat inicial de
carboni-14
constant
edat del fòssil

26. PROBLEMA
Si un fòssil té un 25 % de carboni inicial, quina és l’edat aproximada del fòssil?
Pas 1
Anotar la fórmula
𝑸 = 𝑸 𝟎 × 𝒆−𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒𝒕
Pas 2
Aïllar la incògnita
𝑸
𝑸 𝟎
= 𝒆−𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒𝒕
Pas 3
Substituïm les lletres pels números
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 𝒆−𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒𝒕
Pas 4
Apliquem 𝒍𝒏 a ambdós termes
𝒍𝒏 𝟎′
𝟐𝟓 = 𝒍𝒏 𝒆−𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒𝒕
𝒍𝒏𝟎′
𝟐𝟓 = −𝟎′
𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒𝒕 𝒍𝒏 𝒆
𝒕 =
𝒍𝒏 𝟎′ 𝟐𝟓
−𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒
𝒕 =
−𝟏′ 𝟑𝟖𝟔
−𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒
𝒕 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟕𝟕′
𝟒𝟏 𝒂𝒏𝒚𝒔
1